El documento describe tres métodos para encontrar las raíces de ecuaciones no lineales: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección itera buscando una raíz en mitades sucesivas de un intervalo inicial. El método de la secante calcula aproximaciones usando la intersección de la secante entre dos puntos. El método de Newton-Raphson usa la tangente en cada punto para encontrar la siguiente aproximación. Se proveen ejemplos para ilustrar cada método.
El documento describe varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método de bisección, la regla falsa modificada, el punto fijo, Newton-Raphson, la secante, Horner y Bairstow. Estos métodos iterativos utilizan diferentes fórmulas y aproximaciones para encontrar raíces de funciones de manera numérica.
Este documento presenta un resumen de diferentes métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones, incluyendo el método de la bisección, la interpolación lineal, el método de la secante, y el método de Newton-Raphson. Explica cada método con ejemplos numéricos y discute sus ventajas y desventajas. El objetivo es reforzar habilidades en métodos numéricos y mostrar ejercicios resueltos de análisis numérico utilizando estos enfoques.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, interpolación y aproximación polinomial, e integración y diferenciación numérica. Describe métodos como punto fijo, Newton-Raphson, Broyden, Lagrange, diferencias finitas y reglas de Simpson para estas aplicaciones. El objetivo es aplicar estas técnicas numéricas mediante algoritmos computacionales para aproximar derivadas, integrales, soluciones de ecuaciones no lineales y funciones.
Este documento presenta varios métodos numéricos para aproximar raíces de ecuaciones, incluyendo el método de bisección, interpolación lineal, método de la secante y método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo se aplican los métodos para aproximar raíces de funciones específicas.
Este documento resume los principales métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales. Explica brevemente el método de la bisección, la interpolación lineal, Newton-Raphson, punto fijo, Bairstow y división sintética. Incluye ejemplos para ilustrar cada método y destaca que Newton-Raphson converge más rápido pero requiere calcular derivadas, mientras que la bisección es más lento pero no necesita derivadas.
Exposicion de meodos numericos - UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES COMALCALCOEden Cano
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver ecuaciones, incluyendo métodos de intervalos, bisección, aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson y secante. Explica que los métodos de intervalos utilizan el cambio de signo de una función para ubicar raíces dentro de un intervalo. El método de bisección reduce el intervalo a la mitad en cada iteración hasta converger. El método de aproximaciones sucesivas itera sustituyendo aproximaciones en la ecuación hasta que la solución converge. Newton-Raphson y secante usan
El documento presenta una introducción a diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones, interpolación y aproximación polinomial, y derivación e integración numérica. Incluye definiciones de métodos como punto fijo, Newton, interpolación polinomial, derivación numérica, integración numérica y resuelve ejemplos utilizando estos métodos.
Este documento presenta tres métodos numéricos para encontrar las raíces de una función: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en el que ocurre un cambio de signo en la función para aproximar una raíz. El método de la secante utiliza la pendiente de la línea que une dos puntos para encontrar una aproximación. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones restando la función dividida por su derivada de la apro
El documento describe varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método de bisección, la regla falsa modificada, el punto fijo, Newton-Raphson, la secante, Horner y Bairstow. Estos métodos iterativos utilizan diferentes fórmulas y aproximaciones para encontrar raíces de funciones de manera numérica.
Este documento presenta un resumen de diferentes métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones, incluyendo el método de la bisección, la interpolación lineal, el método de la secante, y el método de Newton-Raphson. Explica cada método con ejemplos numéricos y discute sus ventajas y desventajas. El objetivo es reforzar habilidades en métodos numéricos y mostrar ejercicios resueltos de análisis numérico utilizando estos enfoques.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, interpolación y aproximación polinomial, e integración y diferenciación numérica. Describe métodos como punto fijo, Newton-Raphson, Broyden, Lagrange, diferencias finitas y reglas de Simpson para estas aplicaciones. El objetivo es aplicar estas técnicas numéricas mediante algoritmos computacionales para aproximar derivadas, integrales, soluciones de ecuaciones no lineales y funciones.
