1. El momento cinético del cilindro respecto a su centro G en cualquier instante es igual al momento inicial, el cual tiene componentes (0, Bω, Cω) en el triádre móvil Gxyz. 2. La reacción del plano produce un momento MG en G que es igual a la derivada del momento cinético, por lo que este se conserva. 3. Para que el cilindro no se levante, la velocidad angular máxima ω debe ser igual a √2g/a.

1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
EXAMEN FINAL DE SEPTIEMBRE (14 de Septiembre de 1995)
Apellidos Nombre N.o
Grupo
Ejercicio 5.o
Tiempo: 45 min.
Un cilindro de secci´on recta circular con radio
a y altura 2a se mueve reposando sobre un pla-
no horizontal liso mediante una generatriz de
contacto. El cilindro posee en el instante inicial
una velocidad angular con componentes iguales
ω sobre su propio eje y sobre un eje vertical.
b
6
-
ω
ωb
a
-
2a
G
1. momento cin´etico respecto del centro G en un instante gen´erico;
2. momento producido en G por la reacci´on del plano sobre el cilindro, supuesto que ambos
permanecen en contacto a lo largo de la generatriz;
3. m´aximo valor que puede tomar ω para que el cilindro se mantenga en contacto sobre
toda la generatriz, sin levantarse por ning´un extremo.
1.- Empleamos un triedro de referencia m´ovil
(Gxyz) estando Gy seg´un el eje del cilindro, Gz
vertical, y Gx horizontal formando un triedro
a derechas con los anteriores. En este triedro la
velocidad angular inicial tiene las componentes
(0, ω, ω).
Sea m la masa del cilindro. El momento cin´eti-
co inicial ser´a (0, Bω, Cω), siendo los momentos
principales de inercia seg´un Gy y Gz respecti-
vamente B = (1/2)ma2
y C = (7/12)ma2
.
b
ω
ωbG
7
Ω
HG
N = mg
P Q
x
z
y
-
6
6
En principio este momento cin´etico podr´ıa variar a lo largo del tiempo, aunque siempre
dentro del plano vertical Gyz puesto que si la velocidad angular tuviera componente x el
cilindro se levantar´ıa del plano por un extremo.
La reacci´on del plano se produce sobre la generatriz de contacto PQ (ver figura) y produce
en el centro G del cilindro un momento MG en direcci´on x. Por la ecuaci´on del momento
cin´etico
MG =
d
dt
HG;
deducimos pues que la derivada de HG es constantemente perpendicular al plano Gyz que lo
contiene; por lo tanto las componentes de HG en este plano m´ovil son constantes, siendo su

2. Por consiguiente en un instante gen´erico el momento cin´etico tiene las mismas componentes
en el triedro m´ovil que inicialmente, siendo
HG = ma2
ω
1
2
j +
7
12
k
2.- Al conservarse las componentes del momento cin´etico en el triedro m´ovil se conservan
tambi´en las de Ω = ωj + ωk. La derivada de HG equivale como se ha dicho a una rotaci´on
ωk por lo que
MG = ωk ∧ HG = −
ma2
2
ω2
i
3.- Si el momento de la reacci´on es suficientemente elevado puede llegar a volcar el cilindro,
levant´andose sobre el plano. Podemos interpretar que la resultante de las reacciones es una
fuerza vertical N = mg situada en un punto de la generatriz PQ con coordenada y, de forma
que el momento resultante en G sea
MG = (yj) ∧ (mgk) = mgyi
comparando las dos expresiones obtenidas para MG se obtiene
y =
−
ma2
2
ω2
mg
= −
a2
2
ω2
g
El signo negativo indica que la reacci´on N est´a desplazada del centro de la generatriz de
contacto hacia el punto P. En el l´ımite de vuelco, la reacci´on estar´a situada en el extremo P
(y = −a) por lo que la velocidad m´axima pedida es
−a = −
a2
2
ω2
g
⇒ ω =
2g
a