Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en el espacio tridimensional. Define funciones vectoriales de una variable real y sus propiedades como dominio, límite y continuidad. Explica las nociones de trayectoria, gráfica y curva como la traza de una función vectorial. Presenta ejemplos de curvas como la hélice y discute la derivada de funciones vectoriales y su interpretación geométrica como vector tangente a la curva. El objetivo es que los estudiantes aprendan a describir curvas en R3 y calcular conceptos como
1. El documento presenta 6 problemas de cálculo integral y vectorial resueltos. Los problemas involucran conceptos como densidad, campo eléctrico, áreas de proyecciones, flujo de campo vectorial, gradiente en coordenadas esféricas y cilíndricas.
2. Se calcula la densidad de masa de una bola homogénea y la potencia irradiada por un campo eléctrico.
3. También se determina el área de una región esférica y el flujo de campos vectoriales a través de super
Este documento presenta la solución de un examen final de matemáticas con 5 problemas. El primer problema involucra el cálculo de la serie de Fourier de una función periódica y la evaluación de una suma utilizando el teorema de Parseval. El segundo problema pide demostrar el teorema de simetría de la transformada de Fourier y dar un ejemplo. El tercer problema solicita diseñar un circuito digital para una respuesta al impulso dada. El cuarto problema pide calcular la correlación cruzada entre dos señales. El quinto y último problema res
El documento contiene información sobre la transformada de Laplace. Incluye la definición de la transformada de Laplace, ejemplos de su aplicación, y tablas con propiedades comunes de funciones elementales utilizadas en el cálculo de la transformada.
Este documento presenta conceptos sobre campos vectoriales en matemáticas aplicada a la ingeniería. Explica definiciones clave como gradiente, divergencia y rotacional de funciones escalares y vectoriales. También introduce conceptos de integrales de línea y superficie de campos vectoriales y sus aplicaciones en física, como flujos de calor y campos gravitacionales.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
1. El documento presenta 6 problemas de cálculo integral y vectorial resueltos. Los problemas involucran conceptos como densidad, campo eléctrico, áreas de proyecciones, flujo de campo vectorial, gradiente en coordenadas esféricas y cilíndricas.
2. Se calcula la densidad de masa de una bola homogénea y la potencia irradiada por un campo eléctrico.
3. También se determina el área de una región esférica y el flujo de campos vectoriales a través de super
Este documento presenta la solución de un examen final de matemáticas con 5 problemas. El primer problema involucra el cálculo de la serie de Fourier de una función periódica y la evaluación de una suma utilizando el teorema de Parseval. El segundo problema pide demostrar el teorema de simetría de la transformada de Fourier y dar un ejemplo. El tercer problema solicita diseñar un circuito digital para una respuesta al impulso dada. El cuarto problema pide calcular la correlación cruzada entre dos señales. El quinto y último problema res
El documento contiene información sobre la transformada de Laplace. Incluye la definición de la transformada de Laplace, ejemplos de su aplicación, y tablas con propiedades comunes de funciones elementales utilizadas en el cálculo de la transformada.
Este documento presenta conceptos sobre campos vectoriales en matemáticas aplicada a la ingeniería. Explica definiciones clave como gradiente, divergencia y rotacional de funciones escalares y vectoriales. También introduce conceptos de integrales de línea y superficie de campos vectoriales y sus aplicaciones en física, como flujos de calor y campos gravitacionales.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables como dominio, rango, derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, máximos y mínimos condicionados y aplicaciones como planos tangentes.
2) Incluye ejercicios para calcular derivadas parciales, derivadas direccionales, gradientes y ecuaciones de planos tangentes de funciones.
3) También contiene problemas de optimización para encontrar máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones.
Este documento presenta la resolución de 6 ejercicios de cálculo vectorial que involucran conceptos como circulación, flujo, divergencia y ecuaciones diferenciales. Los ejercicios son resueltos aplicando teoremas como el de Stokes y el de la divergencia. Se calculan integrales de línea, superficie y volumen sobre distintas regiones y campos vectoriales dados.
El documento presenta la solución a dos ejercicios de cálculo en coordenadas paramétricas y polares. El primer ejercicio prueba que la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas es igual a f(t2)-f(t1)+f''(t2)-f''(t1). El segundo ejercicio calcula el área de una superficie de revolución generada al rotar una curva polar r=4cosq alrededor del eje polar.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
1) El documento presenta la solución a 10 problemas de matemáticas relacionados con cálculo vectorial, teoremas como Stokes y Green, límites y derivadas parciales. 2) Los problemas incluyen demostraciones geométricas e integrales de superficie y línea. 3) El documento proporciona detalles completos sobre cada paso de los cálculos para llegar a la solución de cada problema.
El documento presenta 10 problemas de matemática resueltos. Trata sobre cálculo integral y diferencial, incluyendo problemas sobre evaluación de integrales dobles e integrales triples en diferentes regiones, así como también la determinación de puntos críticos y máximos/mínimos de funciones. El documento fue elaborado por 5 estudiantes de ingeniería ambiental para su curso de matemática III y fue supervisado por su docente.
El documento explica los conceptos fundamentales de las series de Fourier. Introduce las series trigonométricas y cómo cualquier función periódica puede expresarse como una serie de senos y cosenos. Describe cómo calcular los coeficientes de Fourier y las condiciones para la convergencia de las series. También resume casos particulares como funciones pares e impares y cómo esto simplifica la expresión de la serie.
Este documento presenta tres problemas relacionados con el cambio de variables en integrales dobles. El primero encuentra la región transformada bajo una transformación lineal dada. El segundo determina la transformación lineal que mapea un paralelogramo dado a otro. El tercero calcula una integral doble sobre una región triangular aplicando el cambio de variables correspondiente.
