Algebra(1)

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Índice:
Tema Página.
Unidad I.
Operaciones fundamentales del algebra ----------------------------- 15
1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico -------------------- 15
2. Notación algebraica. -------------------------------------------------------------- 18
3. Valor numérico de una expresión algebraica --------------------------------- 23
4. Leyes de los exponentes enteros positivos. ---------------------------------- 24
5. Suma y restas de polinomios ---------------------------------------------------- 26
6. Multiplicaciones de monomios ---------------------------------------------------30
7. Multiplicaciones de polinomios por polinomios. --------------------------- 33
8. División de monomios. ------- ---------------------------------------------------- 36
9. División de polinomios por monomios. --------------------------------------- 38
10. Productos notables. --------------------------------------------------------------- 43
11. Factorización de polinomios. --------------------------------------------------- 47
12. Ejercicios. --------------------------------------------------------------------------- 51
Unidad II.
Fracciones algebraicas. -----------------------------------------------------53
1. Simplificación de fracciones algebraicas. ------------------------------------53
2. Adicción de fracciones algebraicas. -------------------------------------------58
3. Mínimo común múltiplo de polinomios. ------- ---------------------------- 61
4. Fracciones con denominadores distintos. -----------------------------------64
5. Multiplicación de fracciones. ------------------------------------------68
6. División de fracciones. ---------------------------------------------------------71
7. Operaciones combinadas y fracciones complejas. -----------------------73
Unidad III.
Exponentes y radicales. ---------------------------------------------------77
1. Leyes de los exponentes. ------------------------------------------------------77
2. Exponentes enteros negativos y cero. --------------------------------------78
3. Exponentes fraccionarios. -----------------------------------------------------81
4. Leyes de los radicales. ---------------------------------------------------------85
5. Adición y sustracción de radicales. -----------------------------------------89
6. Multiplicación y división de radicales. ---------------------------------------91
Unidad IV.
Ecuaciones lineales. -------------------------------------------------------95

14
1. Ecuaciones de primer grado. --------------------------------------------------95
2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. --------------------------97
3. Ecuaciones que contienen quebrados. ----- -------------------------------103
4. Solución de problemas mediante las ecuaciones de primer grado------104
5. Ejercicios. -----------------------------------------------------------------------108
Unidad V.
Sistemas de ecuaciones. --------------------------------------------------110
1. Resolución de sistemas lineales. ---------------------------------------------110
2. Resolución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas. ----117
3. Resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes. ----------118
4. Problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos
o más incógnitas.-----------------------------------------------------------------121
5. Ejercicios. ------------------------------------------------------------------------124
Unidad VI.
Ecuaciones cuadráticas. ------------------------------------------------127
1. Forma general de la ecuación de segundo grado. ----------------------127
2. Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras. ----------------------128
3. Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas. -----128
4. Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas. ------------------129
5. Ecuaciones que comprenden radicales de segundo orden. ------------135
6. Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.------------------------- 137
7. Problemas que implican ecuaciones de segundo grado.----------------138
8. Ejercicios.----------------------------------------------------------------------- 139
Unidad VII.
Inecuaciones. ------------------------------------------------------------- 142
1. Generalidades sobre desigualdades. -------------------------------------142
2. Propiedades de las desigualdades. -------------------------------------- 143
3. Resolución de las inecuaciones. ------------------------------------------ 144
4. Inecuaciones simultáneas. -------------------------------------------------- 146
5. Ejercicios. ---------------------------------------------------------------------- 147

15
UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL
ALGEBRA.
1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico.
Notación y terminología algebraica.
Introducción al álgebra.
El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos
para efectuar cálculos y resolver problemas.
Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de
la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El
álgebra es una generalización de la aritmética.
En el desarrollo del álgebra, el uso de una letra para representar un numero fijo pero
desconocido proviene de los griegos; sin embargo, el uso de una o varias letras para
representar toda una clase de números no se concibió sino basta finales del siglo XVI.
Durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios, griegos, hindúes y árabes
trabajaron en álgebra, no se les ocurrió la idea de usar letras en lugar de números. Estos
pueblos hicieron su álgebra trabajando con expresiones concretas pero no usaron un
símbolo como la "x" para la incógnita.
LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos
el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo
convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las
divide en:
LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores
que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un
problema se representan par medio de literales.

16
INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores
numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones
matemáticas.
VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las
primeras tras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ".
Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u,
v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS".
De lo anterior hacemos la siguiente observación:
VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de
números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:
Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y"
cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:
Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3
Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3)
Y=2 y=4 y=6
CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no
pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será
nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un
circulo al diámetro.
TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE
ALGEBRAICO Y VICEVERSA.
Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas
expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera
abstracta.
Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te clara
confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.

17
En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje
algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en
proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. EJEMPLOS:
LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.-
Tres objetos cualesquiera. x .y, z.
2.- La semisuma de dos números
2
a b+
3.- La suma de dos veces un numero mas 2n + 3n = 5n
tres veces el mismo numero es igual a
cinco veces dicho número.
4.- El cubo de un numero menos el w³ - 2w
del mismo numero.
5.- El cociente de dos Fracciones comunes
m p
n p
÷
LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:
5n –2n = 3n Cinco veces un numero restado dos
veces el mismo numero es igual a tres veces
dicho numero.
a² + b² Suma de los cuadrados de dos números. 2πr
EI doble producto de π por r(radio).
2 (u -v) El doble de la diferencia de dos números.
A = (l)(a) El área de un rectángulo es igual al producto de su
largo par su ancho.

18
2. NOTACIÓN ALGEBRAICA.
Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
En la notación algebraica el medio que nos permite conocer los elementos que conforman
una representaci6n matemática; por ejemplo:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de
literales y números que conforman una 0 más operaciones algebraicas.
EJEMPLOS:
X ; 7z² ; 2ª + 5b; √8x;
2 2
x a
x a
+
+
; etc.
En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-)
reciben el nombre de Términos algebraicos.
TERMINO ALGEBRAICO.- Es cualesquiera de las partes de uno expresión que consta de
uno o vario símbolos no separados entre si por el signo ( +) o (-).
EJEMPLOS:
3x² ; 2mn; u/3; ,√5y³ ; 4x²y; etc.
ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituyen un termino son: el
signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Términos POR EL SIGNO.- Los términos que van precedidos del signo ( + ), se de
nominan "POSITIVOS"; los que van precedidos del signo (-), se denominan "Negativos".
EJEMPLOS :
8x²y; 2x/3y; 5x; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS
-6xy²; -3m/n; -ax ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS.
Cuando un termino no es afectado por ningún signo, se considera positivo, ya que el signo
(+ ) suele no escribirse en términos positivos:

19
COEFIClENTE.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un termino; el
coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:
COEFICIENTE Numérico.- Es el factor numérico de un termino.
EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino 5ax es 5"
COEFICIENTE LITERAL.- Es el factor literal de un termino.
EJEMPLO: "El coeficiente literal del termino mby es m”.
Es importante señalar que el coeficiente siempre va acompañado del signo del término.
EJEMPLO: " -2by el coeficiente numérico es -2 ..
Cuando un termino no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su
coeficiente es la unidad.
EJEMPLO: "axy = 1 axy "
Monomios
Clases de monomios (términos)
Termino entero es el que no tiene denominador con literal como: 5a, ba
34
, a
5
2
Termino fraccionario es el que tiene denominador literal como: -
b
a3
Termino radical es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que
tiene radical, como: ab , 3
2
3
a
b
.
Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, yx4
4 , y
yx
32
6 son homogéneos porque ambos son de quinto grado.

20
Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer
grado, y 3a², que es de segundo grado.
Polinomios
Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o
más monomios.
Son polinomios en varias variables:
yx 76
32
+
378 −+− yxxy
No son polinomios porque la variable:
86 7
2
++
−
xx tiene exponente negativo.
9x + y tiene un radical.
8x + y
3/2
tiene exponente fraccionario.
10xy
z
la variable esta en el denominador.
EI polinomio esta constituido por términos
El término es la parte de un polinomio o expresión algebraica separada por los signos mas o
menos.
Ejemplo
4x² -5xy-√2y² son términos 4 x² ,5 xy, √2 y²
E1 termino esta formado par coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras),
multiplicados entre sí, llamados factores.

21
Coeficiente Exponente
yx
2
7
Literales
Generalmente se considera que el signo del término pertenece al coeficiente, que es el 5
-5x²y³
A cada uno de los elementos del termino se le conoce como "factor".
Clases de polinomios
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por
ejemplo:
2x³ + 7x – 8 ,
8
3
53
5
2
++
xx
Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como
denominadores, por ejemplo:
7
2
−+
d
c
b
a
Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo:
2x² + 2xy + y²
Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por
Ejemplo:
823 −+ yx

22
Un polinomio será completo cuando sus términos contienen exponentes sucesivos en
relación a una literal, por ejemplo:
xx x 8
35
3 −+
Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente
menor, los números constantes se escriben hasta lo último.
Ordenar el siguiente polinomio:
185
518
372
723
223
232
+−=
−+−+
−−
−
yxx
xxy
xyy
xyy
Grado de los polinomios
E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas
variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las
variables.
Ejemplo:
Grado de un término en una sola variable:
6x³ 3er grado.
2x 1er grado.
3³x 1er grado.
-3 grado cero porque -3x°
Grado de un término en varias variables:
72 x³ y³ 6to grado
4 x² y³ 5to grado
√3 x y² 3er grado

23
3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad
siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya
que la incógnita tiene un valor específico.
La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto
de la expresión algebraica.
Si es de primer grado sólo tiene una solución.
Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la
incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.
Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.
Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la
incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.
Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el
valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos
el valor numérico o comprobamos la igualdad.
Encontrar el valor numérico
¿Cuánto vale la siguiente expresión?
Cuando x = 2 Y y = 4
2(2) ² - 3 (4) =
2(4) – 12 =
8 – 12 =
Podemos afirmar que el valor numérico para 2x² - 3y = -4, si sólo si
2x²- 3y
- 4

24
x =2 Y у = 4. Es decir, si el valor numérico de 2x² - 3y = -4, entonces
x = 2 Y y = 4, y si x = 2 Y y =4, entonces 2x² - 3y = -4. Debemos saber,
sin embargo, que si los valores de x y de y cambian, también cambiará el
valor numérico de la expresión algebraica.
4. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS
Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si
mismo; por ejemplo:
a5
= (a) (a) (a) (a) (a)
La expresión a5
se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:
N Exponente (Entero positivo)
n – ésima potencia a Base
de a.
Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes
enteros y positivos, dichas leyes son:
Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término
de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias
multiplicadas; Es decir:
Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de
la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias
divididas”; Es decir:
nm
n
m
a
a
a −
= (Si m > n) mnn
m
aa
a
−
=
1
(Si n>m)
n n
(a ) (a ) = a

25
10
=== −
aa
a
a nm
n
m
(Si m = n)
Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino
de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:
mnnm
aa =)(
Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente,
su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es
decir:
mmm
baab =)(
Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del
dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la
división”; Es decir:
m
mm
b
a
b
a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
a) 53232
))(( uuuu == +
b) 224
2
4
mm
m
m
== −
c) 6)3)(2(32
)( ccc ==
d) 6
3
)3)(2(
333
2
8.22
b
a
b
a
b
a
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

26
5. SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS:
SUMA O ADICIONES.- Operación que consiste en reunir dos o mas expresiones
algebraicas de una sola.
Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.
EJEMPLOS:
SUMANDO <--------------- 222
753 aaa ++ = 2
15a -------------------- SUMA
2232
3333
632
724
532
axaxaxax
xxxmx
mnmnmn
=++
=++
=+
En aritmética se suman los números positivos, en álgebra la suma puede ser con cantidades
positivas y negativas, proceso que se denomina “suma o adición algebraica”.
Al realizar sumas algebraicas de términos semejantes, se recomienda, sumar los términos
positivos y los negativos primeramente y finalmente se calcula su diferencia. si existen
términos no semejantes, la operación que da indicando.
EJEMPLOS:
=−−+++=++−+− YYYXXXXYYXYX 4783684376 10 11X Y−
cbaccbbaa
cccbbbaaacbacbacba
5262735339
26523455423625
+−=−+−+−
=−++−++−+=+−+−+−++
3232
5353
+=+
+=+
mm
bxaxbxax

