Proposisiones

1. Proposición simple
Es toda oración o enunciado al que se le puede
asignar un cierto valor (v o f). Si no puede
concluir que es verdadero o falso no es
proposición. Es cualquier agrupación de palabras
o símbolos que tengan sentido y de laque en un
momento determinado se pueda asegurar si es
verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una
proposición es lo que se llama su valor lógico o
valor de verdad. Las proposiciones se denotan
con letras minúsculas. Ejemplo p! q! r! a! b.

2. PROPOSICIÓN COMPUESTA
• Proposición molecular
• Letras mayúsculas
• Preposiciones simples
• Conectivos lógicos
• Tabla de valores de verdad
• Número de posibilidades

3. p q
V
F
Con una proposición
Con dos proposiciones
p q r
V V
V F
F V
F F

4. CONECTIVOS LÓGICOS
Negación
Conjunción
Conjunción negativa
Disyunción inclusiva
Disyunción exclusiva
Condicional
Bicondicional

5. Negación Conjunción Disyunción inclusiva

6. Condicional Bicondicional Conjunción negativa Disyunción exclusiva

7. EJEMPLO
 P: 2 es múltiplo de 3 y 4 es mayor que 1
p: 2 es múltiplo de 3 (F)
q: 4 es mayor que 1 (v)
P= p q (F)

8. Los cuantificadores son símbolos que se emplean
para poder señalar cuantos o los tipos de elementos
que integran un conjunto dado.
CUANTIFICADORES

9.  El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una
determinada propiedad.
CUANTIFICADOR UNIVERSAL

10. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
En el lenguaje de predicados en lógica matemática, se usa
el símbolo: ∃, llamado cuantificador existencial,
antepuesto a una variable para decir que "existe" al
menos un elemento del conjunto al que hace referencia la
variable, que cumple la proposición escrita a
continuación
Normalmente, en lógica, el conjunto al que se hace
referencia es el universo o dominio de referencia, que
está formado por todas las constantes.

11. EJEMPLO:

15. Cuantificación existencial única
El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar
que hay un único elemento de un conjunto.
A que cumple una determinada propiedad.
Se escribe:
∃! x ∈ A: P (x)
Se lee:
Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).

16. Noción de conjuntos, relación de pertenencia e
inclusión, relaciones entre conjuntos.

17. Noción de conjuntos
 Un conjunto es una colección de elementos, estos elementos pueden
relacionarse unos a otros, o simplemente ser un conjunto con
TODOS los elementos dentro de este.

18. Notación de conjuntos
 Determinación de un conjunto por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejemplo
Los números menores que 5: A=(1,2,3,4,5)
 Determinación por compresión
Un conjunto está determinado por compresión cuando solamente se menciona una
característica común de todos los elementos.
Ejemplo
El conjunto de vocales del abecedario: A=(x/x es una vocal)

19. Inclusión y pertenencia
 Relación de pertenencia
 Solo se da entre los elementos de un conjunto y éste. Es decir es perfectamente correcto decir
que uno o más elementos pertenecen a un conjunto. En este caso, nunca debe usarse la palabra
inclusión, por tanto no es correcto decir que un elemento está incluido en un conjunto.
La relación de pertenencia tiene un símbolo específico para el conector “pertenece” y para el
conector “no pertenece”. Veamos un ejemplo sencillo: si consideramos a V, conjunto de las letras
vocales, éste definido por extensión sería así:
 V = { a, e, i, o, u }
 Así las cosas es correcto decir cualquiera de las siguientes afirmaciones, que escribiré también
en lenguaje de símbolos matemáticos.
 El elemento a pertenece a V ==> a ∈ V
 El elemento f no pertenece a V ==> f ∉ V

20.  Relación de inclusión
 Se da entre conjuntos y sub conjuntos. Es correcto decir que un subconjunto está incluido en un conjunto
mayor, pero no es correcto decir que un subconjunto pertenece a un conjunto mayor.
La relación de inclusión tiene un símbolo específico para el conector “está incluido” y para el conector “no está
incluido”. Veamos un ejemplo sencillo en la misma línea del anterior: consideramos al conjunto L como el
conjunto de las letras del abecedario.
 L = { a, b, c, d, e…………. x, y, z }
Así las cosas es correcto decir cualquiera de las siguientes afirmaciones, que escribiré también en lenguaje de
símbolos matemáticos.
 El subconjunto V (de las vocales) está incluido en L : V ⊂ L
 El subconjunto G (letras griegas) no está incluido en L : G ⊄ L
 También es usual en estos casos otro concepto: “incluye a”. Ejemplo:
 El conjunto L incluye al conjunto V ==> L ⊃ V

21. Operaciones de conjuntos
En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas,
que parten de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos
conjuntos.
Sean dos conjuntos, A y B del conjunto universal U.

22. Unión de conjuntos
 La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el conjunto
formado por los elementos comunes y no comunes a ambos conjuntos.
Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa de la
siguiente forma
 b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común la unión, el resultado son
ambos conjuntos completos
 c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B el resultado es B

23. Propiedades de la unión de conjuntos
 1° (A U A) = A
 2° (A U B) = B U A
 3° A U (B U C) = (A U B) U C
 4° A U ᴓ = A
 5° A U U = U

24. Intersección de conjuntos
 La intersección de dos conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, se define como el conjunto formado por los
elementos comunes de A y B pero.
Las intersecciones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la intersección se representa de la siguiente forma;
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la intersección es igual a conjunto vacío (ᴓ)
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la unión es igual a A.

25. Propiedades de la intersección de conjuntos
1° (A ∩ A) = A Idempotencia
2° (A ∩ B) = (B ∩ A) Conmutativa
3° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Asociativa
4° A ∩ ᴓ = ᴓ Identidad
5° A ∩ U = A Identidad

26. Diferencia de conjuntos
 La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los
elementos A que no pertenecen a B.
La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia son los elementos del primero, menos los
del segundo.
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ)

27. Propiedades de diferencia de conjuntos
1° (A - B) ≠ B - A
2° A - B = A ∩ B’
3° A - ᴓ = A
4° A - U = ᴓ
5° ᴓ - A = ᴓ
6° A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – (A ∩ C)

28. Conjunto complementario
 Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe Ac, el cual está formado
por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.
 El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;
 Es decir, también podemos interpretarlo como;

29. Propiedades de conjunto complementario
1° A U AC = U
2° A ∩ AC = ᴓ
3° UC = ᴓ
4° ᴓC = U
5° (AC)C = A

30. Diferencia simétrica de conjuntos
 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B
y A ∩ B.
La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica son los elementos no comunes,
es decir todos los elementos que son parte de los dos conjuntos, excepto los que comparten entre ellos
b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B;
c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A;

31. Propiedades de diferencia simétrica de conjuntos
1° AΔ B = B ΔA
2° (AΔ B) Δ C = AΔ (B Δ C)
3° AΔA = ᴓ
4° AΔ ᴓ = A
5° AΔ U = U - A