Este documento presenta tres problemas relacionados con el cambio de variables en integrales dobles. El primero encuentra la región transformada bajo una transformación lineal dada. El segundo determina la transformación lineal que mapea un paralelogramo dado a otro. El tercero calcula una integral doble sobre una región triangular aplicando el cambio de variables correspondiente.
El documento trata sobre diferentes temas relacionados con ecuaciones diferenciales, incluyendo métodos para resolver ecuaciones diferenciales separables, ecuaciones diferenciales de Bernoulli, ecuaciones diferenciales exactas, ecuaciones diferenciales homogéneas, ecuaciones diferenciales de coeficientes lineales, y aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden. También cubre ecuaciones diferenciales de orden superior y la resolución de ecuaciones diferenciales por series de potencias.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
El documento presenta un resumen sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de diferencias finitas. Se describe la ecuación de Poisson y cómo este método permite aproximar las derivadas mediante diferencias centrales, generando un sistema de ecuaciones que puede resolverse numéricamente. También se mencionan conceptos como condiciones de frontera de Dirichlet y el error de truncamiento del método.
El documento presenta la resolución de varias ecuaciones diferenciales homogéneas. Se verifica si cada ecuación es homogénea y, de ser así, se realiza la sustitución correspondiente para resolverla. Se obtienen las soluciones en función de logaritmos y/o integrales. Finalmente, se resuelve una ecuación no homogénea redefiniendo las variables para convertirla en una ecuación homogénea.
El documento presenta la solución a tres ejercicios sobre fuerzas eléctricas ejercidas por distribuciones de carga. El primer ejercicio encuentra la fuerza total sobre una carga puntual debido a dos cargas puntuales. El segundo calcula la fuerza total sobre una carga puntual proveniente de cuatro cargas iguales en los vértices de un cuadrado. El tercero determina la fuerza sobre una carga en el origen ejercida por ocho cargas en los vértices de un cubo.
El documento trata sobre diferentes temas relacionados con ecuaciones diferenciales, incluyendo métodos para resolver ecuaciones diferenciales separables, ecuaciones diferenciales de Bernoulli, ecuaciones diferenciales exactas, ecuaciones diferenciales homogéneas, ecuaciones diferenciales de coeficientes lineales, y aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden. También cubre ecuaciones diferenciales de orden superior y la resolución de ecuaciones diferenciales por series de potencias.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
El documento presenta un resumen sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de diferencias finitas. Se describe la ecuación de Poisson y cómo este método permite aproximar las derivadas mediante diferencias centrales, generando un sistema de ecuaciones que puede resolverse numéricamente. También se mencionan conceptos como condiciones de frontera de Dirichlet y el error de truncamiento del método.
El documento presenta la resolución de varias ecuaciones diferenciales homogéneas. Se verifica si cada ecuación es homogénea y, de ser así, se realiza la sustitución correspondiente para resolverla. Se obtienen las soluciones en función de logaritmos y/o integrales. Finalmente, se resuelve una ecuación no homogénea redefiniendo las variables para convertirla en una ecuación homogénea.
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El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares mediante el método de Frobenius. Incluye ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden utilizando la transformada de Laplace y series de Fourier. También menciona temas como sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento describe la función exponencial y su aplicación para modelar el crecimiento bacteriano. Explica que la función exponencial se usa para representar cómo el número de bacterias en un cultivo se duplica cada hora, lo que permite calcular la población bacteriana a diferentes tiempos. También define la función exponencial f(x)=ab^x y sus características.
Este documento resume los conceptos y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables, lineales y de la forma diferencial exacta. Explica que las ecuaciones separables pueden resolverse mediante integración luego de separar las variables. Para ecuaciones lineales, se presenta la forma canónica y los pasos para determinar el factor integrante. Finalmente, describe cómo determinar si una ecuación es de la forma diferencial exacta y los pasos para encontrar su solución.
There's an obvious guess for the rule about the derivative of a product—which happens to be wrong. We explain the correct product rule and why it has to be true, along with the quotient rule. We show how to compute derivatives of additional trigonometric functions and new proofs of the Power Rule.
Clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo ordenJimena Rodriguez
El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.
El documento introduce las ecuaciones cuadráticas, definidas como ecuaciones polinómicas de grado dos de la forma ax2 + bx + c = 0. Explica que existen diferentes formas y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo la factorización, la raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Además, cubre conceptos como ecuaciones con valor absoluto y propiedades de la igualdad de la raíz cuadrada antes de revisar los métodos de resolución para diferentes tipos de e
Este documento resume los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, incluyendo: 1) el método de variación de parámetros para ecuaciones no homogéneas, 2) el uso del Wronskiano y la regla de Cramer para determinar las funciones u1 y u2, y 3) cómo transformar ecuaciones de Cauchy-Euler mediante sustituciones logarítmicas para obtener una forma estándar. Finalmente, presenta un ejemplo completo de aplicación de estos métodos.
Cambio de variables de las integrales multipleswalterabel03
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales con coeficientes constantes. Explica que primero se debe determinar la solución complementaria yc de la ecuación homogénea asociada, y luego establecer una solución particular yp probando diferentes formas basadas en la forma del segundo miembro h(x). Proporciona una tabla con las formas probables de yp para diferentes tipos de h(x).
Este documento presenta una introducción al concepto de gradiente en cálculo vectorial. Explica que el gradiente representa la tasa de cambio de una función multivariable a lo largo de un vector dado y generaliza las derivadas parciales. También define el gradiente como el vector cuya componentes son las derivadas parciales de la función y cuyo producto escalar con cualquier vector dr da la diferencial de la función en ese punto.
El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Explica métodos como separación de variables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de primer y segundo orden, así como ecuaciones de orden superior. También cubre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando serie de Taylor.
Se muestra una descripcion d elos métdos mas simples de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden como ecuaciones separables y metodo de factor integrante. al final se anexan un par de palicaciones sobre ley de enfriamiento y moviemiento en medio resistente.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos mediante una parametrización y el cálculo de una integral de superficie.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva dada y se describe la parametrización.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, como ecuaciones diferenciales separables, lineales y de punto singular. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante métodos como el factor integrante y variación de parámetros. También cubre métodos como coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no homogéneas.