Este documento presenta 5 ejercicios de transformada de Laplace y series de Fourier que debe resolver una estudiante. Los ejercicios incluyen calcular la transformada de Laplace de funciones, aplicar propiedades, usar tablas, aplicar el teorema de convolución e identificar la expansión en serie de Fourier de una función dada.
Este documento describe cómo calcular la longitud de una curva. Explica que para una función derivable y(x), la longitud se aproxima como la suma de las longitudes de los segmentos de una poligonal que aproxima la curva, y que esta suma converge a la integral de la raíz cuadrada de 1 más la derivada al cuadrado. Luego generaliza este método a curvas paramétricas, definiendo la longitud como la integral de la norma del vector tangente. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos como la astroide y la cicloide.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento trata sobre integrales de línea o de contorno en el plano complejo. Explica cómo calcular estas integrales parametrizando el camino con una función compleja y evaluando la integral resultante. También describe propiedades básicas como que el valor de la integral depende del sentido de recorrido del camino.
Ejercicios propuestos de la unidad iii saiaisaiasuarez
Este documento presenta los pasos resueltos para aplicar la transformada de Laplace y la serie de Fourier a diferentes funciones. En la primera sección, se utiliza la definición de la transformada de Laplace para resolver funciones. En la segunda sección, se aplican propiedades de la transformada de Laplace como linealidad y teoremas de traslación. La tercera sección involucra aplicar la transformada inversa de Laplace. La cuarta sección usa el teorema de convolución. Las últimas dos secciones desarrollan la expansión en serie de Fourier para diferentes funciones per
1) El documento presenta el teorema para calcular la integral de línea de una función escalar a lo largo de una trayectoria. 2) Explica que un campo vectorial es conservativo si cumple ciertas condiciones de derivadas parciales iguales. 3) Proporciona un ejemplo de campo conservativo y cómo calcular su potencial asociado.
Transformada de Laplace y Fourier Richard GutierrezZapata27
Este documento presenta ejercicios sobre transformadas de Laplace y Fourier. Propone calcular transformadas de Laplace de funciones utilizando definiciones, propiedades y tablas. También incluye ejercicios sobre convolución, determinación de semiperiodos y espectros de Fourier de funciones.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de funciones. Explica cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una función en un punto, lo que conduce al concepto de derivada como un límite. Luego define formalmente la derivada de una función y presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de funciones comunes usando esta definición. Finalmente, discute brevemente cuándo una función puede no ser diferenciable.
Este documento presenta cuatro ejercicios de cálculo vectorial que involucran integrales de funciones vectoriales. El primer ejercicio calcula una integral vectorial resolviendo cada componente de manera independiente. El segundo ejercicio calcula el límite de una función vectorial. El tercer ejercicio calcula una integral escalar. El cuarto ejercicio calcula la longitud de arco de una curva.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables como dominio, rango, derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, máximos y mínimos condicionados y aplicaciones como planos tangentes.
2) Incluye ejercicios para calcular derivadas parciales, derivadas direccionales, gradientes y ecuaciones de planos tangentes de funciones.
3) También contiene problemas de optimización para encontrar máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones.
Este documento presenta la resolución de 6 ejercicios de cálculo vectorial que involucran conceptos como circulación, flujo, divergencia y ecuaciones diferenciales. Los ejercicios son resueltos aplicando teoremas como el de Stokes y el de la divergencia. Se calculan integrales de línea, superficie y volumen sobre distintas regiones y campos vectoriales dados.
El documento presenta la solución a dos ejercicios de cálculo en coordenadas paramétricas y polares. El primer ejercicio prueba que la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas es igual a f(t2)-f(t1)+f''(t2)-f''(t1). El segundo ejercicio calcula el área de una superficie de revolución generada al rotar una curva polar r=4cosq alrededor del eje polar.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
1) El documento presenta la solución a 10 problemas de matemáticas relacionados con cálculo vectorial, teoremas como Stokes y Green, límites y derivadas parciales. 2) Los problemas incluyen demostraciones geométricas e integrales de superficie y línea. 3) El documento proporciona detalles completos sobre cada paso de los cálculos para llegar a la solución de cada problema.
El documento presenta 10 problemas de matemática resueltos. Trata sobre cálculo integral y diferencial, incluyendo problemas sobre evaluación de integrales dobles e integrales triples en diferentes regiones, así como también la determinación de puntos críticos y máximos/mínimos de funciones. El documento fue elaborado por 5 estudiantes de ingeniería ambiental para su curso de matemática III y fue supervisado por su docente.
El documento explica los conceptos fundamentales de las series de Fourier. Introduce las series trigonométricas y cómo cualquier función periódica puede expresarse como una serie de senos y cosenos. Describe cómo calcular los coeficientes de Fourier y las condiciones para la convergencia de las series. También resume casos particulares como funciones pares e impares y cómo esto simplifica la expresión de la serie.
Este documento presenta tres problemas relacionados con el cambio de variables en integrales dobles. El primero encuentra la región transformada bajo una transformación lineal dada. El segundo determina la transformación lineal que mapea un paralelogramo dado a otro. El tercero calcula una integral doble sobre una región triangular aplicando el cambio de variables correspondiente.
Este documento presenta 5 ejercicios de transformada de Laplace y series de Fourier que debe resolver una estudiante. Los ejercicios incluyen calcular la transformada de Laplace de funciones, aplicar propiedades, usar tablas, aplicar el teorema de convolución e identificar la expansión en serie de Fourier de una función dada.
Este documento describe cómo calcular la longitud de una curva. Explica que para una función derivable y(x), la longitud se aproxima como la suma de las longitudes de los segmentos de una poligonal que aproxima la curva, y que esta suma converge a la integral de la raíz cuadrada de 1 más la derivada al cuadrado. Luego generaliza este método a curvas paramétricas, definiendo la longitud como la integral de la norma del vector tangente. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos como la astroide y la cicloide.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento trata sobre integrales de línea o de contorno en el plano complejo. Explica cómo calcular estas integrales parametrizando el camino con una función compleja y evaluando la integral resultante. También describe propiedades básicas como que el valor de la integral depende del sentido de recorrido del camino.
