como resolver un sistema de cramer

2. La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver
sistemas de ecuaciones por determinantes.
Ejemplo:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4

3. Para resolver un sistema utilizando la Regla
de Cramer:
Paso 1:
Hallar la determinante del sistema la cual
denominaremos
Una determinante es una expresión numérica en
la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las
cuales se escriben dentro de dos barras de la
siguiente manera:

4. De esta manera la determinante del sistema
nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
Vemos que los números
dentro de las barras son
los coeficientes
correspondientes a x, y y
z.
Esta expresión es una
determinante de tercer
orden porque tiene tres
filas y tres columnas.

5. Paso 2 :
Resolver la determinante del sistema ( )
El valor de una determinante de tercer orden
se halla aplicando la Regla de Sarrus.
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Debajo de la tercera fila
horizontal se repiten las
dos primeras filas
horizontales.

6. Se multiplican entre si los tres números por que
pasan las diagonales principales y secundarias
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
2 3 4
= 2 6 8
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Diagonales Principales Diagonales

7. Se multiplican los términos de las diagonales
principales.
2 3 4
= 2 6 8 = - 48 + 72 + 96
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Los productos de los
números que hay en las
diagonales principales
se escriben con su
propio signo.

8. Se multiplican los términos de las diagonales
secundarias.
2 3 4
= 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Los productos de los
números que hay en las
diagonales secundarias
se escriben con el signo
cambiado.

9. 2 3 4
= 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24
4 9 -4
2 3 4
2 6 8
Finalmente se efectúa la operación
correspondiente.
24 -120
-96
Siendo éste el valor de la
determinante de todo el
sistema.

10. Paso 3 :
Hallar la
determinante de x
la cual
denominaremos
La determinante de
x equivale a
colocar en la
columna de los
coeficientes de x
los términos
independientes de
las ecuaciones.

11. De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
3 3 4
= 5 6 8
4 9 -4
En este caso los coeficientes de
x fueron sustituidos por los
términos independientes de las
ecuaciones.

12. Paso 4 :
Resolver
3 3 4
= 5 6 8 = - 72 + 180 + 96
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
Se multiplican los
términos de las
diagonales
principales.

13. 3 3 4
= 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
Luego se multiplican
los términos de las
diagonales
secundarias y al
resultado se le cambia
el signo.

14. 3 3 4
= 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60
4 9 -4
3 3 4
5 6 8
108 - 156
- 48
Se realiza la operación
la cual dio como
resultado -48 que será el
valor de la determinante
de x.

15. Paso 5 :
Hallar la
determinante de y
la cual
denominaremos
La determinante de
y equivale a colocar
en la columna de los
coeficientes de y los
términos
independientes de
las ecuaciones.

16. De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 4
= 2 5 8
4 4 -4
Aquí los coeficientes de y
fueron sustituidos por los
términos independientes de las
ecuaciones.

17. Paso 6 :
Resolver
2 3 4
= 2 5 8 = - 40 + 32 + 96
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
Se multiplican los
términos de las
diagonales
principales.

18. 2 3 4
= 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
Se multiplican los
términos de las
diagonales
secundarias y al
resultado se le cambia
el signo.

19. 2 3 4
= 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24
4 4 -4
2 3 4
2 5 8
- 8 +16 - 40
8 - 40
- 32
Se realiza la operación la cual dio
como resultado – 32 el cual será
el valor de la determinante de y.

20. Paso 7:
Hallar la
determinante de z
la cual
denominaremos
La determinante de z
equivale a colocar
en la columna de los
coeficientes de z los
términos
independientes de
las ecuaciones.

21. De esta manera nos quedaría así:
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2 3 3
= 2 6 5
4 9 4
Aquí los coeficientes de z
fueron sustituidos por los
términos independientes de las
ecuaciones.

22. Paso 8 :
Resolver
2 3 3
= 2 6 5 = 48 + 54 + 60
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Se multiplican los
términos de las
diagonales
principales.

23. 2 3 3
= 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24
4 9 4
2 3 3
2 6 5
Se multiplican los
términos de las
diagonales
secundarias y al
resultado se le cambia
el signo.

24. 2 3 3
= 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24
4 9 4
2 3 3
2 6 5
102 -12 - 114
102 - 126
- 24
Se realiza la operación la cual dio
como resultado –24 el cual será el
valor de la determinante de z.

25. Paso 9:
Hallar el valor de x.
El valor de x se obtiene dividendo el valor de
la determinante de x ( ) entre el valor de la
determinante del sistema ( ).
Es decir

26. De esta manera
=
Se reemplazan y
por sus valores
correspondientes y
se simplifican los
términos.
= Siendo éste el valor
de x.

27. Paso 10:
Hallar el valor de y.
El valor de y se obtiene dividendo el valor de
la determinante de y ( ) entre el valor de la
determinante del sistema ( ).
Es decir

28. De esta manera
=
Se reemplazan y
por sus valores
correspondientes y
se simplifican los
términos.
= Siendo éste el valor
de y.

29. Paso 11:
Hallar el valor de z.
El valor de z se obtiene dividendo el valor de
la determinante de z ( ) entre el valor de la
determinante del sistema ( ).
Es decir

30. De esta manera
=
Se reemplazan y
por sus valores
correspondientes y
se simplifican los
términos.
=
Siendo éste el valor
de z.

31. Paso 12:
Reemplazar los valores de x,y y z en la
primera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2( )+3( )+4( )
1 + 1 + 1 = 3
Luego de reemplazar los
valores de x,y y z resolver la
ecuación, vemos que el
resultado es el mismo.

32. Paso 13:
Reemplazar los valores de x,y y z en la
segunda ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
2( )+6( )+8( )
1 + 2 + 2 = 5
Luego de reemplazar los valores de
x,y y z resolver la ecuación, vemos
que el resultado es el mismo.

33. Paso 14:
Reemplazar los valores de x,y y z en la
tercera ecuación del sistema.
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( )
2 + 3 - 1= 4
Luego de reemplazar los valores de
x,y y z resolver la ecuación, vemos
que el resultado es el mismo.

34. Luego de comprobar vemos que los valores
hallados para x, y y z satisfacen todas las
ecuaciones
Por lo tanto para el
sistema
2x + 3y + 4z = 3
2x + 6y + 8z = 5
4x + 9y – 4z = 4
La solución es:
x =
y =
z =