Este documento presenta varios métodos numéricos para aproximar raíces de ecuaciones, incluyendo el método de bisección, interpolación lineal, método de la secante y método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo se aplican los métodos para aproximar raíces de funciones específicas.
Este documento resume los principales métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales. Explica brevemente el método de la bisección, la interpolación lineal, Newton-Raphson, punto fijo, Bairstow y división sintética. Incluye ejemplos para ilustrar cada método y destaca que Newton-Raphson converge más rápido pero requiere calcular derivadas, mientras que la bisección es más lento pero no necesita derivadas.
Exposicion de meodos numericos - UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES COMALCALCOEden Cano
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver ecuaciones, incluyendo métodos de intervalos, bisección, aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson y secante. Explica que los métodos de intervalos utilizan el cambio de signo de una función para ubicar raíces dentro de un intervalo. El método de bisección reduce el intervalo a la mitad en cada iteración hasta converger. El método de aproximaciones sucesivas itera sustituyendo aproximaciones en la ecuación hasta que la solución converge. Newton-Raphson y secante usan
El documento presenta una introducción a diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones, interpolación y aproximación polinomial, y derivación e integración numérica. Incluye definiciones de métodos como punto fijo, Newton, interpolación polinomial, derivación numérica, integración numérica y resuelve ejemplos utilizando estos métodos.
Este documento presenta tres métodos numéricos para encontrar las raíces de una función: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en el que ocurre un cambio de signo en la función para aproximar una raíz. El método de la secante utiliza la pendiente de la línea que une dos puntos para encontrar una aproximación. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones restando la función dividida por su derivada de la apro
El documento presenta una introducción a diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones, interpolación y aproximación polinomial, y derivación e integración numérica. Se describen métodos como punto fijo, Newton, interpolación de Lagrange y diferencias divididas, reglas de integración numérica, y se proveen ejemplos para ilustrar los métodos de punto fijo, Newton-Raphson y Newton Modificado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
Este documento describe dos tipos de métodos numéricos: métodos iterativos y métodos directos. Los métodos iterativos producen aproximaciones sucesivas a la solución mediante el uso de fórmulas iterativas. Se discuten conceptos como la convergencia, el error de truncamiento y criterios para finalizar el proceso iterativo. Los métodos iterativos son auto-correctivos y convergen hacia la solución de forma gradual a través de múltiples iteraciones.
El documento describe el método de Newton-Raphson para encontrar raíces de funciones. Comienza con la historia del método y cómo fue descrito originalmente por Isaac Newton. Luego explica cómo funciona el algoritmo iterativo, obteniendo aproximaciones sucesivas más cercanas a la raíz a través de la tangente en cada punto. Finalmente, discute la convergencia cuadrática del método y cómo estimar el error de las aproximaciones.
Este documento resume varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método gráfico, bisección, regla falsa, Newton-Raphson y secante. Explica cómo cada método usa iteraciones para encontrar una aproximación a la raíz de una función mediante el cálculo de puntos medios, rectas o tangentes. También incluye ejemplos y un programa de MATLAB.
Este documento describe varios métodos numéricos para calcular integrales definidas y derivadas de funciones. Presenta el Método de los Trapecios, Método de Simpson, Método de Simpson 3/8 y Fórmulas de Newton-Cotes para aproximar integrales. También explica cómo usar diferencias finitas para aproximar derivadas evaluando una función en puntos discretos.
Este documento presenta los métodos de iteración del punto fijo y bisección para aproximar las raíces de ecuaciones. Explica que el método de iteración del punto fijo converge si la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de bisección involucra dividir repetidamente un intervalo que contiene una raíz hasta que el error deseado se alcanza. Luego, proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de ambos métodos. Finalmente, formula preguntas sobre los detalles de los ejemplos.
Este documento describe tres métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o valores intermedios de funciones: el método de bisección, la interpolación lineal y el método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método, sus ventajas e inconvenientes, y provee ejemplos numéricos para ilustrar su aplicación.
