Este documento explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de tres variables (x, y, z) mediante el método de determinantes de Cramer. Se calculan cuatro determinantes (D, x, y, z) reemplazando los valores de cada variable en la matriz. Luego, dividiendo cada determinante entre el determinante principal D, se obtienen las soluciones x=2, y=-0.062, z=2.

1. ¿CÓMO RESOLVER UN SISTEMA DE
DETERMINANTES?
E X A M E N S E M E S T R A L
C O L E G I O B E N A V E N T E
C O M P U T A C I Ó N
A D R I A N G A R C I A C A L Y E C A
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2. SISTEMA DE DETERMINANTES (REGLA DE
CRAMER)
La regla de Cramer es un teorema de álgebra lineal, que da la solución a un
sistema lineal de escuaciones en términos de determinantes. Recibe este
nombre en honor a Gabriel Cramer, quién publicó la regla en su
introducción à l’analyse des lignes courbes algébraiques de 1750.
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3. ¿CÓMO RESOLVERLO?
Pretende encontrar 4 determinantes: D (determinante principal), x, y, z.
Se hace uso de diferentes valores numéricos sacados de una ecuación. Ej.
2x+3y+4z=3
2x+6y+8z=5
4x+9y+4z=4
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4. PARA CALCULAR DETERMINANTE D
D 2 3 4
2 6 8
4 9 4 • Se insertan dos filas más con los
valores de las dos primeras hileras.
2 3 4
2 6 8
4 9 4
2 3 4
2 6 8
D=
X Y Z
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5. • Se multiplican los valores de la tabla en forma diagonal de arriba hacia
abajo.
2 3 4
2 6 8
4 9 4
2 3 4
2 6 8
D1= (2*6*4)+(2*9*4)+(4*3*8)
D1= 48+72+96=
D1= 216
• Ahora se hace de abajo hacia arriba.
2 3 4
2 6 8
4 9 4
2 3 4
2 6 8
D2=(2*3*4)+(2*9*8)+(4*6*4)
D2=24+144+96=
D2=264

6. Una vez que tenemos los dos valores, éstos se van a restar.
D1= (2*6*4)+(2*9*4)+(4*3*8)
D1= 48+72+96=
D1=216
D2=(2*3*4)+(2*9*8)+(4*6*4)
D2=24+144+96=
D2=264
• Entonces el valor de Determinante “D” sería:
D= 216-264
D=-48
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7. DETERMINANTE DE “X”.
Sustituimos los valores de la columna “x” con los resultados de cada
ecuación y se multiplican de la misma forma. Ej.
2x+3y+4z=3 X Y Z
2x+6y+8z=5
4x+9y+4z=4
3 3 4
5 6 8
4 9 4
3 3 4
5 6 8
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8. DETERMINANTE DE “X”
Quedando:
3 3 4
5 6 8
4 9 4
3 3 4
5 6 8
X1=(3*6*4)+(5*9*4)+(4*3*8)
X1=72+180+96
X1=348
3 3 4
5 6 8
4 9 4
3 3 4
5 6 8
X2= (5*3*4)+(3*9*8)+(4*6*4)
X2=60+216+96
X2=372

9. DETERMINANTE DE “X”
X2= (5*3*4)+(3*9*8)+(4*6*4)
X2=60+216+96
X2=372
X1=(3*6*4)+(5*9*4)+(4*3*8)
X1=72+180+96
X1=348
• Y como lo hicimos con determinante “D”, también restamos ambos
valores para obtener el resultado.
X= 348-372
X= -24
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10. DETERMINANTE DE “Y”
Sustituimos los valores de la columna “y” con los resultados de cada
ecuación y se multiplican de la misma forma. Ej.
2x+3y+4z=3 X Y Z
2x+6y+8z=5
4x+9y+4z=4
2 3 4
2 5 8
4 4 4
2 3 4
2 5 8
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11. DETERMINANTE DE “Y”
Quedando:
2 3 4
2 5 8
4 4 4
2 3 4
2 5 8
2 3 4
2 5 8
4 4 4
2 3 4
2 5 8
Y1=(2*5*4)+(2*4*4)+(4*3*8)
Y1=40+32+96
Y1=168
Y2=(2*3*4)+(2*4*8)+(4*5*4)
Y2=24+64+80
Y2=165

12. DETERMINANTE DE “Y”
Y1=(2*5*4)+(2*4*4)+(4*3*8)
Y1=40+32+96
Y1=168
Y2=(2*3*4)+(2*4*8)+(4*5*4)
Y2=24+64+80
Y2=165
• Restamos ambos valores para obtener el resultado.
Y=168-165
Y=3
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13. DETERMINANTE DE “Z”
Sustituimos los valores de la columna “z” con los resultados de cada
ecuación y se multiplican de la misma forma. Ej.
2x+3y+4z=3 X Y Z
2x+6y+8z=5
4x+9y+4z=4
2 3 3
2 6 5
4 9 4
2 3 3
2 6 5
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14. DETERMINANTE DE “Z”
Quedando:
2 3 3
2 6 5
4 9 4
2 3 3
2 6 5
2 3 3
2 6 5
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Z1=(2*6*4)+(2*9*3)+(4*3*5)
Z1=48+54+60
Z1=162
Z2=(2*3*4)+(2*9*5)+(4*6*3)
Z2=24+90+72
Z2=186

15. DETERMINANTE DE “Z”
Z1=(2*6*4)+(2*9*3)+(4*3*5)
Z1=48+54+60
Z1=162
Z2=(2*3*4)+(2*9*5)+(4*6*3)
Z2=24+90+72
Z2=186
• Restamos ambos valores para obtener el resultado.
Z=162-186
Z=-24
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16. PARA FINALIZAR:
Sacaremos los valores definitivos de “x”, “y” y “z” mediante 3 fórmulas:
X=Dx/D Y= Dy/D Z=Dz/D
• Y sustituyendo con los valores previos:
X= -24/-48 Y= 3/-48 Z= -24/-48
X= 2 Y= -.062 Z= 2
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