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American Options Valuation

La valuación de opciones americanas se aborda en este documento mediante el uso del algoritmo Longstaff-Schwartz, que combina técnicas de regresión por mínimos cuadrados y simulación de Monte Carlo. Se discuten las características de las opciones, su clasificación y se proporciona un ejemplo práctico demostrando la implementación del método LSM. Este enfoque permite estimar el valor esperado de las opciones de manera precisa y eficiente.

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Valuación de Opciones Americanas Usando Mínimos Cuadrados y Monte Carlo (Longstaff- Schwartz) Análisis Cuantitativo del Riesgo Simulación David Solís
Resumen La valuación de opciones americanas ha sido un problema bien estudiado en Finanzas Cuantitativas ya que no existe una fórmula cerrada. Por lo tanto, se han desarrollado muchas aproximaciones y técnicas numéricas. En la valuación de opciones, es recurrente el uso de la simulación Monte Carlo debido a su precisión y convergencia. Esta presentación analiza el algoritmo de Longstaff y Schwartz, conocido como LSM, que es un método que combina técnicas de regresión por mínimos cuadrados y Monte Carlo. Una vez que se entiende como funciona el algoritmo es relativamente fácil de implementar.
Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz 2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
Definiciones 4 Tipos de Opciones (Call o Put) Call. Otorga al tenedor de la opción el derecho a comprar el subyacente al precio acordado. Put. Otorga al tenedor de la opción el derecho a vender el subyacente al precio acordado. Opciones Contratos que otorgan al comprador el derecho a comprar o vender un activo en particular. • En el futuro • A un precio predeterminado • Sin ninguna obligación El vendedor recibe un pago (option premium) del comprador. Tipos de Opciones (Europeas o Americanas) Europeas. Son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de expiración. Americana. Pueden ser ejercidas en cualquier momento (en la fecha de expiración o antes). Posiciones Larga. La posición del comprador (buyer) de la opción. Corta. La posición del vendedor (seller o writer).
Definiciones 4 Tipos de Opciones (Call o Put) Call. Otorga al tenedor de la opción el derecho a comprar el subyacente al precio acordado. Put. Otorga al tenedor de la opción el derecho a vender el subyacente al precio acordado. Opciones Contratos que otorgan al comprador el derecho a comprar o vender un activo en particular. • En el futuro • A un precio predeterminado • Sin ninguna obligación El vendedor recibe un pago (option premium) del comprador. Tipos de Opciones (Europeas o Americanas) Europeas. Son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de expiración. Americana. Pueden ser ejercidas en cualquier momento (en la fecha de expiración o antes). Posiciones Larga. La posición del comprador (buyer) de la opción. Corta. La posición del vendedor (seller o writer). En este contexto “derecho” es un privilegio concedido al comprador. Obligación implica un compromiso legal.
