Diferenciación e Integración Numérica - Nociones preliminares. - Primeras derivadas de los polinomios interpolantes. - Extrapolación de Richardson. - Fórmulas de integración de Newton-Cotes. - Regla del trapecio. - Integración de Romberg. - Regla de Simpson 1/3 y 3/8.Fórmulas de la cuadratura Gaussiana.

1. Jorge Baptista
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EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-
1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más
rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados
de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión
en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de
Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración:
el método de Romberg.
Formulas
𝐷 ≅
4
3
𝐷 (ℎ2) −
1
3
𝐷(ℎ1)… . 𝑒𝑐𝑢. 1
𝐷(ℎ1) ≅
𝑓( 𝑥𝑖 + 2) − 𝑓(𝑥𝑖 − 2)
2ℎ1
… . 𝑒𝑐𝑢. 2
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo
de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio,en las cuales se evalúa la función
en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más
intervalos se divida la función más preciso será el resultado.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente
separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros
métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
𝑓( 𝑥𝑖) = 𝑎 + 𝑖 ∗ ℎ
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 n 𝑒𝑙𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜

2. Regla del trapecio
La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de
un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se
evaluara la función.
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
ℎ
2
(𝑓0 + 𝑓1)
𝑏
𝑎
Para el error
(𝑏 − 𝑎)3
12
𝑓2 ( 𝜀)…. . 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜀 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑦 𝑏
MÉTODO DE ROMBERG
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos
son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio.El método
de Romberg evalúa el integrando en puntos equi espaciados del intervalo de integración
estudiado. Para que este método funcione,el integrando debe ser suficientemente derivable
en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenosincluso para integradospoco
derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equi espaciados, en ese
caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son
más adecuados.

3. Regla de Simpson
La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de
una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a
través de un polinomio de segundo grado.
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
ℎ
3
(𝑓0 + 𝑓1 + 𝑓2)
𝑏
𝑎
Para el error
(𝑏 − 𝑎)
5
2880
𝑓
4
( 𝜀)
Regla de Simpson 3/8
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
3ℎ
8
(𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 𝑓3)
𝑏
𝑎
3(𝑏 − 𝑎)
5
80
𝑓
4
( 𝜀)
FORMULAS A LA CUADRATURA DE GAUSSIANA
En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida
de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos
de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida
para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y
los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada
por:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ∑ 𝜔𝑖 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
1
−1
Tal cuadratura dara resultados precisos solo su es aproximados por un polinomio dentro del
rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como, 𝑓( 𝑥) = 𝑊( 𝑥) 𝑔(𝑥) donde 𝑔(𝑥) es un valor
aproximado y 𝑊( 𝑥) es conocido.
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑊( 𝑥) 𝑔( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈
1
−1
∑ 𝜔𝑖 𝑔(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
1
−1

4. Polinomio de Interpolación Newton
Supongamos que queremos encontrar los coeficientes [ak] de todos los polinomios
P1(x),P2(x),...,PN(x) que nos sirven para interpolar una función dada f(x). Entonces cada Pk(x)
es el polinomio de Newton que tiene como nodos x0,x1,...,xk. Para el polinomio P1(x), los
coeficientes a0 y a1 tienen un significado familiar:
𝑓( 𝑥𝑜) = 𝑝1( 𝑥0) = 𝑎0+ 𝑎1( 𝑥0− 𝑥0) = 𝑎0
𝑎0 = 𝑓(𝑥0)
𝑓( 𝑥1) = 𝑝1( 𝑥1) = 0 + 𝑎1( 𝑥1− 𝑥0) = 𝑓(𝑥0ç9 + 𝑎1(𝑥1− 𝑥0)
𝑎1 =
𝑓( 𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Polinomio de interpolación de LaGrange
Se desea interpolar f(x)=Tan(x) en los puntos:
x0=-1.5 f(x0)=-14.1014
x1=-1.5 f(x1)=-0.931596
x2=-1.5 f(x2)=0
x3=-1.5 f(x3)=0.931596
x4=-1.5 f(x4)=14.1014
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la
máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
La base polinómica es
Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y
los valores de las abscisas.