Este documento presenta ecuaciones de equilibrio. Explica la ecuación de Laplace y sus propiedades básicas. Luego, aplica estas ecuaciones a problemas como el potencial de condensadores y la mecánica de fluidos.
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita. Existen dos tipos principales: ecuaciones diferenciales ordinarias que contienen derivadas ordinarias, y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que contienen derivadas parciales. Las ecuaciones también se clasifican por su orden, que es el grado de la derivada más alta que contienen. Algunos ejemplos importantes de ecuaciones diferenciales son la ecuación del movimiento armónico simple y las ecuaciones
Este documento explica cómo resolver ecuaciones cuadráticas utilizando diferentes métodos como la factorización, raíz cuadrada, completando cuadrados y la fórmula general. La fórmula general para resolver cualquier ecuación cuadrática es x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. El documento también explica el concepto de discriminante y cómo determinar el número y tipo de raíces de una ecuación cuadrática basado en el valor del discriminante. Finalmente, proporciona ejemplos para practicar resolviendo ecuaciones cuadráticas
TRANSFORMACIONES LINEALES
METODO DE GAUSS-JORDAN
NUCLEO NULIDAD IMAGEN Y RANGO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
RELACION DE MATRICES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de integrales triples. Primero, explica cómo escribir una integral triple de diferentes formas dependiendo de las proyecciones de la región de integración. Luego, resuelve varios problemas que involucran calcular el volumen de regiones limitadas por superficies dadas mediante el uso de integrales triples.
El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares mediante el método de Frobenius. Incluye ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden utilizando la transformada de Laplace y series de Fourier. También menciona temas como sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales.
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Este documento resume los conceptos y métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo ecuaciones separables, lineales y de la forma diferencial exacta. Explica que las ecuaciones separables pueden resolverse mediante integración luego de separar las variables. Para ecuaciones lineales, se presenta la forma canónica y los pasos para determinar el factor integrante. Finalmente, describe cómo determinar si una ecuación es de la forma diferencial exacta y los pasos para encontrar su solución.
There's an obvious guess for the rule about the derivative of a product—which happens to be wrong. We explain the correct product rule and why it has to be true, along with the quotient rule. We show how to compute derivatives of additional trigonometric functions and new proofs of the Power Rule.
Clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo ordenJimena Rodriguez
El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.
El documento introduce las ecuaciones cuadráticas, definidas como ecuaciones polinómicas de grado dos de la forma ax2 + bx + c = 0. Explica que existen diferentes formas y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo la factorización, la raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Además, cubre conceptos como ecuaciones con valor absoluto y propiedades de la igualdad de la raíz cuadrada antes de revisar los métodos de resolución para diferentes tipos de e
Este documento resume los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, incluyendo: 1) el método de variación de parámetros para ecuaciones no homogéneas, 2) el uso del Wronskiano y la regla de Cramer para determinar las funciones u1 y u2, y 3) cómo transformar ecuaciones de Cauchy-Euler mediante sustituciones logarítmicas para obtener una forma estándar. Finalmente, presenta un ejemplo completo de aplicación de estos métodos.
Cambio de variables de las integrales multipleswalterabel03
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales con coeficientes constantes. Explica que primero se debe determinar la solución complementaria yc de la ecuación homogénea asociada, y luego establecer una solución particular yp probando diferentes formas basadas en la forma del segundo miembro h(x). Proporciona una tabla con las formas probables de yp para diferentes tipos de h(x).
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El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Explica métodos como separación de variables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de primer y segundo orden, así como ecuaciones de orden superior. También cubre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando serie de Taylor.
Se muestra una descripcion d elos métdos mas simples de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden como ecuaciones separables y metodo de factor integrante. al final se anexan un par de palicaciones sobre ley de enfriamiento y moviemiento en medio resistente.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos mediante una parametrización y el cálculo de una integral de superficie.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva dada y se describe la parametrización.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, como ecuaciones diferenciales separables, lineales y de punto singular. Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante métodos como el factor integrante y variación de parámetros. También cubre métodos como coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no homogéneas.
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TRANSFORMACIONES LINEALES
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Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
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Este documento presenta las instrucciones para un examen final de cálculo III que consta de 6 preguntas. Se prohíbe el préstamo de materiales, hacer preguntas sobre las respuestas y el uso de calculadoras durante el examen. El examen vale un total de puntos y contiene preguntas.
solucion-de-examen-de-ecuaciones-diferenciales-espol Frank Fernandez
1. El documento presenta la solución de varios ejercicios de ecuaciones diferenciales.
2. En el primer ejercicio se resuelve la ecuación diferencial y0 + xy = xpy mediante el cambio de variable z = y1−1/2.
3. En el quinto ejercicio se encuentra la solución general de la ecuación diferencial (x − 1)2y00 + (x − 1)y0 − y = 0 en potencias de x, la cual converge a funciones de la forma y(x) = a0(1 + 1/2x2
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos utilizando una parametrización y el producto vectorial fundamental.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva elíptica en un plano.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
El documento presenta 15 problemas resueltos sobre integrales triples. Cada problema contiene la descripción del problema, la solución y una breve explicación del procedimiento de resolución, el cual involucra frecuentemente cambios de variables a coordenadas cilíndricas, esféricas u otras para simplificar la integral. Los problemas cubren diversos temas como calcular volúmenes, integrar funciones sobre diferentes dominios y realizar transformaciones de variables.
El documento presenta el teorema de la divergencia y cuatro problemas resueltos que ilustran su aplicación para calcular flujos de campos vectoriales a través de superficies. El teorema establece que el flujo de un campo a través de una superficie es igual al volumen integral de la divergencia del campo dentro de la región delimitada por dicha superficie.
El documento presenta el teorema de la divergencia y lo aplica para resolver 4 problemas. Explica cómo este teorema permite calcular el flujo de un campo vectorial a través de una superficie mediante una integral de volumen, lo que simplifica los cálculos.