5 Tipos de Subyacentes ‣ Activos Financieros • Acciones. • Indices • Bonos • Tipo de cambio • Futuros ‣ Commodities • Agricultura (granos, comida, fibras) • Energía (brent, etanol, gas natural, propano) • Metales (industriales: cobre, zinc, aluminio, preciosos: oro, plata, platino, paladio)
6 Terminología Call Put En el dinero At the money (ATM) S = K S = K Dentro del dinero In the money (ITM) S > K S < K Fuera del dinero Out of the money (OTM) S < K S > K S = Precio del subyacente K = Precio de ejercicio
7 P&L Compra de Opciones Europeas Opción call europea Precio de la opción = $5 Precio de ejercicio = $100 Opción put europea Precio de la opción = $7 Precio de ejercicio = $70
8 P&L Venta de Opciones Europeas Opción call europea Precio de la opción = $5 Precio de ejercicio = $100 Opción put europea Precio de la opción = $7 Precio de ejercicio = $70
9 Kamasutra Básico: 4 Posiciones Call largo max(ST - K, 0) Call corto min(K - ST, 0) Put largo max(K - ST, 0) Put corto min(ST - K, 0) K = Precio de ejercicio ST = Precio del subyacente al vencimiento
Europea Americana PDE Condiciones Frontera Solución No tiene solución analítica 10 Comparación
11 Monte Carlo - La idea principal
11 Monte Carlo - La idea principal MC es un método para estimar el valor de una integral
11 Monte Carlo - La idea principal Factorizando donde p(x) representa una densidad
11 Monte Carlo - La idea principal Se puede interpretar la integral como el valor esperado
11 Monte Carlo - La idea principal Generando muestras i.i.d. de p(x) se puede estimar el valor esperado
11 Monte Carlo - La idea principal h ( x ) e s i n t e g r a b l e y cuadráticamente integrable
11 Monte Carlo - La idea principal
Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz 2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
13 Método Longstaff-Schwartz
Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz 2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
15 Ejemplo - Valuación Put Americana Trayectoria S0 S1 S2 S3 1 1.00 1.09 1.08 1.34 2 1.00 1.16 1.26 1.54 3 1.00 1.22 1.07 1.03 4 1.00 0.93 0.97 0.92 5 1.00 1.11 1.56 1.52 6 1.00 0.76 0.77 0.90 7 1.00 0.92 0.84 1.01 8 1.00 0.88 1.22 1.34 Parámetros
16 En la Trayectoria S3 —Flujo de Efectivo Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 2 0.00 3 0.07 4 0.18 5 0.00 6 0.20 7 0.09 8 0.00 Put  Europea 0.0564 El valor de la opción es el promedio descontado al tiempo 0
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— ——
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— ——
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— ——
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
17 En la Trayectoria S2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
18 En la Trayectoria S2 —Flujo de Efectivo Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 2 0.00 0.00 3 0.00 0.07 4 0.13 0.18 5 0.00 0.00 6 0.33 0.20 7 0.26 0.09 8 0.00 0.00
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
19 En la Trayectoria S1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
20 Flujo de Efectivo S1 ➞ Regla de Paro Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.13 0.18 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.33 0.20 7 0.18 0.26 0.09 8 0.22 0.00 0.00
20 Flujo de Efectivo S1 ➞ Regla de Paro Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.13 0.18 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.33 0.20 7 0.18 0.26 0.09 8 0.22 0.00 0.00 Trayectoria SR1 SR2 SR3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 Condiciones • Sólo se puede ejercer una vez. • Se realiza de adelante hacia atrás.
21 Regla de Paro ➞ Flujo de Efectivo Trayectoria SR1 SR2 SR3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0
21 Regla de Paro ➞ Flujo de Efectivo Trayectoria SR1 SR2 SR3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00
22 Flujo de Efectivo Descontado Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00 DF1 DF2 DF3 0.9418 0.8869 0.8353
22 Flujo de Efectivo Descontado Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00 Trayectoria DF1*CF1 DF2*CF2 DF3*CF3 1 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0000 0.0000 0.0585 4 0.1601 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.3202 0.0000 0.0000 7 0.1695 0.0000 0.0000 8 0.2072 0.0000 0.0000 Put  Americana 0.1144 DF1 DF2 DF3 0.9418 0.8869 0.8353 El valor de la opción es el promedio por trayectoria
Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz 2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
24 Algoritmo LSM Preliminares
24 Algoritmo LSM Preliminares Opciones europeas
24 Algoritmo LSM Preliminares Función de pago a tiempo t para un Put Opciones europeas
24 Algoritmo LSM Preliminares M o d e l a c i ó n d e l subyacente como b r o w n i a n o geométrico (GBM) Opciones europeas
24 Algoritmo LSM Preliminares El valor esperado de la función de pago descontadoOpciones europeas
24 Algoritmo LSM Preliminares Opciones americanas
24 Algoritmo LSM Preliminares El valor esperado de la función de pago descontado Opciones americanas
24 Algoritmo LSM Preliminares C o r re s p o n d e a l p r o b l e m a d e encontrar el tiempo óptimo de parada Opciones americanas
24 Algoritmo LSM Preliminares El valor esperado de la f u n c i ó n d e p a g o descontado en términos del tiempo óptimoOpciones americanas
25 Frontera de Ejercicio t* b*
26 Algoritmo LSM Componentes ‣ Programación dinámica • Usa programación dinámica para encontrar el tiempo óptimo de parada. • Se divide el intervalo [O,T] en un conjunto finito de puntos y para cada uno de ellos se decide si es mejor ejercer la opción o continuar. Se inicia en T y se recorre hacia atrás al tiempo 0, actualizando el tiempo de parada cada vez que se encuentra un punto donde es mejor ejercer. ‣ Monte Carlo • Usa Monte Carlo para aproximar el valor esperado