27
En la suma de polinomios en forma práctica se colocan verticalmente los términos
semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la aritmética, para facilitar la
operación.
1.- suma las expresiones: .743253 22
babbababa −++−++ acomodando los términos
semejantes, tenemos:
b
baba
baba
−
++
+−
__________
472
533
2
2
baba 845 2
++
Resta o Sustracción.- Restar una cantidad “m” de otra cantidad “l”, significado determinar
la cantidad a “m”, de cómo resultado “l”.
rml =− ya que lmr =+
La sustracción con polinomios, se realiza utilizando términos semejantes.
En aritmética la resta indica “disminución”, en el álgebra puede indicar “aumento “ o
“disminución”. Para restar polinomios, es necesario restar del “minuendo“ cada uno de los
términos del “sustraendo “, combinándole el signo a todos sus términos.
EJEMPLOS:
1.- Restar zyx 247 +− de .5911 zyx −+
MINUENDO -------------- ZYX 5911 −+
}
ZYX
ZYX
247
5911
−+−
−+
SUSTRAONA ---------- )247( ZYX +−− ---------------------
ZYX 7134 −+ ----- RESULTADO

28
2.- Resta 48715 +−+ bcaca de 13611 −+− acbsa
)48715(
16311
+−+−
−−+
bcaca
bcaca
48715
16311
+−+−
−−+
bcaca
bcaca
-----------------------------
524 −+−− bcaca
Signos de agrupación
Cuando una expresión algebraica contiene uno o mas partes del símbolo de la agrupación
en cerrados en otro par, siempre se elimina el de mas dentro.
Para suprimir los signos de agrupación se procede como se indica a continuación:
Los lo que están precedidos del signo + se quita el signó de agrupación y se pone su
termino sin cambiar sus signos interiores + o de – .
Los signos de agrupación presididos del signo del signo – se quitan de agrupación y se
pone el simétrico (signo contrario) de cada término.
EJEMPLOS:
( )[ ] }{ 25234 +−+− xxx
[ ( ) ]}{
[ ]{ } abbaa
abbaa
+−−−−−=
+−+−−−
1229523835
1229523835
}][{ 25234 −−+− xxx { } abbaa 1229523832 −−+−−=
}{ 25234 −−+− xxx abbaa +−+−+−= 1223240162432
225234 =−+−− xxx 2202412 +−= ba

29
Ejercicios
1. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego
la tercera expresión de la suma de las dos primeras.
a) 7 3 11 ; 14 10 10 ;8 8 13a b c a b c a b c− + − + + + + Resp: 15 34 ; 15 8a b c a b c+ + − − +
b) 3 4 ;2 4 7 ;3 5xy yz x x xy yz yz x xy+ − − + − + Resp: 4 6 ; 6 2xy yz xy x+ − +
c) 2 3 7 ; 4 3 5 ;2 3 8r rs s s r rs rs s r− + − − + + − Resp: 9 4 6 ;7r rs s r− + +
2. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes
a) 4 ( 3) (3 1)x y x+ − − + Resp: 4x y+ −
b) ( ) (2 3 ) ( )x y x y x y− − − − − + Resp: y
c) [ ]1 2 (3 ) 3a b a− − − − + Resp: 1 2 2a b− +
d) [ ](3 ) (4 3 )x x x− + − − + Resp: 3 1x +
e) ]{ }2 3 5 6 ( ) 5a ab b a ab b a b⎡− − + − + + − − +⎣ Resp: 6 5 3xy x y+ −
f) ]{ }10 ( 3) ( 6)x y x y⎡+ − + − − −⎣ Resp: 7
3. Evalúe las expresiones siguientes, dado que 2, 3, 1a b c= = − = y 2d = −
a) 2a b c− + b) 2a b d− − c) 6 5a b d− −
d) 2 3a b c d− + + e) ( 2 )b c d− − f) 2 2(3 2 )c a b− −
g)
a d
a d
+
−
h)
3ab cd
c
−
i)
3 2
4
b ad
a
−
Respuestas: a) 9; b) 9; c) 29; d) 1; e) -8 ; f) -22; g) 0; h) 0; i)
1
8
−

30
6. MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS
Regla
Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los
factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los
factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplos: (1) Multiplicar .32 32
apora
53232
63232 aaXaXa == +
R. El signo del producto es +porque + por + es +.
(2) Multiplicar 342
5 ymxporxy −−
553241342
55)5()( ymxymxymxXxy ==−− ++
R. El signo de producto es +porque- por – da +
(3) Multiplicar xbbpora 22
43 −
xbaxbaxxabbXa 3321222
1243)(3 −=−=− +
R. El signo del producto es - porque + por - da –
(4) Multiplicar 32
4 cbaporab nm
−
32132132
4414)( cbacbaXcbaXab nmnmnm ++++
=−=−
R. El signo es producto es – porque + da –
I . Ejercicios:
1.- ab por ab− Resp: 2 2
a b−
2.- 2
2x por x3− Resp: 3
6x−
3.- ba2
4− por 2
ab− Resp: 3 3
4a b
4.- 32
ba por xa2
3 Resp: 4 3
3a b x

31
II . Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
1) 3 2
( )( )a b b 2) 2 2 3
( )( )a b a 3) 2 2
(2 )(3 )x xy
4) 2 3 4
3 (2 )x y x y− 5) 2 4 2
3 (4 )( )x x y x y− 6) 3 2 3 2
(3 )( )x y x y x− −
7) 2 2 3 3
3 (4 )( 9 )a b ab a b− − 8) 2 3 2
( )a b ab 9) 2 2 2
6 (2 )a b ab
10) 2 2 2 3
( ) (2 )a b ab 11) 2 2 3
(4 ) ( )ab ab 12) 2 3 3 2
( ) ( 8 )x y x y− −
13) 2 3 2 2 2 3
( ) (2 ) ( 5 )xy x yz xz− − 14) 2 2 3 2 2 4 5 4
( ) (8 ) ( 3 )a b abc b c− −
15) 2 2 2 3
2 ( ) ( )a b a b− − − 16) 2 2 2
( 2 ) ( ) ( )ax a x− − − 17) 2 2 2 2
2 ( ) (4 )( )a b a b− + −
Respuestas: 1) 3 3
a b ; 2) 5 2
a b ; 3) 3 2
6x y ; 4) 6 4
6x y− ; 5) 7 3
12x y− ; 6) 7 4
3x y ;
7) 6 6
108a b ; 8) 4 7
a b ; 9) 4 5
24a b ; 10) 7 8
8a b ; 11) 5 8
16a b ; 12) 12 5
64x y− ; 13) 8 8 7
20x y z
14) 8 24 24
5184a b c− ; 15) 2 2 2 3
2a b a b− + ; 16) 2 2
5a x ; 17) 2 2
2a b
Multiplicación de Polinomios por Monomios
Sea el producto cba )( +
Multiplicar porcba )( + equivale a tomar la suma )( ba + como sumando c veces; luego:
.
),...(),...........(
).....()()(
bcac
vecescbbbvecescaaa
cvecesbabacba
+=
+++++=
+++=+
Sea el producto (a-b)c.

32
Tendremos:
( ) ( ) ( ) ( )............ ,
( ......... , ) ( .. , )
a b c a b a b a b c veces
a a a c veces b b b c veces
ac bc
− = − + − + −
= + + + + +
= −
Podemos, pues , anunciar lo siguiente:
Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio
Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta
en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios
signos.
En esta Ley Distributiva de la multiplicación
Ejemplos:
Multiplicar 22
4763 axporxx +−
Tendremos )4(7)4(34)763( 2"222
axaxxaxXxx +=+−
234
282412 axaxax +−= ç
2
2
4
763
ax
xx +−
-----------------------
La operación suele disponerse a si 234
282412 axaxax +−
I. Ejercicios:
(1) xporxx 23 23
−− Resp: 4 3
6 2x x− +
(2) 322
238 axporyyx −− Resp: 5 3 2
16 6ax y ax y− +
(3) xporxx 2342
−+− Resp: 3 2
2 8 6x x x− + −
(4) abaporaa 364 23
+− Resp: 4 3 2
3 12 18a b a b a b− +

33
II. Efectúe las multiplicaciones indicadas:
1) 6( 7)x + 2) 7( 4)x − 3) ( 3)x y +
4) 5 (2 3)x y − 5) 4 ( 3)x y− − 6) 2
2 (3 2 )x x x−
7) 2
6 ( 4 )x x x− − 8) 2
3 (3 5 )x x x− − − 9) 3 2
2 (3 5)x x x+ −
10) 2 2
2 ( 3 )ab a ab b− + − 11) 2 3 2 2 4
2 ( 5 3 )a b a a b b− + −
12) 3 2 2
5 ( 4 )a b ab b a− + 13) 3 2 2
2 (2 3 2)ab a b− − −
14) 2 (5 6) 3 ( 4)x x x x− − − 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x x x− − −
16) 2 2
2 (3 4 6) ( 8)x x x x x− + − − 17) 2 2 3 2
(2 3 4) ( 3 4 )x x x x x x x− − − − −
Respuestas: 1) 6 42x + ; 2) 7 28x − ; 3) 3xy x+ ; 4) 10 15xy x− ; 5) 4 12xy x− +
6) 3 2
6 4x x− ; 7) 3 2
6 24x x− + ; 8) 2 3
9 15 3x x x− + + ; 9) 5 4 3
6 2 10x x x+ − ;
10) 3 2 2 3
2 6 2a b a b ab− + − ; 11) 5 4 3 2 5
2 10 6a b a b a b− − + ; 12) 4 4 3 3 4 2
5 5 20a b a b a b− + ;
13) 3 3 5 3
4 6 4a b ab ab− + + ; 14) 2
7x ; 15) 10x− ; 16) 3
5 12x x+ ; 17) 4
x
7. MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
Sea el producto (a+b-c)(m+n).
Haciendo m+n=y tendremos:
cbyayycbanmcba −+=−+=+−+ )())((

34
cnbnancmbmam
cncmbmbnnaam
nmcnmbnma
−++−+=
−−+++=
+−+++= )()()(
(sustituyendo y por su valor m+n)
Podemos enunciar lo siguiente:
Regla para Multiplicar dos Polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del
multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos
semejantes.
Ejemplos: (1) múltiplos a-4 por 3 + a
Tendremos: 3
4
+
−
a
a
3
4
+
−
a
a
( ) ( )aaa 4− o sea aa 42
−
( ) ( )433 −+ a 123 −a
122
−− aa
Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos término del
multiplicador y el segundo término del multiplicador 3 por los dos termino del
multiplicador escribiendo los productos parciales de modo que los términos
semejantes quedan en columnas y hemos reducido los términos semejantes.
(2) Multiplicador xyporyx 52..34 +−−
Ordenando en orden descendente con relación a la x tendremos:

35
yx
yx
25
34
−
−
yx
yx
25
34
−
−
yx 1520 2
−
)5(3)5(4 yyxx − 2
68 yxy +−
)2(3)2(4 yyyx +− 22
62320 yxyx +−
I. Ejercicios:
1. 1..3 −+ apora Resp: 2
2 3a a+ −
2. xyporyx 2..28 +− Resp: 2 2
16 2 4x y xy− +
3. yxporxy 23..54 +−+− Resp: 2 2
15 22 8x xy y− + −
4. abporba 84.. +−+− Resp: 2 2
8 12 4a ab b− + −
II. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1) ( 7)( 4)x x− + 9) 2
( 1)((2 2 3)x x x+ − +
2) ( 6)( 6)x x− + 10) 2
( 2)( 2 4)x x x− + −
3) ( 1)( 6)x x− − 11) 2
(2 1)(4 2 1)x x x− + +
4) (3 1)(4 3)x x− − 12) 2 2
( 2 )( 2 4 )x y x xy y− + +
5) (3 2 )(3 4 )x x− + 13) 2 2
( 2 1)( 2 1)x x x x+ − − +
6) (7 3 )(8 5 )x x+ − 14) ( 1)( 3) ( 4)x x x x+ + + −
7) ( 4 )(3 4 )x y x y− − 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)
8) ( 3)( 4)xy xy+ − 16) ( 2)( 4) ( 2)x x x x+ − − −
Respuestas: 1) 2
3 28x x− − ; 2) 2
36x − ; 3) 2
7 6x x− + ; 4) 2
12 13 3x x− + ; 5)
5) 2
9 6 8x x+ − ; 6) 2
56 11 15x x− − ; 7) 2 2
3 16 16x xy y− + ; 8) 2 2
12x y xy− − ;
9) 3
2 3x x+ + ; 10) 3
8 8x x− + ; 11) 3
8 1x − ; 12) 3 3
8x y− ; 13) 4 2
4 4 1x x x− + −
14) 2
2 3x + ; 15) 2
3 2x − ; 16) 8−

36
8. DIVISIÓN DE MONOMIOS.
Regla para dividir dos Monomios
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a
continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un
exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo de
la Ley de los signos.
Ejemplos: (1) Dividir abentreba 24 23
−
ba
ab
ba
abba 2
23
23
2
2
4
2/4 =
−
=− R.
Porque ( ) ( ) 2332
442 bababaxab ==−−
(2) Dividir baentrecba 234
..5 −−
cba
ba
cba
bacba
22
5
5
/5 2
34
234
=
−
−
=−− R.
Porque cbabacba 34234
5)(*5 −=−−
Obsérvese que cuando el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este
caso c, dicha letra letras a párese en el cociente. Sucede lo mismo que si la c
estuviera en el divisor con exponente cero por que tendríamos.
cccc ==
−01
0
/
(3) Dividir 332
4/20 xyymx−
mx
xy
ymx
xyymx 5
4
20
4/20 3
32
332
−=
−
=− R
Porque 323
20)5(*4 ymxmxxy −=−
Obsérvese que letras iguales en el dividendo y el divisor se cancela por que su
cociente es 1.Así, en es te caso 3
y del dividendo se cancela con 3
y del divisor,
igual que en. Aritmética suprimimos los factores comunes en el numerador y
denominador de un quebrado.