Ejercicios propuestos de la unidad iii saiaisaiasuarez
Este documento presenta los pasos resueltos para aplicar la transformada de Laplace y la serie de Fourier a diferentes funciones. En la primera sección, se utiliza la definición de la transformada de Laplace para resolver funciones. En la segunda sección, se aplican propiedades de la transformada de Laplace como linealidad y teoremas de traslación. La tercera sección involucra aplicar la transformada inversa de Laplace. La cuarta sección usa el teorema de convolución. Las últimas dos secciones desarrollan la expansión en serie de Fourier para diferentes funciones per
1) El documento presenta el teorema para calcular la integral de línea de una función escalar a lo largo de una trayectoria. 2) Explica que un campo vectorial es conservativo si cumple ciertas condiciones de derivadas parciales iguales. 3) Proporciona un ejemplo de campo conservativo y cómo calcular su potencial asociado.
Transformada de Laplace y Fourier Richard GutierrezZapata27
Este documento presenta ejercicios sobre transformadas de Laplace y Fourier. Propone calcular transformadas de Laplace de funciones utilizando definiciones, propiedades y tablas. También incluye ejercicios sobre convolución, determinación de semiperiodos y espectros de Fourier de funciones.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de funciones. Explica cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una función en un punto, lo que conduce al concepto de derivada como un límite. Luego define formalmente la derivada de una función y presenta ejemplos de cómo calcular derivadas de funciones comunes usando esta definición. Finalmente, discute brevemente cuándo una función puede no ser diferenciable.
Este documento presenta cuatro ejercicios de cálculo vectorial que involucran integrales de funciones vectoriales. El primer ejercicio calcula una integral vectorial resolviendo cada componente de manera independiente. El segundo ejercicio calcula el límite de una función vectorial. El tercer ejercicio calcula una integral escalar. El cuarto ejercicio calcula la longitud de arco de una curva.
Este documento presenta 20 ejercicios de cálculo vectorial y geometría diferencial que involucran conceptos como dominio, rango, límites, continuidad, derivadas de funciones paramétricas, curvas planas, curvas espaciales, tangentes, normales, binormales, radios de curvatura, centros de curvatura, planos tangentes, osculadores, rectificantes, longitud de arco, torsión y aceleración. Los ejercicios deben resolverse aplicando definiciones, propiedades y técnicas de cálculo vectorial
El documento presenta definiciones y propiedades fundamentales de funciones trigonométricas, incluyendo las definiciones de seno, coseno, tangente y otras funciones trigonométricas. También describe identidades trigonométricas, leyes de los senos, cosenos y tangentes, y propiedades de sumas, diferencias, ángulos y gráficas de funciones trigonométricas. Finalmente, introduce conceptos básicos de cálculo diferencial como derivadas, regla de la cadena, rectas tangente y normal, y teoremas como los de Rolle
Este documento presenta cuatro problemas de cálculo relacionados con funciones, puntos críticos, integrales dobles y volúmenes. El primer problema encuentra los puntos críticos de una función de tres variables y determina su naturaleza. El segundo problema encuentra los puntos de máximo y mínimo absoluto de una función sobre una curva de intersección de superficies. El tercer problema calcula una integral doble sobre una región acotada. El cuarto problema verifica la fórmula para el volumen de un cilindro y calcula el volumen
1) El documento introduce las curvas parametrizadas y sus propiedades, incluyendo ejemplos.
2) Explica las integrales de línea de campos escalares a lo largo de curvas parametrizadas, con ejemplos como calcular masas.
3) Extiende el concepto a integrales de línea de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Este documento presenta notas sobre cálculo diferencial. Contiene 7 capítulos que cubren temas como límites, derivación, aplicaciones de derivadas como crecimiento exponencial, linealización, optimización, teoremas como el valor medio y L'Hospital. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos.
1) El documento trata sobre límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales de variable real. 2) Explica la definición formal de límites, continuidad y derivadas de funciones vectoriales. 3) Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular límites, determinar la continuidad y derivar funciones vectoriales.
Este documento introduce la transformada de Laplace y presenta algunas de sus propiedades fundamentales. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de 0 a infinito de e^-st f(t) dt. Demuestra que si f(t) es continua y cumple que |f(t)| ≤ Mect para t ≥ T, entonces la transformada existe para s > c. Presenta algunas transformadas de Laplace comunes como 1/s, tn, eat, sen kt, cos kt. También introduce la transformada inversa de Laplace.
Este documento introduce la transformada de Laplace y presenta algunas de sus propiedades fundamentales. En particular, define la transformada de Laplace de una función f(t), muestra que existe para funciones de orden exponencial, y establece que es un operador lineal. También presenta fórmulas para calcular la transformada de Laplace de funciones comunes como potencias de t, exponenciales y funciones trigonométricas.
Apuntes de calculo_en_varias_variable_scompleto_usmVictor Gallardo
Este documento discute ecuaciones cuadráticas y cónicas en el plano y el espacio. Explica que las ecuaciones cuadráticas representan cónicas trasladadas y/o rotadas en el plano, y que mediante traslaciones y rotaciones pueden llevarse a formas canónicas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. También explica que las superficies cuadráticas en el espacio tridimensional pueden llevarse a formas canónicas mediante traslaciones
Este documento presenta la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades fundamentales. Introduce la definición de la transformada de Laplace de una función f(t), denotada por £{f(t)}(s), como la integral de 0 a infinito de e−st f(t) dt. Luego, demuestra teoremas clave sobre la existencia y propiedades de la transformada, incluyendo que es un operador lineal. Finalmente, introduce la transformada inversa de Laplace y cómo calcularla para diferentes funciones.