1) El documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables y ecuaciones homogéneas. 2) Se definen ecuaciones de variables separables y se explica cómo separar las variables para integrar la ecuación. 3) Las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en ecuaciones de variables separables mediante sustituciones adecuadas.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables como dominios, curvas y superficies de nivel, y cálculo de límites. Introduce funciones vectoriales de m variables y casos particulares. Explica conceptos básicos como dominio, rango, gráfica y curvas de nivel para funciones R2→R. Resuelve problemas identificando curvas y superficies de nivel y dominios de funciones. Finalmente, extiende la definición de límite a funciones de varias variables.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
1) El documento presenta definiciones y proposiciones relacionadas con integrales de superficie. Introduce conceptos como superficies paramétricas, planos tangentes, orientabilidad y flujo de campos vectoriales a través de superficies.
2) Incluye 22 ejercicios para aplicar estos conceptos al cálculo de áreas, planos tangentes y flujos a través de diversas superficies.
3) El objetivo es comprender y aplicar las herramientas matemáticas necesarias para resolver problemas de cálculo vectorial en vari
Este documento trata sobre el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Explica las definiciones de núcleo, inyectividad, rango e imagen de una transformación lineal. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular el núcleo de diferentes transformaciones lineales entre espacios vectoriales.
Ejercicios resueltos y explicados (conjuntos ortogonales)algebra
El documento presenta ejemplos de ejercicios resueltos sobre vectores ortogonales en espacios vectoriales. Explica que para que dos vectores sean ortogonales su producto interno debe ser cero. Muestra cómo calcular un vector perpendicular a otros dos dados y cómo demostrar la independencia lineal de un conjunto ortogonal aplicando la definición de producto interno. Finalmente, propone dos ejercicios sobre matrices y determinación de vectores ortogonales en R2.
Este documento contiene la resolución de dos ejercicios de cálculo. El primero involucra aproximar linealmente el cambio en una función w respecto a cambios en x e y, y calcular el error cometido. El segundo determina si una esfera y un elipsoide son tangentes en un punto evaluando si sus gradientes son paralelos allí.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que una ecuación diferencial de primer orden con condición inicial se expresa de una forma determinada. También describe el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales donde es posible separar las variables. Finalmente, menciona algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se pueden convertir fácilmente en ecuaciones de variables separables.
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José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE.
17. Sea D∗
= [0, 1] × [0, 1] y se define T : R2
→ R2
como T(u, v) = (−u2
+ 4u, v). Encontrar
D = T(D∗
). ¿Es T inyectiva?
Solución
Cada una de las componentes x = −u2
+ 4u, y = v, es función de una sola variable. Para
ver que T es inyectiva, basta comprobar que lo son cada una de las componentes.
Ahora bien, la función y = v es la identidad, que es evidentemente inyectiva. Además, si
0 ≤ v ≤ 1, entonces 0 ≤ y ≤ 1.
Por otra parte, la función x = −u2
+ 4u = −u(u − 4) corresponde a una parábola de
vértice el punto (2, 4) y que corta al eje u en los puntos (0, 0) y (4, 0). Como el dominio
está restringido al intervalo u ∈ [0, 1], la función es inyectiva y la imagen del intervalo [0, 1]
es el intervalo x ∈ [0, 3].
En la figura siguiente se ilustra el comportamiento de la función T.
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
1 u
1
v
D*
1 u
1
v
3
x
1
y
D
3
x
1
y
18. Sea D∗
el paralelogramo limitado por las rectas y = 3x−4, y = 3x, y = x/2, y = x/2+2.
Sea D = [0, 1] × [0, 1]. Encontrar T : R2
→ R2
tal que T(D∗
) = D.
Solución
En la figura se muestran los paralelogramos D∗
y D (donde A = (4/5, 12/5), B = (12/5, 16/5), C =
(8/5, 4/5)):
x
y
D*
A
B
C
x
y
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
1 u
1
v
D
1 u
1
v
1
2. Como la aplicación buscada transforma un paralelogramo en otro, debe ser una transfor-
mación lineal, del tipo
u = ax + by + m
v = cx + dy + n.
Debido a que ambos paralelogramos pasan por el origen, podemos hacer T(0, 0) = (0, 0),
de modo que m = n = 0.
Teniendo en cuenta que los vértices de un paralelogramo se aplican en los vértices del otro,
podemos establecer las relaciones:
T(8/5, 4/5) = (1, 0) =⇒
8a/5 + 4b/5 = 1
8c/5 + 4d/5 = 0
T(12/5, 16/5) = (1, 1) =⇒
12a/5 + 16b/5 = 1
12c/5 + 16d/5 = 1
Resolviendo el sistema resultante, se obtienen los valores a = 3/4, b = −1/4, c = −1/4 y
d = 1/2. La transformación buscada tiene por ecuaciones
u =
3x − y
4
, v =
−x + 2y
4
.
19. Una región R del plano XY está limitada por las rectas x + y = 6, x − y = 2 e y = 0.
a) Determinar la región R∗
del plano UV en que se aplica R por la transformación
x = u + v, y = u − v.
b) Calcular el jacobiano de la transformación
∂(x, y)
∂(u, v)
.
c) Comparar el resultado de b) con la relación entre las áreas de R y R∗
.
Solución
La gráfica siguiente muestra las regiones R y R∗
:
1 3 u
1
3
v
R*
1 3 u
1
3
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x = u + v
y = u − v 2 6 x
2
y
R
2 6 x
2
y
a) La región R sombreada en la parte derecha de la figura es un triángulo limitado por
las rectas dadas. Mediante la transformación dada, la recta x + y = 6 se transforma
en (u + v) + (u − v) = 6, es decir la recta u = 3. Análogamente, la recta x − y = 2 se
transforma en (u + v) − (u − v) = 2 o bien la recta v = 1. De la misma manera el eje
y = 0 se convierte en la recta u = v. La región transformada R∗
es el triángulo de la
izquierda en el plano UV .
2
3. b) Calculando las derivadas parciales obtenemos directamente
∂(x, y)
∂(u, v)
=
19. = −2.
c) El área de la región triangular R es 4, en tanto que la de la región R∗
es 2. Luego
la relación entre ambas es 4/2 = 2 que coincide con el valor absoluto del jacobiano.
