Este documento presenta el análisis de un sistema mecánico formado por varillas articuladas con masas. Se obtienen expresiones para la energía cinética y potencial del sistema en términos de los grados de libertad. Para pequeñas oscilaciones, se calculan las matrices de masa y rigidez, así como las frecuencias y modos propios de vibración. Finalmente, se expresa la relación entre las coordenadas geométricas y normales a través de la matriz modal.

1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
EXAMEN PARCIAL (10 de junio del 2006)
Apellidos Nombre N.o Grupo
Ejercicio 3.o (puntuaci´on: 10/30) Tiempo: 60 min.
a, 3m a, 3m
2a, 2m
2a 2a
m
m
Se considera el sistema de la figura, for-
mado por dos varillas iguales de longitud a
y masa 3m articuladas en sendos puntos fi-
jos, a la misma altura y distantes 2a, junto
con una tercera varilla de masa 2m y longi-
tud 2a articulada en los extremos libres. A su
vez de estos extremos cuelgan sendos p´endu-
los simples de longitud 2a y masa puntual m.
El movimiento del conjunto se desarrolla en
un plano vertical. Se pide:
1. Obtener las expresiones de la energ´ıa ci-
n´etica y potencial en funci´on de los gra-
dos de libertad y sus derivadas.
2. Para el caso de peque˜nas oscilaciones al-
rededor de la posici´on de equilibrio esta-
ble, calcular a partir de las expresiones
anteriores las matrices de masa y rigidez correspondientes.
3. Calcular las frecuencias propias y los modos normales de vibraci´on asociados. Expresar
la matriz modal que relaciona las coordenadas normales con las geom´etricas.
θ θ
α β
1.— El sistema tiene tres grados de libertad, para los
que emplearemos las coordenadas libres {θ, α, β} defini-
das en la figura adjunta. La expresi´on de la energ´ıa cin´e-
tica se desarrolla como
T = 2
1
2
1
3
3ma2 ˙θ2
+
1
2
2m(a ˙θ)2
+
1
2
m 4a2
˙α2
+ a2 ˙θ2
+ 4a2 ˙θ ˙α cos(α − θ)
+
1
2
m 4a2 ˙β2
+ a2 ˙θ2
+ 4a2 ˙θ ˙β cos(β − θ) ,
resultando
T = ma2
3 ˙θ2
+ 2 ˙α2
+ 2 ˙β2
+ 2 ˙θ ˙α cos(α − θ)
+2 ˙θ ˙β cos(β − θ) . (1)
La expresi´on del potencial resulta
V = −mga (7 cos θ + 2 cos α + 2 cos β) . (2)
734exam.tex

2. 2.— Es obvio que la posici´on de equilibrio estable es la inferior, (θ, α, β) = (0, 0, 0). Las
matrices pedidas pueden obtenerse derivando las expresiones de T y V en dicha posici´on:
[M] =
∂2
T
∂ ˙qi∂ ˙qj q=0
= ma2


6 2 2
2 4 0
2 0 4

 (3)
[K] =
∂2
V
∂qi∂qj q=0
= mga


7 0 0
0 2 0
0 0 2

 (4)
3.— Para obtener las frecuencias propias desarrollamos la ecuaci´on caracter´ıstica:
0 = det([K − ω2
[M]) = (ma2
)3
2
g
a
− 4ω2
7
g
a
− 6ω2
2
g
a
− 4ω2
− 2(2ω2
)2
, (5)
cuyas soluciones resultan
ω1 =
1
√
2
g
a
; ω2,3 =
1
2
g
a
5 ±
√
11 . (6)
Sustituyendo cada una de estas frecuencias en la matriz caracter´ıstica se obtienen los vectores
propios asociados o modos normales de vibraci´on:
{a1} =



0
1
−1



; {a2} =



−2
7
(
√
11 + 2)
1
1



; {a3} =



2
7
(
√
11 − 2)
1
1



. (7)
{a1} {a2} {a3}
La relaci´on entre las coordenadas geom´etricas y las coordenadas normales queda definida
por la matriz modal, cuyas filas son los modos normales de vibraci´on:
{q(t)} = u1(t){a1} + u2(t){a2} + u3(t){a3}
[A] =


0 1 −1
−2
7
(2 +
√
11) 1 1
−2
7
(2 −
√
11) 1 1

 ; {q} = [A]T
{u} . (8)
2