Este documento presenta la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades fundamentales. Introduce la definición de la transformada de Laplace de una función f(t), denotada por £{f(t)}(s), como la integral de 0 a infinito de e−st f(t) dt. Demuestra que esta transformada existe para funciones f(t) acotadas por una exponencial del tipo Mect. Presenta algunas transformadas de Laplace comunes como £{1}(s)=1/s, £{tn}(s)=n!/sn+1 y £{eat}(s)=1/(s-a
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de 0 a infinito de e^-st f(t) dt. Demuestra que si f(t) es continua y cumple que |f(t)| ≤ Mect para t ≥ T, entonces la transformada existe para s > c. También presenta algunas propiedades básicas como la linealidad de la transformada y valores conocidos para funciones elementales como 1, t, e^at, sen kt, etc. Finalmente introduce la transformada inversa y métodos para calc
Este documento contiene 9 problemas resueltos relacionados con el cálculo de integrales de línea. Cada problema presenta una curva o camino definido y calcula la integral de alguna función a lo largo de dicha curva utilizando una parametrización adecuada. Las soluciones muestran los pasos para parametrizar la curva, calcular la derivada de la parametrización y evaluar la integral requerida.
Este documento introduce conceptos básicos de cálculo diferencial e integral como funciones, límites, derivadas, rectas tangentes y velocidad instantánea. Explica la definición formal de derivada como un límite y presenta reglas para calcular derivadas de funciones como potencias, sumas, productos y diferencias. Finalmente, muestra la relación entre derivabilidad y continuidad de funciones.
Este documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. Primero define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Luego ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos y explica la derivación implícita para funciones donde la variable dependiente no puede ser despejada explícitamente.
1. El documento presenta definiciones matemáticas relacionadas con curvas en el espacio tridimensional, incluyendo curvas abiertas, cerradas, simples, suaves y parametrizaciones.
2. Se proponen varios ejercicios prácticos para aplicar estas definiciones a curvas específicas y calcular vectores de velocidad, aceleración y longitud de arco.
3. También se introducen conceptos como integrales curvilíneas y su aplicación al cálculo de masa, centro de masa y temperatura promedio
1. MOISES VILLENA Curvas
209
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6
6.1. FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA
VARIABLE REAL
6.1.1 DOMINIO
6.1.2 LIMITE
6.1.3 CONTINUIDAD
6.2. TRAYECTORIA (CAMINO)
6.3. GRAFICA. DEFINICIÓN
6.4. TRAZA
6.5. CURVA
6.6. DERIVADA
6.7. CONCEPTOS ASOCIADOS A LA
DERIVADA
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Describas curvas de
3
R .
• Calcule velocidad, rapidez, aceleración, ecuación de recta
tangente, ecuación de plano tangente (Rectificante),
ecuación de plano Normal, ecuación del plano Osculador,
Curvatura, aceleración normal, aceleración tangencial.
2. MOISES VILLENA Curvas
210
6.1 FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL.
6.1.1 Definición.
Una FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE
REAL, es una función del tipo : n
F I ⊆ →
tal que
( ) ( ) ( )( )1 2( ) , , , n
nt t tF t x x x= ∈
Donde : , 1,2, ,ix I i n⊆ → = ; son funciones
reales de variable real t, llamadas Funciones
Coordenadas de F .
Ejemplo1
Sea 3
:F I ⊆ → tal que ( )( ) 1 2 , 3 , 1F t t t t= − + − + .
Ejemplo 2
Sea 3
:F I ⊆ → tal que ( )( ) cos , ,F t a t bsent t= .
Ejemplo 3
Sea 4
:F I ⊆ → tal que ( )2 3
( ) , , ,2 1F t t t t t= +
Ejemplo 4
Sea 3
:F I ⊆ → ( )2 42
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t t t= − −
6.1.2 Dominio
Sea : n
F I ⊆ → , el dominio de F es el
subconjunto de números reales I .
En decir, el conjunto de valores para t, que da sentido a la regla de
correspondencia.
Ejemplo1
Para ( )( ) 1 2 , 3 , 1F t t t t= − + − + , Dom F =
Ejemplo 2
Para ( )( ) cos , ,F t a t bsent t= , Dom F =
3. MOISES VILLENA Curvas
211
Ejemplo 3
Para ( )2 3
( ) , ,F t t t t= , Dom F =
Ejemplo 4
Para ( )2 42
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t t t= − − , { }2 4
25 16
/1 0t t
Dom F t= ∈ − − ≥
6.1.3 LIMITE
6.1.3.1 Definición.
Sea : n
F I ⊆ → una función definida en el
intervalo abierto I de y sea 0t un punto de I
o un punto de frontera de I . Entonces
( )0
lim
t t
F t L
→
= , si y sólo si:
00, 0/ 0 t t F Lξ ξ∀ > ∃∂ > < − < ∂ ⇒ − <
6.1.3.2 Teorema
Sea : n
F I ⊆ → , tal que ( ) ( ) ( )( )1 2( ) , , , nt t tF t x x x= .
Entonces ( ) ( )0
1 2lim , , , n
t t
F t L l l l
→
= = si y solo si
0
lim ; 1,2, ,i i
t t
x l i n
→
= =
Ejemplo.
Sea ( )2
( ) 1, 2 ,F t t t sent= + Hallar
0
lim ( )
t
F t
→
.