Este documento presenta una explicación del método de bisección para encontrar raíces de funciones. El método de bisección itera dividiendo el intervalo en el que ocurre un cambio de signo de la función a la mitad, hasta alcanzar la precisión deseada. También se explican métodos de interpolación lineal para aproximar valores desconocidos entre dos puntos dados, y el método de Newton-Raphson para encontrar raíces iterativamente mejorando una aproximación inicial.
El documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas e integrales de funciones. Explica la diferenciación e integración numérica, incluyendo las fórmulas de diferencias finitas, la regla del trapecio, los métodos de Simpson y Romberg, así como las fórmulas de cuadratura de Gauss. El objetivo es poder calcular derivadas e integrales cuando solo se conocen valores discretos de una función.
El documento describe el método de Newton para resolver ecuaciones no lineales numéricamente. Explica brevemente la historia del método, cómo lo describió originalmente Isaac Newton, y cómo se deriva el algoritmo geométricamente. También cubre otros métodos como el método de la bisección e interpolación lineal.
Diferenciación e Integración Numérica
- Nociones preliminares.
- Primeras derivadas de los polinomios interpolantes.
- Extrapolación de Richardson.
- Fórmulas de integración de Newton-Cotes.
- Regla del trapecio.
- Integración de Romberg.
- Regla de Simpson 1/3 y 3/8.Fórmulas de la cuadratura Gaussiana.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección involucra dividir repetidamente el intervalo que contiene la raíz buscada hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones trazando la tangente a la función en cada punto e intersectándola con el eje x. El documento explica cada método con detalle y provee ejemplos numéricos de su aplicación.
El documento presenta los métodos de Newton-Raphson y de la secante para determinar raíces de polinomios. Explica que el método de Newton-Raphson utiliza rectas tangentes evaluadas analíticamente para encontrar una raíz cercana a una estimación inicial, mientras que el método de la secante aproxima la derivada usando dos valores iterativos consecutivos para ser más eficiente. Finalmente, da ejemplos numéricos de la aplicación de ambos métodos.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método de bisección, método de Newton-Raphson, método de la secante, método de falsa posición, método de punto fijo y método de Brent. Explica los principios, algoritmos e implementación de cada método, así como sus ventajas e inconvenientes. El objetivo es proporcionar una introducción a estos métodos para aproximar las raíces de ecuaciones no lineales.
Este documento resume tres métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente un intervalo en dos hasta aproximar una raíz. El método de la secante usa las secantes de puntos sucesivos para encontrar una nueva aproximación. El método de Newton-Raphson calcula la tangente en un punto para encontrar una mejor aproximación, requiriendo el cálculo de la derivada.
Este documento resume varios métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de la bisección, Newton-Raphson, puntos fijos y Newton-Raphson generalizado. Explica cada método con detalle y provee ejemplos de problemas resueltos usando los diferentes métodos. También incluye secciones de ejercicios y aplicaciones de los métodos tratados.
Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé
El documento presenta una introducción a diferentes métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones, interpolación y aproximación polinomial, y derivación e integración numérica. Se describen métodos como punto fijo, Newton, interpolación de Lagrange y diferencias divididas, reglas de integración numérica, y se proveen ejemplos para ilustrar los métodos de punto fijo, Newton-Raphson y Newton Modificado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
Este documento describe dos tipos de métodos numéricos: métodos iterativos y métodos directos. Los métodos iterativos producen aproximaciones sucesivas a la solución mediante el uso de fórmulas iterativas. Se discuten conceptos como la convergencia, el error de truncamiento y criterios para finalizar el proceso iterativo. Los métodos iterativos son auto-correctivos y convergen hacia la solución de forma gradual a través de múltiples iteraciones.
El documento describe el método de Newton-Raphson para encontrar raíces de funciones. Comienza con la historia del método y cómo fue descrito originalmente por Isaac Newton. Luego explica cómo funciona el algoritmo iterativo, obteniendo aproximaciones sucesivas más cercanas a la raíz a través de la tangente en cada punto. Finalmente, discute la convergencia cuadrática del método y cómo estimar el error de las aproximaciones.