Como el jacobiano es constante (lo que ocurre con las transformaciones lineales), las
áreas de cualesquiera regiones R del plano XY son el doble de las áreas de las regiones
correspondientes transformadas R∗
del plano UV .
20. Una región R del plano XY está limitada por las curvas
x2
+ y2
= a2
, x2
+ y2
= b2
, x = 0, y = 0,
con 0 a b, en el primer cuadrante.
a) Determinar la región R0
en la cual se transforma R por la transformación x =
u cos v, y = r sen v.
b) Estudiar lo que ocurre si a = 0.
c) Calcular
∂(x, y)
∂(u, v)
.
Solución
a b
u
v
R'
a b
u
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x = u cos v
y = u sen v a b
x
y
R
a b
x
y
a) La región R es la indicada en la figura. Por la transformación dada, las circunferencias
x2
+ y2
= a2
, x2
+ y2
= b2
se convierten en las rectas u = a, u = b, respectivamente.
Asimismo, el segmento x = 0 comprendido entre a ≤ y ≤ b se convierte en v = π/2,
con a ≤ u ≤ b y el segmento y = 0, a ≤ x ≤ b se transforma en v = 0, a ≤ u ≤ b. En
definitiva, la región R0
buscada es el rectángulo mostrado en la figura.
Se podı́a haber razonado también diciendo que, por ser u la distancia desde el origen
del plano XY y v el ángulo medido a partir del eje positivo de abscisas, es claro que
la región que se busca estará dada por a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ π/2, como se indica en la
figura.
b) Si a = 0, la región R se convierte en un cuadrante de un región circular de radio b y
R0
sigue siendo un rectángulo. La razón para esto es que el punto x = 0, y = 0 se
aplica en u = 0, v = indeterminada y la transformación no es biunı́voca en este punto,
llamado por esta razón punto singular.
3
20. c) Sustituyendo las derivadas parciales en la matriz obtenemos:
∂(x, y)
∂(u, v)
=
28. = u(cos2
v + sen2
v) = u.
21. Sea T(u, v) = u, v(1 + u)
y D∗
= [0, 1] × [1, 2]. Encontrar D = T(D∗
) y calcular
ZZ
D
xy dxdy.
Solución
Busquemos las imágenes de los segmentos que forman la frontera de D∗
:
v = 1
0 ≤ u ≤ 1
=⇒
x = u
y = 1 + u
0 ≤ x ≤ 1
=⇒
y = 1 + x
0 ≤ x ≤ 1
u = 1
1 ≤ v ≤ 2
=⇒
x = 1
y = 2v
1 ≤ v ≤ 2
=⇒
x = 1
2 ≤ y ≤ 4
v = 2
0 ≤ u ≤ 1
=⇒
x = u
y = 2(1 + u)
0 ≤ x ≤ 1
=⇒
y = 2 + 2x
0 ≤ x ≤ 1
u = 0
1 ≤ v ≤ 2
=⇒
x = 0
y = v
1 ≤ v ≤ 2
=⇒
x = 0
1 ≤ y ≤ 2
Con esta información, la transformación T corresponde a la figura siguiente:
1 u
1
2
v
D*
1 u
1
2
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x = u
y = v(1 + u)
1 x
1
2
4
y
D
1 x
1
2
4
y
Para calcular la integral propuesta, podemos aplicar dos métodos:
a) Directamente:
ZZ
D
xy dxdy =
Z 1
0
x dx
Z 2x+2
x+1
y dy =
Z 1
0
x
2x + 2)2
2
−
(x + 1)2
2
dx =
17
8
.
4
29. b) Con la fórmula del cambio de variables:
Como J
x, y
u, v
=
37. = 1 + u, entonces
I =
Z 1
0
du
Z 2
1
uv(1 + u)2
dv =
Z 1
0
(u + 2u2
+ u3
) du ·
Z 2
1
v dv =
17
8
.
22. Expresar
Z 1
0
dx
Z x2
0
xy dy como una integral sobre el triángulo D∗
= {(u, v) : 0 ≤ u ≤
1, 0 ≤ v ≤ u} y calcular la integral de las dos formas.
Solución
Podemos calcular la integral directamente, aplicando el teorema de Fubini:
Z 1
0
x dx
Z x2
0
y dy =
Z 1
0
x ·
x4
2
dx =
x6
12
38.
39.
40. 1
0
=
1
12
.
Otro método consiste en hacer el cambio de variables T(u, v) = (
√
u, v) que transforma el
triángulo D∗
en la región D, indicada en la figura.
1 u
1
v
D*
1 u
1
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x =
√
u
y = v
1 x
1
y
D
1 x
1
y
Como el jacobiano de la transformación es J
x, y
u, v
=
48. =
1
2
√
u
, por la
fórmula del cambio de variable, tenemos:
I =
Z 1
0
du
Z u
0
√
u · v ·
1
2
√
u
du =
Z 1
0
v2
4
49.
50.
51. u
0
du =
Z 1
0
u2
4
du =
1
12
.
23. Cambiar a coordenadas polares la integral
ZZ
D
f(x, y) dxdy en los siguientes casos:
i) D es el cı́rculo: x2
+ y2
≤ ax, a 0.
ii) D es el recinto del primer cuadrante limitado por las curvas: x+y = 1 y x2
+y2
=
1.
iii) D es el cuadrado [0, 1] × [0, 1].
5
52. iv) D es el recinto del primer cuadrante limitado por la curva (x2
+y2
)2
= a2
(x2
−y2
).
v) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x2
≤ y ≤ x}.
