Este documento presenta una explicación del método de bisección para encontrar raíces de funciones. El método de bisección itera dividiendo el intervalo en el que ocurre un cambio de signo de la función a la mitad, hasta alcanzar la precisión deseada. También se explican métodos de interpolación lineal para aproximar valores desconocidos entre dos puntos dados, y el método de Newton-Raphson para encontrar raíces iterativamente mejorando una aproximación inicial.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Valencia
Alumno:
Bolívar Andrea, C.I: 25.582.339.
Esc. #47, N/A
Programación Numérica/ Análisis
Numérico
(Asignación N° 1).

2. Bisección.
El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja
dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subíntralo que tiene la raíz.
Esto se logra llevar a cabo a través de varias interacciones que son aplicadas en un
intervalo para por medio de ello encontrar la raíz de la función.
Este es uno de los métodos mas sencillos y de fácil intuición para
resolver ecuaciones en una variable, también conocido como método del intervalo
medio, este se basa en el teorema del valor intermedio, el cual establece que
toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que
se hallan entre f(a) y f(b).
Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor del
intervalo [a,b].En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero
seria un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en
[a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos
una solución de la ecuación f(a)=0.

3. El método consiste en lo siguiente:
• Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el
• intervalo [a,b].
• A continuación se verifica que f(a) ∙ f(b) < 0
• Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es
igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada.
• En caso de que no lo sea, verificamos
si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o
con f(b).
• Se re define el intervalo [a, b] como [a,
m] ó [m, b] según se haya determinado
en cuál de estos intervalos ocurre un
cambio de signo.
• Con este nuevo intervalo se continúa
sucesivamente encerrando la solución
en un intervalo cada vez más pequeño,
hasta alcanzar la precisión deseada.
El método de bisección es muy seguro para garantizar convergencia. Si f es una
función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método
converge a la raíz de f.

4. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco
lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y
f(b) tienen distinto signo.
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el
método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil
caracterizar hacia qué raíz converge el método.
El método como entrada requiere, un intervalo donde se
encuentran las raíz en donde f(a) y f(b) tienen signos
opuestos; también opcionalmente se puede incluir como
parámetro un numero máximo de iteraciones para evitar
un gran numero de iteraciones y por último
opcionalmente una tolerancia de cercanía a la raíz o bien
de aproximación.
Requisitos previos del método:

5. InicioDiagrama de
Flujo:
F, xai, xbi, tol, i
I = i+1
Ea = 100
F (xai)*f(xbi)<0
“No existe raíz en
intervalo”
No
Xa(1) = xai
Xb(1) = xbi
Xr(1) = (xa(1) + xb(1))/2

6. Xa, xr, xb, ea
Ea(1) > = tol2
Fin
Fxa(i)*fxr(i)<0
Si
Xa(i+1) = xa(i)
Xb(i+1) = xr(i)

7. Ejemplo:
• Buscar la raíz de x5 - x + 3 = 0
f (-2) = (-2)5 - (-2) + 3 = -32 + 2 + 3 = -27 negativo
f (-1) = (-2)5 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 positivo
Debe haber por lo menos una raíz en (-2,-1)
𝑋 𝑚1 =
−2 + −1
2
=
−3
2
= −1.5
f (-1.5) = (-1.5)5 - (-1.5) + 3 = - 7.59 + 1.3 + 3 = -3.09375 negativo
El intervalo donde cambia el signo es:
(-1.5,-1)
-2
-2 -1.5 -1

8. 𝑋 𝑚2 =
−1.5 − 1
2
= −1.25
-2 -1.5 -1-1.25
f (-1.25) = (-1.25)5 - (-1.25) + 3 = -3.0 + 1.25 + 3 = 1.19824 positivo
La raíz “R” esta en el intervalo (-1.5,-1.25)
𝑋 𝑚3 =
−1.5 − 1 , 25
2
= −1.375
f (-1.375)2 = (-1.375)5 - (-1.375) + 3 = -0.5398 negativo
Hay que determinar un numero máximo de iteraciones
Normalmente esto se hace considerando una “tolerancia”, esto es:
El valor absoluto de la diferencia de la Xi+1 - Xi debe ser menor que la tolerancia o el
resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada.