Este documento resume varios métodos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método gráfico, bisección, regla falsa, Newton-Raphson y secante. Explica cómo cada método usa iteraciones para encontrar una aproximación a la raíz de una función mediante el cálculo de puntos medios, rectas o tangentes. También incluye ejemplos y un programa de MATLAB.
Este documento describe varios métodos numéricos para calcular integrales definidas y derivadas de funciones. Presenta el Método de los Trapecios, Método de Simpson, Método de Simpson 3/8 y Fórmulas de Newton-Cotes para aproximar integrales. También explica cómo usar diferencias finitas para aproximar derivadas evaluando una función en puntos discretos.
Este documento presenta los métodos de iteración del punto fijo y bisección para aproximar las raíces de ecuaciones. Explica que el método de iteración del punto fijo converge si la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de bisección involucra dividir repetidamente un intervalo que contiene una raíz hasta que el error deseado se alcanza. Luego, proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de ambos métodos. Finalmente, formula preguntas sobre los detalles de los ejemplos.
Este documento describe tres métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o valores intermedios de funciones: el método de bisección, la interpolación lineal y el método de Newton-Raphson. Explica los pasos de cada método, sus ventajas e inconvenientes, y provee ejemplos numéricos para ilustrar su aplicación.
Este documento presenta una explicación del método de bisección para encontrar raíces de funciones. El método de bisección itera dividiendo el intervalo en el que ocurre un cambio de signo de la función a la mitad, hasta alcanzar la precisión deseada. También se explican métodos de interpolación lineal para aproximar valores desconocidos entre dos puntos dados, y el método de Newton-Raphson para encontrar raíces iterativamente mejorando una aproximación inicial.
El documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas e integrales de funciones. Explica la diferenciación e integración numérica, incluyendo las fórmulas de diferencias finitas, la regla del trapecio, los métodos de Simpson y Romberg, así como las fórmulas de cuadratura de Gauss. El objetivo es poder calcular derivadas e integrales cuando solo se conocen valores discretos de una función.
El documento describe el método de Newton para resolver ecuaciones no lineales numéricamente. Explica brevemente la historia del método, cómo lo describió originalmente Isaac Newton, y cómo se deriva el algoritmo geométricamente. También cubre otros métodos como el método de la bisección e interpolación lineal.
Diferenciación e Integración Numérica
- Nociones preliminares.
- Primeras derivadas de los polinomios interpolantes.
- Extrapolación de Richardson.
- Fórmulas de integración de Newton-Cotes.
- Regla del trapecio.
- Integración de Romberg.
- Regla de Simpson 1/3 y 3/8.Fórmulas de la cuadratura Gaussiana.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección involucra dividir repetidamente el intervalo que contiene la raíz buscada hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones trazando la tangente a la función en cada punto e intersectándola con el eje x. El documento explica cada método con detalle y provee ejemplos numéricos de su aplicación.
El documento presenta los métodos de Newton-Raphson y de la secante para determinar raíces de polinomios. Explica que el método de Newton-Raphson utiliza rectas tangentes evaluadas analíticamente para encontrar una raíz cercana a una estimación inicial, mientras que el método de la secante aproxima la derivada usando dos valores iterativos consecutivos para ser más eficiente. Finalmente, da ejemplos numéricos de la aplicación de ambos métodos.
Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método de bisección, método de Newton-Raphson, método de la secante, método de falsa posición, método de punto fijo y método de Brent. Explica los principios, algoritmos e implementación de cada método, así como sus ventajas e inconvenientes. El objetivo es proporcionar una introducción a estos métodos para aproximar las raíces de ecuaciones no lineales.
Este documento resume tres métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección, el método de la secante y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente un intervalo en dos hasta aproximar una raíz. El método de la secante usa las secantes de puntos sucesivos para encontrar una nueva aproximación. El método de Newton-Raphson calcula la tangente en un punto para encontrar una mejor aproximación, requiriendo el cálculo de la derivada.
Este documento resume varios métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones no lineales, incluyendo el método de la bisección, Newton-Raphson, puntos fijos y Newton-Raphson generalizado. Explica cada método con detalle y provee ejemplos de problemas resueltos usando los diferentes métodos. También incluye secciones de ejercicios y aplicaciones de los métodos tratados.
Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé
Similar a 8. Raices de ecuaciones no lineales (Una variable).pptx (20)
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Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorGerardoBracho3
Las aletas de transferencia de calor, también conocidas como superficies extendidas, son prolongaciones metálicas que se adhieren a una superficie sólida para aumentar su área superficial y, en consecuencia, mejorar la tasa de transferencia de calor entre la superficie y el fluido circundante.
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
2. Los métodos que se van a tratar para la solución de ecuaciones en
una variable son: Método de Bisección, Método de la Secante y
Método de Newton Raphson.
Método de Bisección:
Sea f(x) continua en [a, b] y f (a) y f (b) de signos distintos. Entonces,
por el teorema del valor medio, existe a < p < b tal que f(p) = 0.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
3. Método de Bisección:
El Método de la Bisección procede buscando una raíz propuesta en
la mitad del intervalo (a, b). Y repitiendo iterativamente este
procedimiento.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
4. Método de Bisección:
Partimos de un intervalo [xleft, xright] donde f cambia de signo.
Elegimos la tolerancia xtol para el valor de x.
En cada iteración:
o Evaluamos f en xmed = (xleft + xright)/2.
o Nos quedamos con un nuevo intervalo donde hay un cambio de
signo y de longitud, la mitad que el anterior.
o Terminamos cuando el intervalo obtenido tenga longitud menor
que xtol.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
5. Método de Bisección:
Hay distintas maneras de detener el proceso iterativo:
1) |pi − pi−1| ≤ Tol1
2) |pi − pi−1| / |pi| ≤ Tol2
3) |f(pi)| ≤ Tol3
El primer criterio considera el valor absoluto de la diferencia entre dos
iteraciones. Y el segundo su valor relativo. En este último caso la
tolerancia Tol2 es independiente de las unidades y significado físico
de las variables. En cualquiera de estos casos puede ser que la
diferencia sea pequeña pero aún se esté lejos de la solución. El
tercer criterio examina el error en f(p). También, dependiendo de la
función, puede ser que este error sea pequeño, pero aún no se haya
llegado a la solución buscada.
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
6. Ejemplo Método de Bisección:
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
7. Ejemplo Método de Bisección:
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
8. Ejemplo Método de Bisección:
Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
9. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de la Secante:
Se trata de un método iterativo en el que, en cada paso, se calcula una
aproximación de la solución en lugar de un intervalo que la contiene.
Se parte de x0 = a y x1 = b y se calcula, iterativamente para cada n ≥ 1, la
intersección de la secante que une los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)) con el
eje de abscisa, obteniéndose la abscisa
10. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de la Secante:
Algoritmo del método de la Secante.
11. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de la Secante:
Algoritmo del método de la Secante.
12. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de la Secante:
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de:
𝒇(𝒙) = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒙) − 𝟐𝒙 + 𝟏
Comenzando con 𝒙𝒐 = 𝟎 y 𝒙𝟏 = 𝟏 hasta que: ∈|𝒂| < 𝟏%
Solución: En este método se utilizan dos puntos como valores
aproximados y se usa la fórmula:
Ahora tenemos que:
𝑓(𝑥𝑜) = arctan(0) − 2.0 + 1 = 1
𝑓(𝑥1) = arctan(1) − 2.1 + 1 = −0,2146018366
14. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de la Secante:
∈𝑎= |(0,8523302797 − 0,8233150732) / 0,8523302797|.100 = 𝟑,𝟒𝟎
𝟒%
Tercera iteración (𝒊 = 𝟑):
𝒙𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟑𝟏𝟔𝟗𝟏𝟐𝟎𝟖
∈𝑎 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟖%
En esta tercera iteración se cumple que: ∈𝑎 < 1%
Entonces, una aproximación de la raíz de 𝑓(𝑥) = arctan(𝑥) − 2𝑥 + 1,
𝒙𝟒 = 𝟎, 𝟖𝟓𝟑𝟏𝟔𝟗𝟏𝟐𝟎𝟖
15. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de Newton Raphson:
Se trata de llevar el límite el método de la secante y, por tanto, en cada
iteración n, considerar la recta tangente a f(x) en (xn, f(xn)) y tomar como
siguiente aproximación xn+1 la intersección de dicha tangente con el eje de
abscisas.