27 Programación Dinámica
27 Programación Dinámica Representa el valor de continuar con la opción (valor de continuación)
27 Programación Dinámica El valor de ejercicio es la función de pago.
28 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 1
28 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 1 E l v a l o r d e c o n t i n u a c i ó n s e expresa como una e s p e r a n z a condicional
28 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 1 Donde la función de pago está definida de esta manera
28 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 1 Se asume que los puntos en el tiempo tienen la misma distancia entre ellos
29 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 2
29 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 2 El valor de continuación en términos de la función de pago
29 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 2 Se puede aproximar como un polinomio
29 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 2 Los coeficientes de regresión se aproximan con mínimos cuadrados
29 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 2 Con MC se aproxima el valor esperado de la opción
30 Polinomio de Laguerre Grado 5 �(�� �) = � - � � + � �� - � �� � + � �� �� - �� ��� ����� ����� ����� ����� ������ 2 4 6 8 10 12 10 20 30 40 Polinomio de Laguerre de grado 5
30 Polinomio de Laguerre Grado 5 En el artículo, Longstaff y Schwartz usan otra expresión p a r a l o s p o l i n o m i o s d e Laguerre. �(�� �) = � - � � + � �� - � �� � + � �� �� - �� ��� ����� ����� ����� ����� ������ 2 4 6 8 10 12 10 20 30 40 Polinomio de Laguerre de grado 5
31 Polinomio de Legendre Grado 5 �(�� �) = � � �� � - �� �� + �� �� -0.5384-0.5384-0.9061-0.9061 0.53840.5384 0.90610.90610 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0
32 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 3
32 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 3 S e p u e d e s i m p l i fi c a r e l algoritmos usando los pagos descontado en lugar de los tiempos óptimos de parada
32 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 3 Con un poco de algebra
32 Algoritmo LSM Tuercas y tornillos 3 Tenemos la aproximación del valor esperado
33 Algoritmo LSM Pseudo código
34 Algoritmo LSM Optimización de memoria ‣ Los precios de las acciones de todas las trayectorias para cada paso de tiempo pueden ser generados por un browniano geométrico. Se necesita una matriz para almacenar los precios de las acciones en todos los pasos debido a la principio de funcionamiento hacia atrás del LSM. El puente browniano ofrece una solución para disminuir los requerimientos de memoria (Jäckel, Glasserman). Esto nos permite estimar un valor de un movimiento browniano dado dos puntos finales. Esto es,
34 Algoritmo LSM Optimización de memoria ‣ Los precios de las acciones de todas las trayectorias para cada paso de tiempo pueden ser generados por un browniano geométrico. Se necesita una matriz para almacenar los precios de las acciones en todos los pasos debido a la principio de funcionamiento hacia atrás del LSM. El puente browniano ofrece una solución para disminuir los requerimientos de memoria (Jäckel, Glasserman). Esto nos permite estimar un valor de un movimiento browniano dado dos puntos finales. Esto es, S e e m p i e z a c o n l a trayectoria final Si(T) y luego se generan las restantes Si(t) para cada paso hacia atrás, lo que significa que sólo se tiene que almacenar los valores para el paso actual.