37
También de acuerdo con la ley de los exponentes 3
y / 3
y = 33−
y = 0
y y veremos
mas adelante que 0
y =1y1 como factor puede suprimirse en el cociente.
Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:
34
2
2
6
x yz
xy
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el
exponente exterior.
3 34 3 9 3 9 3
2 3 3 3
2
6 3 3 27
x yz x z x z x z
xy y y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I. Ejercicios:
(1) 243
214 abentreba − Resp: 2 2
7a b−
(2) 4343
baentrecba− Resp: c−
(3) nmentrenm 22
5− Resp: 5−
(4) 3232
88 xaentrexa −− Resp: 1
II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
1)
5
2
a
a
2)
3
x
x
3)
6
12
a
a
4)
2
8
x
x
5)
10
10
x
x
6)
10
6
b
b−
7)
8
10
( )a
a
−
−
8)
7
7
( )a
a
−
−
9)
8
4
( 1)
( 1)
x
x
+
+
10)
6
9
( )
( )
x y
x y
−
−
11)
3
3
bx
b
12)
6 4
3 2
x y
x y
13)
2 5
6 10
9
36
a b
a b
14)
8 7
4 9
6
18
a b
a b
−
15)
62
5
2a
a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
16)
32 5
6
2
4
x y
xy
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
17)
34 2 7
3 4 7
2
x y z
x y z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
18)
43 2 4
2 3
12
18
x y z
xy z
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Respuestas: 1) 3
a ; 2) 2
x ; 3) 6
1
a
; 4) 6
1
x
; 5) 1 ; 6) 4
b− ; 7) 2
1
a
− ; 8) 1 ;
9) 4
( 1)x + ; 10) 3
1
( )x y−
; 11) x ; 12) 3 2
x y ; 13) 4 5
1
4a b
; 14)
4
2
3
a
b
− ; 15) 18
64
a

38
16)
3
3
8
x
y
; 17)
3
6
8
x
y
; 18)
8 4
16
81
x z
9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS.
Regla para dividir un polinomio por un monomio.
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los
cocientes parciales con sus propios signos.
Esta es la ley distributiva de la división.
Ejemplos
Ejemplo 1) Dividir 3 2 2
3 6 9a a b ab− + entre 3a.
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 6 9 3 6 9
(3 6 9 ) 3
3 3 3 3
a a b ab a a b ab
a a b ab a
a a a a
− +
− + ÷ = = − +
Resultado: 2 2
2 3a ab b− +
Ejemplo 2) Dividir
3 2 2
3 2a a b ab
ab
− −
−
Solución:
3 2 2 3 2 2 2
3 2 3 2 3
2
a a b ab a ab ab a
a b
ab ab ab ab b
− − − −
= + + = − + +
− − − −
Ejemplo 3) Dividir
2
(3 ) (3 )
(3 )
x a a x a
x a
+ − +
+
y simplificar
2
(3 ) (3 )
(3 )
x a a x a
x a
+ − +
+
=
2
(3 ) (3 )
(3 ) 3 3
(3 ) (3 )
x a a x a
x a a x a a x
x a x a
+ +
− = + − = + − =
+ +
Ejercicios: Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1)
2 2
2
x +
2)
10 5
5
x −
3)
2
6 3
3
x x
x
+
4)
3 2
3x x x
x
− +
5)
6 3
3
ax a
a
+

39
6)
3 2
2
7 14
7
x x
x
−
7)
2 3
2
10 15
5
x y x
x
+
−
8)
5 4 3
3
12 18 6
6
x x x
x
+ −
−
9)
3 2 2 3
2 2
36 24
12
x y x y
x y
− −
−
10)
3 2
2
4 6 8
2
x x x
x
+ −
11)
6 4 2 2 4
3 3
2 3
3
x x y x y
x y
− −
−
12)
2
6( ) 3( )
3( )
x a x a
x a
− + −
−
13)
2
(2 ) (2 )
(2 )
x a x x a
x a
+ − +
+
14)
3 2
(2 ) (2 )
(2 )
x a x a
x a
− − −
−
Respuestas: 1) 1x + ; 2) 2 1x − ; 3) 2 1x + ; 4) 2
3 1x x− + ; 5) 2 1x + ; 6) 2x − ;
7) 2 3y x− − ; 8) 2
2 3 1x x− − + ; 9) 3 2x y+ ; 10)
4
2 3x
x
+ − ; 11)
3
3
2
3 3
x x y
y y x
− + +
12) 2( ) 1x a− + ; 13) x a+ ; 14) 2
(2 ) (2 )x a x a− − −
.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división se define como la operación inversa de la multiplicación; así que empezamos
con un problema de multiplicación y luego deducimos la operación de división.

40
2 2
( 3 5)(2 7) (2 7) 3 (2 7) ( 5)(2 7)x x x x x x x x+ − − = − + − + − −
3 2 2
(2 7 ) (6 21 ) ( 10 35)x x x x x= − + − + − +
3 2
2 31 35x x x= − − +
Por consiguiente si 3 2
(2 31 35)x x x− − + se divide por (2 7)x − , el resultado es
2
( 3 5)x x+ − , es decir, el primer polinomio del problema de multiplicación. El polinomio
3 2
(2 31 35)x x x− − + se llama dividendo, (2 7)x − es el divisor, y 2
( 3 5)x x+ − , el
cociente. El primer término del dividendo, 3
2x , proviene de multiplicar el primer término
del cociente, 2
x , por el primer término del divisor, 2x . De modo que para obtener el
primer término del cociente, 2
x , dividimos el primer término del dividendo, 3
2x , por el
primer término del divisor, 2x. Multiplicando todo el divisor (2 7)x − por ese primer
término del cociente, 2
x , obtenemos 3 2
2 7x x− . Al restar 3 2
2 7x x− del dividendo, resulta
3 2 3 2 2
(2 31 35) (2 7 ) 6 31 35x x x x x x x− − + − − = − +
La cantidad 2
6 31 35x x− + es el nuevo dividendo. El primer término, 2
6x , del nuevo
dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x , por el primero del
divisor, 2x . Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x , se divide el primero
del nuevo dividendo, 2
6x , por el primer término del divisor, 2x . Multiplicando el divisor
(2 7)x − por el segundo término del cociente, 3x , se obtiene 2
6 21x x− . Restando
2
6 21x x− del nuevo dividendo, resulta
2 2
(6 31 35) (6 21 ) 10 35x x x x x− + − − = − +
La cantidad 10 35x− + es ahora el nuevo dividendo. Al dividir el primer término,
( 10 ),x− de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x , se obtiene el tercer
término, (-5), del cociente. Multiplicando el divisor (2 7)x − por el tercer término del
cociente, (-5), se obtiene 10 35.x− + Restando( 10 35)x− + del dividendo ( 10 35)x− + ,
resulta cero. Iniciemos nuevamente el problema disponiéndolo de una manera semejante a
la división larga en aritmética.
+ 2
x + 3x - 5 cociente
El primer término
del cociente es Divisor 2 7x − 3
2x - 2
x - 31x + 35 dividendo
− +

41
3 2
2 / 2x x x= 2
(2 7)x x − = 3
2x - 2
7x restar
2
6x 31x− + 35
El segundo − +
2
6 / 2 3x x x= + 3 (2 7)x x − = 2
6x 21x−
restar
El tercero 10x− + 35
+ −
10 / 2 5x x− = − 5(2 7)x− − = 10x− +35 restar
0 residuo
Por consiguiente
3 2
22 31 35
3 5
2 7
x x x
x x
x
− − +
= + −
−
Ejemplo 2. Dividir 3 2
(6 17 16)x x− + por (3 4)x −
Solución: Escribimos el dividendo como 3 2
6 17 0 16x x x− + +
2
2x+ 3x− 4−
3 4x − 3
6x 2
17 x− 0x+ + 16
− +
3 2
6 /3 2x x x= + 2
2 (3 4)x x − = 3
6x 2
8x−
2
9x− +0x +16
+ −
2
9 /3 3x x x− =− 3 (3 4)x x− − = 2
9x− 12x+
12x− +16
+ −
12 /3 4x x− = − 4(3 4)x− − = 12x− +16
0 residuo
Por consiguiente
3 2
26 17 16
2 3 4
3 4
x x
x x
x
− +
= − −
−

42
Ejercicios: Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:
1)
2
3 2
1
x x
x
+ +
+
2)
2
6
2
x x
x
+ −
−
3)
2
14 48
8
x x
x
− +
−
4)
2
8 16 6
2 1
x x
x
+ +
+
5)
2
9 6 1
3 1
x x
x
+ +
+
6)
2
12 25 12
4 3
x x
x
+ +
+
7)
2
16 8 1
4 1
x x
x
− +
−
8)
2
22 8 21
4 3
x x
x
+ −
−
9)
3 2
2
4 2 8
4
x x x
x
− − +
−
10)
4 3 2
2
3 2 6 3 2
2
x x x x
x x
+ − + −
+ −
11)
3 2
3 4 6
2 3
x x x
x
− − +
+
12)
3 2
4 7 21 9
4 3
x x x
x
− − +
−
13)
3 2
6 11 14 2
2 5
x x x
x
− − −
−
14)
4 2
2
2 11 39 15
3 5
x x x
x x
− − −
+ +
15)
4 3 2 2 3 4
2 2
2 3 3 5 3
2
x x y x y xy y
x xy y
+ + − −
− −
Respuestas: 1) 2x + ; 2) 3x + ; 3) 6x − ; 4) 4 6x + ; 5) 3 1x + ; 6) 3 4x + ; 7) 4 1x −
8) 2 7x + ; 9) 2x − ; 10) 2
3 1x x− + ; 11) 2 4
2 1
3 2
x x
x
− + +
+
; 12) 2 9
6
4 3
x x
x
− − −
−
13) 2 12
3 2 2
2 5
x x
x
+ − −
−
; 14) 2
2 6 3x x− − ; 15) 2 2
2 3x xy y+ +

43
10. PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación.
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso
para obtener su resultado.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual: 2 2 2
( ) 2a b a ab b+ = + +
Cuadrado del primer término más
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de
trinomio cuadrado perfecto.
Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término
del trinomio.
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: 2 2 2
( ) 2a b a ab b− = − +
Cuadrado del primer término, menos
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
Debemos entender que para encontrar el resultado de un binomio al cuadrado tenemos que
aplicar la siguiente regla:
• Elevar al cuadrado el primer termino (todo: signo, coeficiente y literales).
• Mas el doble producto del primer termino por el segundo termino (todo: signo,
coeficiente y literales).
• Mas el cuadrado del segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales).
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado

44
1.
2 2 2 2 2
(3 8 ) (3 ) 2(3 )(8 ) (8 ) 9 48 64a b a a b b a ab b− = − + = − +
2. [ ]
22 2 2
(4 2 3) (4 2 ) 3 (4 2 ) 2(4 2 )(3) (3)x y x y x y x y+ + = + + = + + + +
2 2
16 16 4 24 12 9x xy y x y= + + + + +
Binomios conjugados
El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto
notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de
diferencia de cuadrados.
( )( ) 2 2
a b a b a b+ − = −
Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados
( )( ) 2 2
a b a b a b+ − = −
Los binomios conjugados son iguales a:
El cuadrado del primer termino del binomio
Menos
El cuadrado del segundo termino del binomio.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:
1.
2 2 2 2
(8 3 )(8 3 ) (8 ) (3 ) 64 9b c b c b c b c− + = − = −
2.
2 2 2 2 2 2 4
(5 6 )(5 6 ) (5 ) (6 ) 25 36p q p q p q p q− + = − = −
3.
2 2
2 25 3 5 3 5 3 25 9
9 4 9 4 9 4 81 16
m n m n m n m n
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Binomios al cubo

45
Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su
solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:
( ) ( )( )( )
3
a b a b a b a b+ = + + +
Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación
debemos realizarla por partes:
( )( ) ( )
2 2 2
2a b a b a b a ab b+ + = + = + + .
Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:
( )( )2 2 3 2 2 3
2 3 3a ab b a b a a b ab b+ + + = + + +
Binomio al cubo = Cubo perfecto
( )
3
a b+ = 3 2 2 3
3 3a a b ab b+ + +
El cubo de un binomio es igual a:
Cubo del primer termino más
El triple producto del cuadrado del
primer termino por el segundo mas
El triple producto del Primer termino
por el cuadrado del segundo mas
Cubo del segundo termino.
Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:
( )
3
a b− = 3 2 2 3
3 3a a b ab b− + −
Ejercicios:
3 3 2 2 3 3 2 2 3
(2 5 ) (2 ) 3(2 ) (5 ) 3(2 )(5 ) (5 ) 8 60 150 125x y x x y x y y x x y xy y+ = − + − = − + −
3 3 2 2 3 3 2 2 3
(3 2 ) (3 ) 3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 ) (2 ) 27 54 36 8a b a a b a b b a a b ab b− = − + − = − + −

46
Resumen de productos notables:
2 2 2
( ) 2a b a ab b+ = + + Binomio al cuadrado
2 2 2
( ) 2a b a ab b− = − + Binomio al cuadrado
( )( ) 2 2
a b a b a b+ − = − Binomios conjugados
( )
3 3 2 2 3
3 3a b a a b ab b+ = + + + Binomios al cubo
( )
3 3 2 2 3
3 3a b a a b ab b− = − + − Binomios al cubo
Ejercicios: Desarrolle los siguientes productos notables:
1. 2
(5 3 )x y− Resp 2 2
25 30 9x xy y− +
2. (2x + 3y)2
Resp: 2 2
4 12 9x xy y+ +
3. (m + 4)2
Resp: 2
8 16m m+ +
4. (a3
- b3
)2
Resp: 6 3 3 6
2a a b b− +
5. (2m – 3n)2
Resp: 2 2
4 12 9m mn n− +
6. 2
(2 3 2 )x y z− + 2 2 2
Re : 4 9 4 12 8 12sp x y z xy xz yz+ + − + −
7. (3 2 )(3 2 )x y x y+ − Resp:
2 2
9 4x y−
8.
2 4 2 4
(6 4 )(6 4 )a b a b− + Resp:
4 8
36 16a b−
9. (x2
+ a2
)( x2
- a2
) Resp: 4 4
x a−
10.
3 2 3 2
4 7 4 7
x y x y
⎛ ⎞⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Resp:
2 29 4
16 49
x y−
11.
3
(2 7 )x y− Resp:
3 2 2 3
8 84 294 343x x y xy y− + −
12. (2 + y2
)3
Resp: 2 4 6
8 12 6y y y+ + +
13. (1 – 3y)3
Resp: 2 3
1 9 27 27y y y− + +

47
11. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificarlas
expresiones algebraicas.
Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad.
I. Factor común.
En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la
propiedad distributiva.
Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El
factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.
Ejemplos:
1) 5 5 5( )x y x y+ = +
El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los
factores son 5 y (x + y).
2) ( )ax bx cx x a b c− + = − +
X es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor común, y los factores son x
y (a – b + c).
3) 2
4 8 2x y xy y− + = 2
2 (2 4 1)y x x− +
El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto,
son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la
expresión original 2
4 8 2x y xy y− + entre 2y, dando como resultado, 2
2 4 1x x− + que
representa al segundo factor.
4) Factorizar el polinomio 3 2 2 2 2
6 12 24x y x y xy+ −
Solución: El máximo factor común es 2
6xy .
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
2 2 2
6 12 24
6 12 24 6
6 6 6
x y x y xy
x y x y xy xy
xy xy xy
⎛ ⎞
+ − = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 2 2
6 ( 2 4)xy x x+ −
II. Diferencia de cuadrados

48
El producto de los factores ( )a b+ y ( )a b− es 2 2
a b− , es decir, la diferencia de dos
términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma
y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.
Ejemplo 1) Factorizar 2
9 4a − .
Solución: La raíz cuadrada de 2
9a es 3a y la de 4 es 2.
Por consiguiente, 2
9 4 (3 2)(3 2)a a a− = + −
Ejemplo 2) Factorizar completamente 4 4
81x y− .
Solución: 4 4 2 2 2 2
81 ( 9 )( 9 )x y x y x y− = + −
2 2
( 9 )( 3 )( 3 )x y x y x y= + + −
Ejemplo 3) Factorizar completamente 4
6 6x − .
Solución: 4 4
6 6 6( 1)x x− = −
2 2
6( 1)( 1)x x= + −
2
6( 1)( 1)( 1)x x x= + + −
Ejemplo 4) Factorizar completamente 2 2
4( 3)x y− −
Solución: 2 2
4( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)]x y x y x y− − = + − − −
( 2 6)( 2 6)x y x y= + − − +
III. Factorización de un trinomio de la forma x2
+ bx + c.
Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como
resultado un trinomio de la forma x2
+ bx + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que
encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento:
1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término.
2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:
• Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del trinomio (c).

49
• Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b).
Ejemplo: x2
+ 5x + 6.
Dos números que multiplicados nos den x2
, es decir, 2
x ;. (x ) (x ).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el
coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).
Entonces la factorización del trinomio x2
+ 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).
Ejemplo: a2
+ 9a + 20.
Dos números que multiplicados nos den a2
, es decir,
2
a ;. (a ) (a ).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados nos den el
coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).
Entonces la factorización del trinomio a2
+ 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).
IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2
+ bx + c.
Para factorizar trinomios de la forma ax2
+ bx + c, aplicamos la siguiente regla:
El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que
multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos
términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del
trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios
factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio.
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2
+ bx + c.
a) 3x2
+ 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios,
siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2
) el primer termino del trinomio,
dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos
que multiplicados den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser
(1)(8) y (2)(4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la
suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios
factores resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su
factorización es:

50
3x2
+ 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)
b) 5x2
- 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios,
siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2
) el primer termino del trinomio,
dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos
que multiplicados den (-36) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden
ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y
(9)(-4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma
algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios
factores resulte (-11x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su
factorización es:
5x2
- 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)
V. Factorización por agrupación.
Cuando tenemos polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se
repiten en él, podemos aplicar la propiedad asociativa y conmutativa a estos términos
semejantes y después factorizar.
Por ejemplo, si queremos factorizar el polinomio ax + by – cx + dx – ey; tenemos que
realizar la siguiente operación: juntamos todos los términos que tienen x en común y los
que tienen y en común.
ax + by – cx + dx – ey = (ax – cx + dx) + (by-ey);
= x(a – c + d) + y(b – e).
se escribe el signo de la suma porque este no cambia el signo de los términos que le siguen.
Ejemplo 1: Factoriza 2
5 3 10 6a ax a x− + − + .
Asociando ( ) ( )2 2
5 3 10 6 5 10 3 6a ax a x a a ax x− + − + = − − + + .

51
Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe ser
positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la
propiedad conmutativa.
( ) ( )2
5 10 3 6a a ax x= − + + +
( ) ( )2
3 6 5 10ax x a a= + − +
Factorizando: ( ) ( )3 2 5 2x a a a= + − +
Y de nuevo factorizando: ( )( )2 3 5a x a= + −
Ejemplo 2: Factorizar 12 20 9 15ax bx ay by− − +
12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 )ax bx ay by ax bx ay by− − + = − − −
12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 )ax bx ay by x a b y a b− − + = − − −
(3 5 )(4 3 )a b x y= − −
12. EJERCICIOS:
I. Factorizar por factor común
a) 4 4x + b) 12 6x + c) 18 27x − c) 3 2
9 6x x− d) 3 3bx b+
e) 2 2
xy x y+ f) 2 2
4 8xy x y− g) 2 2 2
4 12x y x y+ h) 2 2
6 4 10x y xy xy− +
i) 3 2 3
2x x y xy− + j) 3 2 2 3 2 2
4 2 6x y x y x y+ − k) ( ) ( )x a b y a b+ + +
l) 3( 3) ( 3)a x a+ + + m) 4(2 1) (2 1)x x x− + −
II Factorice completamente las siguientes diferencias de cuadrados
a) 2
16x − b) 2
36x − c) 2
9 25x − d) 2
81 x− e) 2
36 1x −
f) 2
4 81x − g) 2 2
9 16x y− h) 2 4
9 4x y− i) 4 2 2
4 9a b c− j) 6 4
a b−
k) 2 2 4
9x y y− l) 8 12 10
36 9a b c− m) 4 4
16 81x y− n) 2 2
( 1)x y+ −
III. Factorizar los trinomios de las forma 2
x bx c+ + siguientes:

52
a) 2
3 2x x+ + b) 2
7 12x x+ + c) 2
8 15x x− + d) 2
9 20x x− +
e) 2
4 21x x+ − f) 2
12 45x x+ − g) 2
3 18x x− − h) 2
8 12x x− +
i) 2 2
9 14x xy y− + j) 2 2
11 28x xy y− + k) 4 2
3 10x x− − l) 4 2
7 8x x+ −
IV Factorizar los trinomios de la forma 2
ax bx c+ + siguientes:
a) 2
2 3 1x x+ + b) 2
3 7 2x x+ + c) 2
2 7 6x x+ + d) 2
2 11 5x x− +
e)
2
3 4 1x x− + f) 2
4 9 2x x− + g) 2
2 5 2x x− + h) 2
3 11 6x x− +
i) 2
4 8 6x x− + j) 2
2 15 8x x+ − k) 2
3 7 6x x+ − l) 2
4 5 6x x− −
m) 2
2 7 4x x− − n) 2
4 15 4x x− − ñ) 2
4 19 12x x+ + o) 2
6 5 4x x− −
p) 2
6 23 18x x+ − q) 2
6 7 2x x− + r) 2
6 11 4x x+ − s) 2
6 31 18x x+ +
t) 2 2
3 16 12x xy y− − u) 2 2
3 7 6x xy y− − v) 2 2
4 8 5x xy y− − w) 2 2
6 5 6x xy y− −
x) 4 2
5 8 4x x+ − y) 4 2
2 5 12x x− − z) 4 2
8 29 12x x− −
V. Factorizar por agrupación
a) 3 3x y ax ay+ + + Resp: ( )(3 )x y a+ +
b) 2 2ax ay cx cy− + − Resp: ( )( 2 )x y a c− +
c) 2
3 9 3xy ax ay a+ − − Resp: ( 3 )(3 )y a x a+ −
d) 2 2
2 2x y x y− − + Resp: ( )( 2)x y x y− + −
e) ax ay bx by+ + + Resp: ( )( )x y a b+ +

53
UNIDAD II FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
De las propiedades de fracciones estudiadas, se tiene que
a ac
b bc
= .
Las fracciones algebraicas
b
a
y
ac
bc
se llaman equivalentes. Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus
números literales.
Una fracción esta expresada en términos mínimos, o reducida, cuando el numerador
y el denominador no poseen factor común.
Para reducir o simplificar la fracción algebraica
bc
ac
a sus términos mínimos, dividimos
tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener
b
a
.
Nota: Los números a y c en la expresión
bc
ac
son factores del numerador, no términos como
en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos.
La fracción
cb
ca
+
+
no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a
b
a
ni a
1
1
+
+
b
a
. Análogamente,
6
5
6
5 b
a
ba +
≠
+
Pero
a
b
a
b
a
a
a
ba
66
5
66
5
6
5
+=+=
+
Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se
factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno
con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados.
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son
monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.

54
Ejemplo:
Reducir 3
23
54
36
abc
cba
a sus términos mínimos.
Solución. El máximo factor común de los monomios cba 23
36 y 3
54abc es abc18 .
Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene. 2
2
3
23
3
2
54
36
c
ba
abc
cba
= .
Ejemplo: Reducir a su mínima expresión.
( )
( )42
63
220
236
−
−
xxy
xyx
.
Solución. El máximo factor común es ( )24 2
−xxy .
Al dividir el numerador y denominador entre ( )24 2
−xxy , obtenemos
( )
( ) ( )3
42
42
63
25
9
220
236
−
=
−
−
x
yx
xxy
xyx
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos
son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y
luego se dividen por este.
Ejemplo Reducir 22
232
12
1830
yx
xyyx −
a sus términos mínimos.
Solución. 22
232
12
1830
yx
xyyx − ( )
22
2
12
356
yx
xyxy −
=
Dividiendo el numerador y denominador por 2
6xy , se obtiene
22
232
12
1830
yx
xyyx − ( )
22
2
12
356
yx
xyxy −
=
x
xy
2
35 −
= .
Ejemplo Reducir
yxyx
yx
423
3
4836
24
+
a su mínima expresión.

