Se presenta el análisis de componentes principales en su caso más general, para cualquier tipo de métrica, método de reducción de la dimensión en presencia de datos cualitativos. Se puede incluir entre los temas de aprendizaje no supervisado.
Este documento presenta una introducción a la programación lineal robusta. Explica que este enfoque busca encontrar soluciones óptimas que sean factibles ante incertidumbre en los datos del problema, modelando conjuntos de incertidumbre para los parámetros aleatorios. Detalla varios métodos para construir dichos conjuntos, incluyendo el uso del teorema del límite central, elipsoides alineados con la correlación, modelos lineales en factores y estimación de densidad de kernel. Finalmente, discute cómo transcribir la incertidumbre a una
Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de R...jfrchicanog
El documento describe la descomposición del problema de diseño de redes de radio en funciones elementales. Explica que la función objetivo que minimiza el número de antenas es elemental, mientras que la función que maximiza la cobertura puede escribirse como suma de hasta n funciones elementales, donde n es el número máximo de posiciones para antenas. Además, presenta ejemplos de cómo otras funciones objetivo complejas en otros problemas de optimización también se pueden descomponer en funciones elementales para analizar mejor la estructura del problema.
Ecuaciones y sist de ecuaciones no linealesRonny Malpica
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Explica que estos sistemas no siguen el principio de superposición como los sistemas lineales. Luego describe métodos para resolver este tipo de sistemas, incluyendo la iteración de punto fijo, el método de Newton y el método del descenso más rápido. Finalmente, introduce conceptos como valores y vectores propios de una matriz, así como aproximaciones de valores propios para matrices simétricas.
Este documento describe las matrices inversas y los espacios vectoriales. Explica que la matriz inversa de una matriz A es igual a su matriz adjunta dividida por su determinante, siempre que el determinante de A sea distinto de cero. También define un espacio vectorial como un conjunto con dos operaciones, suma y producto, que cumplen propiedades como asociatividad, distributividad e identidad. Finalmente, enumera algunos ejemplos de conjuntos que son espacios vectoriales, como Rn y las funciones continuas sobre un intervalo.
El documento trata sobre el análisis de algoritmos. Explica conceptos como la complejidad de algoritmos, órdenes de complejidad como O(n), Ω(n) y Θ(n), y la complejidad de instrucciones básicas como asignaciones, secuencialidad, bucles y condicionales. También menciona brevemente un problema clásico de análisis de algoritmos.
INTEGRALES INDEFINIDAS POR CAMBIO DE VARIABLEkaterin yende
El documento presenta varios métodos para calcular integrales indefinidas, incluyendo integración por partes, integración de funciones racionales, integración por cambio de variable e integrales trigonométricas. Explica cómo aplicar estos métodos para reducir integrales a formas más simples mediante el uso de igualdades, derivadas y propiedades de las integrales. También incluye ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
Este documento trata sobre la integral indefinida. Explica conceptos como la primitiva de una función, la integración inmediata y propiedades de las integrales indefinidas. También describe métodos para calcular integrales como la integración por partes, el cambio de variable, la integración de funciones racionales, irracionales y trigonométricas. El objetivo es exponer estos métodos y su importancia en aplicaciones como el cálculo del área bajo la curva.
Este documento explica las funciones exponenciales, logarítmicas y sus propiedades. Define la función exponencial como f(x)=ax y la función logarítmica como y=logax⇐⇒ax=x. Presenta ejemplos de cómo resolver ecuaciones que involucran estas funciones usando propiedades como ax=ay⇐⇒x=y y logx=logy⇐⇒x=y. También cubre aplicaciones como el interés compuesto y cómo duplicar una inversión con interés continuo.
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Este documento presenta la resolución de 66 problemas de análisis y diseño de algoritmos. Los problemas cubren temas como el orden temporal y espacial de algoritmos, búsquedas, ordenación, y estructuras de datos como montículos y árboles binarios. Se proporcionan algoritmos para resolver cada problema y un análisis de su complejidad en el caso promedio y peor caso. El documento busca ayudar a comprender mejor los conceptos fundamentales del diseño y análisis de algoritmos.
Este documento presenta información sobre la lógica de predicados. Explica las reglas de inferencia en lógica de predicados, incluyendo las leyes de especificación y generalización. También cubre las leyes de Morgan para cuantificadores y presenta ejemplos de problemas resueltos usando estas reglas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe varios métodos para calcularlas. Primero, presenta ejemplos motivadores de problemas de ciencias que involucran integrales definidas. Luego, define formalmente la integral definida y describe métodos para calcularlas exactamente mediante el uso de primitivas. Finalmente, discute métodos para aproximar numéricamente el valor de integrales definidas.
1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
Este documento describe la clasificación de problemas y la complejidad computacional. Explica que un problema se puede representar por un dominio que contiene las posibles soluciones y una pregunta cuya respuesta genera la solución al problema. También distingue entre problemas de decisión, localización y optimización. Finalmente, introduce las clases P, NP y NP-completo de problemas de decisión.