Polinomio de Laguerre Grado 5
Polinomio de Laguerre Grado 5 Genera la última trayectoria usando variables antitéticas. Calcula la función de pago Obtiene el precio de la opción europea equivalente.
Polinomio de Laguerre Grado 5 Genera las siguientes trayectorias de manera recursiva usando un Puente Browniano (Brownian Bridge). Obtiene el conjunto de índices de los precios que están dentro del dinero
Polinomio de Laguerre Grado 5 Ejecuta la regresión utilizando un polinomio de Laguerre de grado 3 con los pagos descontados y los precios en el dinero
Polinomio de Laguerre Grado 5 Determina si es tiempo de ejercer la acción o es mejor continuar Actualiza el vector de flujos
Polinomio de Laguerre Grado 5 Calcula el precio y el error estándar al 95% de confianza
Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz 2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
37 Referencias 000-0-000-00000-0 978-0-123-75662-6 978-0-521-49789-3 978-0-761-16925-3978-0-470-74489-5 978-0-133-45631-8 978-0-471-49741-7 978-0-387-00451-8
Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz 2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
Retroalimentación - Discusión

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American Options Valuation

  • 1.
    Valuación de OpcionesAmericanas Usando Mínimos Cuadrados y Monte Carlo (Longstaff- Schwartz) Análisis Cuantitativo del Riesgo Simulación David Solís
  • 2.
    Resumen La valuación deopciones americanas ha sido un problema bien estudiado en Finanzas Cuantitativas ya que no existe una fórmula cerrada. Por lo tanto, se han desarrollado muchas aproximaciones y técnicas numéricas. En la valuación de opciones, es recurrente el uso de la simulación Monte Carlo debido a su precisión y convergencia. Esta presentación analiza el algoritmo de Longstaff y Schwartz, conocido como LSM, que es un método que combina técnicas de regresión por mínimos cuadrados y Monte Carlo. Una vez que se entiende como funciona el algoritmo es relativamente fácil de implementar.
  • 3.
    Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
  • 4.
    Definiciones 4 Tipos de Opciones(Call o Put) Call. Otorga al tenedor de la opción el derecho a comprar el subyacente al precio acordado. Put. Otorga al tenedor de la opción el derecho a vender el subyacente al precio acordado. Opciones Contratos que otorgan al comprador el derecho a comprar o vender un activo en particular. • En el futuro • A un precio predeterminado • Sin ninguna obligación El vendedor recibe un pago (option premium) del comprador. Tipos de Opciones (Europeas o Americanas) Europeas. Son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de expiración. Americana. Pueden ser ejercidas en cualquier momento (en la fecha de expiración o antes). Posiciones Larga. La posición del comprador (buyer) de la opción. Corta. La posición del vendedor (seller o writer).
  • 5.
    Definiciones 4 Tipos de Opciones(Call o Put) Call. Otorga al tenedor de la opción el derecho a comprar el subyacente al precio acordado. Put. Otorga al tenedor de la opción el derecho a vender el subyacente al precio acordado. Opciones Contratos que otorgan al comprador el derecho a comprar o vender un activo en particular. • En el futuro • A un precio predeterminado • Sin ninguna obligación El vendedor recibe un pago (option premium) del comprador. Tipos de Opciones (Europeas o Americanas) Europeas. Son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de expiración. Americana. Pueden ser ejercidas en cualquier momento (en la fecha de expiración o antes). Posiciones Larga. La posición del comprador (buyer) de la opción. Corta. La posición del vendedor (seller o writer). En este contexto “derecho” es un privilegio concedido al comprador. Obligación implica un compromiso legal.
  • 6.
    5 Tipos de Subyacentes ‣Activos Financieros • Acciones. • Indices • Bonos • Tipo de cambio • Futuros ‣ Commodities • Agricultura (granos, comida, fibras) • Energía (brent, etanol, gas natural, propano) • Metales (industriales: cobre, zinc, aluminio, preciosos: oro, plata, platino, paladio)
  • 7.