SOLUCIÓN:
( )( )
( )
2
0 0 0 0
lim ( ) lim 1 , lim2 , lim
1,0,0
t t t t
F t t t sent
→ → → →
= +
=
Ejercicios Propuesto 6.1
Calcular:
a)
2
2
2
4 1
, ,
2
limt
t
t
t t t→
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
b)
0
sen
, ,lim
t t
t
t
e e
t
−
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
c) 2
2
1
ln
, ,2
1
limt
t
t t
t→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Resp. a) ( )2
1,2,2 b) ( )1,1,1 c) ( )2,,1 2
1
4. MOISES VILLENA Curvas
212
6.1.4 CONTINUIDAD.
Sea : n
F I ⊆ → . Entonces F es continua
en 0t I∈ si ( ) ( )
0
0lim
t t
F t F t
→
=
6.1.4.1 Teorema
Sea : n
F I ⊆ → , tal que ( ) ( ) ( )( )1 2( ) , , , nt t tF t x x x= .
Sea 0t I∈ . Entonces F es continua en 0t si y
sólo si sus funciones coordenadas ix lo son.
Ejemplo 1
( )3 2
( ) 1, 2 ,F t t t t sent= + − es continua en todo .
Ejemplo 2
( )
2
, , ; 0
( )
0,0,0 ; 0
sent
t t t
tF t
t
⎧⎛ ⎞
≠⎪⎜ ⎟
= ⎝ ⎠⎨
⎪ =⎩
No es continua en 0t = debido a que ( )2
0
lim , , 0,0,1
t
sent
t t
t→
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
que es diferente de
( )(0) 0,0,0F =
Ejemplo 3
( )
3
2
1
( ) ,
1
F t t
t
⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟+⎝ ⎠
no es continua en 1t = − .
Ejercicios Propuesto 6.2
Analice la continuidad de:
a) ( ) 1, −= tttr
b) ( ) 1,arcsen, −= ttttr
c) ( ) 3,,8 tttr =
Resp. a) [ ]+∞= ,1)(trDom b) [ ]1,1)( −=trDom c) [ ]+∞= ,0)(trDom
5. MOISES VILLENA Curvas
213
6.2 TRAYECTORIA (CAMINO)
Una función : n
F I ⊆ → continua se la
llama trayectoria o camino en n
si F está
definida en un intervalo cerrado.
Suponga que el intervalo sea [ ],I a b= entonces ( )F a es el punto
inicial de la trayectoria y ( )F b es el punto final.
Si ( ) ( )F a F b= tenemos una TRAYECTORIA CERRADA.
Si F es inyectiva es una TRAYECTORIA SIMPLE.
Si ( ) ( )F a F b= y F es inyectiva tenemos una TRAYECTORIA CERRADA
SIMPLE.
6.3 GRAFICA. DEFINICIÓN
Sea : n
F I ⊆ → . Se denomina gráfica de
F al conjunto de puntos de 1n+
de la forma
( )( ),t F t tales que t I∈ .
Se ha dado esta definición siguiendo la línea de la definición de gráfica
que se enunció en el capítulo anterior.
La definición siguiente permite darle una interpretación geométrica a una
función vectorial de variable real.
6.4 TRAZA
Se llama TRAZA de la trayectoria F al conjunto
de imágenes de F , es decir:
( ){ }/n
Traza F F t t I= ∈ ∈
6.5 CURVA
Se denomina CURVA a la traza de una
trayectoria F .
Conozcamos algunas curvas de
3
.
6. MOISES VILLENA Curvas
214
Ejemplo 1
Sea 3
:F I ⊆ → tal que ( )( ) cos , ,F t a t bsent t= .
Esta curva es llamada HELICE.
Note que
cosx a t
y bsent
z t
=⎧
⎪
=⎨
⎪ =⎩
Se la pude observar como la traza que hace la superficie cosx a z= al cilindro
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
Ejemplo 2
Sea 3
:F I ⊆ → tal que ( )2 3
( ) , ,F t t t t=
Aquí tenemos 2
3
x t
y t
z t
=⎧
⎪
=⎨
⎪
=⎩
Esta curva la podemos observar como la intersección entre las superficies
2
3
y x
z x
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
x
y
z
( ),0,0a
( )( ) cos , ,F t a t bsent t=
0t =
( )20, ,b π
2t π
=
( ),0,a π−
t π=
( )20, ,3b π
−
23t π
= ( ),0,2a π
2t π=
7. MOISES VILLENA Curvas
215
Ejemplo 3
Sea 3
:F I ⊆ → tal que ( )2 42
25 16
( ) , , 3 1 t t
F t t t= − −
En este caso la curva será la intersección entre el elipsoide
2 2 2
1
25 16 9
x y z
+ + = con el
cilindro 2
y x=
x
y
z
( )2 3
( ) , ,F t t t t=
x
y
z
( )2 42
25 16( ) , , 3 1 t t
F t t t= − −
8. MOISES VILLENA Curvas
216
Ejercicios Propuesto 6.3
1. Dibujar las siguientes curvas representadas por las funciones vectoriales propuestas.
a) ( ) ( ) kjttîtr +−+= ˆ13
b) ( ) ktjttîtr ˆˆsen4cos2 ++=
c) ( ) jttîtr ˆsen4cos3 +=
2. Hallar trayectorias ( )tr que representen las siguientes curvas.
a) ( ){ }x
eyyx =/,
b) ( ){ }14/, 22
=+ yxyx
c) Una recta en
3
IR que contiene al origen y al punto ( )cba ,, .
d) ( ){ }4169/, 22
=+ yxyx
e) ( ) ( ) ( ){ }4
csc6/,, πθφρφθρ =∧=
f) ( ) ( ) ( ){ }4
csc4/,, πθφρφθρ =∧=
3. Dibujar las curvas en el espacio representada por la intersección de las superficies
propuestas, y represéntese la curva mediante la función vectorial usando el parámetro dado.
