Este documento describe el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra calcular cuatro determinantes: el determinante principal y un determinante para cada incógnita. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular cada determinante y usar sus valores para encontrar las soluciones del sistema.

1. Determinants and
Cramer’s Rule
G. Edgar Mata Ortiz

2. Ecuaciones Lineales
Métodos de solución y
comprobación
El método por
Determinantes
Determinantes y regla
de Cramer
Contenido
.
𝒙 𝒏 =
𝑫 𝒙 𝒏
𝑫 𝑷

3. Las ecuaciones lineales
Una ecuación lineal se caracteriza porque sus incógnitas
están elevadas a una potencia unitaria.
No contiene funciones trascendentes como logaritmo,
seno o coseno, entre otras.
Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más
ecuaciones, generalmente con el mismo número de
incógnitas.

4. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
La solución de un sistema
de ecuaciones lineales
está formada por los
valores de las incógnitas
que, al mismo tiempo,
hacen verdaderas a todas
las ecuaciones que forman
el sistema.
𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟗𝒛 = 𝟏𝟖
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟏𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟕
𝒙 = −𝟏
𝒚 = −𝟐
𝒛 = 𝟏
Soluciones

5. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Se puede comprobar si la solución
obtenida es correcta sustituyendo
los valores obtenidos en todas las
ecuaciones: Si se obtienen
identidades, la solución es
correcta.
𝟑(−𝟏) − 𝟔(−𝟐) + 𝟗(𝟏) = 𝟏𝟖
𝟐(−𝟏) − 𝟒(−𝟐) + 𝟓(𝟏) = 𝟏𝟏
−𝟑(−𝟏) − 𝟒(−𝟐) + 𝟔(𝟏) = 𝟏𝟕
𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟗𝒛 = 𝟏𝟖
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟏𝟏
−𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟕
𝒙 = −𝟏
𝒚 = −𝟐
𝒛 = 𝟏
Soluciones

6. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
No todos los sistemas de
ecuaciones tiene solución, y
cuando la tienen, no siempre
es solución única.
El sistema no tiene solución
única porque las ecuaciones
uno y dos son múltiplo una
de la otra
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎
por dos es igual a:
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟎
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟎
−𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟕

7. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Existen diferentes métodos de solución de
sistemas de ecuaciones lineales:
Método Gráfico
Métodos Algebraicos
Métodos Lineales
Métodos Numéricos

8. Solución de un sistema de ecuaciones lineales
Sin importar cuál método se
elija para resolver un sistema
de ecuaciones, la solución
será la misma.
A veces es preferible un método
de solución, en otras ocasiones
no es posible emplear algún
método en particular, por ello,
es necesario conocer diferentes
métodos y elegir el que mejor
responde a las necesidades
específicas de cada problema.
En este material estudiaremos
el método de Cramer o método
por determinantes.
Método Gráfico
Métodos Algebraicos
Métodos Lineales
Métodos Numéricos

9. El método de Cramer
Este método tiene la ventaja de ser puramente mecánico, por lo que
resulta muy sencillo de recordar y, lo que es más importante, puede
ser programado con gran facilidad para que una computadora lo
resuelva, incluso puede elaborarse una hoja de cálculo en Excel que
resuelva un sistema y vaya mostrando el procedimiento.

10. Ejemplo: Resolver
el siguiente
sistema de
ecuaciones por el
método de Cramer

11. Observarás que el proceso de resolución del
ejemplo se llevó a cabo en Excel

12. Inicio del proceso: El Determinante Principal
Tal como sucede en los métodos lineales, vamos a omitir las
incógnitas y tomaremos solamente sus coeficientes, a este arreglo
de números se le llama determinante principal

13. Calcular el valor del Determinante Principal
Existen varias formas de calcular el determinante principal, una de ellas
consiste en agregar, a la derecha, las dos primeras columnas del mismo
determinante.

