El documento habla sobre el álgebra booleana. Introduce a George Boole, quien definió el álgebra booleana como parte de un sistema lógico para tratar las técnicas algebraicas de la lógica. Luego describe los postulados básicos del álgebra booleana como la existencia de neutros, conmutatividad, asociatividad, distributividad y complementos. Finalmente, explica brevemente las compuertas lógicas como NOT, AND, OR y sus combinaciones.

1. Algebra Booleana
YamileeValerio 15-0736
Prof.: Dra.Ing. Rina María Familia
Matemáticas Discreta
Universidad Iberoamericana UNIBE

2. Algebra booleana es una estructura matemática con dos operaciones
binarias y una unitaria que tiene características similares al álgebra de
números reales, pero que difiere en algunos otros aspectos. En
muchos de los casos el dominio consiste en dos valores cero y uno
(falso y verdadero).
Se denomina así en honor a George Boole (2 de
noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864),
matemático inglés autodidacta, que fue el
primero en definirla como parte de un sistema
lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The
Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en
1847, en respuesta a una controversia en curso
entre Augustus De Morgan y sir William Rowan
Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento
de utilizar las técnicas algebraicas para tratar

3. Postulados del Algebra Boole
 Existencia de Neutros: existen en B el elemento neutro de la
suma, denominado O y el neutro de la multiplicación, denominado
1, tales que para cualquier elemento x de s: (a) x + O = x (b) x. 1 =
x .
 Postulado 3. Conmutatividad: Para cada x, y en B: (a) x+y = y+x (b)
x y =y x
 Postulado 4. Asociatividad: para cada x, y, z en B: (a) x + (y + z) =
(x + y) + z (b) x (y z) = (x y) z.
 Postulado 5. Distributividad: para cada x, y, z en B: (a)
x+(y z)=(x+y) (x+z) (b) x (y+z)=(x y)+(x z) Postulado 6. Existencia
de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único

4. ÁLGEBRA DE CONJU
 Existencia de neutros: neutro de la unión es el conjunto vacío F ,
mientras que el neutro de la intersección es el conjunto universo U, ya
que para cualquier conjunto arbitrario A, A U F = A y A U = A.
 Conmutatividad. La unión y la intersección son conmutativas, ya que
para cualquier par de conjuntos A, B: A U B = B U A y A ∩B = B ∩A
 Asociatividad. La unión y la intersección de conjuntos son asociativas,
ya que para cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B U C) = (A U B) U C
y A (B C) = (A B) C
 Distributiva. La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección,
y viceversa, la intersección es distributiva sobre la unión, ya que para
cualesquiera tres conjuntos A, B, C: A U (B C) = (A U B) (A U C) y A
(B U C) = (A B) U (A C) 6. Existencia de complementos.

5. Lógica
ProporcionalLa lógica proposicional trata con sistemas lógicos
que carecen de cuantificadores, o variables
interpretables como entidades. En lógica
proposicional si bien no hay signos para variables de
tipo entidad, sí existen signos para variables
proposicionales (es decir, que pueden ser
interpretadas como proposiciones con un valor de
verdad de definido), de ahí el nombre
proposicional.

6. Considérese el siguiente argumento:
1.Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2.Mañana no es jueves.
3.Por lo tanto, mañana es miércoles.
Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las
premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere
que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas,
la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son
verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez
argumento no se debe al significado de las expresiones
miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían
por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:
1.Está soleado o está nublado.
2.No está nublado.

7. Teoremas
Fundamentales Teorema 1: los elementos de identidad 0 y 1 son únicos
 Teorema 2: (indempotencia)
a) X+X=X b) X.X=X
 Teorema 3: (elemento nulo).
a)X+1=1 b)X.0=0
 Teorema 4 :(leyes de absorción)
a)X+XY=X b)(X+Y)=X
 Teorema 5: cada elemento en el conjunto S tiene un único complemen
 Teorema 6: (teorema de la involución)
X´=X

8. Compuertas Lógicas.
 Compuerta NOT: se trata de un inversor, es decir, invierte el
dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel
alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa.
Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación
lógica es s igual a invertida.
 Compuerta AND: una compuerta AND tiene dos entradas
como mínimo y su operación lógica es un producto entre
ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso
coincidan.*Observa que su salida será alta si sus dos
entradas están a nivel alto*
 Compuerta OR:Al igual que la anterior posee dos entradas
como mínimo y la operación lógica, será una suma entre
ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es
que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o
b*Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida

9. Compuertas Lógicas Combinad
Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas
anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se
invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas
NAND, NOR y NOR-EX.
 Compuerta NAND: responde a la inversión del producto
lógico de sus entradas, en su representación simbólica se
reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la
compuerta AND.
 Compuerta NOR: el resultado que se obtiene a la salida de
esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica
o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo
agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.
 Compuerta NOR-EX: es simplemente la inversión de la
compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la

11. EQUIVALENCIA ENTRE PUERTAS
LÓGICAS Usando álgebra de Boole es posible obtener una gran variedad de
equivalencias entre símbolos de puertas lógicas y diagramas de
alambrado de circuitos lógicos
 En forma similar, dado un circuito lógico, empleando álgebra de Boole
es posible obtener la expresión lógica de la función que realiza,
simplemente escribiendo a la salida de cada puerta lógica la expresión

12. GRACIAS!