9. Una de las fórmulas de error mas útiles es la del error relativo porcentual
aproximado:
𝑒 𝑦 =
𝑋 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 − 𝑋 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑋 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎
100%
Una de las limitaciones de este método es que puede resultar un polo
considerándolo como un “cero” ,por ejemplo, la siguiente función tiene un cambio
de signo cerca del origen.
Ventajas: Este método se aplica a cualquier
función continua y no requiere derivadas.
Desventajas: Es un método lento.
y
x
F(X) =
1
𝑥
En este caso, nunca se va
a encontrar una raíz,
aunque haya un cambio
de signo en la función en
el intervalo dado.

10. Ejercicio:
• Determine la raíz real máxima de f(x) = 𝑥3
− 6𝑥2
+ 11𝑥 − 6.1
Solución:
Como la ecuación es de tercer grado, luego pueden existir 3 raíces reales o complejas.
Se resolverá utilizando el método de Newton-Raphson, con el valor inicial 𝑋0= 3.
Tomando en cuenta un error admisible de 10-4, por lo que se utilizarán 5 decimales.
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
Donde:
f(x) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6.1
f’(x) =
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 3𝑥2- 6x + 11

11. 1era Iteracción:
𝑥1 = 𝑥0
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
= 3 -
𝑓(3)
𝑓′(3)
= 3.05000
|𝑥1 − 𝑥0| = |3.05000 - 3| = 0.0500
2da Iteracción:
𝑥2 = 𝑥1
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)
= 3.0500 -
𝑓(3.05000)
𝑓′(3.05000)
= 3.04670
|𝑥2 − 𝑥1| = |3.04670 – 3.05000| = 0.00330
3era Iteracción:
𝑥3 = 𝑥2
𝑓(𝑥2)
𝑓′(𝑥2)
= 3.04670 -
𝑓(3.04670 )
𝑓′(3.04670 )
= 3.04668
|𝑥3 − 𝑥2| = |3.04668– 3.04670| = 0.00002
Respuesta.
Luego de realizar cuatro iteraciones se tiene el siguiente resultado:
X = 3.04668
Error = 2 · 10−5

12. Interpolación Lineal.
La interpolación lineal es un método que
se origina de la interpolación general de
Newton y permite determinar por
aproximación un valor desconocido que
está entre dos números dados; es decir, se
halla un valor intermedio. También es
aplicado para aproximar funciones, donde
los valores f(a) y f(b) son conocidos y se
quiere saber el intermedio de f(x).
Existen diferentes tipos de interpolación, como lineal, cuadrática, cúbica y de
mayores grados, siendo la más simple la aproximación lineal. El precio que se debe
pagar con la interpolación lineal es que el resultado no será tan preciso como con
aproximaciones mediante funciones de grados superiores.

13. Definición:
La interpolación lineal es un proceso que permite deducir un valor entre dos
valores bien definidos, que pueden estar en una tabla o en un gráfico lineal.
Por ejemplo, si se sabe que 3 litros de lechen valen 4 $ y que 5 litros valen 7 $,
pero se quiere saber cuál es el valor de 4 litros de leche, se interpola para
determinar ese valor intermedio.
Método:
Para estimar un valor intermedio de una función se aproxima la función f(x) por
medio de una recta r(x), lo que significa que la función varia linealmente con «x»
para un tramo «x = a» y «x = b»; es decir, para un valor «x» en el intervalo (x0,
x1) y (y0, y1), el valor de «y» es dado por la línea entre los puntos y se expresa
por la siguiente relación:
(y – y0) ÷ (x – x0) = (y1 – y0) ÷ (x1 – x0)

