1. Nivel Preuniversitario Álgebra
Lic. ACERO Santos Carlos Cel.…: 999973383 – 988128819 Email:
aceromatematica@gmail.com
Objetivos
1. Hallar la expansión aproximada de una expresión mediante su equivalencia a polinomios
2. Conocer la aplicación de la regla de Ruffini y de Horner
3. Saber aplicar la división de polinomios en la resolución de ecuaciones por aproximación.
Dados los polinomios dividendo D x , divisor
d x , cociente q x y residuos R x
condicionados por la definición, se cumple:
D x d x q x R x
TEOREMA
Dado el dividendo D x y el divisor d x , los
polinomios cociente q x y residuo R x son únicos.
CLASES DE DIVISIÓN
De acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:
1. División exacta 0R x
Llamaremos así cuando el resto o residuo sea
un polinomio idénticamente nulo.
Luego ( ) ( )D x d x q x
2. División Inexacta 0R x
Llamada también División no exacta, toma este
nombre cuando el residuo no es idénticamente
nulo, por lo que definimos
( ) ( ) ( )D x d x q x R x
Con ( ) 0d x , se tendrá la equivalencia
siguiente
( )
( )
D x R x
q x
d x d x
Propiedades de grados
1. El grado del cociente es equivalente a la
diferencia del grado del dividendo y el grado
del divisor.
Grado q Grado D Grado d
2. El grado máximo que puede tomar el residuo será
uno menos al del divisor.
. . R 1Grado Max Grado d
Si el divisor es de grado “ n ”, el residuo a lo más
podrá ser grado 1n
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN
DE POLINOMIOS
1. Division de Monomios
Recordemos la propiedad (1) grado del cociente
se tiene:
0 0
0
0 0
; 0
m
m n
n
a x a
x b
b x b
La división de monomios es siempre exacta.
2. División de un polinomio entre un Monomio
Se utilizará la siguiente propiedad
a b c a b c
m m m m
3. División de polinomios de más de un término
la división de polinomios de esta forma sólo estará
definida para una variable tomada como
referencia, al cual se llama variable ordenatriz.
TEOREMA
De la identidad fundamental de división entera:
P x d x q x R x
I. Si x=1
1 1 1 1P d q R
Se obtiene la suma de
coeficientes.
II. Si x=0
0 0 0 0P d q R
Se obtiene el término independiente
División de Polinomios
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CRITERIOS PARA DIVIDIR ALGEBRAICAMENTE
POLINOMIOS
Los procedimientos a seguir derivan de la división entera
de números enteros
1. Método clásico o división normal
Seguiremos los mismos pasos de la división de
enteros.
2. Por coeficientes separados
Es un caso similar a la división normal con la
diferencia que en este caso sólo de trabajan con
los coeficientes. En este caso sí se exige que
los polinomios, tanto dividendo y divisor, sean
completo y ordenados en forma
descendente.
4 2 6 10 0 2 3
4 6
0 -4 6
4 6
0 0 -10
10 15
0 15
2-2-5
¸
¸
¸
3. Método de Guillermo Horner
Diremos que este es un caso sintetizado de
coeficientes separados y exigen las mismas
condiciones.
El método esquemático
-i
-v
-s
-i
+d
-o
-r
Coeficientes del dividendo
Coef. del cociente Coef. del resto
¸ ·
1 °
Sedivide
Se
multiplica
SeSuma
3 °
2 °
Después de sumar
se divide
4°
4. MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
Se considera como un caso particular del
método Horner, se utilizará cuando el divisor es
de primer grado o transformable a esta forma.
En general
Al dividir
1 2
0 1 2 ...n n n
na x a x a x a
entre:
ax b ; 0ab se presentan dos casos.
CASO I
Cuando a=1; se tendrá
1 2
0 1 2 ...n n n
na x a x a x a
x b
Cuyo esquema será:
0a 1a 2a . .. . na
x b
0c 1c
2c 2c....
0c b
1nbc
Sumar
Sumar
+
1nc
1
2
Por lo tanto
1 2 3
0 1 2 1( ) ...n n n
nq x c x c x c x c
1( ) n nR x a bc
CASO II
Cuando 1a ; se tendrá
1 2
0 1 2 ...n n n
na x a x a x a
ax b
Es similar al anterior, simplemente se divide en
la segunda por de divisor.
TEOREMA DE RENATUS DESCARTES
(TEOREMA DEL RESTO)
Finalidad. Se utiliza para hallar el resto en una
división de polinomios sin la necesidad de
efectuar dicha operación, es decir, de una
manera directa.