14. Calcular el valor del Determinante Principal
Ahora se multiplica en diagonal, como se muestra en la figura, y se
anotan los resultados de dichas multiplicaciones.
+3 - 6 +9 +3 - 6
DP = +2 - 4 +5 +2 - 4
- 3 - 4 +6 - 3 - 4
-72

15. Calcular el valor del Determinante Principal
Es importante ser ordenado al trabajar con determinantes para
evitar errores al efectuar estas multiplicaciones en diagonal
+3 - 6 +9 +3 - 6
DP = +2 - 4 +5 +2 - 4
- 3 - 4 +6 - 3 - 4
-72 +90

16. Calcular el valor del Determinante Principal
Estos resultados se escriben a la derecha del determinante, como
veremos más adelante
+3 - 6 +9 +3 - 6
DP = +2 - 4 +5 +2 - 4
- 3 - 4 +6 - 3 - 4
-72 +90 -72

17. Calcular el valor del Determinante Principal
Continuando con el procedimiento se multiplica de derecha a
izquierda, y se cambia el signo del resultado
-108

18. Calcular el valor del Determinante Principal
La primera multiplicación arroja un resultado positivo y se cambia
a negativo, mientras la segunda multiplicación da negativo y se
cambia a positivo
-108
+60

19. Calcular el valor del Determinante Principal
En estas tres multiplicaciones de derecha a izquierda se cambia el
signo de los resultados.
-108
+60 +72

20. Procedimiento y presentación del resultado
La forma en la que se ha mostrado el procedimiento hasta ahora, tiene
la finalidad de explicar, pero en realidad se presenta como se muestra:
Naturalmente las flechas de color que señalan las multiplicaciones que se va a realizar son
opcionales, pero se recomienda emplearlas para facilitar la identificación de los factores de cada
producto.

21. Obtención de los otros tres determinantes, uno por
cada incógnita.
El método de Cramer requiere que se desarrolle y calcule un
determinante para cada incógnita, es decir, habrá un determinante para
𝒙 𝟏, otro para 𝒙 𝟐, y uno más para 𝒙 𝟑.
Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es necesario
construir y calcular el valor de cuatro determinantes.
Determinante Principal 𝑫 𝑷
Determinante para 𝒙 𝟏
Determinante para 𝒙 𝟐
Determinante para 𝒙 𝟑

22. Obtención de los otros tres determinantes, uno por
cada incógnita.
Vamos a obtener y calcular el determinante para 𝒙 𝟏.
Como podrás observar, está basado en el determinante principal, al cuál se le
cambia la columna de los coeficientes de 𝒙 𝟏, quedando todos los demás valores sin
cambio.

23. Cálculo del determinante para equis uno.
+ 18 - 6 + 9
+ 11 - 4 + 5
+ 17 - 4 + 6
Determinante para x1
+ 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4
+ 17 - 4
Al igual que con el determinante principal, se duplican las primeras dos
columnas para facilitar las multiplicaciones en diagonal.
Una vez duplicadas las primeras
dos columnas se procede a
efectuar las multiplicaciones. Es
importante tener presente que los
resultados de las tres
multiplicaciones de “derecha a
izquierda” cambian de signo.

24. Cálculo del determinante para equis uno.
El procedimiento para calcular el valor de cualquier determinante es el
mismo, veamos el caso de x1.
Efectúa las multiplicaciones para practicar el procedimiento y aprender cuáles son los tres
resultados que cambian de signo.

25. En este caso, la columna con los coeficientes de x2 será la que se
cambiará por los términos independientes.
Como se observa, el
determinante
principal es
modificado,
cambiando la
columna que
contiene los
coeficientes de x2.
Obtención del determinante para la segunda incógnita.

26. Al igual que con el determinante principal y el de equis uno, se duplican
las primeras dos columnas para facilitar las multiplicaciones en
diagonal.
Efectúa las multiplicaciones y
compara tus resultados con la
siguiente diapositiva.
Cálculo del determinante para equis dos.
+ 3 + 18 + 9
+ 2 + 11 + 5
- 3 + 17 + 6
Determinante para x2
+ 3 + 18
Dx2 = + 2 + 11
- 3 + 17

27. Efectúa las multiplicaciones respetando las leyes de los signos, sólo en las últimas tres operaciones
cambia el signo del resultado.
Cálculo del determinante para equis dos.
Ahora vamos a calcular el determinante para x2.

28. En este caso, la columna con los coeficientes de x3 será la que se
cambiará por los términos independientes.
En este caso, el
determinante
principal es
modificado
cambiando la
columna que
contiene los
coeficientes de x3
Obtención del determinante para la tercera incógnita.