Superficies Parámetro
a) 0,22
=++= yxyxz tx 2=
b) 2222
,16444 yxzyx ==++ ty =
c) 4,10222
=+=++ yxzyx tx sen2 +=
d) 4,4 2222
=+=+ zyzx tx 3=
4. Muestre que la intersección de la superficie 3694 222
=−− zyx y el plano 9=+ zx
es una elipse.
5. Escriba una ecuación vectorial para la curva de intersección de las superficies:
32252
,2
2
xzyyze xx
=++=−
6. La curva cuya ecuación vectorial es
( ) 10,1,sen3,cos2 ≤≤−= tttttttr
se define sobre una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de dicha superficie.
Resp. 1
94
2
22
=++ z
yx
7. Hallar la función vectorial para la curva de intersección de las superficies yxz −+= 1 , y
xxy += 2
.
Resp. ( ) ( )4
12
4
12
2
1 ,, ++−−−= tttttr
6.6 DERIVADA.
Una función : n
F I ⊆ → una trayectoria.
Sea 0t I∈ . Entonces la derivada de F en 0t ,
denotada como ( )0´F t , se define como:
( )
( ) ( )0 0
0
0
´ lim
h
F t h F t
F t
h→
+ −
=
si este límite existe.
9. MOISES VILLENA Curvas
217
En tal caso se dice que F es DIFERENCIABLE en 0t .
Si ( ) ( ) ( )( )0 1 0 2 0 0( ) , , , nt t tF t x x x= entonces
( ) ( ) ( )( )0 1 0 2 0 0( ) , , , nt t tF t h x h x h x h+ = + + + .
Aplicando la definición de derivada
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
0
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
0
1 0 1 0 2 0 2 0 0 0
0 0 0
´ lim
, , , , , ,
lim
lim ,lim , ,lim
h
n n
h
n n
h h h
t t t t t t
t t t t t t
F t h F t
F t
h
x h x h x h x x x
h
x h x x h x x h x
h h h
→
→
→ → →
+ −
=
+ + + −
=
+ − + − + −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Es decir:
( ) ( ) ( )( )0 1 0 2 0 0´( ) ´ , ´ , , ´nt t tF t x x x=
Ejemplo
Sea ( ) ( )2
, ,F t t t sent= entonces ( ) ( )´ 2 ,1,cosF t t t=
6.6.1 Teorema
Sea F una trayectoria diferenciable. El vector
( )0´F t es tangente a la trayectoria en el punto
0t .
Observe la gráfica
x
y
z
( )0F t ( )0 0 0, ,x y z
( )0´F t
( )0F t h+
( ) ( )0 0F t h F t+ −
10. MOISES VILLENA Curvas
218
Ejemplo
Sea ( ) ( )cos , ,F t t sent t= . Hallar la ecuación de la recta tangente y la del plano
normal en 4
t π
= .
SOLUCIÓN:
Un vector directriz de la recta tangente seria ( )4
´F π
, que también sería un vector
perpendicular al plano normal.
Como ( ) ( )cos , ,F t t sent t= entonces ( ) ( )´ ,cos ,1F t sent t= −
Tenemos un punto: ( ) ( ) ( )2 2
4 4 4 4 2 2 4
cos , , , ,F senπ π π π π
= =
Y un vector paralelo a la recta o perpendicular al plano normal:
( ) ( ) ( )2 2
4 4 4 2 2
´ ,cos ,1 , ,1F senπ π π
= − = −
Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería:
2 2
2 2
2 2
2 2
4
:
x t
l y t
z tπ
⎧ = −
⎪⎪
= +⎨
⎪ = +⎪⎩
Y la ecuación del plano normal sería:
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 2 4
1 0x y z π
− − + − + − =
6.6.2 Trayectoria Regular
Sea : n
F I ⊆ → . Entonces F es una
trayectoria regular en I , si ( )0´ 0F t ≠ para todo
t I∈ .
6.6.3 Propiedades
Sean F y G dos trayectorias diferenciables.
Sea f una función escalar diferenciable.
Entonces:
1. ( ) ( )( ) ( ) ( )´ ´tD F t G t F t G t± = ±
2. ( )( ) ( ) ( )´ ´tD f F t f F t f F t= +
3. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )´ ´tD F t G t F t G t F t G t• = • + •
4. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )´ ´tD F t G t F t G t F t G t× = × + ×
11. MOISES VILLENA Curvas
219
6.7 CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DERIVADA.
Sea : n
F I ⊆ → . Tal que ( ) ( ) ( )( )1 2( ) , , , nt t tF t x x x=
Se define:
Vector Posición: ( ) ( ) ( )( )1 2( ) ( ) , , , nt t tr t F t x x x= =
Vector Velocidad: ( ) ( ) ( )( )1 2( ) ´( ) ´ , ´ , , ´nt t tv t r t x x x= =
Vector Tangente Unitario:
( )
( )
'
'
r t
r t
Τ =
Longitud de un camino:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
2
1
2 2 2
1 2´ ´ ´
t
n
t
t t ts x x x dt= + + +
∫
Rapidez: ( ) ( )'
ds
v t r t
dt
= =
Aceleración: ( ) ( ) ( )( )1 2( ) ´( ) ´´( ) ´´ , ´´ , , ´´nt t ta t v t r t x x x= = =
Vector Normal Unitario:
( )
( )
'
'
t
t
Τ
Ν =
Τ
Vector Binormal: Β = Τ× Ν
Plano Osculador: Definido por Τ y Ν y ortogonal a B
Plano Rectificante: Definido por Τ y B y ortogonal a
Ν
Plano Normal: Definido por Ν y B y ortogonal a Τ
x
y
z
( )0r t ( )0 0 0, ,x y z
( )0v t
( )0a t
Τ
Ν
( )r t
12. MOISES VILLENA Curvas
220
El vector tangente es unitario, entonces: 1Τ•Τ = , derivando miembro
a miembro
( ) ( )1
´ ´ 0
2 ´ 0
´ 0
d d
dt dt
Τ• Τ =
Τ •Τ + Τ•Τ =
Τ •Τ =
Τ •Τ =
Por tanto se concluye que el vector Τ y ´Τ son ortogonales, lo cual
demuestra la definición del Vector Normal Unitario.
