Basado en [Zen10]. Muestra un juego diferencial estocástico entre dos compañías de seguros que usan una estrategia de reaseguro para reducir el riesgo de exposición. [Zen10] Zeng, X. (2010). A stochastic differential reinsurance game. Journal of Applied Probability, 47(2), 335-349.

1. Facultad de Ciencias Actuariales
Un Juego Diferencial Estocástico de Reaseguro
David Solís Pacheco
UNIVERSIDAD ANÁHUAC
FACULTAD DE CIENCIAS ACTUARIALES
ANÁLISIS CUANTITATIVO DEL RIESGO
Este% trabajo% está% basado% en% [Zen10].% Muestra% un% juego%
diferencial%estocástico%entre%dos%compañías%de%seguros%que%
usan%una%estrategia%de%reaseguro%para%reducir%el%riesgo%de%
exposición.%%
Introducción%
%
El%proceso%de%riesgo%de%una%compañía%aseguradora%puede%
ser%descrito%por%el%modelo%CramerCLundberg%[KPW08]%
%
! ! = ! + !" − ! ! ! ≥ 0,%
%
donde%!%es% la% tasa% de% la% prima,%!%es% la% reserva% inicial,%
! ! = !!
! !
!!!
%es% la% perdida% total,%! ! %es% el% proceso% de%
Poisson% de% las% reclamaciones,% !! %es% una% secuencia% de%
variables% aleatorias% independientes% e% idénticamente%
distribuidas% que% representan% el% tamaño% de% las%
reclamaciones.%
%
! ! %satisface%el%siguiente%modelo%de%difusión%[KPW08]%
%
!" ! = !!!" + !!!" ! %
%
siendo%! ! %un%movimiento%browniano%
%
Para%disminuir%el%riesgo%de%exposición,%la%aseguradora%usa%
una% estrategia% de% reaseguro.% Un% reasegurador% paga% una%
cierta% fracción% de% la% reclamación.% Entonces,% la%
aproximación%al%modelo%de%difusión%para%la%aseguradora%es%
%
!" ! = ! −! 1 − ! ! ! !!" + ! ! !!!!" ! ,%
%
donde%! ∈ 0,1 %es%la%fracción%de%cada%reclamación%pagada%
por%la%aseguradora%y% 1 − ! !%es%la%tasa%a%la%cual%las%primas%
son%destinadas%al%reasegurador%[Zen10].%
%
Otra% aseguradora% también% escoge% una% estrategia% de%
reaseguro% para% reducir% su% riesgo% de% exposición.% Se%
considera% un% juego% diferencial% estocástico% de% suma% cero%
entre% las% dos% aseguradoras.% Una% compañía% trata% de%
maximizar%su%pago%esperado%mientras%simultáneamente%la%
otra% trata% de% minimizar% la% misma% cantidad.% Ambas%
compañías%compiten%realizando%decisiones%independientes%
sobre% la% estrategia% de% reaseguro.% Sus% decisiones% son%
completamente% observadas% por% ambas% compañías%
[SWB98].%%
Modelo.de.Reaseguro.con.Competencia.
%
Sea% Ω, ℱ, ℱ!, ! %un% espacio% de% probabilidad% con% filtración%
ℱ! %y% dos% movimientos% brownianos% !! ! %y% !! ! %
adaptados% a% ℱ! .% El% proceso% de% riesgo% de% las% dos%
aseguradoras%está%dado%por%
%
!!!
!!
! = !! −! 1 − !! ! !!! !!" + !! ! !!!!!!! ! ,%
%
donde%
!!! ≥ !!
!! > 0
! = 1,2!, ! !! ! !! ! = !",%
%
!! ! !!!, ! = 1,2%son% estrategias% admisibles% si%!! ! ∈
0,1 %están% ℱ! %adaptadas.% El% conjunto% de% todas% las%
estrategias%admisibles%está%denotado%por%ℋ.%
%
Ambas% compañías% invierten% en% un% activo% libre% de% riesgo%
cuya%dinámica%está%gobernada%por%
%
!" ! = !" ! !!",%
%
donde%!%es%la%tasa%libre%de%riesgos.%
%
El%capital%total%es%la%suma%del%capital%invertido%en%el%activo%
libre%de%riesgo%y%el%capital%del%negocio%de%seguros.%
%
!!!