    6 Terminología Call Put En eldinero At the money (ATM) S = K S = K Dentro del dinero In the money (ITM) S > K S < K Fuera del dinero Out of the money (OTM) S < K S > K S = Precio del subyacente K = Precio de ejercicio
  • 8.
    7 P&L Compra deOpciones Europeas Opción call europea Precio de la opción = $5 Precio de ejercicio = $100 Opción put europea Precio de la opción = $7 Precio de ejercicio = $70
  • 9.
    8 P&L Venta deOpciones Europeas Opción call europea Precio de la opción = $5 Precio de ejercicio = $100 Opción put europea Precio de la opción = $7 Precio de ejercicio = $70
  • 10.
    9 Kamasutra Básico: 4Posiciones Call largo max(ST - K, 0) Call corto min(K - ST, 0) Put largo max(K - ST, 0) Put corto min(ST - K, 0) K = Precio de ejercicio ST = Precio del subyacente al vencimiento
  • 11.
  • 12.
    11 Monte Carlo -La idea principal
  • 13.
    11 Monte Carlo -La idea principal MC es un método para estimar el valor de una integral
  • 14.
    11 Monte Carlo -La idea principal Factorizando donde p(x) representa una densidad
  • 15.
    11 Monte Carlo -La idea principal Se puede interpretar la integral como el valor esperado
  • 16.
    11 Monte Carlo -La idea principal Generando muestras i.i.d. de p(x) se puede estimar el valor esperado
  • 17.
    11 Monte Carlo -La idea principal h ( x ) e s i n t e g r a b l e y cuadráticamente integrable
  • 18.
    11 Monte Carlo -La idea principal
  • 19.
    Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
  • 20.
  • 21.
    Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
  • 22.
    15 Ejemplo - ValuaciónPut Americana Trayectoria S0 S1 S2 S3 1 1.00 1.09 1.08 1.34 2 1.00 1.16 1.26 1.54 3 1.00 1.22 1.07 1.03 4 1.00 0.93 0.97 0.92 5 1.00 1.11 1.56 1.52 6 1.00 0.76 0.77 0.90 7 1.00 0.92 0.84 1.01 8 1.00 0.88 1.22 1.34 Parámetros
  • 23.
    16 En la TrayectoriaS3 —Flujo de Efectivo Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 2 0.00 3 0.07 4 0.18 5 0.00 6 0.20 7 0.09 8 0.00 Put  Europea 0.0564 El valor de la opción es el promedio descontado al tiempo 0
  • 24.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418
  • 25.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— ——
  • 26.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— ——
  • 27.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— ——
  • 28.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
  • 29.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
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    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
  • 31.
    17 En la TrayectoriaS2 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.08 0 2 —— —— 3 1.07 0.06592 4 0.97 0.16952 5 —— —— 6 0.77 0.18835 7 0.84 0.08476 8 —— —— Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.02 0.0367 2 —— —— 3 0.03 0.0459 4 0.13 0.1175 5 —— —— 6 0.33 0.1520 7 0.26 0.1564 8 —— ——
  • 32.
    18 En la TrayectoriaS2 —Flujo de Efectivo Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 2 0.00 0.00 3 0.00 0.07 4 0.13 0.18 5 0.00 0.00 6 0.33 0.20 7 0.26 0.09 8 0.00 0.00
  • 33.
    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418
  • 34.
    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0
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    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0
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    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0
  • 37.
    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
  • 38.
    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
  • 39.
    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
  • 40.
    19 En la TrayectoriaS1 Trayectoria S0 S1 S2 S3 DFi 1 1.00 1.09 1.08 1.34 0.9418 2 1.00 1.16 1.26 1.54 0.9418 3 1.00 1.22 1.07 1.03 0.9418 4 1.00 0.93 0.97 0.92 0.9418 5 1.00 1.11 1.56 1.52 0.9418 6 1.00 0.76 0.77 0.90 0.9418 7 1.00 0.92 0.84 1.01 0.9418 8 1.00 0.88 1.22 1.34 0.9418 Regresión X Y 1 1.09 0 2 —— —— 3 —— —— 4 0.93 0.16952 5 —— —— 6 0.76 0.18835 7 0.92 0.08476 8 0.88 0 Ejercicio Temprano Ejercer Continuar 1 0.01 0.0135 2 —— —— 3 —— —— 4 0.17 0.1087 5 —— —— 6 0.34 0.2861 7 0.18 0.1170 8 0.22 0.1528
  • 41.
