El documento describe el álgebra booleana, incluyendo sus operadores (AND, OR, NOT), valores (verdadero y falso) y propiedades como la conmutatividad, asociatividad y distribución. Explica que el álgebra booleana es un sistema matemático deductivo que emplea valores booleanos y postulados como la cerradura, identidad e inverso de los operadores.

2. • El álgebra booleana es un sistema
matemático deductivo centrado
en los valores cero y uno (falso y
verdadero).
• por ejemplo, el operador booleano
AND acepta dos entradas booleanas
y produce una sola salida booleana.

4. El álgebra booleana emplea los
siguientes postulados:

5. • Cerrado. El sistema booleano se considera
cerrado con respecto a un operador binario si
para cada par de valores booleanos se
produce un solo resultado booleano.
• Identidad. Un valor booleano I se dice que es
un elemento de identidad con respecto a un
operador binario " º " si A º I = A.
• Inverso. Un valor booleano I es un elemento
inverso con respecto a un operador booleano
" º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir,
B es el valor opuesto de A.

6. • Ley conmutativa: La ley conmutativa de la
adición para dos variables se describe
algebraicamente como
• A+B=B+A
• Esta ley establece que no importa el orden en
el que las variables estén disyuntivadas. En la
terminología del algebra booleana, aplicada a
los circuitos lógicos, la adición y la operación
OR son lo mismo. AB=BA

7. • Ley asociativa: La ley asociativa de la adición para
tres variables se escribe algebraicamente como
sigue
• A+ (B+C)=(A+B)+C
• Esta ley establece que en la disyunción de varias
variables, el resultado es el mismo, sin importar el
agrupamiento de las mismas.
• Ley asociativa en la multiplicación para tres
variables se escribe como lo siguiente:
• A (BC)= (AB) C
• Esta ley establece que, al juntar varias variables no
importa el orden en la que estas se agrupen.

8. • Ley distributiva: La ley distributiva para tres
variables se describe como siguiente
• A (B+C)=AB+AC
• Esta ley establece que al disyuntivar varias
variables y conjuntiva el resultado con una sola
variable es equivalente a conjuntivar la variable
sola con cada una de las varias variables y
disyuntivar los conjuntos.
• El resultado de aplicar cualquiera de las tres
operaciones definidas a variables del sistema
booleano resulta en otra variable del sistema, y
este resultado es único.
•

10. el álgebra booleana en el siguiente juego de
operadores y valores:
• Los dos posibles valores en el sistema booleano
son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos
valores respectivamente como falso y verdadero.
• El símbolo · representa la operación lógica AND.
Cuando se utilicen nombres de variables de una
sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto
AB representa la operación lógica AND entre las
variables A y B, a esto también le llamamos el
producto entre A y B.

11. • El símbolo "+" representa la operación lógica
OR, decimos que A+B es la operación lógica
OR entre A y B, también llamada la suma de A
y B.
• El complemento lógico, negación ó NOT es un
operador unitario, en éste texto utilizaremos
el símbolo " ' " para denotar la negación
lógica, por ejemplo, A' denota la operación
lógica NOT de A.

12. • Si varios operadores diferentes aparecen en
una sola expresión booleana, el resultado de
la expresión depende de la procedencia de los
operadores, la cual es de mayor a menor,
paréntesis, operador lógico NOT, operador
lógico AND y operador lógico OR. Tanto el
operador lógico AND como el OR son
asociativos por la izquierda. Si dos operadores
con la misma procedencia están adyacentes,
entonces se evalúan de izquierda a derecha. El
operador lógico NOT es asociativo por la
derecha. Utilizaremos además los siguientes
postulados:

13. • P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las
operaciones AND, OR y NOT
• P2 El elemento de identidad con respecto a · es
uno y con respecto a + es cero. No existe elemento
de identidad para el operador NOT
• P3 Los operadores · y + son conmutativos.
• P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro,
esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B)
·(A+C).
• P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A'
= 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico
de A.
• P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A
(BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

14. Teoremas del álgebra booleana
• Teorema 1: A + A = A
• Teorema 2: A · A = A
• Teorema 3: A + 0 = A
• Teorema 4: A · 1 = A
• Teorema 5: A · 0 = 0
• Teorema 6: A + 1 = 1
• Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
• Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
• Teorema 9: A + A · B = A
• Teorema 10: A · (A + B) = A
• Teorema 11: A + A'B = A + B
• Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
• Teorema 13: AB + AB' = A
• Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
• Teorema 15: A + A' = 1
• Teorema 16: A · A' = 0

15. Características:
Conmutativa respecto a la primera función: x + y
= y + x
• Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
• Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y
+z)
• Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
• Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
• Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)(
y + z)
• Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
• Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
• Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
• Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

16. Propiedades Del Álgebra De Boole
• Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
• Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
• Maximalidad del 1: x + 1 = 1
• Minimalidad del 0: x0 = 0
• Involución: x'' = x
• Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
• Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
• Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' =
x'y'
• Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x'
+ y'

17. L
I
D
A
E
L
I
D
A
E