55
Solución.
yxyx
yx
423
3
4836
24
+ ( )xyyx
yx
4312
24
3
3
+
=
Se dividen numerador y denominador entre 12x3
y para obtener
yxyx
yx
423
3
4836
24
+ ( )xyyx
yx
4312
24
3
3
+
=
xy 43
2
+
= .
Ejemplo Reducir
1
32
2
2
−
−+
x
xx
a su mínima expresión.
Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos
1
32
2
2
−
−+
x
xx ( )( )
( )( )11
132
−+
−+
=
xx
xx
Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, ( )1−x ,
1
resulta
1
32
2
2
−
−+
x
xx ( )( )
( )( )11
132
−+
−+
=
xx
xx 2 3
1
x
x
+
=
+
1
Nota La fracción
1
32
+
+
x
x
esta reducida; el numerador y el denominador no poseen ningún
factor común.
Notas:
1. ( )ababba −−=+−=−
2. ( ) ( )[ ] ( )222
ababba −=−−=− 3. ( ) ( )[ ] ( )333
ababba −−=−−=−
Ejemplo
( )
( )
1−=
−
−−
=
−
−
ab
ab
ab
ba

56
Ejemplo
( )
( )
( )
( )
3 3
2 2
1 1
(1 ) 1
1 1
a a
a a
a a
− − −
= = − − = −
− −
o bien,
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
2
3
2
3
−=
−
−
=
−
−
a
a
a
a
a
Nota: La fracción
ba
ba
−
+
no puede reducirse a una forma mas simple, ya que a + b no se
puede escribir como múltiplo de a + b.
Hay que observar también que
b
a
b
a
b
a
−=
−
+
=
+
−
.
Ejemplo Reducir 2
2
472
3148
xx
xx
−−
+−
.
Solución. 2
2
472
3148
xx
xx
−−
+− ( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 2
32
412
3241
412
3214
−
−
−=
−+
−−−
=
−+
−−
=
x
x
xx
xx
xx
xx
( ) ( )[ ]xx 4114 −−=−
Ejemplo Reducir 2
2
32
65
xx
xx
+−
+−
Solución. 2
2
32
65
xx
xx
+−
+− ( )( )
( )( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
−
−
=
−
−−
=
−−
−−
=
1
3
1
3
12
23
o bien
1
3
−
−
x
x
.

57
EJERCICIOS 1
Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:
1. 3
6
x
x
2. 7
2
x
x
3. 2
5
12
8
x
x
4. 6
3
24
9
x
x
5. 252
34
63
54
cba
cba
6. 386
548
80
64
zyx
zyx
7.
ba
abc
2
3
15
20
−
8.
44 5
7
3
a b
ab
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
9.
( )
( )222
33
6
2
ba
ba
10.
( )
( )23
32
6
3
ab
ba−
11.
( )
( )2
33
6
3
bax
bax
+
+
12.
( )
( )3
22
216
212
−
−
xx
xx
13.
( )
( )42
223
21
14
yxxy
yxyx
−
−
14. 32
2
3216
168
xx
xx
+
+
15.
baa
abba
23
22
44
22
−
−
16. 2
22
)3(
9
ba
ba
+
−
17.
34
1
2
2
++
−
xx
x
18.
96
2411
2
2
+−
+−
xx
xx
19.
43
2410
2
2
−−
+−
xx
xx
20.
94
12112
2
2
−
+−
x
xx
21.
143
12
2
2
++
−+
xx
xx
22.
3114
274
2
2
−+
−+
xx
xx
Respuestas a los ejercicios anteriores
1. 3
x ; 2. 5
1
x
; 3.
3
2 3
x
; 4. 3
8
3
x
; 5.
cb
a
2
2
7
6
; 6. 4
22
5
4
y
zx
; 7.
a
c
3
4 3
− ; 8. 8
12
81b
a
; 9.
b
a
9
2 5
10. 3
4
4
3
b
a
− ; 11.
2
)(2
bax +
; 12.
)2(4
3
−x
x
; 13. 2
2
)(3
2
yx
x
−
; 14.
x2
1
; 15.
a
b
2
; 16.
ba
ba
3
3
+
−
17.
3
1
+
−
x
x
; 18.
3
8
−
−
x
x
; 19.
1
6
+
−
x
x
; 20.
32
4
+
−
x
x
; 21.
13
12
+
−
x
x

58
2. ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas.
Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y
luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores
distintos.
FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.
Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relación.
c
ba
c
b
c
a +
=+
Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una
fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el
denominador común.
Ejemplo Efectuar
xx
23
+
Solución.
xx
23
+
xx
523
=
+
=
Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre
paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones.
Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y
la nueva fracción a su mínima expresión.

59
Ejemplo Efectuar 22
2
3
2 x
x
x
x −
+
+
Solución. 22
2
3
2 x
x
x
x −
+
+ ( ) ( )
xx
x
x
xx
x
xx 1
2
2
2
33
2
33
222
==
−++
=
−++
=
Ejemplo Efectuar
2
2
2
4
+
+
+ x
x
x
Solución.
2
2
2
4
+
+
+ x
x
x
( ) 2
2
22
2
24
=
+
+
=
+
+
=
x
x
x
x
.
Ejemplo Efectuar
2
2
2
2
2
2
2
2
−+
−
−
−+
−
xx
xx
xx
x
Solución.
2
2
2
2
2
2
2
2
−+
−
−
−+
−
xx
xx
xx
x ( ) ( )
2
22
2
22
2
22
22
22
2
22
−+
−
=
−+
+−−
=
−+
−−−
=
xx
x
xx
xxx
xx
xxx
( )
( )( ) 2
2
12
12
+
=
−+
−
=
xxx
x
.
Ejemplo Efectuar
3114
35
3114
9
2
2
2
2
−−
−
−
−−
+
xx
xx
xx
xx
Solución.
3114
35
3114
9
2
2
2
2
−−
−
−
−−
+
xx
xx
xx
xx ( ) ( )
3114
359
3114
359
2
22
2
22
−−
+−+
=
−−
−−+
=
xx
xxxx
xx
xxxx
( )
( )( )
( )
( )( ) 14
4
314
34
314
34
3114
412
2
2
+
−=
−+
−−
=
−−
−
=
−−
−
=
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
.
Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de
ellas.
L+++
c
a
c
a
c
a 321
c
a
c
a
c
aa
c
an
L++
+
++ 321
c
aaaa n++++ L321

60
EJERCICIOS 2
1.
xxx
526
−+ 2.
xxx 2
1
2
3
2
7
−− 3. 222
51520
xxx
−−
4.
53
5
53
2
−
+
− xx
x
5.
22
1
−
−
−
+
x
x
x
x
6.
32
2
32
23
+
−
+
+
+
x
x
x
x
7.
27
27
27
14
+
−
−
+ x
x
x
x
8.
1
2
1
2
−
−
− xx
x
9.
2525
34 22
+
−
+
+
+
x
xx
x
xx
10.
24
1
24
13
−
+
−
−
+
x
x
x
x
11.
52
6
52
43
−
−
+
−
−
x
x
x
x
12.
xx
x
xx
x
84
4
84
4
22
−
−
−
−
+
13.
43
3
43
12
22
−−
+
−−
−
xxxx
x
14.
352352
2
22
2
−+
−
−+ xx
x
xx
x
15.
6112
3
6112
32
2
2
2
2
−−
+
−
−−
−
xx
xx
xx
xx
16.
2323
3
2
2
2
2
+−
−
+
+−
−
xx
xx
xx
xx
Respuesta a los ejercicios anteriores
1.
x
3
; 2.
x2
3
; 3. 0 ; 4.
53
52
−
+
x
x
; 5.
2
1
−x
; 6.
32
4
+x
x
; 7. 1; 8. 2 ; 9. x ; 10.
12 −x
x
11. 2 ; 12.
)2(
2
−xx
; 13.
4
2
−x
; 14.
3+x
x
; 15.
12 +x
x
; 16.
1
2
−x
x

61
3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.
Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se
descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos.
Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.
Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de
polinomios, si:
1. Cada polinomio del conjunto divide a p y
2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también
divisible por p.
Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios
completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que
aparezca en los polinomios dados.
Ejemplo Determinar el m.c.m. de x2
y, xy3
y y2z
.
Solución. Los factores literales son x, y y z. La potencia máxima de x es 2, la de y es
3, y la de z es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x2
y3
z.
Ejemplo Hallar el m.c.m. de 60x3
, 72y2
y 80xy.
Solución. 53260 2
⋅⋅=
23
3272 ⋅=
5280 4
⋅=
Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = .720532 24
=⋅⋅
El m.c.m. de los monomios 23
720 yx= .
Ejemplo Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2
.
Solución. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).
La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.
Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2
(x-3).

62
Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).
Ejemplo Encontrar el m.c.m. de x2
-x y x2
-1.
Solución. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.
( )12
−=− xxxx
( )( )1112
−+=− xxx
Por lo tanto, m.c.m. = ( )( )11 +− xxx .
Ejemplo Hallar el m.c.m. de 2x2
+ 3x-2 y 2x2
-7x+3.
Solución.
( )( )212232 2
+−=−+ xxxx
( )( )312372 2
−−=+− xxxx
Entonces, m.c.m. =( )( )( )3212 −+− xxx .
Ejemplo Obtener el m.c.m. 132 2
+− xx , 2
1 x− y 12 2
−+ xx .
Solución.
( )( )112132 2
−−=+− xxxx
( )( )
( )( )11212
111
2
2
+−=−+
−+=−
xxxx
xxx
Puesto que ( ) ( )11 −−=− xx , podemos escribir ( )x−1 como ( )1−− x o bien, ( )1−x como
( )x−− 1 .
Reacuérdese que .11 +=+ xx
Por lo tanto, ( )( )112132 2
−−=+− xxxx
( )( )111 2
−+−=− xxx
A si que, m.c.m. ( )( )( )1112 +−−= xxx .
( )( )11212 2
+−=−+ xxxx

63
EJERCICIOS 3
1. 8, 12 Y 18 2. x, x2
y 4x 3. 9x, 12x y 4x2
4. xy, xy2
, y xy3
5. 4xy, 14xy2
y 8x2
y 6. 9xy, 12x3
y y 15x2
y
7. ( ) 2
4,3 xxx + y ( )12 =x 8. ( ) ( )1,1
2
−− xxx y ( )12
−xx
9. 32,12 −− xx y ( )( )3212 −− xx 10. ( ) 5,2
2
++ xx y ( )( )52 ++ xx
11. ( )( )313 ++ xx y ( )2
13 +x 12. ,1,12
++ xx y ( )2
1+x
13. ( ) ,4,2 2
+− xx y 2−x 14. ,, 232
xxxx −− y 22 −x
15. ,1812,94 2
−− xx y 2718 −x 16. ,4816,12 22
+−− xxxx y xx 42
−
17. ,34,1 22
++− xxx y 322
−+ xx 18. ,86,128 22
+−+− xxxx y 24102
+− xx
19. ,18152,968 22
++−+ xxxx y 18214 2
−+ xx
20. ,3118,6724 22
++−− xxxx y 2
32 xx −− .

64
4. FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.
Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los
denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común
denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se
cambia cada fracción a una equivalente que tenga el m.c.d. Como denominador mediante
la regla,
bc
ac
b
a
= y luego se efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con
denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los
denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común
denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos.
Ejemplo Efectuar
xxx 3
26
2
7
2
−+
Solución. El m.c.d. =6x2
.
Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2
y luego se realizan operaciones.
xxx 3
26
2
7
2
−+
( )
( )
( )
( )
( )
( )xx
x
xxx
x
23
22
6
66
32
37
2
−+=
( ) ( ) ( )
222
6
22
6
66
6
37
x
x
xx
x
−+=
( ) ( ) ( )
222
6
3617
6
43621
6
226637
x
x
x
xx
x
x +
=
−+
=
−+
= .
Ejemplo Efectuar la operación y simplificar
2
2
3 −
+
+ xx
x
Solución. El m.c.d. = ( )( )23 −+ xx .
Al escribir fracciones equivalentes con denominador( )( )23 −+ xx y efectuar luego la suma,
obtenemos.
2
2
3 −
+
+ xx
x ( )
( )( )
( )
( )( )32
32
23
2
+−
+
+
−+
−
=
xx
x
xx
xx ( ) ( )
( )( ) ( )( )23
622
23
322 2
−+
++−
=
−+
++−
=
xx
xxx
xx
xxx
( )( )23
6
−+
+
=
xx
x
.

65
En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego
combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d.
como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego
se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la
primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se
relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.
⊗
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )234
13642092
23
136
34
209
+−+
−+−−+
=
+−
−
−
−+
−
xxx
xxxx
xx
x
xx
x
÷
El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción. Hay que
asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo adecuado.
( ) ( )
( )( )( )234
521164029 22
+−+
−+−−−
=
xxx
xxxx
( )( )( )234
521164029 22
+−+
+−−−−
=
xxx
xxxx
( )( )( )
( )( )
( )( )( )234
343
234
12133 2
+−+
−−
=
+−+
+−
=
xxx
xx
xxx
xx
( )( )24
43
++
−
=
xx
x
.