!!
! = !!
!!
! !!"# + !! −! 1 − !! ! !!! !!"
+!! ! !!!!!!! ! ,
%
%
donde%!!
!!
0 = !! > 0.%
%
Una%compañía%tiene%mayor%capital%que%otra%(!! > !!),%la%
meta%del%jugador%1%es%conservar%su%ventaja,%es%decir,%
maximizar%la%función%de%pago%de%la%diferencia%!!
!!
− !!
!!
%
hasta%una%fecha%!%(!!
!!
! = 0).%Simultáneamente,%el%
jugador%2%trata%de%minimizar%la%misma%función%de%pago.%
%
Sea%!!!,!! ! ∶= !!
!!
! − !!
!!
! ,%de%tal%manera%que%
%
!!!!,!! ! = ! + !! ! !!! − !! ! !!! + !!!!,!! ! !"
+!! ! !!!!!!! ! − !! ! !!!!!!! ! ,
%
%
donde%%! ∶= !!! − !! − !!! − !! %%
y% !!!,!! 0 = ! ∶= !! − !! > 0%
%
!!
!!,!!
! ≔ !"# ! > 0 ∶!!!!,!! ! = ! %es%el%primer%tiempo%
de%llegada%al%punto%!%bajo%las%estrategias%!! ∶= !! ! !!!%y%
!! ∶= !! ! !!!%
%
!!!,!! ! ≔ !"# !!
!!,!!
, !!
!!,!!
%es% el% primer% tiempo% de%
salida%del%intervalo !, ! %donde%!, ! ∈ ℝ%con%! > !.%
%
Para% una% función% no% negativa% ! ! ≥ 0 ,% una% función%
continua% acotada!! ! %y% una% función%! ! ,% se% define% la%
función%esperada%de%pago%
%
!!!,!! ! = !! ! !!!,!! ! !!"# − ! !!!,!! ! !!"
!
!
!!!,!!
!
!!"
+! !!!,!! !!!,!! !!"! − ! !!!,!! ! !!"
!!!,!!
!
.
%
%
Por%convención,%!! ∙ ∶= ! ∙! !!!!,!! 0 = ! .%%
El#juego#diferencial#estocástico#consiste#en#que#el#jugador#1#
trata#de#maximizar#la#anterior#función#de#pago#y#el#jugador#
2#trata#de#minimizarla.#
#
! ! = sup
!!∈ℋ
inf
!!∈ℋ
!!!!,!! ! #denota#los#valores#inferiores,##
#
! ! = inf
!!∈ℋ
sup
!!∈ℋ
!!!!,!! ! #denota#los#valores#superiores.#
#
Si#! ! = ! ! ,#el#valor#del#juego#está#dado#por#! ! ≔
! ! = ! ! #
Equilibrio)de)Nash)y)Ecuaciones)Fleming6
Bellman6Issacs)
#
Para# cualquier#!! #admisible# escogida# por# el# jugador# 2,##
! !; !! = sup
!!∈ℋ
!!!,!! ! #es#la#función#de#pago#óptima#para#
el#jugador#1.#
#
Si#! !; !! ∈ !!
!, ! ∩ !!
!, ! ,#entonces#satisface#la#
siguiente#ecuación#HamiltonCJacobiCBellman#[FR75],#
[Kry08]#
#
sup
!!∈ !,!
!!!,!!! !; !! + ! ! − ! ! ! !; !! = 0,
! ∈ !, !
#
#
donde#!!!,!!#es#el#operador#diferencial#para#cualquier#
! ! ∈ !! !, ! ,#tenemos#que#
#
!!!,!!! ! ∶= ! + !!!!! − !!!!! + !" !!!