29. Al igual que con el determinante principal, el de equis uno y el de equis
dos, se duplican las primeras dos columnas para facilitar las
multiplicaciones en diagonal.
Al efectuar las multiplicaciones
recuerda cuáles resultados
cambian de signo.
Cálculo del determinante para equis tres.
+ 3 - 6 + 18
+ 2 - 4 + 11
- 3 - 4 + 17
Determinante para x3
+ 3 - 6
Dx3 = + 2 - 4
- 3 - 4

30. Ya se han calculado los valores de los cuatro determinantes: DP, Dx1, Dx2 y Dx3.
Cálculo del determinante para equis tres.
Ahora vamos a calcular el determinante para x3.

31. Valores de los determinantes
Hemos calculado los valores de los cuatro determinantes.
Determinante principal
+ 3 - 6 + 9 + 3 - 6
DP = + 2 - 4 + 5 + 2 - 4 = - 30
- 3 - 4 + 6 - 3 - 4
Determinante para x1
+ 18 - 6 + 9 + 18 - 6
Dx1 = + 11 - 4 + 5 + 11 - 4 = + 30
+ 17 - 4 + 6 + 17 - 4
Determinante para x2
+ 3 + 18 + 9 + 3 + 18
Dx2 = + 2 + 11 + 5 + 2 + 11 = + 60
- 3 + 17 + 6 - 3 + 17
Determinante para x3
+ 3 - 6 + 18 + 3 - 6
Dx3 = + 2 - 4 + 11 + 2 - 4 = - 30
- 3 - 4 + 17 - 3 - 4

32. Valores de las incógnitas
1
2
3
P
P
P
D
Los valores de los cuatro determinantes se sustituyen en las siguientes
fórmulas para calcular los valores de las incógnitas.
x =
Dx1
D
x =
Dx 2
D
x =
Dx3

33. Valores de las incógnitas
Sustituciones y resultados
1
2
x2
3
P
DP
D
D
x = x1
x =
D
D
DP
x = x3
Determinanteprincipal
+ 3 - 6 + 9
DP = + 2 - 4 + 5 = - 30
- 3 - 4 + 6
Determinante para x1
+ 18 - 6 + 9
Dx1 = + 11 - 4 + 5 = + 30
+ 17 - 4 + 6
Determinante para x2
+ 3 + 18 + 9
Dx2 = + 2 + 11 + 5 = + 60
- 3 + 17 + 6
Determinante para x3
+ 3 - 6 + 18
Dx3 = + 2 - 4 + 11 = - 30
- 3 - 4 + 17
2 2
3 3
30
x1 =
−30
x1 = −1
x =
60
x = −2
−30
−30
x = +1
−30
x =

34. Comprobación
Para comprobar que el resultado es correcto, se sustituyen los valores de las
incógnitas en las tres ecuaciones y debemos obtener tres identidades.
1 1
2 2
3 3
x =
30
x = −1
−30
x =
60
x = −2
−30
x =
−30
x = +1
−30
+ 3 (-1) - 6 (-2) + 9 (1) = + 18
- 3 + 12 + 9 = + 18
+ 18 = + 18
+ 2 (-1) - 4 (-2) + 5 (1) = + 11
- 2 + 8 + 5 = + 11
+ 11 = + 11
- 3 (-1) - 4 (-2) + 6 (1) = + 17
+ 3 + 8 + 6 = + 17
+ 17 = + 17

35. Podemos observar
que, en las tres
ecuaciones se
obtuvieron
identidades, por lo
tanto, los
resultados con
correctos.
Comprobación
Para comprobar que el resultado es correcto, se sustituyen los valores de las
incógnitas en las tres ecuaciones y debemos obtener tres identidades.
x1 =  x1=−1
2 2
x3 =
30
−30
x =
60
x = −2
−30
−30
 x3 =+1
−30
+ 3 (-1) - 6 (-2) + 9 (1) = + 18
- 3 + 12 + 9 = + 18
+ 18 = + 18
+ 2 (-1) - 4 (-2) + 5 (1) = + 11
- 2 + 8 + 5 = + 11
+ 11 = + 11
- 3 (-1) - 4 (-2) + 6 (1) = + 17
+ 3 + 8 + 6 = + 17
+ 17 = + 17

36. Gracias
Por su atención
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