El método de Newton busca raíces de f(x), iterando:
16. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de Newton Raphson:
Algoritmo del método de Newton Raphson:
17. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Método de Newton Raphson:
Hay distintas maneras de detener el proceso iterativo:
1) |pn − pn−1| ≤ Tol1
2) |pn−pn−1| / |pn| ≤ Tol2
3) |f(pn)| ≤ Tol3
La tolerancia Tol1 es en valor absoluto, mientras que la tolerancia Tol2 es
independiente de las unidades y significado físico de las variables. Según la
función puede ser que algún criterio sea mejor que los otros.
18. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
Mediante el método de Newton, encuentre (10)1/2 con una precisión de
cuatro cifras decimales.
Solución: En este caso puede utilizarse la identidad: 101/2 = 10
Ahora procedemos a plantear esta situación en forma de función, es decir,
determinar el valor de 10 es equivalente a encontrar la raíz de la función
cuadrática:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10
La raíz de una función implica que: 𝑓(𝑥) = 0, por lo tanto, nuestro problema
queda así:
0 = 𝑥2 − 10
𝑥2 = 10
19. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
De donde:
𝑥 = 𝟏𝟎
Ahora bien, la fórmula para utilizar el método de Newton es:
Determinamos la derivada de la función y resulta:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
Sustituimos en la fórmula:
𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙𝒏 −
𝒙𝒏
𝟐 −10
𝟐𝒙𝒏
Para tomar el primer punto, vemos que: 𝟑𝟐
= 9 y 𝟒𝟐
= 16 por lo cual se
observa que: 𝟑 < 𝟏𝟎 < 4, de donde se tiene que: 𝟏𝟎 ∈ [3, 4].
20. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
Por otra parte, también vemos que:
𝑓(3) = 32 − 10 = −1 < 0
𝑓(4) = 42 − 10 = 6 > 0
Como 𝑓(𝑥) es continua en todo su dominio, entonces el teorema del valor
medio afirma que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10, tiene por lo menos una raíz en el intervalo
[3, 4]. Entonces, podemos tomar como primer valor aproximado a 𝑥1 = 3 y
sustituimos en la fórmula del método de Newton:
Si 𝒏 = 𝟏:
𝑥2 = 𝑥1 − 𝑓(𝑥1) /𝑓′(𝑥1)
𝑥2 = 3 − (32 − 10) / 2(3) = 3 − (−1) / 6 = 3 + 1 / 6 = 19 / 6
𝒙𝟐 = 𝟏𝟗 / 𝟔 ≈ 𝟑,𝟏𝟔𝟔𝟕
21. Raíces de Ecuaciones No
Líneales (Una variable)
Ejemplo Método de Newton Raphson:
Si 𝒏 = 𝟐:
𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2) / 𝑓′(𝑥2)
𝑥3 = 19/6 − [(19/6)2 − 10]/[2(19/6)] = 19/6 − (361/36 − 10)/(19/3) =
𝑥3 = 19/6 − (1/36)/(19/3) = 19/6 − 1/228
𝒙𝟑 = 𝟕𝟐𝟏 / 𝟐𝟐𝟖 ≈ 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟐𝟖
Si 𝒏 = 𝟑:
𝑥4 = 𝑥3 − 𝑓(𝑥3) / 𝑓′(𝑥3)
𝑥4 = 721/228 − [(721/228)2 − 10]/[2(721/228)] = 721/228 − (1/51984)/(120/19)
𝑥4 = 721/228 − 1/328320
𝒙𝟒 = 𝟏𝟎𝟑𝟖𝟐𝟑𝟗 / 𝟑𝟐𝟖𝟑𝟐𝟎 ≈ 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟐𝟕𝟕𝟔𝟓𝟓9
Finalmente, una aproximación del valor de (10)1/2 con una precisión de
cuatro cifras decimales es: (𝟏𝟎)𝟏/𝟐 = 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟐