La Regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones determinando los valores de x, y, z. Se calculan las determinantes del sistema y de cada incógnita. Luego, se dividen las determinantes de las incógnitas entre la determinante del sistema para obtener los valores de x, y, z, los cuales satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

2. La Regla de Cramer es un método utilizado
para resolver sistemas de ecuaciones por
determinantes.
Ejemplo:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4

3. Para resolver un sistema utilizando la
Regla de Cramer:
Paso 1:
Hallar la determinante del sistema la cual
denominaremos
Una determinante es una expresión numérica en
la que se toman los coeficientes de x, y y de z,
las cuales se escriben dentro de dos barras de la
siguiente manera:

4. De esta manera la determinante del sistema
nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
Vemos que los números
dentro de las barras son
los coeficientes
correspondientes a x, y y
z.
Esta expresión es una
determinante de tercer
orden porque tiene tres
filas y tres columnas.

5. Paso 2 :
Resolver la determinante del sistema ( )
El valor de una determinante de tercer
orden se halla aplicando la Regla de Sarrus.
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Debajo de la tercera
fila horizontal se
repiten las dos primeras
filas horizontales.

6. Se multiplican entre si los tres números por que
pasan las diagonales principales y secundarias
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Diagonales Principales Diagonales Secundarias

7. Se multiplican los términos de las diagonales
principales.
2 3 4
= 2 6 8 = - 48 + 72 + 96
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Los productos de los
números que hay en las
diagonales principales se
escriben con su propio
signo.

8. Se multiplican los términos de las diagonales
secundarias.
2 3 4
= 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Los productos de los
números que hay en las
diagonales secundarias se
escriben con el signo
cambiado.

9. 2 3 4
= 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Finalmente se efectúa la operación
correspondiente.
24 -120
-96
Siendo éste el valor de la
determinante de todo el
sistema.

10. Paso 3 :
Hallar la
determinante de x
la cual
denominaremos
La determinante de
x equivale a colocar
en la columna de los
coeficientes de x
los términos
independientes de
las ecuaciones.

11. De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
3 3 4
= 5 6 8
4 9 -4
En este caso los coeficientes
de x fueron sustituidos por los
términos independientes de las
ecuaciones.

12. Paso 4 :
Resolver
3 3 4
= 5 6 8 = - 72 + 180 + 96
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
Se multiplican los
términos de las
diagonales principales.

13. 3 3 4
= 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
Luego se multiplican
los términos de las
diagonales
secundarias y al
resultado se le cambia
el signo.

14. 3 3 4
= 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
108 - 156
- 48
Se realiza la operación
la cual dio como
resultado -48 que será
el valor de la
determinante de x.

15. Paso 5 :
Hallar la
determinante de y
la cual
denominaremos
La determinante de
y equivale a colocar
en la columna de los
coeficientes de y los
términos
independientes de las
ecuaciones.

16. De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 4
= 2 5 8
4 4 -4
Aquí los coeficientes de y
fueron sustituidos por los
términos independientes de las
ecuaciones.

17. Paso 6 :
Resolver
2 3 4
= 2 5 8 = - 40 + 32 + 96
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
Se multiplican los
términos de las
diagonales principales.

18. 2 3 4
= 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
Se multiplican los
términos de las
diagonales secundarias
y al resultado se le
cambia el signo.

19. 2 3 4
= 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
- 8 +16 - 40
8 - 40
- 32
Se realiza la operación la cual dio
como resultado – 32 el cual será
el valor de la determinante de y.

20. Paso 7:
Hallar la
determinante de z
la cual
denominaremos
La determinante de
z equivale a colocar
en la columna de los
coeficientes de z los
términos
independientes de las
ecuaciones.

21. De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 3
= 2 6 5
4 9 4
Aquí los coeficientes de z
fueron sustituidos por los
términos independientes de las
ecuaciones.

22. Paso 8 :
Resolver
2 3 3
= 2 6 5 = 48 + 54 + 60
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Se multiplican los
términos de las
diagonales principales.

23. 2 3 3
= 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Se multiplican los
términos de las
diagonales secundarias
y al resultado se le
cambia el signo.

24. 2 3 3
= 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24
4 9 4
2 3 3
2 6 5
102 -12 - 114
102 - 126
- 24
Se realiza la operación la cual dio
como resultado –24 el cual será
el valor de la determinante de z.

25. Paso 9:
Hallar el valor de x.
El valor de x se obtiene dividendo el valor de
la determinante de x ( ) entre el valor de
la determinante del sistema ( ).
Es decir

26. De esta manera
=
Se reemplazan
y por sus valores
correspondientes y
se simplifican los
términos.
= Siendo éste el valor
de x.

27. Paso 10:
Hallar el valor de y.
El valor de y se obtiene dividendo el valor de
la determinante de y ( ) entre el valor de
la determinante del sistema ( ).
Es decir

28. De esta manera
=
Se reemplazan
y por sus valores
correspondientes y
se simplifican los
términos.
= Siendo éste el valor
de y.

29. Paso 11:
Hallar el valor de z.
El valor de z se obtiene dividendo el valor de
la determinante de z ( ) entre el valor de
la determinante del sistema ( ).
Es decir

30. De esta manera
=
Se reemplazan
y por sus valores
correspondientes y
se simplifican los
términos.
= Siendo éste el valor
de z.

31. Paso 12:
Reemplazar los valores de x,y y z en la
primera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2( )+3( )+4( )
1 + 1 + 1 = 3
Luego de reemplazar los
valores de x,y y z resolver la
ecuación, vemos que el
resultado es el mismo.

32. Paso 13:
Reemplazar los valores de x,y y z en la
segunda ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2( )+6( )+8( )
1 + 2 + 2 = 5
Luego de reemplazar los valores de
x,y y z resolver la ecuación, vemos
que el resultado es el mismo.

33. Paso 14:
Reemplazar los valores de x,y y z en la
tercera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( )
2 + 3 - 1= 4
Luego de reemplazar los valores de
x,y y z resolver la ecuación, vemos
que el resultado es el mismo.

34. Luego de comprobar vemos que los valores
hallados para x, y y z satisfacen todas las
ecuaciones
Por lo tanto para el
sistema
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
La solución es:
x =
y =
z =