Solución
i) Si escribimos la ecuación de la circunferencia en coordenadas polares (haciendo el cambio
x = u cos v, y = u sen v), obtenemos u2
= au cos v, es decir u = 0 ó u = a cos v.
a
v
u
De la gráfica adjunta deducimos que, en coordenadas polares, la región verifica las condi-
ciones −π/2 ≤ v ≤ π/2, 0 ≤ u ≤ a cos v. Ası́ pues, la integral se escribe (teniendo en cuenta
el jacobiano de la transformación) como:
I =
Z π/2
−π/2
dv
Z a cos v
0
u · f(u cos v, u sen v) du.
ii) La circunferencia x2
+ y2
= 1 se escribe en coordenadas polares como u = 1, mientras
que la recta x + y = 1 tiene por ecuación u =
1
cos v + sen v
. En el primer cuadrante, el
ángulo v está comprendido entre 0 y π/2.
v
u
Con estos datos, la integral se escribe como:
I =
Z π/2
0
dv
Z 1
1
cos v+sen v
u · f(u cos v, u sen v) du.
iii) En este caso debemos dividir la región en dos triángulos: el primero de ellos limitado por
las rectas x = y, x = 1 e y = 0, lo que en coordenadas polares corresponde a 0 ≤ v ≤ π/4,
0 ≤ u ≤ 1/ cos v; el segundo triángulo está limitado por las rectas x = y, y = 1 y x = 0, y
su expresión en coordenadas polares está dada por π/4 ≤ v ≤ π/2, 0 ≤ u ≤ 1/ sen v.
6
53. 1
1
x=1
y=1
v
u
1
1
La integral doble se escribe entonces como:
I =
Z π/4
0
dv
Z 1
cos v
0
u · f(u cos v, u sen v) du +
Z π/2
π/4
dv
Z 1
sen v
0
u · f(u cos v, u sen v) du.
iv) La curva dada es la lemniscata de la figura que, en coordenadas polares, se expresa por
la ecuación u2
= a2
cos 2v.
a
v
u
En el primer cuadrante, la región está comprendida entre los valores 0 ≤ v ≤ π/4, ası́ que
la integral se expresa como:
I =
Z π/4
0
dv
Z a
√
cos 2v
0
u · f(u cos v, u sen v) du.
v) La ecuación de la parábola y = x2
se expresa en coordenadas polares por u sen v =
u2
cos2
v, o bien u = sen v/ cos2
v.
1
u
v
1
La región de integración está comprendida entre los valores v = 0 y v = π/4 (correspon-
diente a la recta y = x). Ası́ pues, la integral se expresa ası́:
I =
Z π/4
0
dv
Z sen v/ cos2
v
0
u · f(u cos v, u sen v) du.
7
54. 24. Sea D el cı́rculo unidad. Expresar
ZZ
D
(1 + x2
+ y2
)3/2
dxdy como una integral sobre
el rectángulo [0, 1] × [0, 2π] y calcularla.
Solución
Si aplicamos el cambio a coordenadas polares, dado por las ecuaciones x = u cos v, y =
u sen v (ver figura), y teniendo en cuenta que el jacobiano de la transformación es J
x, y
u, v
=
u, la integral se puede calcular del modo siguiente:
ZZ
D
(1 + x2
+ y2
)3/2
dxdy =
ZZ
D∗
u · (1 + u2
)3/2
dudv
=
Z 2π
0
dv
Z 1
0
u · (1 + u2
)3/2
du
= π ·
(1 + u2
)5/2
5/2
55.
56.
57. 1
0
=
8π
√
2
5
.
1 u
2 p
v
D*
1 u
2 p
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x = u cos v
y = u sen v
-1 1 x
1
y
D
-1 1 x
1
y
25. Si S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 2, y = x,
y = 4x, probar que
ZZ
S
f(x · y) dxdy = ln 2
Z 2
1
f(u) du.
Solución
La frontera de la región S sugiere realizar el cambio u = y/x, v = yx, cuya inversa es la
transformación T(u, v) = (
p
v/u,
√
uv), la cual tiene como dominio la región S∗
de la figura
adjunta.
8
58. 1 4 u
1
2
v
S*
1 4 u
1
2
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x =
p
v/u
y =
√
uv
x
y
S
x
y
El jacobiano de esta transformación es
J
x, y
u, v
=
66. =
−1
2u
.
Por la fórmula del cambio de variable, la integral dada se puede escribir como:
ZZ
S
f(x · y) dxdy =
Z 4
1
du
Z 2
1
1
2u
· f(v) dv =
1
2
ln u
67.
68.
69. 4
1
Z 2
1
f(v) dv = ln 2
Z 2
1
f(v) dv.
26. Calcular
ZZ
R
p
x2 + y2 dxdy siendo R la región del plano XY limitada por x2
+y2
= 4
y x2
+ y2
= 9.
Solución
La presencia de x2
+y2
sugiere el empleo de coordenadas polares (r, ϑ), con x = r cos ϑ, y =
r sen ϑ. Mediante esta transformación la corona circular R se transforma en el rectángulo
R0
como se indica en la figura.
2 3 u
2 p
v
R’
2 3 u
2 p
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x = u cos v
y = u sen v 2 3 x
y
R
2 3 x
y
Debido a que
∂(x, y)
∂(r, ϑ)
= r, se tiene:
A =
ZZ
R
p
x2 + y2 dxdy =
ZZ
R0
r · r drdϑ =
Z 2π
0
dϑ
Z 3
2
r2
dr
=
Z 2π
0
r3
/3
73. También se podı́an haber obtenido los lı́mites de integración para R0
observando la región
R pues, para ϑ fijo, r varı́a desde r = 2 hasta r = 3 dentro del sector destacado en la figura.
Integrando entonces con respecto a ϑ desde ϑ = 0 hasta ϑ = 2π se obtiene la suma de todos
los sectores citados.
27. Calcular
ZZ
D
x3
p
x2 + y2
dxdy sobre la región D del primer cuadrante limitada por
x2
+ y2
= 9.
Solución
Pasando la integral a coordenadas polares
x = ρ cos ϑ
y = ρ sen ϑ
, como
∂(x, y)
∂(ρ, ϑ)
= ρ, la integral
queda:
ZZ
D
x3
p
x2 + y2
dxdy =
Z 3
0
ρ3
dρ
Z π/2
0
cos3
ϑ dϑ =
2
3
Z 3
0
ρ3
dρ =
27
2
.
28. Calcular las siguientes integrales:
i)
ZZ
π2≤x2+y2≤4π2
sen
p
x2 + y2 dxdy.
ii)
ZZ
D
|xy| dxdy, donde D es un cı́rculo de radio a y con centro en el origen de
coordenadas.
