Este documento resume varios métodos numéricos para resolver ecuaciones, incluyendo métodos de intervalos, bisección, aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson y secante. Explica que los métodos de intervalos utilizan el cambio de signo de una función para ubicar raíces dentro de un intervalo. El método de bisección reduce el intervalo a la mitad en cada iteración hasta converger. El método de aproximaciones sucesivas itera sustituyendo aproximaciones en la ecuación hasta que la solución converge. Newton-Raphson y secante usan

1. MÉTODOS NUMERICOS
UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES

2. METODOS DE
SOLUCCION DE
ECUACIONES

3. 2.1 METODOS DE
INTERVALOLos métodos de los intervalos utilizan una
propiedad muy importante, consistente en el
hecho del cambio de signo de una función en
inmediaciones de una raíz.
Se llaman métodos de los intervalos porque se
necesitan como mínimo dos valores que forman
un intervalo que encierra la raíz.

4. En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de
+f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre
porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del
cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos , que
se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora se
asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos
utilizan estos cambios de signo para poder ubicar el la
raíz (punto c), pero es necesario entonces establecer un
intervalo (como el [a,b]).
De igual manera sucede cuando la función pasa por el
punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la
raíz el método necesita un intervalo como el [d,f].

5. 2.2 MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• El método de la bisección es muy similar al de la posición falsa,
aunque algo mas simple. Como en el de la posición falsa, en
este método también se requieren dos valores iniciales para
ambos lados de la raíz, y que sus valores funcionales
correspondientes sean de signos opuestos.

6. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• En este caso, el valor de 𝑥 𝑚 se obtiene como el punto medio entre
𝑥𝑙 𝑦 𝑥 𝑑
• 𝑥 𝑚 = 𝑥𝑙 + 𝑥 𝑑 /2
• Dependiendo de la función que se tenga en particular, el método de
la bisección puede converger ligeramente mas rápido o mas lento
que el método de la posición falsa. Su gran ventaja sobre el de
posición falsa es que proporcionan el tamaño exacto del intervalo en
cada iteración (en ausencia en errores de redondeo).

7. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Para aclarar esto, nótese que en este método, después de cada
iteración, el tamaño del intervalo se reduce a la mitad, después de n
iteraciones, el intervalo original se habrá reducido 2 𝑛 veces.
• Por lo anterior, si el intervalo original es del tamaño 𝑎 y el criterio de
convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos 𝑥 𝑚
consecutivas es 𝜀, entonces se requerirán 𝑛 iteraciones, donde 𝑛 se
calcula con la igualdad de la expresión:
• 𝑎
2 𝑛 ≤ 𝜀

8. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• De donde
• 𝑛 =
ln 𝑎 −ln 𝜀
ln 2
• Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas
iteraciones se requieren.

9. 2.3 APROXIMACIONES SUCESIVAS
Este método consiste en sustituir a la variable X0 , un
valor aproximado
a la raíz en el segundo miembro de la ecuación X1=
F(X0), con el cual
obtendremos a X1 que será el nuevo valor
aproximado de la raíz mismo
que será sustituido en el segundo miembro de la
ecuación con el cual
obtendremos a X2 = F(X1)

10. Y así sucesivamente hasta encontrar el valor de la raíz o llegar
a la enésima aproximación donde Xn = F ( X n - 1).
APROXIMACIONES SUCESIVAS

11. Si a medida que (n) crece, X0 tiende a obtener el valor de la raíz
y se dice que el método converge de lo contrario que el método diverg
APROXIMACIONES SUCESIVAS

12. 2.3.1 ITERACION Y CONVERGENCIA DE
ECUACIONES
En general, en todos los procesos iterativos para resolver el
sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada
matriz descomposición, escogida de tal forma que el
problema original adopte la forma equivalente:
Qx = (Q-A)x+b
La ecuación anterior sugiere un proceso iterativo que se
concreta al escribir:

13. El vector inicial x(0) puede ser arbitrario, aunque si se
dispone de un buen candidato como solución éste es el
que se debe emplear. La aproximación inicial que se
adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la
idénticamente nula
A partir de la ecuación (63) se puede calcular una sucesión de vectores
x(1), x(2), ....
Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:
• se pueda calcular fácilmente la sucesión [x(k)].
• la sucesión [x(k)] converja rápidamente a la solución.

14. Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio
de convergencia y un número máximo de iteraciones M, para
asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la
convergencia. En este caso, puesto que x es un vector,
emplearemos dos criterios de convergencia que se deberán
satisfacer simultáneamente:
1.
El módulo del vector diferencia, , partido por el módulo del
vector x, deberá ser menor que la convergencia deseada:
2.
La diferencia relativa del mayor elemento en valor absoluto del
vector x(k), , deberá ser diez veces menor que :

15. 2.3.2 CONDICION DE LIPSCHITZ
Sea xk la sucesión de valores calculados mediante el
método de iteración funcional:
La convergencia de este esquema iterativo se rige por las denominadas
condiciones de
Lipschitz" que pueden formularse de diversa manera, algunas de las
cuales se presentan a continuación.
Si no se conoce la existencia de la raíz a priori, entonces puede
estudiarse la convergencia del método iterativo mediante las siguientes
dos formas de las condiciones de Lipschitz

16. 2.4 METODOS DE INTERPOLACION
Si el valor inicial de la raíz es xi, entonces se
puede entender una tangente desde el punto
[xi, f(xi)]. El punto de esta tangente cruza al
eje x representa una aproximación mejorada
a la raíz. La formula es:
Xi+1 = xi f(xi)

17. 2.4.1 METODOS DE NEWTON
RAPHSON
•Este método es uno de los mas ampliamente
usados en la búsqueda de raíces de ecuaciones.
Según se puede ver en la figura 1

18. FIGURA 1.
MÉTODO DE
NEWTON
RAPHSON

19. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

20. Método de Newton Raphson

21. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

22. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

23. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

24. Método de Newton Raphson
•

25. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

26. 2.4.2 METODO DE L
SECANTEEl principal inconveniente del
método de Newton estriba en que
requiere conocer el valor de la
primera derivada de la función en el
punto, lo cual puede llegar a
resultar engorroso. Sin embargo, la
forma funcional de f ( x) dificulta en
ocasiones el cálculo de la derivada.
El método de la secante es casi
idéntico al de regula fasil salvo por
un detalle: no se tiene en cuenta el
signo de la función para estimar el
siguiente punto. Se procede
independientemente de los signos
de la función. De todas maneras en

27. Una forma de evitar el cálculo de f ' ( x) consiste en
considerar como aproximación a la derivada la recta
que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas
(estima la f (x ) − f ( x ) tangente) es decir, la pendiente
de la recta) :
Esta variante se conoce con el nombre de método de
la Secante. Sustituyendo esta expresión en la
ecuación del método de Newton, se obtiene la
expresión del método de la secante que proporciona
el siguiente punto de iteración:

28. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS
ITERACIONES AL APLICAR EL MÉTODO DE LA
SECANTE

29. La sucesión queda expresada en términos
generales como:A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El
algoritmo deberá parar cuando
sea menor que la precisión requerida. Obviamente,
para poder arrancar el método se necesitan dos
valores iniciales.
Forma de hacerlo:
Primero hay que definir algunos conceptos
como:
xn Es el valor actual de X
xn−1 Es el valor anterior de X

30. Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a
la curva original, y como después del primer paso no depende de
otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron,
casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la
raíz.
Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2
puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y
C.
Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para
obtener f(A) y f(C). Una vez que se tienen todos esos datos se
obtiene el punto B con la fórmula B=((Af(C))-(C(f(A)))/(f(C)-f(A)).
A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en
columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la
simplificación de conceptos y como se simplifica la formula para
seguir con el método.

31. 2.4.3 METODO DE
AITKEN

32. UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES
CAMPUS COMALCALCO
INSTRUCTOR: ING. PEDRO DE LA CRUZ LARA
GRACIAS POR SU ATENCION…