Este documento presenta 20 ejercicios de cálculo vectorial y geometría diferencial que involucran conceptos como dominio, rango, límites, continuidad, derivadas de funciones paramétricas, curvas planas, curvas espaciales, tangentes, normales, binormales, radios de curvatura, centros de curvatura, planos tangentes, osculadores, rectificantes, longitud de arco, torsión y aceleración. Los ejercicios deben resolverse aplicando definiciones, propiedades y técnicas de cálculo vectorial

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
01
V´ıctor Pocoy Y./ING. CIVIL
13 de septiembre de 2015
1. Hallar el dominio de la funci´on dada por:
f(t) =
(
et
+ 1
√
[|t|] − t
,
1 − t2
sgn(5 − [|t|])
, ln (10 − |t|)
)
2. Determinar el rango de la funci´on dada por:
f(t) =
(
2at
1 + t2
, a
1 − t2
1 + t2
)
; a es constante
3. Sean las funciones
f(t) =
(
t + 1
t + 2
; 3 − 2t, t
)
; t ∈ [0, 6] y g(t) =
(
t,
√
t,
1
t
)
; t ∈ ⟨0, +∞⟩
ϕ(t) =
√
t2 − 4t + 8; t ∈ [0, 2⟩
Hallar ∥f × g∥ y f ◦ ϕ y sus respectivos dominios.
4. Demostrar que:
l´ım
t→1
(
1
√
t + 1
,
3
√
t, 1 − t − t2
)
=
(
1
2
, 1, −1
)
5. Calcular
a) l´ım
t→−1
(
t5
+ 1
t7 + 1
,
tan(πt)
t + 1
)
b) l´ım
t→0
(
1
t
ln
(√
1 + t
1 − t
,
)
,
t2
3
√
1 + t3 −
√
1 + t2
,
t − arctan(t)
t3
)
6. An´alizar la continuidad de la funci´on en el punto t0 = 2
f(t) =
(
t − 2
|t − 2|(t − 1)
,
1
ln(t2 − [|t|])
)
.
7. Un reflector se halla sujeto a un radio de una rueda de radio a siendo b la distancia del reflector al centro de la
rueda. Determinar la trayectoria seguida por el reflector cuando la rueda gira a lo largo de una recta horizontal.
Obs´ervese que para a = b la curva es la CICLOIDE. Si a > b la curva descrita se llama TROCOIDE. Si a < b
la curva se llama CICLOIDE PROLATA. Dibujar dicha curva diferentes valores de a y b.
8. Sea la curva C dada por:
C :
{
x2
+ y2
+ z2
= 1
x + y + z = 0
Determine la ecuaci´on de la recta tangente, normal y binormal en el punto A
(
1√
14
, 2√
14
, −3√
14
)
.
9. Hallar el plano normal, osculador y rectificante de la curva dada por:
C :
{
x2
+ y2
+ z2
= 6
x + z = 1
√ .
10. Encontrar la longitud de arco de la curva α(t) =
(√
2t,
√
2t, 1 − t2
)
desde (0, 0, 1) hasta (
√
2,
√
2, 0).
1

2. 11. Sea la curva dada por
C :
{
z = 4 − y2
z = x2
+ 3y2
Hallar el radio de curvatura en el punto
(√
2,
√
2
2 , 7
2
)
.
12. Hallar el centro de curvatura y el plano osculador de la curva C : ⃗α(t) ∈ R3
, t ∈ R, ⃗α(0) = (0, 0, 1), ⃗α′
(0) =
(0, 0, 2), ⃗T′
(1) = 2
9 (2, 1, −2), ⃗T′
es paralelo
(
−t, t2
2 − 1, t
)
y ⃗α′′
(t) = 2t⃗T(t) + 2 ⃗N(t)
13. Sea la curva dada por C : 4x2
+ 9y2
= 36. En que punto el radio de curvatura es m´ınimo.
14. Muestre que la curva
α(t) =
(
1 + t2
t
, t + 1,
1 − t
t
)
es plana.
15. Sea la curva parametrizada f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) ; t > 0
∥f′
(t)∥ =
1
t + 1
, B′
(t) =
1
(t + 1)2
(
−1, −1,
1 − t
√
2t
)
y τ(t) > 0
Determinar τ(t)
16. Sea la curva dada por la intersecci´on en el primer octante
C :
{
z =
√
2 −
√
x2 + y2
x2
+ (y − 1)2
= 1
Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto de intersecci´on de la curva C con el plano y = 1 y que contiene
a los vectores T y B en dicho punto.
17. Determinar la curvatura y torsi´on de una curva que se encuentra en el plano P : z = 6 y equidista de las rectas
L1 : p = (0, 0, 8) + t(1, 2, 0)/t ∈ R y L2 : p = (0, 0, 0) + r(1−, 2, 0)/r ∈ R.
18. Sea f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)) ; t ∈ ⟨a, b⟩. Demostrar
κ(t) =
√
∥f′(t)∥
2
∥f′′(t)∥
2
− [f′(t) · f′′(t)]
2
∥f′(t)∥
3
19. Una particula parte de (2, 0) en el instante t = 1 y se mueve sobre la curva de ecuaci´on
x2
+ y2
−
√
x2 + y2 − x = 0,
en sentido antihorario y volviendo a su posici´on inicial. Si su rapidez es constante e igual a 4, definir la funci´on
vectorial que describa dicho movimiento.
20. Encontrar las componentes tangencial y normal de la aceleraci´on en el instante t = 2 para el movimiento de una
particula descrito por
f(t) =
(
ln(t2
+ 1), 2 arctan(t), 2
√
t2 + 1
)
2