Solución
i) Si escribimos la integral en coordenadas polares, queda de la forma:
I =
Z 2π
0
dv
Z 2π
π
u sen u du = −6π2
.
[Mediante integración por partes se obtiene que
Z
u sen u du = sen u − u cos u.]
ii) Escribimos también la integral en coordenadas polares, y resulta:
I =
Z 2π
0
dv
Z a
0
u|u2
sen v cos v| du =
1
2
Z 2π
0
| sen 2v| dv ·
Z a
0
u3
du =
a4
2
.
29. Transformar la siguiente integral doble a coordenadas polares y resolverla:
Z 2
0
dx
Z x
√
3
x
x dy.
10
74. Solución
Calculemos en primer lugar la imagen de cada uno de los lados del triángulo dado mediante
la transformación x = u cos v, y = u sen v:
y = x, 0 ≤ x ≤ 2 =⇒ sen v = cos v, 0 ≤ u cos v ≤ 2
=⇒ v = π/4, 0 ≤ u ≤ 2
√
2;
y = x
√
3, 0 ≤ x ≤ 2 =⇒ sen v =
√
3 cos v, 0 ≤ u cos v ≤ 2
=⇒ v = π/3, 0 ≤ u ≤ 4;
x = 2, 2 ≤ y ≤ 2
√
3 =⇒ u cos v = 2, 2 ≤ u sen v ≤ 2
√
3
=⇒ u = 2 sec v, π/4 ≤ v ≤ π/3.
La representación gráfica de la transformación anterior es la siguiente:
u
v
D*
u
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
2 x
y
D
2 x
y
La integral propuesta se resuelve entonces como sigue:
I =
Z π/3
π/4
dv
Z 2 sec v
0
u2
cos v du =
Z π/3
π/4
cos v
3
· 8 sec3
v dv =
8
3
tg v
75.
76.
77. π/3
π/4
=
8
3
(
√
3 − 1).
Se deja como ejercicio comprobar que el mismo resultado se obtiene calculando directamente
la integral propuesta.
30. Hallar
ZZ
R
(x2
+y2
) dxdy, donde R es la región del plano XY limitada por las hipérbo-
las x2
− y2
= 1, x2
− y2
= 9, xy = 2, xy = 4 en el primer cuadrante.
Solución
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
1 9 u
4
8
v
R*
1 9 u
4
8
v
x
y
R
11
78. Aplicando la transformación u = x2
− y2
, v = 2xy, la región R del plano XY de la derecha
de la figura se transforma en la región R0
del plano UV representada en la izquierda de la
figura. Vamos a comprobar que dicha transformación es regular.
Debido a que (x2
+ y2
)2
= (x2
− y2
)2
+ (2xy)2
, es decir x2
+ y2
=
√
u2 + v2, y como
x2
− y2
= u, resulta que x2
= u+
√
u2+v2
2 . Al ser x 0, tenemos que x =
q
u+
√
u2+v2
2 .
Análogamente, tenemos también que y =
q√
u2+v2−u
2 , lo que prueba que la transformación
es inyectiva.
Trivialmente, la transformación es de clase C1
y además
JT (u, v) =
102. dudv
=
ZZ
R0
p
u2 + v2
dudv
4
√
u2 + v2
=
1
4
Z 9
1
du
Z 8
4
dv = 8.
Nota. Las coordenadas curvilı́neas (u, v) definidas de la forma anterior son las llamadas
coordenadas hiperbólicas.
31. Calcular I =
ZZ
D
1 −
x2
a2
−
y2
b2
dxdy extendida al dominio D interior a la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Solución
Haremos el cambio de variable
x/a = ρ cos ϑ
y/b = ρ sen ϑ
, con lo que
∂(x, y)
∂(ρ, ϑ)
=
110. = abρ.
En las nuevas coordenadas, la elipse se escribe como ρ = 1. Ası́ pues,
I =
ZZ
D∗
(1 − ρ2
)abρ dρdϑ = ab
Z 1
0
(ρ − ρ3
) dρ
Z 2π
0
dϑ =
πab
2
.
12
111. 32. Hallar N =
Z ∞
0
e−x2
dx.
Solución
Como
Z ∞
0
e−x2
dx =
Z ∞
0
e−y2
dy, entonces
N2
=
Z ∞
0
e−x2
dx ·
Z ∞
0
e−y2
dy =
Z ∞
0
Z ∞
0
e−(x2
+y2
)
dxdy.
Pasando a coordenadas polares, x2
+ y2
= ρ2
, dxdy = ρ dρdϑ, el primer cuadrante (x, y) ∈
(0, ∞) × (0, ∞) se transforma en la región (ρ, ϑ) ∈ (0, ∞) × (0, π/2). La integral queda
entonces:
N2
=
Z π/2
0
dϑ
Z ∞
0
e−ρ2
ρ dρ =
Z π/2
0
lı́m
a→∞
−
1
2
e−ρ2
112.
113.
114. a
0
dϑ =
1
2
Z π/2
0
dϑ =
π
4
.
En definitiva, N =
√
π/2.
33. Hallar el área de la región limitada por:
a) Las curvas y2
= 2px, y2
= 2qx, x2
= 2ry, x2
= 2sy, 0 p q, 0 r s.
b) La curva x2
+ y2
2
= a x3
− 3xy2
, a 0.
c) Las curvas
p
x/a +
p
y/b = 1,
p
x/a +
p
y/b = 2, x/a = y/b, 4x/a = y/b, a, b 0.
Solución
a) La forma de las ecuaciones que limitan la región sugiere realizar el cambio de variables
u =
y2
2x
, v =
x2
2y
. De este modo, la región de integración es ahora D = {(u, v) : p ≤ u ≤
q, r ≤ v ≤ s}. Como
J
u, v
x, y
=
128. =
4
3
. El área buscada viene dada por la fórmula
A =
Z q
p
du
Z s
r
4
3
dv =
4
3
(s − r) · (q − p).
b) Debido a la simetrı́a de la región (ver figura), bastará multiplicar por 6 el área de la
parte comprendida en el primer cuadrante.