66
Ejemplo Efectuar la operación y simplificar.
222
34
5
492
23
12
2
xxxx
x
xx
x
−−
+
++
−
−
−−
+
Solución.
222
34
5
492
23
12
2
xxxx
x
xx
x
−−
+
++
−
−
−−
+
( )( ) ( )( ) ( )( )xxxx
x
xx
x
−+
+
+−
−
−
−+
+
=
14
5
412
23
112
2
Tomamos el m.c.d. ( )( )( )4112 +−+= xxx
( )( ) ( )( ) ( )( )xxxx
x
xx
x
−+−
+
+−
−
−
−+
+
=
14
5
412
23
112
2
( )( ) ( )( ) ( )( )xxxx
x
xx
x
−+
−
+−
−
−
−+
+
=
14
5
412
23
112
2
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )4112
12523124
+−+
+−−−−++
=
xxx
xxxxx
( ) ( )
( )( )( )4112
51025386 22
+−+
−−+−−++
=
xxx
xxxxx
( )( )( )4112
51025386 22
+−+
−−−+−++
=
xxx
xxxxx
( )( )( )
( )( )
( )( )( )4112
121
4112
21 2
+−+
−+
=
+−+
−+
=
xxx
xx
xxx
xx
( )( )
( )( )( ) 4
1
4112
121
+
−=
+−+
−+−
=
xxxx
xx
.

67
EJERCICIOS 4
Reducir a una sola fracción y simplificar:
1.
xxx 5
6
2
73
+− 2.
y
x
y
x
y
x
5
2
2
3
+− 3.
xxx 5
64
3
2
2
+− 4. 22
2
1
3
133
xxx
−+
5.
x
x
x
x
2
2
5
13 −
+
+
6.
x
x
x
x
10
5
4
2 +
+
−
7.
x
x
x
x
7
3
14
67 −
−
−
8. 2
5
15
3
3
x
x
x
x −
−
+
9.
2
5
4
−
++
x
x 10.
4
5
3
3
−
+
+ xx
11.
32
3
2 −
+
+ xx
x
12.
2
1
32 −
+
+ xx
x
13.
1
1
32
2
+
−
− xx
14.
1
1
12
2
+
−
− xx
x
15.
39
6
2
+
+
− x
x
x
x
16.
22
3
2
+
+
−+ x
x
xx
x
17.
12
2
472
83
2
+
−
−−
−
xxx
x
18.
9
18
12
7
22
−
+
−− xxx
x
19.
45
2
43
23
22
−−
+
−
−−
−
xx
x
xx
x
20.
2
4
2
3
4
44
2
−
+
+
−
−
−
xxx
x
21.
4
1
152
11
127
72
22
−
−
−+
−
+
+−
−
xxx
x
xx
x

68
1.
x10
7
; 2.
y
x
10
− ; 3. 2
15
6028
x
x −
; 4. 2
6
2615
x
x+
; 5.
x
x
10
811 −
; 6.
20
7
; 7.
14
5
; 8. 2
2
15
35
x
x +
9.
2
)1)(3(
−
++
x
xx
; 10.
)4)(3(
38
−+
+
xx
x
; 11.
)32)(2(
62 2
−+
+
xx
x
; 12.
)2)(32(
32
−+
+
xx
x
13.
)1)(32(
5
+− xx
; 14.
)1)(12(
12 2
+−
+
xx
x
; 15.
3−x
x
; 16.
1−x
x
; 17.
)4)(12( −+ xx
x
18.
)3)(4(
247
−−
−
xx
x
; 19.
)1)(1(
2
−+ xx
x
; 20.
2
5
−x
; 21.
5
2
+x
5. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
El producto de las fracciones
b
a
y
d
c
se definió en el capitulo 2 como
bd
ac
; o sea
bd
ac
d
c
b
a
=× .
Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En general,
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
bb
aa
b
a
b
a
b
a
b
a
LL
4
4
3
3
21
21
3
3
2
2
1
1
⋅⋅=⋅⋅
n
n
b
a
b
a
bbb
aaa
L
4
4
321
321
⋅=
n
n
bbbb
aaaa
L
L
321
321
=
Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.

69
Ejemplo Encontrar el producto
yx
ba
2
23
8
27
y 22
2
81
16
ba
yx
.
Solución.
b
ax
byax
yxba
ba
yx
yx
ba
3
2
818
1627
81
16
8
27
322
323
32
3
2
23
=
⋅
⋅
=⋅
Nota: Es más fácil reducir
818
1627
⋅
⋅
que
648
432
, que es el resultado de los productos de los
coeficientes.
Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido simplificada.
Ejemplo Simplificar
( )
( )
( )
( )333
223
2323
3422
9
4
2
3
yx
yx
yx
yx
⋅
−
.
Solución.
( )
( )
( )
( )333
223
2323
3422
9
4
2
3
yx
yx
yx
yx
⋅
− ( )
( )
( )
( )3332
2232
2323
3422
3
2
2
3
yx
yx
yx
yx
⋅
−
= .
996
464
646
1266
3
2
2
3
yx
yx
yx
yx
⋅
−
=
151366
161246
32
23
yx
yx
⋅
⋅
=
x
y
x
y
422
−==
Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios,
primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una
sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para
obtener una fracción equivalente ya reducida.
Ejemplo Simplificar
3103
16
5112
3
2
2
2
2
+−
−+
⋅
++
−
xx
xx
xx
xx
.
1 1 1
Solución.
3103
16
5112
3
2
2
2
2
+−
−+
⋅
++
−
xx
xx
xx
xx ( )
( )( )
( )( )
( )( ) 5133
1213
512
3
+
=
−−
+−
⋅
++
−
=
x
x
xx
xx
xx
xx
.
1 1 1

70
EJERCICIOS 5
Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:
1.
27
20
32
39
65
36
⋅⋅ 2.
128
15
125
58
87
64
⋅⋅ 3.
x
y
y
x 2
3
2
2
4
9
⋅
4. 63
82
42
32
7
21
4
ba
yx
yx
ba
⋅ 5. 27
8
68
35
3
3
28
16
60
26
39
35
ba
xy
yx
ba
ba
yx
⋅⋅ 6.
2
3
3
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
x
y
y
x
7.
( )
( )
( )
( )33
332
32
22
2
3
9
4
yx
yx
xy
yx
⋅ 8.
( )
( )
( )
( )432
22
24
323
3
5
10
6
yx
xy
xy
yx −
⋅ 9.
204
3
26
306
2
2
2
3
−
+
⋅
+
−
x
xx
xx
xx
10.
32
12
2
42
34
2
−+
⋅
+−
xx
yx
yx
xx
11.
158
209
127
96
2
2
2
2
++
++
⋅
++
++
xx
xx
xx
xx
12.
152
1610
149
2110
2
2
2
2
−+
+−
⋅
+−
+−
xx
xx
xx
xx
13.
xx
xx
xx
xx
1128
1342
1340
920
2
2
2
2
−+
−+
⋅
−+
−+
14. 22
22
22
22
20193
673
3207
5367
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
+−
−+
⋅
−+
+−
1.
2
1
; 2.
25
1
; 3.
y
x
2
9
; 4. 3
4
3
4
ab
y
; 5. 45
3
9
2
xa
y
; 6. 4
1
y
− ; 7.
27
4 3
xy
8.
3
2x
; 9.
4
3x
; 10.
)3(
)1(
2
+
−
xx
xy
; 11. 1 ; 12.
5
8
+
−
x
x
; 13.
8
6
−
−
x
x
; 14.
yx
yx
43
23
−
−

71
6. DIVISIÓN DE FRACCIONES
De la definición de división de fracciones, considerada en el capitulo 2, tenemos que
a c a d
b d b c
÷ = ⋅ .
El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una
multiplicación de fracciones.
Las fracciones
d
c
y
c
d
se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.
Nota: La reciproca de la expresión a + b es
ba +
1
, no
ba
11
+ .
La reciproca de
ba
11
+ es
ba
11
1
+
o en forma simplificada,
ab
ab
+
.
ab
ab
baba
⋅
+
=
+
11
1
11
1
ab
ab
b
ab
a
ab
ab
ba
ab
ab
+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
11
1
Ejemplo Simplificar
b
a
b
a
20
9
5
3 2
2
3
÷ .
Solución.
b
a
b
a
20
9
5
3 2
2
3
÷
3
2 2
3 20 4
5 9 3
a b a
b a b
= × =
Nota: Obsérvese la diferencia entre
bcf
ade
f
e
c
d
b
a
f
e
d
c
b
a
=⋅⋅=⋅÷ y
bce
adf
ce
df
b
a
df
ce
b
a
f
e
d
c
b
a
=⋅=÷=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅÷ .
Ejemplo Simplificar
35376
72012
15174
328
2
2
2
2
+−
+−
÷
−−
−+
xx
xx
xx
xx
.
Solución.
35376
72012
15174
328
2
2
2
2
+−
+−
÷
−−
−+
xx
xx
xx
xx ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )765
7612
534
3412
−−
−−
÷
−+
+−
=
xx
xx
xx
xx
1 1 1 1
( )( )
( )( )
( )
( )
2 1 4 3 ( 5) 6 7
1
4 3 5 (2 1) 6 7
x x x x
x x x x
− + − −
= ⋅ =
+ − − −
1 1 1 1

72
Ejemplo
2 2 2
2 2 2
24 49 40 36 63 88 72 18 77
54 51 14 27 30 8 8 37 20
x x x x x x
x x x x x x
+ − + − + −
÷ ×
+ − + − − +
Solución:
2 2 2
2 2 2
24 49 40 36 63 88 72 18 77
54 51 14 27 30 8 8 37 20
x x x x x x
x x x x x x
+ − + − + −
÷ ×
+ − + − − +
Es mejor ponerla toda como un producto
(8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)
(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)
x x x x x x
x x x x x x
− + + − + −
= × ×
+ − − + − −
3 4
4
x
x
+
=
−
EJERCICIOS
1.
15 45
26 39
÷ 2.
56 63 27
38 57 16
÷ × 3.
2 3
2
10 4
9 27
x x
y y
÷ 4.
2 3 3
2 4
17 51
26 13
a b a b
x x
÷
5.
2 3 4
2 6 3
6 15
8 12
a b a b
x y xy
÷ 6.
2 4 4 9
4 2 3 6
4 8
9 27
a b a b
x y x y
÷ 7.
3 4 3 2
2 2 2 2
x y a b b
a b x y y
× ÷
8.
2 2 6
3 3
14 4
25 10
a b b
b a a
÷ × 9.
3 2
2 2 2
4
3 3
x x
x xy x y
÷
− −
10.
3 3 2
2 2
2 1
x x x x
x x x x
+ −
÷
− − +
11.
2 2
2 2
9 6 27
2 3 10 9
x x x
x x x x
+ − −
÷
+ − − +
12.
2 2
2 2
2 8 4 4
3 4 6 8
x x x x
x x x x
+ − − +
÷
− − − +

73
13.
2 2
2 2
4 12 10 6
7 6 7 8
x x x x
x x x x
− − + +
÷
− + + −
14.
2 2
2 2
3 2 6 16
5 4 20
x x x x
x x x x
− + + +
÷
− + + −
15.
2 2 2
2 2 2
12 35 18 6 23 18 4 19 12
2 17 36 6 19 36 12 11 36
x x x x x x
x x x x x x
− + − − − +
÷ ×
− + − − − −
Respuesta e los ejercicios anteriores
1. 1
2
; 2.
9
4
; 3.
15
2
y
x
; 4.
2 2
6
b x
a
; 5.
2
2 3
3
5
b
a xy
; 6.
4
2 5
3
2
y
a b x
; 7. 2
a xy ; 8.
7
5
b
9.
4( )
3
x y+
; 10.
2
2
1x
x
+
; 11.
2
2
9
( 3)
x
x
+
+
; 12.
4
1
x
x
+
+
; 13. 1; 14.
5
8
x
x
+
+
;
15.
(3 2)(4 3)
(2 9)(3 2)
x x
x x
− −
− +
7. OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.
En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su
multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma
reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también
se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.
Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las
multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas
las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
132
352
34
62
12
5
2
2
2
+−
−+
÷
+−
+
−
+ xx
xx
xx
x
x