+
!!
!
2
!!
!
+
!!
!
2
!!
!
− !!!!!!!!! !!!!.
#
#
De# manera# similar,#! !; !! #es# la# función# de# pago# óptima#
del#jugador#2#respecto#a#cualquier#estrategia#admisible#!!#
escogida#por#el#jugador#1#
#
! !; !! = inf
!!∈ℋ
!!!,!! ! #
satisfaciendo#la#ecuación#HamiltonCJacobiCBellman#(HJB)#
#
inf
!!∈ !,!
!!!,!!! !; !! + ! ! − ! ! ! !; !! = 0,
! ∈ !, ! .
#
#
Un# par# de# estrategias,# !!
∗
, !!
∗
,# alcanza# un# equilibrio# de#
Nash# (un# punto# silla# para# el# juego)# si# las# siguientes#
desigualdades#son#satisfechas.#Para#toda#!!, !! ∈ ℋ#
#
!!!,!!
∗
! ≤ !!!
∗
,!!
∗
! ≤ !!!
∗
,!!, ! ∈ !, ! .#
#
Si#el#juego#tiene#un#punto#silla,#se#tiene#
#
! !; !!
∗
= ! !; !!
∗
#
y"el"valor"del"juego"! ! = !!!
∗
,!!
∗
! = ! !; !!
∗
= ! !; !!
∗
."
! ! "satisface"las"siguientes"ecuaciones"(Fleming7Bellman7
Issacs)"
"
sup
!!∈ !,!
!!!,!!
∗
! ! + ! ! − ! ! ! ! = 0
inf
!!∈ !,!
!!!
∗,!!! ! + ! ! − ! ! ! ! = 0
"
"
con"las"condiciones"de"frontera"
! ! = ! ! ! ! ! = ! ! "
"
La"demostración"se"encuentra"en"[Zen10]"tomando"como"
referencia"a"[Bro00]."
Conclusiones*
Se"muestra"un"juego"diferencial"estocástico"de"suma"cero"
entre" dos" compañías" de" seguros" que" compiten" en" sus"
procesos" de" riesgo" cuando" toman" decisiones" sobre" una"
estrategia"de"reaseguro."
Una"empresa"trata"de"maximizar"una"función"de"pago"en"
función" de" la" diferencia" entre" sus" procesos" de" capital,"
mientras" que" la" otra" compañía" intenta" minimizar"
simultáneamente"la"misma"cantidad."
Adicionalmente"se"muestra"el"problema"para"un"función"de"
pago"general"y"proporciona"una"solución"a"las"ecuaciones"
de"Fleming7Bellman7Isaacs."
Referencias*
[Bro00]"Browne,"S."(2000)."Stochastic"differential"portfolio"
games."Journal(of(Applied(Probability,"37(1),"1267147.""
[FR75]"Fleming,"W.,"&"Rishel,"R."(1975)."Deterministic(and(
stochastic(optimal(control."Springer.""
[KPW08]" Klugman," S." A.," Panjer," H." H.," &" Willmot," G." E."
(2008)."Loss(models:(from(data(to(decisions,"Third"Edition."
John"Wiley"&"Sons."
[Kry08]"Krylov,"N."V."(2008)."Controlled(diffusion(processes."
Springer."
[SWB98]" Suijs," J.," De" Waegenaere," A.," &" Borm," P." (1998)."
Stochastic" cooperative" games" in" insurance." Insurance:(
Mathematics(and(Economics,"22(3),"2097228."
[Zen10]" Zeng," X." (2010)." A" stochastic" differential"
reinsurance" game." Journal( of( Applied( Probability," 47(2),"
3357349."
Agradecimientos*
La"motivación"de"este"trabajo"surgió"gracias"al"Dr."Daniel"
López" " Barrientos" durante" las" sesiones" de" la" " asignatura"
Análisis"Cuantitativo"del"Riesgo"I."