13
129. a
En coordenadas polares, la curva dada tiene por ecuación
u = a cos v(cos2
v − 3 sen2
v),
de modo que el área buscada se calcula por la integral doble
A = 6
Z π/6
0
dv
Z a cos v(cos2
v−3 sen2
v)
0
u du
= 3a2
Z π/6
0
cos2
v(cos2
v − 3 sen2
v)2
dv =
a2
π
4
.
c) Realizaremos la transformación de coordenadas siguiente:
u =
p
y/b
p
x/a
, v =
p
x/a +
p
y/b
(dicha transformación es biyectiva porque la región está contenida en el primer cuadrante).
Con esta transformación los nuevos lı́mites de la región son 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2. Como la
inversa de la transformación es x =
av2
(u + 1)2
, y =
bu2
v2
(u + 1)2
, entonces
J
x, y
u, v
=
−4abuv3
(u + 1)4
,
y el área se calcula mediante la integral doble
A =
Z 2
1
du
Z 2
1
4abuv3
(u + 1)4
dv =
65ab
108
.
34. Hallar el área de la región del plano XY encerrada por la lemniscata r2
= a2
cos 2ϑ.
Solución
La curva está dada directamente en coordenadas polares (r, ϑ). Dando diferentes valores a
ϑ y hallando los correspondientes valores de r se obtiene la gráfica de la figura.
14
130. El área buscada (teniendo en cuenta la simetrı́a) se puede calcular ası́:
A = 4
Z π/4
0
dϑ
Z a
√
cos 2ϑ
0
r dr = 4
Z π/4
0
r2
2
136. π/4
0
= a2
.
35. Calcular el área del recinto situado en el primer cuadrante limitado por las curvas
y3
= ax2
, y3
= bx2
(a b 0), xy2
= c, xy2
= d (c d 0).
Solución
Vamos a efectuar un cambio de variable que transforme la región dada en un rectángulo.
Para ello hacemos u = y3
/x2
y v = xy2
.
b a
u
d
c
v
D*
b a
u
d
c
v
T
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
x
y
D
x
y
De este modo,
A =
ZZ
R
159. c
d
= −
7
5
(a−1/7
− b−1/7
) · (c5/7
− d5/7
).
36. Hallar el área de la región exterior a la circunferencia ρ = 2a e interior a la circun-
ferencia ρ = 4a cos ϑ.
Solución
Los puntos de intersección de ambas circunferencias son aquellos en que cos ϑ = 1/2, es
decir ϑ = ±π/3.
a
a
Teniendo en cuenta la simetrı́a de la región, el área viene dada por
A = 2
Z π/3
0
dϑ
Z 4a cos ϑ
2a
ρ dρ =
Z π/3
0
[(4a cos ϑ)2
− (2a)2
] dϑ =
2π + 3
√
3
3
a2
.
37. Hallar el área exterior a la circunferencia ρ = 2 e interior a la cardioide ρ = 2(1 +
cos ϑ).
Solución
Dada la simetrı́a, el área pedida es igual al doble del área barrida al variar ϑ desde ϑ = 0
hasta ϑ = π/2. Ası́ pues,
A = 2
Z π/2
0
dϑ
Z 2(1+cos ϑ)
2
ρ dρ = 2
Z π/2
0
ρ2
2
168. 38. Hallar el área interior a la circunferencia ρ = 4 sen ϑ y exterior a la lemniscata
ρ2
= 8 cos 2ϑ.
Solución
El área pedida es igual al doble de la correspondiente en el primer cuadrante limitada por
las dos curvas y la recta ϑ = π/2.
Los puntos de intersección de ambas curvas se encuentran en la recta ϑ = π/6, que se
obtiene al resolver la ecuación
16 sen2
ϑ = 8 cos 2ϑ.
Observamos que el arco AO de la lemniscata se genera al variar ϑ desde ϑ = π/6 hasta
ϑ = π/4, mientras que el arco AB de la circunferencia lo hace al variar ϑ desde ϑ = π/6
hasta ϑ = π/2. Si descomponemos la figura en dos partes, una por debajo y otra por encima
de la recta ϑ = π/4, el área queda de la forma:
A = 2
Z π/4
π/6
dϑ
Z 4 sen ϑ
2
√
2 cos 2ϑ
ρ dρ + 2
Z π/2
π/4
dϑ
Z 4 sen ϑ
0
ρ dρ
=
Z π/4
π/6
(16 sen2
ϑ − 8 cos 2ϑ) dϑ +
Z π/2
π/4
16 sen2
ϑ dϑ =
8π
3
+ 4
√
3 − 4.
Otro método de resolución consiste en efectuar la diferencia
A = 2
Z π/2
π/6
dϑ
Z 4 sen ϑ
0
ρ dρ −
Z π/4
π/6
dϑ
Z √
8 cos 2ϑ
0
ρ dρ.
39. Hallar el volumen de la región común a los cilindros x2
+ y2
= a2
, x2
+ z2
= a2
.
Solución
En la figura adjunta se muestran los dos cilindros y la parte de la región correspondiente
al primer octante.
17
169. x
y
z
x
y
z
De modo que el volumen será
V = 8
Z a
0
dx
Z √
a2−x2
0
p
a2 − x2 dy = 8
Z a
0
(a2
− x2
) dx =
16a3
3
.
40. Hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x2
+y2
= 4 y los planos y+z = 4,
z = 0.
Solución
La proyección del cilindro sobre el plano z = 0 es la circunferencia x2
+ y2
= 4, de modo
que el volumen viene dado por la fórmula
V =
Z 2
−2
dy
Z √
4−y2
−
√
4−y2
(4 − y) dx.
x
y
z
Nuevamente escribimos la integral en coordenadas polares. Resulta:
V =
Z 2π
0
dv
Z 2
0
u(4 − u sen v) du
=
Z 2π
0
(2u2
−
u3
3
sen v)
173. 41. Calcular el volumen de la sección situada en el primer octante del sólido limitado
por los planos z = 0 y z = x + y + 2 y el cilindro x2
+ y2
= 16.
