Clase9mod
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Este documento trata sobre la estabilidad de sistemas dinámicos. Explica que la estabilidad absoluta se refiere a si un sistema es estable o inestable. También describe conceptos como la estabilidad relativa y el error en estado estacionario. Por último, detalla métodos para analizar la estabilidad como el análisis de Laplace y el criterio de Routh.
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- 3. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Estabilidad Absoluta Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es estable o inestable. Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada. La condición de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, un sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada. Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se igualan las dinámicas a cero y se despejan las variables de interés. La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no depende de las entradas
- 4. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Análisis de Estabilidad en Laplace La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado de un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable. Plano s Región estable Región inestable Región estable Región inestable
- 5. Estabilidad de sistemas dinámicos Plano s 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
- 6. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Comentarios: 1) Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad. 2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando realimentación 3) Un sistema inestable puede estabilizarse usando realimentación. 4) Un sistema realimentación. estable puede hacerse inestable con una cierta
- 7. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Criterio de Estabilidad de Routh Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que q ( todas las raíces de la ecuación característica(s ) ) tienen parte real negativa C ( s ) b0 s m + b1s m−1 + + bm−1s + bm p( s ) = = n n −1 R ( s ) a0 s + a1s + + an−1s + an q( s ) cuando no se tiene forma de encontrar las raíces de la ecuación característica… El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio. El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los coeficientes de la ecuación característica
- 8. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 q ( s ) = a0 s n + a1s n−1 + a2 s n−2 + + an−1s + an = 0 en el siguiente arreglo sn a0 a2 a4 a6 ⋅ ⋅ ⋅ s n−1 a1 a3 a5 a7 ⋅ ⋅ ⋅ s n−2 b1 b2 b3 b4 ⋅ ⋅ ⋅ s n −3 ⋅ ⋅ ⋅ c1 c2 ⋅ ⋅ ⋅ c3 ⋅ ⋅ ⋅ s 0 ⋅ ⋅ ⋅ h1 …
- 9. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 donde a1a2 − a0 a3 b1 = a1 a1a4 − a0 a5 b2 = a1 a1a6 − a0 a7 b3 = a1 b1a3 − a1b2 c1 = b1 b1a5 − a1b3 c2 = b1 c3 = b1a7 − a1b4 b1 c1b2 − b1c2 d1 = c1 d2 = c1b3 − b1c3 c1 El criterio de Routh establece que el número de raíces de q (s ) con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna del arreglo.
- 10. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Ejemplo 1 Sea el siguiente polinomio a0 s 3 + a1s 2 + a2 s + a3 = 0 el arreglo es s3 a0 a2 s2 a1 a3 s a1a2 − a0 a3 a1 s0 a3 La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son: a0 , a1 , a2 , a3 > 0 a1a2 > a0 a3
- 11. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Ejemplo 2 Sea el siguiente polinomio el arreglo es s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0 s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 0 s −6 0 s0 5 Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.
- 12. Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Casos especiales Si un término de la primera columna de cualquier fila es cero y los demás términos no son cero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo ε y continuar con el arreglo. Ejemplo 2 Sea el siguiente polinomio el arreglo es s5 s 5 + 2s 4 + 2 s 3 + 4 s 2 + 11s + 10 = 0 s4 s3 1 2 ε s2 s c1 d1 s0 2 4 11 10 6 0 0 4ε − 12 − 12 = ε ε 10 10 c1 = d1 = 6c1 − 10ε →6 c1 0 Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.