    20 Flujo de EfectivoS1 ➞ Regla de Paro Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.13 0.18 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.33 0.20 7 0.18 0.26 0.09 8 0.22 0.00 0.00
  • 42.
    20 Flujo de EfectivoS1 ➞ Regla de Paro Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.13 0.18 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.33 0.20 7 0.18 0.26 0.09 8 0.22 0.00 0.00 Trayectoria SR1 SR2 SR3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 Condiciones • Sólo se puede ejercer una vez. • Se realiza de adelante hacia atrás.
  • 43.
    21 Regla de Paro➞ Flujo de Efectivo Trayectoria SR1 SR2 SR3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0
  • 44.
    21 Regla de Paro➞ Flujo de Efectivo Trayectoria SR1 SR2 SR3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00
  • 45.
    22 Flujo de EfectivoDescontado Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00 DF1 DF2 DF3 0.9418 0.8869 0.8353
  • 46.
    22 Flujo de EfectivoDescontado Trayectoria CF1 CF2 CF3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00 Trayectoria DF1*CF1 DF2*CF2 DF3*CF3 1 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0000 0.0000 0.0585 4 0.1601 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.3202 0.0000 0.0000 7 0.1695 0.0000 0.0000 8 0.2072 0.0000 0.0000 Put  Americana 0.1144 DF1 DF2 DF3 0.9418 0.8869 0.8353 El valor de la opción es el promedio por trayectoria
  • 47.
    Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
  • 48.
  • 49.
  • 50.
    24 Algoritmo LSM Preliminares Funciónde pago a tiempo t para un Put Opciones europeas
  • 51.
    24 Algoritmo LSM Preliminares Mo d e l a c i ó n d e l subyacente como b r o w n i a n o geométrico (GBM) Opciones europeas
  • 52.
    24 Algoritmo LSM Preliminares Elvalor esperado de la función de pago descontadoOpciones europeas
  • 53.
  • 54.
    24 Algoritmo LSM Preliminares Elvalor esperado de la función de pago descontado Opciones americanas
  • 55.
    24 Algoritmo LSM Preliminares Co r re s p o n d e a l p r o b l e m a d e encontrar el tiempo óptimo de parada Opciones americanas
  • 56.
    24 Algoritmo LSM Preliminares Elvalor esperado de la f u n c i ó n d e p a g o descontado en términos del tiempo óptimoOpciones americanas
  • 57.
  • 58.
    26 Algoritmo LSM Componentes ‣Programación dinámica • Usa programación dinámica para encontrar el tiempo óptimo de parada. • Se divide el intervalo [O,T] en un conjunto finito de puntos y para cada uno de ellos se decide si es mejor ejercer la opción o continuar. Se inicia en T y se recorre hacia atrás al tiempo 0, actualizando el tiempo de parada cada vez que se encuentra un punto donde es mejor ejercer. ‣ Monte Carlo • Usa Monte Carlo para aproximar el valor esperado
  • 59.
  • 60.
    27 Programación Dinámica Representa elvalor de continuar con la opción (valor de continuación)
  • 61.
    27 Programación Dinámica El valorde ejercicio es la función de pago.
  • 62.
  • 63.
    28 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 1 E l v a l o r d e c o n t i n u a c i ó n s e expresa como una e s p e r a n z a condicional
  • 64.
    28 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 1 Donde la función de pago está definida de esta manera
  • 65.
    28 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 1 Se asume que los puntos en el tiempo tienen la misma distancia entre ellos
  • 66.
  • 67.