14. Para que una interpolación sea lineal, es necesario que el polinomio de
interpolación sea de grado uno (n = 1), para que se ajuste a los valores de x0 y x1.
La interpolación lineal está basada en semejanza de triángulos, de tal manera que,
derivando geométricamente de la expresión anterior, se puede obtener el valor de
«y», que representa el valor desconocido para «x».
De esa forma se tiene que:
a = tan Ɵ = (cateto opuesto1 ÷ cateto adyacente1) = (cateto opuesto2 ÷ cateto
adyacente2)
Expresado de otra forma, es:
(y – y0) ÷ (x – x0) = (y1 – y0) ÷ (x1 – x0)
Despejando «y» de las expresiones, se tiene:
(y – y0) * (x1 – x0) = (x – x0) * (y1 – y0)
(y – y0) = (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)]
Así, se obtiene la ecuación general para interpolación lineal:
y = y0 + (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)]

15. En general la interpolación lineal da un error pequeño sobre el valor real de la
función verdadera, aunque el error es mínimo en comparación a si se elige de forma
intuitiva un número próximo al que se quiere hallar.
Este error ocurre cuando se intenta aproximar el valor de una curva con una línea
recta; para esos casos se debe disminuir el tamaño del intervalo para hacer más
precisa la aproximación.
Para mejores resultados respecto a la aproximación es recomendable utilizar
funciones de grado 2, 3 o incluso de grados mayores para realizar la interpolación.
Para estos casos el teorema de Taylor es un herramienta muy útil.

16. Ejemplo:
Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , (4 , 2) .
Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5.
Tenemos los puntos:
P(x0 , y0) = (-1 , 0)
Q(x1 , y1) = (4 , 2)
Obtenemos la función de interpolación lineal:
f(x) = 0 +
2−0
4−(−1)
(x – (-1)) =
2
5
𝑥 + 1 =
2
5
𝑥 =
2
5
Interpolando a = 1 obtenemos: f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5
Extrapolando b = 5 obtenemos: f(5) = 2 + 2/5 = 12/5

17. Ejercicio:
El número de bacterias por unidad de volumen existentes en una incubación
después de x horas es presentado en la siguiente tabla. Se desea saber cuál es
el volumen de bacterias para el tiempo de 3,5 horas.
Solución:
Horas(x) 0 1 2 3 3,5 4
Volumen de
bacterias (y)
30 48 67 91 135
La tabla de referencia no establece un valor que indique la cantidad de bacterias
para un tiempo de 3,5 horas pero sí se tienen valores superiores e inferiores
correspondientes a un tiempo de 3 y 4 horas, respectivamente. De esa forma:
x0 = 3 y0 = 91
x = 3,5 y =?
x1 = 4 y1 = 135

18. Ahora, se aplica la ecuación matemática para encontrar el valor interpolado, que es
la siguiente:
y = y0 + (y1 – y0) * [(x – x0) ÷ (x1 – x0)].
Luego se sustituyen los valores correspondientes:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4 – 3)]
y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Así se obtiene que para un tiempo de 3,5 horas, la cantidad de bacterias es 113, que
representa un nivel intermedio entre el volumen de bacterias existentes en los
tiempos de 3 y 4 horas.

19. Newton Raphson.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su
convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la
convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz
buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano
al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del
punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta
presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la
raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual
exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho
esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La
abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación
de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el
método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable
definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos
para cada número natural n.

20. Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una
sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del
método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la
tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas
multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
Aproximar la solución de
cos(x) − x = 0 con 6 decimales.
Ejemplo:
Hemos visto que la ecuación tiene solución
en [0, π/2], podemos tomar como
aproximación inicial x0 = π/4.
x0 = π/4=0.78539816.