Solución
La base del sólido es la región R del plano comprendida en el primer cuadrante y limitado
por la circunferencia de ecuación x2
+ y2
= 16. El plano z = x + y + 2 limita dicho sólido
en su parte superior.
x
y
z
Ası́ pues, el volumen vendrá dado por:
V =
ZZ
R
z(x, y) dxdy =
Z 4
0
dx
Z √
16−x2
0
(x + y + 2) dy
=
Z 4
0
(x
p
16 − x2 + 8 −
x2
2
+ 2
p
16 − x2) dx.
Para evitar resolver la integral de la función irracional
√
16 − x2, podemos escribir la integral
doble en coordenadas polares. Ası́,
V =
Z 2π
0
dv
Z 4
0
u(u cos v + u sen v + 2) du
=
Z 2π
0
u3
3
(cos v + sen v) + u2
179. 2π
0
=
128
3
+ 8π.
42. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la esfera x2
+ y2
+ z2
= 5
e inferiormente por el paraboloide x2
+ y2
= 4z.
Solución
Calculamos en primer lugar los puntos de intersección de la esfera con el paraboloide.
Tenemos:
19
180. x2
+ y2
+ z2
= 5
x2
+ y2
= 4z
=⇒
z2
+ 4z − 5 = 0
x2
+ y2
= 4z
=⇒
z = 1
x2
+ y2
= 4
Tenemos pues la situación de la figura adjunta.
x
y
z
El volumen pedido se halla mediante la fórmula
V =
ZZ
D
p
5 − x2 − y2 −
x2
+ y2
4
dxdy,
donde D es el cı́rculo x2
+ y2
4, que se obtiene como proyección del sólido en el plano
XY .
Para resolver la integral, la transformamos a coordenadas polares; en este caso, D = {(ρ, ϑ) :
0 ρ 2, 0 ≤ ϑ 2π}. Entonces:
V =
Z 2π
0
dϑ
Z 2
0
p
5 − ρ2 −
ρ2
4
ρ dρ = 2π
Z 2
0
ρ
p
5 − ρ2 −
ρ3
4
dρ =
2π(5
√
5 − 4)
3
.
43. Hallar el volumen limitado por el paraboloide x2
+ y2
= 4z, el cilindro x2
+ y2
= 8y y
el plano z = 0.
Solución
El volumen pedido se obtiene integrando la función z = (x2
+y2
)/4 en el interior del cı́rculo
x2
+ y2
= 8y.
x
y
z
20
181. En coordenadas cilı́ndricas, x = ρ cos ϑ, y = ρ sen ϑ, z = z, y el volumen se obtiene al
integrar z = ρ2
/4 en el cı́rculo ρ = 8 sen ϑ. Por tanto,
V =
ZZ
R
z dA =
Z π
0
dϑ
Z 8 sen ϑ
0
z(ρ, ϑ)ρ dρ =
1
4
Z π
0
dϑ
Z 8 sen ϑ
0
ρ3
dρ = 96π.
44. Hallar el volumen que se elimina cuando a una esfera de radio 2a se le practica un
orificio circular de radio a de forma que el eje del orificio sea un diámetro de la
esfera.
Solución
En la primera figura se muestra, desplazada verticalmente, la región que se extrae de la
esfera y en la segunda figura la propia región sin la esfera.
x
y
z
x y
z
De la figura se deduce que el volumen pedido es ocho veces el correspondiente al del primer
octante limitado (en coordenadas cilı́ndricas) por el cilindro ρ2
= a2
, la esfera ρ2
+z2
= 4a2
y el plano z = 0. Esto se obtiene integrando z =
p
4a2 − ρ2 en un cuadrante del cı́rculo
ρ = a, es decir:
V = 8
Z π/2
0
dϑ
Z a
0
ρ
p
4a2 − ρ2 dρ =
4
3
(8 − 3
√
3)a3
π.
45. Calcular los volúmenes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:
i) az = a2
− x2
− y2
, z = a − x − y, x = 0, y = 0, z = 0 (a 0).
ii) z = x2
+ y2
, x2
+ y2
= x, x2
+ y2
= 2x, z = 0.
Solución
i) El sólido consiste en la región del primer octante limitada por el paraboloide az =
a2
−x2
−y2
y el plano z = a−x−y. En la figura de la derecha se muestra una vista lateral
del sólido limitado exclusivamente al primer octante.
21
182. a
x
y
z
a
x
y
z
Observemos que la región de integración, el cuadrante del cı́rculo con centro el origen y
radio a, debe dividirse en dos regiones R1 y R2, pues en R1 el sólido está limitado por el
paraboloide y el plano z = a − x − y, y en R2 el sólido está limitado por el paraboloide y
el plano z = 0.
a
a
R1
R2
De este modo, el volumen se expresa por la integral:
V =
ZZ
R1
ha2
− x2
− y2
a
− (a − x − y)
i
dxdy +
ZZ
R2
a2
− x2
− y2
a
dxdy
=
ZZ
R1∪R2
a2
− x2
− y2
a
dxdy −
ZZ
R1
(a − x − y) dxdy.
Para resolver la primera integral hacemos el cambio a coordenadas polares mientras que la
segunda integral la resolvemos directamente (como región de tipo I):
V =
Z π/2
0
dv
Z a
0
u ·
a2
− u2
a
du −
Z a
0
dx
Z a−x
0
(a − x − y) dy =
πa3
8
−
a3
6
.
ii) El sólido es la figura comprendida entre el plano z = 0 y el paraboloide z = x2
+ y2
y
cuya base es región R exterior a la circunferencia x2
+ y2
= x e interior a la circunferencia
x2
+ y2
= 2x.
x
y
z
22
183. De este modo,
V =
ZZ
R
(x2
+ y2
) dxdy,
que escribimos en coordenadas polares para simplificar la región de integración, que se
ilustra en la figura.
1 2
-1
1
1 2
-1
1
Ası́ pues,
V =
Z π/2
−π/2
dv
Z 2 cos v
cos v
u3
du =
1
4
Z π/2
−π/2
15 cos4
v dv =
45π
32
.
23