2. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye
trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a
los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY,
XZ e YZ.
3. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que
tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
El vector V tiene las siguientes
coordenadas o componentes
V (Vx, Vy, Vz).
Si las coordenadas de A y B son:
A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2). Las
coordenadas o componentes del
vector 퐴B se obtienen restando a las
coordenadas del extremo las del
origen.
POR EJEMPLO: A(−3, 4, 0) y B(3, 6, 3)
4. Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado
que lo define. El módulo de un vector es un número siempre
positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Dado un vector del espacio tridimensional
expresado por sus componentes, U (U1, U2, U3),
su módulo es el número real dado por la
expresión:
¿Cuánto vale el módulo del vector ?
5. Distancia entre dos puntos
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene
de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Sentido de un vector
El sentido, indicado por la punta de
flecha, siendo uno de los dos posibles
sobre la recta soporte.
6. Dirección de un vector
Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta
soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.
La dirección de un vector está dada
por tres ángulos, llamados ángulos
directores del vector.
7. En un sistema tridimensional se utiliza el conjunto de los vectores
unitarios cartesianos (i, j y k) para designar las direcciones de los ejes x, y,
z respectivamente. Hay que tener presente que los vectores unitarios
tienen una magnitud de 1 y son adimensionales.
En los tres casos el módulo
vale 1:
8. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario,
de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada
componente del vector por su módulo.
Se tiene la expresión para la dirección en función de los ángulos directores,
Teniendo en cuenta que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1,
entonces de la ecuación anterior se puede formular una relación
importante entre los cosenos directores:
Con esta ecuación se puede determinar uno de los ángulos directores
cuando se conocen los otros dos.
9. Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Dados los vectores y , hallar el módulo del vector
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