ACERTIJO DE POSICIÓN DE CORREDORES EN LA OLIMPIADA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
Actividad_4
1. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Parte A. Grupal
La actividad consiste en seleccionar un enunciado y dar una respuesta fundamentada.
Puntaje máximo: 5 puntos.
16. det 8A ¿cuánto vale det( )A ?
Para averiguar el valor de det (-A) hacemos:
| (-1) A | = (-1)n | A |
-A = (-1) A = (-1)n 8
No sé el valor de n, pero puedo decir gracias a lo hecho anteriormente que:
Si n es par 8
Si n es impar -8
Es decir: Si n es par |-A| vale 8 y si n impar |-A| vale -8.
2. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Parte B- Grupal
Enunciado Nº12
En una rotisería preparan tres clases de empanadas con tres
ingredientes en común. En la tabla que sigue se detallan los
gramos de cada ingrediente para cada tipo de empanadas,
necesarios para preparar una docena de ellas. La cocinera desea
saber cuántas docenas de cada tipo de empanadas podrá
preparar sin dejar sobras, si tiene 2kg de cebollas, 1kg de pimientos y 4.80kg de carne.
cebolla pimiento carne
Árabes 200 200 400
criollasdulces 200 0 500
criollassaladas 200 200 500
Identificamos datos conocidos y desconocidos:
Datos conocidos Tres clases de empanadas/ La cantidad de
gramos que se utilizan de cada ingrediente
para realizar las empanadas/ La cantidad en Kg
de cada ingrediente que posee la cocinera
para realizar las empanadas.
Cantidad en gramos de cada ingrediente necesarios para preparar cada tipo de empanadas
Cebolla Pimiento Carne
Árabes 200 gramos 200 gramos 400 gramos
Criollas dulces 200 gramos 0 gramos 500 gramos
Criollas saladas 200 gramos 200 gramos 500 gramos
Cantidad disponible en gramos de cada uno de los ingredientes para preparar las empanadas
Cebolla 2000 gramos
Pimiento 1000 gramos
Carne 4800 gramos
Datos desconocidos Cantidad de docenas de cada tipo de empanada
que se pueden preparar.
3. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Variables: La cantidad de docenas de empanadas que puede preparar la cocinera, esto
es la cantidad de docenas de empanadas Árabes, la cantidad de docenas de
empanadas Criollas Dulces, la cantidad de docenas de empanadas Criollas Saladas.
Entonces, las incógnitas son 3.
Entonces:
X = Cantidad de docenas de empanadas Árabes.
Y = Cantidad de docenas de empanadas Criollas Dulces.
Z = Cantidad de docenas de empanadas Criollas Saladas.
Vinculación de datos conocidos y desconocidos:
Suma de la cantidad en gramos de cebolla que se utiliza en los tres tipos de
empanadas = 2000 gramos. Esto es:
200𝑋 + 200𝑌 + 200𝑍 = 2000
Suma de la cantidad en gramos de pimiento que se utiliza en los tres tipos de
empanadas = 1000 gramos. Esto es:
200𝑋 + 0𝑌 + 200𝑍 = 1000
Suma de la cantidad en gramos de carne que se utiliza en los tres tipos de
empanadas = 48000 gramos. Esto es:
400𝑋 + 500𝑌 + 500𝑍 = 4800
Basándonos en lo planteado anteriormente podemos armar el SEL, se arma un SEL y
no EL cada una por separado porque las ecuaciones se dan en simultáneo es decir las
mismas se encuentran interrelacionadas:
200𝑋 + 200𝑌 + 200𝑍 = 2000
200𝑋 + 0𝑌 + 200𝑍 = 1000
400𝑋 + 500𝑌 + 500𝑍 = 4800
4. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Resolvemos el SEL mediante la Regla de Cramer:
Regla de Cramer:
Dado un SEL: 𝐴𝑋 = 𝐵 det( 𝐴 𝑛𝑥𝑛) 0 𝑋𝑖 =
det(𝐴𝑖)
det(𝐴)
𝑖 = 1,… , 𝑛.
A partir del SEL construimos:
[
200 200 200
200 0 200
400 500 500
] [
𝑋
𝑌
𝑍
] = [
2000
1000
4800
]
Calculamos el determinante del sistema (det(A)):
Mediante OnlineMSchool
Mediante Wolfram Alpha
10. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Calculamos el valor de Z mediante Wolfram Alpha:
Calculamos el valor de Z mediante Wiris:
Verificamos para los valores X=2, Y=5 y Z=5:
200 · 2 + 200 · 5 + 200 · 3 = 2000
200 · 2 + 0 · 5 + 200 · 3 = 1000
400 · 2 + 500 · 5 + 500 · 3 = 4800
Concluimos entonces que se podrán preparar 2 docenas de empanadas Árabes, 5
docenas de empanadas Criollas Dulces y 3 docenas de empanadas Criollas Saladas.
11. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Resolvemos el SEL mediante el método de la matriz inversa:
A partir del SEL construimos:
[
200 200 200
200 0 200
400 500 500
] [
𝑋
𝑌
𝑍
] = [
2000
1000
4800
]
Esto es AX = B
Luego multiplicamos en ambos miembros de la igualdad por la matriz inversa de A:
A-1 (AX) = A-1·B
Por propiedad asociativa de las matrices:
(A-1A)X = A-1B
Esto es:
I·X = A-1B
Y como la matriz identidad es el elemento neutro del producto de matrices:
X=A-1·B
Entonces tenemos:
[
𝑿
𝒀
𝒁
]= A-1·B
A=[
200 200 200
200 0 200
400 500 500
]
13. Clavero, Melina.
Ortega, Cindy.
Entonces tenemos:
𝐴−1
=
[
1
40
0 −
1
100
1
200
−
1
200
0
−
1
40
1
200
1
100 ]
Calculamos X, Y, Z:
[
𝑋
𝑌
𝑍
] =
[
1
40
0 −
1
100
1
200
−
1
200
0
−
1
40
1
200
1
100 ]
· [
2000
1000
4800
]
Realizamos el cálculo mediante Wiris:
Entonces los valores para X=2, Y =5 y Z=3. Por lo cual se podrán realizar 2 docenas de
empanadas Árabes, 5 docenas de empanadas Criollas Dulces y 3 docenas de
empanadas Criollas Saladas.
Se puede observar que se obtienen los mismos resultados tanto como con el método
de Cramer como con el método de la matriz inversa.