TEOREMA
En toda división de la forma P x entre
ax b , el resto se halla mediante el
valor numérico del polinomio P x
cuando x toma el valor de
b
a
Ejemplo de aplicación
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Hallar el resultado de sustituir x por 3x en
la expresión
4 3 2
2 2 5 1f x x x x x
Cuyo resultado es:
4 3 2
3 2 23 97 182 131f x x x x x
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dada la división
6 5 2 4 3
3
4 8 5 2 7 1
1 2 4
x x x x x
x x
Enunciar el valor de verdad o falsedad de cada
uno de las proposiciones
I. Su cociente es 3 2
2 1x x
II. Su resto es 2
3 2x x
III. La suma de coeficientes del cociente
es 5
2. Al dividir 4 2
8 5 1ax x x entre
2 3
3 1x x , se obtiene como cociente
2
3 2x x y como residuo 1mx . ¿Cuál
es el valor de 8a m ?
3. ¿Cuál es el cociente en la siguiente división?
31 29 5 3
2
3 1
1
x x x x x
x
4. Realizar la división exacta
2 4 3 2 3
2
5 14 9
2 3
a x ax x a x
ax x
es exacta,
¿Cuál es el valor real de a?
5. Luego de dividir
4 3 2
2
14 5 10
2 3
mx nx x x
x x
, se obtuvo
como residuo 4. ¿Cuál es el valor de m.n?
6. Halle el resto en
2 2
3 2
2 1 6
3 3 1
x x x x
x x x
7. Halle el resto en
3435
1
1
x x x
x x
8. Del esquema de Horner de una división en
variables.
Calcule el valor de m+n
9. Indique el resto de la división algebraica
4 2
2 1 2 2 2 1
1 2
x x x
x
10. ¿Cuál es el resto en la división?
2 2 1
4 7
1
n n
x x x
x
11. Luego de efectuar la división
3 2 2 3 2
1
nx n x nx n n
x n
se obtiene que
la suma de coeficientes del cociente es igual a
n
f ¿Cuál es el valor de
1 2 20
...f f f ?
12. ¿Cuál es el resto de la división
8
2
1
1
x x
x x
?
13. Si al dividir 3 4
5 6 1x x entre 2
3 2x x
se obtiene un resto de la forma mx n ,
calcule el valor de m n
14. Calcule el valor de m n si se sabe que la
división
5 3 2
2
3 2
3
x mx nx x
x
deja un
residuo 5 10x
15. Halle el resto de la división algebraica
119
2
2 1
1
x
x x
16. Al efectuar la división
5 4 3 2
2
8 14 5 16 3 2
4 3
x x x x x
x x
se
obtiene de residuo 5 4 2m n x m n
encuentre el valor de
m
n
m
1 3 5 a 13
b d m
neca
2
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17. Calcule el valor de a b c si el resto de
la división
5 4 3
3 2
5 3
2 2
ax bx cx x
x x x
es
2
7 8 3x
R x x
18. Calcule el valor de n si el residuo de la
división
2
3 1 1 5 1
2
n n
x x nx x x
x
es 2 1 18x
R x . Considere n par
19. Calcule el valor de n si al dividir
17 16 15 3 2
... 1
1
n n n
x x x x x x
x
se observa que la suma de los coeficientes del
cociente es igual a 90 veces su resto
20. ¿Qué valor toma p q en la división algebraica
4
2
1
x px q
x x
, de modo que su resto sea
idéntico a 3 4x ?
21. Calcule el valor de b a si la división
5 4 3 2
2
2 3 12 6 2 1
2 1
ax a x a x b x b x
x x
deja un cociente que evaluado en 2x es
39. Considere ;a b
22. Si al efectuar la división algebraica
5 2 4 3 2 2
2
abx b x bcx abx acx c
ax bx c
Se obtiene un resto acx , calcule
b a c
ac
23. Calcule la suma de coeficientes del cociente de
la división indicada
6 4 2
14 29 36
1 2 3
x x x
x x x
24. Halle el resto en la división algebraica
4 3
2 1 2 2 2 2 4 2
2 1
x x x
x
25. Calcule la suma de coeficientes del cociente
que se obtiene al dividir
80 79
4 2
1
x x x b
x
26. Luego de efectuar la división algebraica
19 16 12 5
2
2 7 9 1
1
x x x x x
x
Dé el valor de verdad de las siguientes
proposiciones
I. Su resto es un polinomio constante
II. Su resto es 2x
III. La división es exacta
27. De la condición del problema, el polinomio
5 4 2
2x x ax bx c es divisible por
4
1x , halle
a b
a b
28. Al efectuar la división algebraica
5 32
3 2
1 1 3
1
x x x
x x x
se obtuvo un resto
x
R . Calcule el valor de
1
1
R
R
29. Al dividir 4 3 2
3 1P x ax bx cx x
entre 2
1x x se obtiene un cociente cuya
suma de coeficientes es 22 y un resto
10 1x
R x . Calcule el valor de a c
30. Al dividir F x entre 2
4 9 3x x se
obtuvo como residuo
2
2 3x . Halle el
residuo de F x entre 2
2 9 9x x