74
Solución.
132
352
34
62
12
5
2
2
2
+−
−+
÷
+−
+
−
+ xx
xx
xx
x
x
( )
( )( )
( )( )
( )( )112
312
13
32
12
5
−−
+−
÷
−−
+
−
+
=
xx
xx
xx
x
x
1 1 1
( )
( )( )
( )( )
( )( )112
312
13
32
12
5
−−
+−
÷
−−
+
−
+
=
xx
xx
xx
x
x
1 1 1
( ) ( )
( )( )312
12235
3
2
12
5
−+
+−−
=
−
−
+
=
xx
xx
xx ( )( ) ( )( )312
17
312
24155
−+
−
=
−+
−−−
=
xx
x
xx
xx
.
Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
2
12
3
2
4
xx
x
x
se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los
términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra en los
ejemplos siguientes:
Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
2
12
3
2
4
xx
x
x
Solución.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
2
12
3
2
4
xx
x
x
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
1263
2
42
2
1223
)2(
42 2
−
+−
⋅
+
−+
=
−
+−
⋅
+
−+
=
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
( ) ( )
( )
( )
( ) x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
3
2
23
2
2
2
63
2
22
=
−
+
⋅
+
−
=
−
+
⋅
+
−
= .
Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
92
9
32
9
x
x
x
x

75
Solución.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
92
9
32
9
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )92
992
32
932
+
++
÷
−
−−
=
x
xx
x
xx
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )332
923
332
92
32
332
92
992
32
932 22
++
+−
=
++
+
⋅
−
−+
=
+
++
÷
−
−−
=
xx
xx
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
Nota: Puesto que ( ) ( )dcba +÷+ se puede escribir como
dc
ba
+
+
, podemos
expresar ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+÷⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+− 22
44
3
611
3
xxxx
en la forma
2
2
44
3
611
3
xx
xx
−+
+−
la cual se llama fracción
compleja.
Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma
de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse
fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo
común múltiplo de todos los denominadores que intervienen.
Ejemplo Simplificar
18
11
12
7
8
3
9
4
−
−
.
Solución.
2
5
2
5
4442
2732
18
11
12
7
1
72
8
3
9
4
1
72
18
11
12
7
8
3
9
4
−=
−
=
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
−
Ejemplo Simplificar
53
12
23
13
13
5
−
++
+
+−
x
x
x
x

76
Solución.
53
12
23
13
13
5
−
++
+
+−
x
x
x
x
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( )[ ]
( )( )( )[ ]12235313
1351353
53
12
23
1
5313
13
13
5
1
5313
++−+
+−+−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
++
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+−
−+
xxx
xxx
x
x
xx
x
x
xx
( )[ ]
( )[ ]
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )1313
453
132313
42353
29913
814353
12109913
13514353
2
2
2
2
−+
−−
=
−−+
−−−
=
+−+
+−−
=
+−−+
+−−−
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
EJERCICIOS 7
1.
1
2
82
33
3
2
2
2
2
−
−+
⋅
−−
+
+
+ x
xx
xx
x
x
2.
86
168
124
123
32 22
++
++
+
−−
+
+
− xx
xx
xx
x
x
x
3.
1
1
1 2
−
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
x
x
x
4.
19
2
6 2
−
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x
x
5. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
13
1
1
1
3
xx
6. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
2
1
4
xx
x 7. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
23
2
3
4
3
x
x
x
x
x 8. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
12
1
12
1
x
x
x
x
9. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−−
2
9
52
1
3
1
x
x
x
x 10. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
4
1
4
14
4 xxx
x
11. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−÷⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
12
9
7
12
3
2
xx
12. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−÷⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−
32
33
103
32
11
43
x
x
x
x
13.
3
2
1
2
1
4
3
−
−
14.
18
1
36
1
4
3
8
7
+
−
15.
2
2
311
4
1
112
xx
xx
−−
−−
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1.
5 1
( 3)( 4)
x
x x
+
+ −
; 3.
1
1x +
; 5. 3 ; 7. (3 2)x x − ; 9. ( 2)(2 1)x x+ −
11.
4 1
14 2
x
x
−
−
; 13.
3
4
; 15.
4
4 1
x
x
+
−
+

77
UNIDAD III EXPONENTES Y RADICALES
1. LEYES DE LOS EXPONENTES
Sea an
= a . a . a … a ( n factores)
La cantidad an
es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el
exponente.
En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números
racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo enunciamos cinco leyes de
los exponentes y demostrado que tales leyes son validas para los exponentes enteros
positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales
para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración. Las
demostraciones de las leyes I y II están dadas en la unidad 1.
Ley I am
an
= am+ n
Ley II
Si m > n
= 1 Si m = n
Si m< n
Ley III
(am
)n
= amn
Demostración. Por definición, (am
)n
significa am
tomando n veces como factor.
Pero cada am
tiene a a como factor m veces repetido.
Por tanto, aparece a, en total, mn veces repetido como factor del producto, dando así am
bm
.
nm
n
m
a
a
a −
=
mn
a −
=
1

78
Ley IV
(ab)m
= am
bm
Demostración. Por definición (ab)m
significa el producto obtenido tomando ab como
factor m veces repetido. Por tanto, el factor a ocurre m veces y el factor b ocurre m veces.
Por los axiomas de conmutatividad y asociatividad podemos reordenar los factores de tal
modo que todos los factores a aparezcan inicialmente y todos los factores b sigan. Así
podemos escribir (ab)m
=am
bm
.
Ley V
(a/b)m
= am
/ bm
Si b ≠ 0
Demostración. Por definición ( ab)m
significa el producto de m factores iguales a la
fracción a/b. Recordando la definición que dimos para el producto de fracciones, tenemos
am
como numerador de él producto de las fracciones y bm
como denominador de tal
producto.
Ejemplos.
(a2
)3
= a2. 3
=a6
(4a)3
= 43
a3
= 64a3
( )
( ) 4
8
4
422
1622 y
xxx
yy
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
mm
mn
mn
xx
x
x
42
2
2 2
22
==
+
2. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS Y CERO
Hemos definido los exponentes enteros positivo y establecido cinco leyes de
exponentes que se aplican a ellos. Nuestro siguiente paso es el extender la idea de
exponentes para incluir al cero y a los enteros negativos. Los nuevos exponentes se definen
de modo tal que satisfagan las cinco leyes de exponentes.
Primero determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0
. Si la Ley II ha
de ser válida cuando m = n, tenemos
0
aa
a
a nn
n
n
== − ( )0≠a

79
Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número
distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir
el exponente cero de la siguiente manera:
Definición 7-1.Si a es un número no nulo, entonces
10
=a
A continuación, y de manera semejante, determinamos el significado que ha de darse a
a-n
cuando –n es un entero negativo. Si la Ley I ha de ser válida cuando m = -n, entonces
a-n
a n
= a0
=1
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an
, tenemos
n
n
a
a
1
=−
De este modo hacemos la siguiente definición.
Definición 7-2. Si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces
n
n
a
a
1
=−
Las definiciones de a0
y a-n
ha sido consecuencia de las leyes de los exponentes. De
haberse dado las definiciones sin referencia a dichas leyes hubiera sido fácil verificar que
satisfacen a las leyes de los exponentes.
EJEMPLOS.
( ) ( ) ( ) 1333
022
=−=−−
− 23535
aaaa == −−
Como lo ilustra la última ecuación, se puede pasar un factor del numerador al
denominador o viceversa, si se altera el signo del exponente de dicho factor. Sin embargo,
los sumandos del numerador o del denominador no puede manejarse de esta manera. Así
por ejemplo,
( )0≠a
33
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
a
b
b
a
2
5
5
2
bx
ay
by
ax
=−
−

80
que no es igual a x2
+ y2
.
EJERCICIOS
Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de los exponentes.
1. 22 .
23
2. (23
)2
3. 4-1
4. (- 4)0
5. (2a)0
6. 3-3
7. 52 .
5-3
8. (52
)-2
9. (2 .
3)-2
10. (4-2
)-2
11. (-3)-2
12. (3 .
8)0
13.
1
7
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
14.
1
3
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15. (2 .
70
)-4
Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado
sin exponentes negativos o nulos.
16. (2xy)-2
(3xy3
) 17. (x2
y-2
)-1
(x3
y0
)2
18. (a b-3
)(a-1
b-1
)-1
19. 22
12
−−
−−
ba
ba
20.
ba
ba
41
221
2
3
−−
−−
21. 201
322
10
5
−−
−
ba
ba
22.
2
2
23
73
7
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
x
z
yz
x
23.
( )
( )363
354
4
8
yx
yx
24.
( )
( )32
23
5
10
yx
xy
25.
2
10
23
2
−
−
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
r
qp
26.
3
1
42 −
− ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
pq
qp
27.
1
2
03 −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
r
qp
28. 1
11
2
32
−
−−
+
29. 11
11
12
12
−−
−−
−
+
30. 1
11
3
53
−
−−
−
31.
2 2
1 1
x y
x y
− −
− −
+
32.
2
2 2
y
x y
−
− −
−
33.
2 2
2
( )
x y
xy
− −
−
+
22
22
22
22
11
11
yx
yx
yx
yx +
=
+
=
+ −−

81
Solución a los ejercicios impares anteriores:
1. 32; 3.
1
4
; 5. 1 ; 7.
1
5
; 9.
1
36
; 11.
1
9
; 13. 7 ; 15.
1
16
; 17. 4 2
x y
19. b ; 21.
2 5
2
5
a b
; 23.
3
3
8x
y
; 25.
6 4
2
p q
r
; 27.
2
3
r
p
; 29. 3− ; 31. 2 2
1
xy x y+
33. 2 2
x y+
3. EXPONENTES FRACCIONARIOS
En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números
racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos
considerar la siguiente definición.
Definición 7-3. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a
(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-ésima raíz de
b.
De acuerdo con esta definición, las ecuaciones
22
= 4, (-2)2
= 4, 33
= 27, (-3)3
= -27
muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto
que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas
tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que
todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a
y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico.
Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de

82
los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de
orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier
potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos
concentrar nuestra atención solamente en los números reales. Diferiremos para después,
por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales.
En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados,
pero sin demostración:
1.Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una de ellas
positiva y la otra negativa.
2.Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar, siendo el
signo de la raíz igual al signo del número.
3.Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.
Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a.
Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la
raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se denota por .n
a El
símbolo n
a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice,
u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el
radicando es negativo y el índice es un número par.
Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales
,636 = ,283
= ,3814
= 2325
−=−
Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero ninguna es
raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero a se denota por
n
a− . Por tanto, 3814
−=− .

83
Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es
un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1
y buscamos una interpretación de .1 n
a Si la Ley III ha de ser valida, tenemos
( ) aaa nnnn
==1
En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de n
a1
es igual a a, o bien, que n
a1
es
una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de a,
tenemos por definición
( ) nnn
aa =1
En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos
los valores negativos de a cuando n es par.
Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m ≠ 1, tenemos
( ) n mnmnm
aaa ==
1
y, además,
( ) ( )m
nmnnm
aaa == 1
Resumiendo, tenemos la siguiente definición:
Definición 7-4. Si m/n es un número racional con n positivo, entonces
( )m
nn mnm
aaa ==
La forma n m
a significa la n-ésima raíz principal de am
, y la forma ( )m
n
a
significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el
denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin
embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m
representa a cualquier entero positivo o negativo.
Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y
estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para
incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de
los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede
demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.