21. El método es, en este caso,
f(x) = cos(x) − x, f0 (x) = − sin (x) − 1,
x0 = 0.78539 816,
xj+1 = xj +
cos 𝑥𝑗 −𝑥𝑗
sin 𝑥𝑗 +1
El valor de las iteraciones es:
x1 = x0 +
cos 𝑥0 −𝑥0
sin 𝑥0 +1
= 0.78539816 − 0.0458620 3 = 0.73953613,
x2 = x1 +
cos 𝑥1 −𝑥1
sin 𝑥1 +1
= 0.73908518,
x3 = x2 +
cos 𝑥2 −𝑥2
sin 𝑥2 +1
= 0.73908513,
x4 = 0.73908513
El método ha convergido al valor
ᾱ = 0. 73908513,
el valor exacto con 10 decimales es
ᾱ = 0.7390851332

22. Ejercicio:
Aproxima la solución de:
𝑒 𝑥 = 1x con 6 decimales exactos.
Representamos las curvas
y = 𝑒 𝑥
, y =
1
𝑥
Está claro que hay una solución. Tomamos como valor inicial x0 = 0.5.
Escribimos la ecuación en la forma f(x)=0, con
Derivada f(x) = 6 𝑥 −
1
𝑥
f’(x) = 6 𝑥 +
1
𝑥2
Método 𝑥0 = 0.5,
𝑥𝑗+1 = 𝑥𝑗 -
𝑒 𝑥𝑗 −
1
𝑥𝑗
𝑒 𝑥𝑗+
1
(𝑥𝑗)2

23. El resultado de las iteraciones y los errores estimados es:
x0 = 0.5,
x1 = 0.5 -
𝑒0.5−
1
0.5
𝑒0.5−
1
(0.5)2
= 0.56218730
x2 = 0.56711982,
x3 = 0.56714329,
x4 = 0.56714329,
El resultado es
ᾱ = 0.567143.
el valor exacto con 10 decimales es
ᾱ = 0.5671432904.
|𝑒1| = |x1 – x0| = 0.0621873,
|𝑒2| = |x2 –x1| = 0.00493252,
|𝑒3| = |x3 - x2| = 0.00002347,
|𝑒4| = 0

24. Método del Punto Fijo.
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de
ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para
determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los
criterios de convergencia.
Procedimiento:
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es
mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la
derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x
que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida
mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea
mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.

25. Ejemplo:
Sea f(x) = 𝑥2 - 5x + 3 una función, encuentre la raíz.
Ubicamos la raíz analizando la gráfica.
Obtenemos x = g(x)
x = 5𝑥 − 3
Después obtenemos la derivada de la
función:
𝑑𝑔
𝑑𝑥
=
5
2 5𝑥 − 3
Entonces resolvemos las
desigualdades:
5
2 5𝑥 − 3
< 1
La solución es:
(
37
20
, > ∞)
(
3
5
, ∞)
O visto de otra manera, vemos que en la gráfica de la derivada existen valores entre
-1 y 1:

26. Ya que se tienen los valores del rango R,
encontramos la raíz haciendo la iteración de las
operaciones:
En la tabla se puede ver el valor que en este caso se usó de R, la iteración consiste en
usar ese valor en x=g(x) para obtener los siguientes valores haciendo la misma
operación usando el valor anterior.
Después de un número considerable de iteraciones obtenemos la raíz en 4.30268775.

27. Ejercicio:
De la siguiente ecuación:
f(x) = 𝑥3 − 10𝑥 − 5
Despejando x, se tienen las siguientes ecuaciones de la forma x = g(x):
a) x =
3
10𝑥 + 5 b) x =
10𝑥+5
𝑥2
Calcule la raiz por el metodo de punto fijo, tomando en cuenta el criterio |g’(x)| <
1 y el valor inicial 𝑥0= 1, en ambos casos, y determinar cual ecuacion converge a
una raiz f(x).
Solución:
a) De la ecuación: g(x) =
3
10𝑥 + 5 se obtiene la derivada:
|g’(x)| = |
10
3 3
(10𝑥+5)
2|