Ejemplo
Hallar la ecuación del plano osculador para ( ) ( )cos , ,r t t sent t= en t π= .
SOLUCIÓN:
Para hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto y un vector normal.
El punto sería: ( ) ( ) ( )cos , , 1,0,r senπ π π π π= = −
Y el vector normal es el vector Binormal: Β = Τ× Ν
Hallemos Τ :
( )
( )
( ) ( )
2 2
1
' ,cos ,1 0, 1,1
2' cos 1
t
r sent t
r sen t t
π
π
π
=
− −
Τ = = =
+ +
Hallemos Ν :
( )
( )
( )
( )
1
2
2 21
2
cos , ,0'
1,0,0
' cos
t
t sent
t sen t
π
π
π
=
− −Τ
Ν = = =
Τ +
Entonces
( )1 1 1 1
2 2 2 2
0 0, ,
1 0 0
i j k
Β = Τ× Ν = − =
Finalmente la ecuación del plano osculador sería:
( ) ( ) ( )1 1
2 2
0 1 0 0x y z π+ + − + − =
6.7.1Teorema. Formulas de Frenet- Serbet
Sea r una trayectoria diferenciable, entonces:
Β = Τ× Ν = −Ν ×Τ
Ν = Β×Τ = −Τ×Β
Τ = Ν ×Β = −Β× Ν
13. MOISES VILLENA Curvas
221
6.7.2 Curvatura y radio de curvatura.
Sea r una trayectoria diferenciable. La
CURVATURA, denotada por κ , está definida en
la expresión:
d
ds
κ
Τ
= Ν.
Es decir:
d
ds
κ
Τ
=
El radio de curvatura, denotado por ρ , es:
1
ρ
κ
=
Observe que
d
d d dt dt
dsds dt ds
dt
κ
Τ
Τ Τ
= = =
Es decir,
( )
( )
´
´
t
r t
κ
Τ
=
Ejemplo
Hallar κ para ( ) ( )cos , ,r t t sent t= en t π= .
SOLUCIÓN:
La curvatura en este punto sería:
( )
( )
´
´r
π
κ
π
Τ
=
En el ejemplo anterior se obtuvo ( )
1
´
2
π =Τ y ( )' 2r π =
( )
( )
1
´ 12
2´ 2r
π
κ
π
Τ
= = =
6.7.3 Torsión.
Sea r una trayectoria diferenciable. La
TORSIÓN, denotada por τ , está definida en la
expresión:
d
ds
τ
Β
= − Ν. Es decir:
dB
ds
τ =
14. MOISES VILLENA Curvas
222
6.7.4 ACELERACIÓN NORMAL Y ACELERACIÓN TANGENCIAL.
En cuestiones físicas, se hace necesario presentar la aceleración en
términos de sus componentes tangencial y ortogonal en un punto de la
trayectoria.
T N
t n
a a a
a a
= +
= Τ + Ν
La aceleración es la derivada de la velocidad:
2
2
´
d d d ds d s ds
a v v
dt dt dt dt dt dt
⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= = Τ = Τ = Τ + Τ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Deduzcamos ´Τ :
En la expresión
d
ds
κ
Τ
= Ν, transformando
d
ds
Τ
d dt
dt ds
d
dt
ds
dt
κ
κ
Τ
= Ν
Τ
= Ν
Es decir: ´
ds
dt
κΤ = Ν
x
y
z
( )0 0 0, ,x y z
a
Τ
Ν
( )r t
Ta
Na
15. MOISES VILLENA Curvas
223
Reemplazando:
2
2
2
2
22
2
´
d s ds
a
dt dt
d s ds ds
dt dt dt
d s ds
dt dt
κ
κ
= Τ + Τ
⎛ ⎞
= Τ + Ν⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= Τ + Ν⎜ ⎟
⎝ ⎠
Por tanto:
2
2t
d s
a
dt
= y
2
n
ds
a
dt
κ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo
Sea ( ) ( )cos , ,r t t sent t= . Hallar ta y na t π= .
SOLUCIÓN:
Empleando los resultados anteriores
1. ( )´ 2
ds
r
dt
π= = entonces
2
2
0t
d s
a
dt
= =
2. La curvatura ya la obtuvimos en el ejercicio anterior, por tanto:
( )
2
21
2 1
2
n
ds
a
dt
κ
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
En ocasiones determinar los parámetros anteriores no es tan sencillo
debido a la ecuación de la trayectoria. Podemos darles otra forma a las
formulas anteriores.
Observe la figura:
´r v=
´´r a=
nh a=
na
16. MOISES VILLENA Curvas
224
Por teoría de vectores:
El área del paralelogramo sustentado por los vectores ´r v= y ´´r a=
está dada por:
´ ´´Area r r= ×
Pero, por geometría también tenemos:
( ) ( ) ´ nArea base altura r a= × =
Igualando y despejando resulta:
´ ´´
´
n
r r
a
r
×
=
Para la curvatura tenemos:
2 2 3
´ ´´
´ ´ ´´
´ ´
n
r r
r r ra
ds r r
dt
κ
×
×
= = =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
´ ´´
´
r r
r
κ
×
=
Ejemplo
Sea ( ) ( )4 ,3cos ,r t t t sent= . Hallar v , a , ta , na , κ , para cualquier t .