84
Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos
demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n
y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos
( ) nmccnmcncm
aaa ==
Ejemplo 1. ( ) 4288 22
332
=== 46488 3
2
332
=== .
Ejemplo 2.
( ) 27
1
3
1
81
1
81 33
4
43
===−
.
Ejemplo 3.
( ) ( ) ( ) 823232
33
553
−=−=−=− .
Ejemplo 4.
( )( ) 224543313545314335
yxyxyxyx == ++
.
Ejemplo 5.
c
ba
cb
a
cb
a
2
44 3132
31
322121
232
34
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−
.
EJERCICIOS
Encuentre el valor de cada expresión.
1. 21
16−
2. 25
4 3. 31
64−
4.
32
27
8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5.
23
9
4
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6.
41
81
16
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
7. ( ) 54
32− 8. ( ) 441
5
−
9. ( ) 441
5
−−

85
Simplifique cada expresión, dejando los resultados libres de exponentes negativos o
nulos.
10. 3432
xx 11. 5354 −
xx 12. 3432 −−
xx
13. 3223
55 ÷ 14. 6141
xx ÷ 15. ( ) 112 −−
yx
16. ( ) 485
2
−−
y 17. ( ) 4431 −−−
yx 18.
3/ 2 1 3/ 2
5/2 5/ 2 1/ 2
9
4
a b
a b
−
−
19. 214121
324331
16
27
ba
ba
−
20.
51 2 3 5
0 2 5
x y
x y
−−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
21. 353131
322123
8
4
yx
yx
−
Respuesta a los ejercicios impares anteriores
1.
1
4
; 3.
1
4
; 5.
27
8
; 7. 16 ; 9. 5 ; 11. 1/5
x ; 13. 5/6
5 ; 15. 2
y
x
;
17. 4 3
x y ; 19.
1/6
3
4
ab
; 21.
5/6
4x
y
4. LEYES DE LOS RADICALES
De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales.
Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes
correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas
formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos
la restricción d que a y b, sean tales que no se anule dominador alguno y tales que ningún
radical de orden par tenga radicándoos positivos.
I. ( ) aaa
n
nn n
== ( ) ( ) aaa
nnnn
== 11
II. nnn
baab = ( ) nnn
baab 111
=

86
III. n
n
n
b
a
b
a
= n
nn
b
a
b
a
1
11
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
IV. n mcn cm
aa = nmcncm
aa =
V. nmn m
aa = ( ) mnnm
aa 111
=
VI.
nq npmqq pn m
aaa +
= ( ) nqnpmqqpnm
aaa /+
=
Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los
cuales los más comunes son:
1.Remover factores del radicando.
2.Remover el denominador de un radicando.
3.Expresar un radical dentro de un signo radical.
4.Incluir a un factor dentro de un signo radical.
Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y
hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando
el denominador.
En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los
números literales son positivos.
Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales 23
75 ba y ( )
7
3 8 yx + .
Solución,
( ) ( ) ( ) aabaabababa 353532575
22223
===
( ) ( ) ( ) ( ) 323 633 7
228 yxyxyxyxyx ++=++=+ .
Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de

87
5
2
y 3
2
2x
b
Solución,
10
5
1
5
10
25
10
25
10
5
2
====
3
3
3 3
3
3
3
3
2
4
2
1
2
4
8
4
8
4
2
bx
xx
bx
x
bx
x
bx
x
b
==== .
Ejemplo 3. Reduzcamos el orden de los radicales
4 2
25a y 6 93
8 yx
Solución,
( ) aaa 5525 4 24 2
==
( ) xyyxyxyyx 2228 36 336 93
=== .
Ejemplo 4. Incluyamos el coeficiente de
2
4
1
12
x
x − ,
con la potencia apropiada, dentro del signo radical.
Solución.
12
2
2
2
4
4
1
14
4
1
12 −
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=− x
x
x
x
x .
EJERCICIOS
Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.
1. 12 2. 3
16− 3. 24
20 ba
4. 3 42
48 yx 5. 3 54
64 yx 6. 54 4
32 yx
7.
3
2
8.
a5
3
9. 3
9
8

88
10. 3
4
3
− 11. 4
27
2
12. 3
3
2
x
13. 3
3
2
y
x
14. 3
4
4
9
2
y
x−
15. 4
3
4
b
c
16. 4
3
3
8a
17. 4
9 18. 44
81x
19. 6 96
8x y 20. 8 46
81x y 21. 4
2
9
x
Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del signo radical.
23. 2 3 24. 2x y 25. 2
4
2
4
x
x
x
−
26.
5
2
3 2
9
a x
x a
; 27.
3
3a b
b a
28. 2
1 1
2
4
a
a
−
Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales
repetidos como un radical único.
29. 3
3 30. 3 3
a 31. 3
2 16
1. 2 3 ; 3. 2
2 5a b ; 5. 23
4xy xy ; 7.
1
6
3
; 9. 32
3
3
; 11. 41
6
3
;
13. 23
1
18
3
xy
y
; 15. 41
4
2
bc
c
; 17. 3 ; 19. 2xy y ; 21.
1
3x
x
23. 12 ; 25. 4 x− ; 27. 3ab ; 29. 6
3 ; 31. 6
2 2

89
5. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes.
Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo
usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales
equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que
no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos
un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.
Ejemplo 1.
4 241 2
2 18 6 4 2 (9)(2) 6 2
2 4
− + = − =
22326 +−=
24= .
Ejemplo 2.
aaaaaaa 226221632 3333 4
−−=−−
( ) aaa 226 3
−−= ,
Los radicales no semejantes 3
2a y a2 no pueden combinarse en un radical
único.
Ejemplo 3.
ab
ab
ab
a
ab
ba
b
b
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=−
1111
.

90
EJERCICIOS
Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces
todos los radicales semejantes.
1. 183250 +− 2. 122775 −− 3. 28 3 63 112+ −
4. 12475220 −+ 5. 286350 + 6.
8
1
22
2
1
−+
7. 12
27
1
3
3
1
+− 8. 60
5
3
5
3
5
3 −+ 9. 3 3 3
2 16 54 50+ +
10. 333
548116 ++ 11. xxx 21838 3
+−
12. xyyxxy −− 33
164 13. 3642
753123 yxyxyx −+
14. 3 443 43
16542 baabab +− 15. 3 623 353 2
81243 babaa −+
16. 3 43 3
16 54 24a a a+ + 17. 3 3 32 4 2 5
2 2 16ab a b ab+ +
18.
2 34
25 20 5a a a+ + 19. 62 2 34
3 9 27a a a− +
20. 66 34
3 2 4 4 6 8a a a+ + 21.
1 2
2 2
x
x x
− −
1. 4 2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7+ ; 7. 2 3 ; 9. 3 3
7 2 50+ ; 11. (2 8) 2x x−
13. 2 3
(2 15 ) 3x x x y y+ − ; 15. 32 2
(1 2 3 ) 3ab b a+ − ; 17.
3 2
(1 2 ) 2a b ab+ +
19. 3a ; 21.
3
2
2
x
x
x
−

91
6. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.
Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales
equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de
los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV.
Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo
entero positivo mayor que 1.
Ejemplo 1. Multipliquemos 3
22 a por 3 2
35 ba .
Solución.
33 33 23
6106103522 bababaa ==⋅ .
Ejemplo 2. Encontremos el producto ( )( )5345332 −+ .
Solución. Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la manera
usual.
( )( )5345332 −+ 53151038 ⋅−+⋅=
15109 += .
Ejemplo 3. Encontramos el producto de 35 y 3
26 .
Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el
mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,
66 236 26 33
10830233023302635 =⋅=⋅=⋅
La formula III de la Sec. 7-4 muestra como expresar el cociente de dos radicales del
mismo orden como un radical único. Como en la multiplicación, sin embargo, los
radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo
orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no
tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en
su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado
racionalización del denominador.

92
Ejemplo 4. Encontremos el cociente de 3
66 dividido por 5 .
Solución.
30
5
1
55
56
5
6
5
6
=
⋅
⋅
== ,
o, alternativamente,
30
5
1
5
30
5
5
5
6
==⋅ .
Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 3
56 dividido por 22 .
Solución.
. 6
6 36 233
200
2
3
4
256
2
2
22
56
22
56
=
⋅
=⋅=
De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos
66 32
6362
2121
2131
21
31
200
2
3
25
2
3
4
256
222
256
22
56
=⋅=
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅
.
Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o
ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por
expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos que el producto de
ba + y ba − es una expresión radical a – b. Por tanto, un factor de
racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los
términos del divisor.
Ejemplo 6. Dividamos ( )3223 − por ( )3324 − .
Solución.
5
66
2732
18624
3324
3324
3324
3223
3324
3223 +
=
−
−+
=
+
+
⋅
−
−
=
−
−

93
EJERCICIOS
Multiplique como se indica y simplifique el resultado.
1. 72 ⋅ 2. 2872 ⋅⋅ 3. 3053 ⋅⋅
4. 32
218 xyyx ⋅ 5. 33
96 ⋅ 6. 3 23
43 aa ⋅
7. 33 2
416 aba ⋅ 8. 3
23 ⋅ 9. 3
32 ⋅
10. 4
82 ⋅ 11. 43
xxx ⋅⋅ 12. 33
322 ⋅⋅
13. 43
432 ⋅⋅ 14. ( )( )332432 −+ 15. aa +⋅− 33
16. Encuentre el valor de 762
+− xx si 23 +=x
17. Encuentre el valor de 12 2
++ xx si 12 −=x
18. Encuentre el valor de 52
−+ xx si 23 +
Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más simple.
19. 763 ÷ 20. 3311 ÷ 21. xx 287 2
÷
22. aa 315 4
÷ 23. 3
5220 xx ÷ 24. 33
4108 ÷
25. 3 23
272 aa ÷ 26. 33 4
415 xx ÷ 27. 3
33 ÷
28. 393
÷ 29. 3 22
baab ÷
30.
5
3515 +
31.
53
1
−
32.
23
1
−
33.
25
2
+
34.
57
57
−
+
35.
532
354
+
−
36.
2372
2273
−
+

94
1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 3
3 2 ; 7. 3
4a b ; 9. 6
72 ; 11. 12
x x
13. 3
2 3 ; 15. 9 a− ; 17. 6 3 2− ; 19. 3; 21.
1
2
x ; 23.
1
x
25. 3 21
28a
a
; 27. 6
3 ; 29. 6 5 41
a b
a
; 31.
3 5
4
+
; 33.
5 2 2
23
−
35.
9 15 26
7
−

95
Unidad IV. ECUACIONES LINEALES.
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Objetivo especifico:
El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones
lineales con una incógnita.
Ecuación:
Es una igualdad que solo se verifica para un valor determinado (o valores
determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional.
Al conjunto de términos situados a la izquierda de signos iguales se le llama primer
miembro de la ecuación y al conjunto de términos que están a la derecha se le llama
segundo miembro.
Esto es una ecuación:
2x – 5 = x + 3
Primer segundo
Miembro Miembro
Propiedades de las ecuaciones
1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la
ecuación sigue siendo cierta.
2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la
ecuación sigue siendo cierta.
3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto
cero) la ecuación sigue siendo cierta.

96
Identidad
Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la
literal (o literales); es una igualdad absoluta.
Se escribe: 4a + 6a ≡ 10a
Raíz o solución de una ecuación
Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.
Así la raíz de 3x – 9 = 5x – 23 es x = 7
Porque: 3(7) – 9 = 5(7) – 23
12 = 12
De igual manera las raíces de x2 – 7x + 10 = 0 son x1 = 2
x2 = 5
porque: (2)2 – 7 (2) + 10 = 0 (5)2 – 7(5) + 10 = 0
4 – 14 + 10 = 0 25 – 35 + 10 = 0
- 14 + 14 = 0 - 35 + 35 = 0
0 = 0 0 = 0
Ecuación Literal
Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas
por letras.
ax + bx – c = 0
son ecuaciones literales 0
a
x
=

97
a
x
- 1 + b = 0
Ventajas de las ecuaciones literales
Con las ecuaciones literales, se obtienen formulas aplicadas no solo a un problema
determinado si no a todos los de su misma especie; generalizan por tanto los problemas, lo
cual es una finalidad del álgebra.
Así, por ejemplo, en la formula del interés:
i = Art en donde:
i = interés
A = capital
r = rédito anual
t = tiempo en años
Esta ecuación se puede resolver con respecto a cualquier de las literales, obteniéndose:
i
A
rt
=
i
r
At
=
i
t
Ar
=
2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ecuación de primer grado es aquella en que, después de efectuadas todas las
reducciones posibles, el exponente de la incógnita es igual a la unidad.
Ejemplos de resolución
Haciendo uso de las propiedades de las ecuaciones, resolver la siguiente ecuación:

98
Súmese 3 a cada miembro 5x – 3 = 2x + 12
+ 3 = + 3
Réstese 2x a cada miembro 5x = 2x + 15
- 2x = - 2x
3x = 15
Divídase entre 3
x = 5 raíz
Comprobación: sustituimos el valor de la raíz en la ecuación original y si se verifica la
igualdad, entonces el problema esta bien resuelto, se no se verifica, habrá que revisar
nuevamente el procedimiento seguido.
5(5) – 3 = 2(5) + 12
25 – 3 = 10 + 12
22 = 22
Ejemplo
Resuelve:
5
2
x
+ 4 = x + 13
Multiplicamos por 2: 2
5
2
x
+ 4 = 2(x + 13)
Restamos 2x: 5x + 8 = 2x + 26
-2x = -2x
Restamos 8: 3x + 8 = 26
- 8 = - 8
3x = +18

99
Divídase entre 3:
Comprobación:
5*6
2
+ 4 = 6 + 13
15 + 4 = 6 + 13; 19 ≡ 19
19 = 19
Transposición de términos
Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera
en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico.
Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro
respetando la siguiente regla:
Si el término esta sumando pasa restando
Si el término esta restando pasa sumando
Si el término multiplicando pasa dividiendo
Si el término esta dividiendo pasa multiplicando
A esto se le llama transposición de términos.
Intercambio de miembros
Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el
primer miembro de la ecuación:
Así, las ecuaciones 25 = 3x - 4 y 12 = 2x + 3
Conviene escríbelas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12
Cambio de signo
+ -
- +
X
÷ X
x = 6
÷

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