28. 1era Iteracción:
Utilizando el valor inicial 𝑥0 = 1, se tienne los siguientes valores:
𝑥1 =3
10𝑥0 + 5 =
3
10 1 + 5 = 2.46621
error = |𝑥1 − 𝑥0| = |2.46621 - 1| = 1.46221
Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra iteración,
|g’(x)| = |
10
3 3
(10𝑥+5)
2 | = |
10
3 3
(10(1)+5)
2 | = 1.07682 ≈ 1
El resultado del criterio de convergencia está muy cercano a 1 por lo que se puede
decir que el método converge a un resultado pero que por el momento será
lentamente.
2 da Iteracción:
𝑥2 =
3
10𝑥1 + 5 =
3
10 2.46621 + 5 = 3.09552
error = |𝑥2 − 𝑥1| = | 3.09552 - 2.46621 | = 0.62931
|g’(𝑥2)| = |
10
3
3
(10𝑥2+5)
2 | = |
10
3
3
(10(3.09552)+5)
2 | = 1.00993 ≈ 1

29. 3era Iteracción:
𝑥3 =
3
10𝑥2 + 5 =
3
10 3.09552 + 5 = 3.30056
error = |𝑥3 − 𝑥2| = | 3.30056 - 3.09552| = 0.20503
|g’(𝑥3)| = |
10
3 3
(10𝑥3+5)
2 | = |
10
3
3
(10(3.30056)+5)
2 | = 0.99143 < 1
Respuesta.
La raíz de la ecuación es la siguiente:
𝑥10 = 3.38760
Error = 4 · 10−5
Solución:
b) De la ecuación: g(x) =
10𝑥+5
𝑥2 se obtiene la derivada:
|g’(x)| = |-
10𝑥+10 𝑥2
𝑥3 |

30. 1era Iteracción:
Utilizando el valor inicial 𝑥0 = 1, se tienne los siguientes valores:
𝑥1 =
10𝑥0+5
𝑥
2
0
=
10 1 +5
(1)2 = 15
error = |𝑥1 − 𝑥0| = |15 - 1| = 14
Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra iteración,
|g’(x)| = |-
10𝑥1+10
𝑥1
3 | = |-
10(15)+10
(15)3 | = 0.04741 < 1
El resultado del criterio de convergencia está muy cercano a 1 por lo que se podría
decir que el método converge muy rápido, pero se tendrá que ver otra iteración.
2 da Iteracción:
𝑥1 =
10𝑥1+5
𝑥
2
1
=
10 15 +5
(15)2 = 0.68889
error = |𝑥2 − 𝑥1| = |0.68889 - 15| = 14.1111
|g’(𝑥2)| = |-
10𝑥2+10
𝑥2
3 | = |-
10(0.68889)+10
(0.68889)3 | = 54.65990 > 1

31. Respuesta:
El criterio de convergencia |g’(𝑥2)| , es muy grande y el error aumento desde la
anterior iteración por lo que se dirá que:
El método no converge con la ecuación g(x) =
10𝑥+5
𝑥2 , y el valor inicial 𝑥0 =1
por lo que no se podrá obtener un resultado satisfactorio

32. Bibliografía:
Arthur Goodman, L. H. ( 1996). Algebra y trigonometría con geometría analítica.
Pearson Educación.
Harpe, P. d. (2000). Asuntos en teoría geométrica del grupo. Prensa de la
Universidad de Chicago.
Hazewinkel, M. (2001). Interpolación lineal», enciclopedia de las matemáticas.,
J. M. (1998). Elementos de métodos numéricos para Ingeniería. UASLP.
, E. (2002). Una cronología de la interpolación: de la astronomía antigua a la
moderna señal y procesamiento de imágenes. Procedimientos del IEEE.
numérico, I. a. (2006 ). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.