    29 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 2 El valor de continuación en términos de la función de pago
  • 68.
    29 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 2 Se puede aproximar como un polinomio
  • 69.
    29 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 2 Los coeficientes de regresión se aproximan con mínimos cuadrados
  • 70.
    29 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 2 Con MC se aproxima el valor esperado de la opción
  • 71.
    30 Polinomio de LaguerreGrado 5 �(�� �) = � - � � + � �� - � �� � + � �� �� - �� ��� ����� ����� ����� ����� ������ 2 4 6 8 10 12 10 20 30 40 Polinomio de Laguerre de grado 5
  • 72.
    30 Polinomio de LaguerreGrado 5 En el artículo, Longstaff y Schwartz usan otra expresión p a r a l o s p o l i n o m i o s d e Laguerre. �(�� �) = � - � � + � �� - � �� � + � �� �� - �� ��� ����� ����� ����� ����� ������ 2 4 6 8 10 12 10 20 30 40 Polinomio de Laguerre de grado 5
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    31 Polinomio de LegendreGrado 5 �(�� �) = � � �� � - �� �� + �� �� -0.5384-0.5384-0.9061-0.9061 0.53840.5384 0.90610.90610 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0
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    32 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 3 S e p u e d e s i m p l i fi c a r e l algoritmos usando los pagos descontado en lugar de los tiempos óptimos de parada
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    32 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 3 Con un poco de algebra
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    32 Algoritmo LSM Tuercasy tornillos 3 Tenemos la aproximación del valor esperado
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    34 Algoritmo LSM Optimizaciónde memoria ‣ Los precios de las acciones de todas las trayectorias para cada paso de tiempo pueden ser generados por un browniano geométrico. Se necesita una matriz para almacenar los precios de las acciones en todos los pasos debido a la principio de funcionamiento hacia atrás del LSM. El puente browniano ofrece una solución para disminuir los requerimientos de memoria (Jäckel, Glasserman). Esto nos permite estimar un valor de un movimiento browniano dado dos puntos finales. Esto es,
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    34 Algoritmo LSM Optimizaciónde memoria ‣ Los precios de las acciones de todas las trayectorias para cada paso de tiempo pueden ser generados por un browniano geométrico. Se necesita una matriz para almacenar los precios de las acciones en todos los pasos debido a la principio de funcionamiento hacia atrás del LSM. El puente browniano ofrece una solución para disminuir los requerimientos de memoria (Jäckel, Glasserman). Esto nos permite estimar un valor de un movimiento browniano dado dos puntos finales. Esto es, S e e m p i e z a c o n l a trayectoria final Si(T) y luego se generan las restantes Si(t) para cada paso hacia atrás, lo que significa que sólo se tiene que almacenar los valores para el paso actual.
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    Polinomio de LaguerreGrado 5 Genera la última trayectoria usando variables antitéticas. Calcula la función de pago Obtiene el precio de la opción europea equivalente.
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    Polinomio de LaguerreGrado 5 Genera las siguientes trayectorias de manera recursiva usando un Puente Browniano (Brownian Bridge). Obtiene el conjunto de índices de los precios que están dentro del dinero
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    Polinomio de LaguerreGrado 5 Ejecuta la regresión utilizando un polinomio de Laguerre de grado 3 con los pagos descontados y los precios en el dinero
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    Polinomio de LaguerreGrado 5 Determina si es tiempo de ejercer la acción o es mejor continuar Actualiza el vector de flujos
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    Polinomio de LaguerreGrado 5 Calcula el precio y el error estándar al 95% de confianza
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    Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
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    37 Referencias 000-0-000-00000-0 978-0-123-75662-6 978-0-521-49789-3978-0-761-16925-3978-0-470-74489-5 978-0-133-45631-8 978-0-471-49741-7 978-0-387-00451-8
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    Introducción 1 Método Longstaff-Schwartz2 Ejemplo 3 Algoritmo LSM 4 Referencias 5 Referencias 7 Retroalimentación - Discusión 6
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