El documento describe el método de Newton-Raphson para encontrar raíces de funciones. Comienza con la historia del método y cómo fue descrito originalmente por Isaac Newton. Luego explica cómo funciona el algoritmo iterativo, obteniendo aproximaciones sucesivas más cercanas a la raíz a través de la tangente en cada punto. Finalmente, discute la convergencia cuadrática del método y cómo estimar el error de las aproximaciones.

1. Historia [editar]
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum
infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum
infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson).
Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba:
Newton aplica el método solo a polinomios. Él no computa las aproximaciones sucesivas xn, sino que
computa una secuencia de polinomios y recién al final llega a la aproximación de la raíz x. Finalmente,
Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. Isaac Newton
probablemente deriva su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La
esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.
Descripción del método [editar]
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero
(denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se
iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una
aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.
Supóngase f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor
inicial x0 y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f.
Obtención del Algoritmo [editar]
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-
Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico
del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a
una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues,
si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el
nuevo punto de iteración se tomará como la abcisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente
con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que
contiene al punto (x0, f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La
nueva aproximación a la raíz, x1, se logra la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas.
Matemáticamente:

2. Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la
tangente está en rojo). Vemos que xn + 1 es una aproximación mejor que xn para la raíz x de la función f.
En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn para
el cero (x) de la función f.
Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un
entorno del punto xn:
Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en xn + 1:
Si además se acepta que xn + 1 tiende a la raíz, se ha de cumplir que f(xn + 1) = 0, luego, sustituyendo en la
expresión anterior, obtenemos el algoritmo.
Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de
iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x) = 0, se puede considerar el siguiente método de iteración
de punto fijo:
Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:
Entonces:
Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:
Por tanto, imponiendo subíndices:
Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson
Convergencia del Método [editar]
El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de
multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple, ...), el método de Newton-Raphson pierde su
convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la
multiplicidad de la raíz.
Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la
convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el

3. método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo
a:
Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es
posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x),
resultando:
Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es
fácilmente derivable.
Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar
el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática.
Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.
Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está
garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o
de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el
método converja y cumpla el teorema de convergencia local.
Estimación del Error [editar]
Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si α es raíz, entonces:
para una cierta constante C. Esto significa que si en algun momento el error es menor o igual a 0,1, a cada
nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. A la práctica se hace servir
una estimación aproximada del error:
Error relativo entre dos aproximaciones succesivas:
Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se para el proceso
iterativo cuando este error relativo aproximadamente es menor que una cantidad fijada previamente.
Teorema de Convergencia Local del Método de Newton [editar]
Sea . Si , y , entonces existe un r > 0 tal que si | x0 − p | <
r, entonces la sucesión {xn} con verifica que:
| xn − p | < r para todo n y xn tiende a p cuando n tiende a infinito.
Si además , entonces la convergencia es cuadrática.
Ejemplo [editar]

4. Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar de
encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.
Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro
cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5
Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos.
Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10,
ilustando la convergencia cuadrática.
En pseudocódigo, esto es:
function newtonIterationFunction(x) {
return x - (cos(x) - x^3) / (-sin(x) - 3*x^2)
}
var x := 0,5
for i from 0 to 99 {
print "Iteraciones: " + i
print "Valor aproximado: " + x
xold := x
x := newtonIterationFunction(x)
if x = xold {
print "Solución encontrada!"
break
}
}