Solución:
( ) ( )´ 4, 3 ,cosv r t sent t= = −
( ) ( )´´ 0, 3cos ,a r t t sent= = − −
( ) 2 2
´ 16 9 cos
ds
r t sen t t
dt
= = + +
( ) ( )2 2
´ ´´ 4 3 cos 3 3cos , 4 , 12cos 3, 4 , 12cos
0 3cos
i j k
r r sent t sen t t sent t sent t
t sent
× = − = + − = −
− −
2 2
2 2
´ ´´ 9 16 144cos
´ 16 9 cos
n
r r sen t t
a
r sen t t
× + +
= =
+ +
( )
2 2
3 3
2 2
´ ´´ 9 16 144cos
´ 16 9 cos
r r sen t t
r sen t t
κ
× + +
= =
+ +
17. MOISES VILLENA Curvas
225
Finalmente, también se podría utilizar el teorema de Pitágora para
determinar la magnitud de una de las aceleraciones:
2
2 2
n ta a a= +
Ejercicios Propuestos 6.4
1. Halle ( )tσ′ y ( )0σ′ en cada uno de los casos siguientes:
a) ( ) ( )2
2,2cos,2sen ttttt −ππ=σ c) ( ) ( )0,4, 23
tttt −=σ
b) ( ) ( )ttet t
sen,cos,=σ d) ( ) ( )( )tttt ,1log,2sen +=σ
Resp. a) ( )2,0,2)0´( πσ = b) ( )1,0,1)0´( =σ c) ( )0,4,0)0´( −=σ
d) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 1,
10ln
1
,2)0´(σ
2. Un punto situado en la rosca de un tornillo, que se enrosca en una viga describe una hélice
circular, siendo t el ángulo de giro del tornillo, a el radio del tornillo y b la elevación
correspondiente al giro de una vuelta. Determine la velocidad y el vector aceleración del
movimiento del punto.
Resp. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
π2
,cos,)´(
b
taasenttr ( )0,,cos)´´( asenttatr −−=
3. El movimiento de una partícula está definido por ( ) ( )jttîattR ˆsencos −= . Hállese su
velocidad, las componentes tangencial y normal de la aceleración en
2
π=t .
4. La posición de una partícula móvil en el tiempo t viene dada por ( ) ( ) jtîtttr ˆ562
+−= .
Calcule el instante en que la rapidez de la partícula es mínima.
Resp. 3=t
5. Determinar los vectores velocidad y aceleración, y la ecuación de la recta tangente para cada
una de las curvas siguientes en el valor especificado de t .
a) ( ) 0,,3,6 32
== tttttr
b) ( ) 1,2,3cos,3sen 2
3
== tttttr
Resp. a) ( )0,0,6)0´( =r ; ( )0,6,0)0´´( =r ;
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
0
0
6
:
z
y
tx
l
b)
6. Sea una partícula de 1 gramo de masa, que sigue la trayectoria ( ) ttttr ,sen,cos= , con
unidades en segundos y centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella en 0=t ?
Nota: amF .=
Resp. ( )0,0,110 5
−= −
F N
7. Sea ( )tσ una trayectoria en
3
IR con aceleración cero. Probar que σ es una recta o un
punto.
8. Suponer que una partícula sigue la trayectoria ( ) ( )teetr tt
cos,, −
= hasta que sale por
una trayectoria tangente en 1=t . ¿Dónde está en 2=t ?
Resp. ( )11cos,0,2 sene −
9. Una partícula se mueve sobre la curva C que se obtiene de la intersección de la esfera
1222
=++ zyx y el plano yz = . Obtener la ecuación de la trayectoria que describiría
la partícula si se separase de la curva C en el punto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1,
2
1,
2
2
18. MOISES VILLENA Curvas
226
Resp.
( )
( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
+−−=
2
1
42
1
2
1
42
1
2
2
42
2
:
π
π
π
tz
ty
tx
l
10. Calcular la curvatura y la componente normal de la aceleración de la curva
( ) ( ) 0,1,,cos 32
=+= tparatettr t
Resp.
13
1
=k ( )0,0,1−=
→
Na
11. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a la curva
tztytx 5sen2,3cos4,sen6 === en el punto
4
π=t
Resp.
12. El movimiento de una partícula está representado por la función
( ) 0,2,,1
2
5 32
≥−= tttttr . En el tiempo 1=t , la partícula es expulsada por la
tangente con una rapidez de 12 unidades por segundo. ¿A qué tiempo y por qué punto
atraviesa al paraboloide xyz 422
=+ ?
Resp. 30389,0=t seg.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ++
+
13
22232
,
13
22322
,
13
225
26
69P
13. Dada la curva ( ) ,22,, 22
teetr tt−
= Encontrar la curvatura y las ecuaciones de
las rectas tangente y normal en 0=t
Resp.
14. Hallar la función vectorial para la curva de intersección entre el cilindro 2
254
22
=+
yx
y el
plano zy 5= . Encontrar la curvatura en el punto (2,5,1).
Resp. ( ) ( )sentsentttr 2,25,cos22= ;
15
13
15
2
=k
15. Una partícula se mueve suponiendo la trayectoria ( ) 0,4, 32
ttttr −= en t=2 seg sale
por la tangente. Calcular la posición y la velocidad de la partícula en t=3 seg.
Resp. ( )0,8,4)2´( =r ( )0,8,8)3( =l
16. Calcular la longitud de arco descrito por el vector
( ) 20,,sen3,cos3 2
≤≤−−= tttttr .
Resp. 3ln5 4
9+=L
17. Una partícula se mueve por la trayectoria ( )2
2
12
2
12
,,cos)( sentsenttt −=σ desde
1=t seg hasta π3=t seg. En π3=t seg la aceleración normal deja de actuar, y la
partícula sale disparada tangencialmente a σ . Calcular la posición de la partícula 1 seg
después que deja de actuar la aceleración normal.
Resp. ( )ππ 23,23,1 −−