Este documento presenta métodos para resolver programas lineales robustos. Primero recapitula conceptos sobre programas lineales con restricciones inciertas y métodos para construir conjuntos de incertidumbre. Luego describe dos métodos prácticos para resolver este tipo de programas: el método de planos de corte y la transcripción a un programa convexo. Finalmente, ilustra estos conceptos con un ejemplo de diseño de portafolios con precios de acciones inciertos.
Este documento presenta los fundamentos de la mecánica cuántica. Introduce conceptos clave como el principio de incertidumbre de Heisenberg y explica cómo la mecánica cuántica surgió para describir fenómenos a escalas micro y macro que no podían ser explicados por la mecánica clásica, como la estructura atómica estable y la difracción de electrones. También discute cómo, a diferencia de la mecánica clásica, la mecánica cuántica no permite la existencia de trayector
Este documento presenta una introducción al análisis de algoritmos de ordenamiento y búsqueda. Explica los objetivos de calcular los tiempos de ejecución de algoritmos en función del tamaño de las instancias y de comprender mejor los resultados a través de la interpretación. También introduce los métodos algebraico e iterativo y las notaciones asintóticas O, Ω y θ que se utilizarán. Luego presenta ejercicios resueltos sobre un algoritmo de ordenamiento por selección, búsqueda secuencial y búsqueda binaria, analiz
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Este documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. Explica que si f es una función continua sobre un intervalo [a,b], entonces la función g definida como la integral de f es continua y diferenciable, con derivada f(x). También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la integral definida de f entre los límites a y b es igual a la antiderivada de f evaluada en los límites. Finalmente, incluye una tabla de fórmulas para hallar antiderivadas comunes.
Este documento presenta un estudio sobre la existencia y unicidad de soluciones acotadas para una clase de ecuaciones integro-diferenciales semilineales en un espacio de Banach. En primer lugar, introduce conceptos y teoremas básicos del análisis funcional necesarios para abordar el problema. Luego, define diferentes tipos de semigrupos de operadores y subespacios de funciones continuas y acotadas, los cuales son fundamentales para resolver este tipo de ecuaciones. Finalmente, presenta los teoremas de convolución y composición, importantes para
Este documento presenta los conceptos básicos de las integrales. Explica que la integración es la operación inversa de la derivación y cómo calcular la primitiva o integral indefinida de una función. También incluye una tabla con primitivas de funciones comunes y ejemplos para ilustrar cómo calcular integrales inmediatas o que se transforman fácilmente en integrales inmediatas.
Este documento presenta 20 problemas y ejercicios relacionados con cálculo diferencial e integral, incluyendo el cálculo de límites, derivadas, integrales definidas e indefinidas, series, teoremas como el valor medio, valores extremos y puntos críticos, aproximaciones de Taylor, ecuaciones diferenciales y condiciones de Lipschitz. Los problemas cubren una variedad de funciones y métodos para aplicar los conceptos fundamentales del cálculo.
Este documento presenta los conceptos básicos de derivadas e integrales y sus aplicaciones. Explica teoremas como el valor medio, Rolle y Cauchy. Las derivadas miden la tasa de cambio de una función y se usan para encontrar máximos y mínimos. También se aplican en física, química, economía y más. Las integrales indefinidas calculan áreas bajo curvas y las definidas miden el área entre límites.
Este documento presenta un resumen de los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce conceptos como métodos iterativos estacionarios como Jacobi, Gauss-Seidel y SOR. También cubre precondicionadores clásicos como Jacobi, Cholesky incompleta y LU incompleta para mejorar la convergencia de los métodos iterativos. El objetivo es proporcionar una introducción a estas técnicas numéricas para la resolución aproximada de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta un problema de optimización dinámica resuelto mediante programación dinámica. El problema involucra a un agente económico representativo que vive infinitos períodos y maximiza su utilidad del consumo a lo largo del tiempo, sujeto a restricciones de recursos y capital. La solución encuentra que la función de política óptima converge a k'=αβkα y la función de valor converge a V(k)=φ+αlnk/(1-αβ) cuando el número de períodos tiende a infinito.
El documento presenta diferentes algoritmos para resolver problemas de optimización. Explica brevemente el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor de dos números, el método de búsqueda Fibonacci y el método de Newton para encontrar mínimos de funciones. También describe el método del descenso más pronunciado para minimizar funciones de varias variables.
Se presenta la estimación de la curva cero cupón, o vector de precios, para Costa Rica usando metaheurísticas de optimización combinatoria, muy superior al método clásico de Newton. Se usan datos reales para Costa Rica.
Se presenta el método CART (Classification And Regression Trees), método de árboles de aprendizaje supervisado para discriminar una variable cualitativa o para explicar una variable cuantitativa.
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Este documento resume los conceptos clave del análisis en componentes principales (ACP). Explica que el ACP es una técnica de reducción de dimensiones que busca representar los datos originales en un espacio de menor dimensión, perdiendo la menor cantidad de información posible. El objetivo es obtener variables sintéticas no correlacionadas que expliquen la máxima varianza de los datos. La solución del ACP implica diagonalizar la matriz de correlaciones para obtener los valores y vectores propios que definen las componentes principales.
Se presenta el análisis de correspondencias simples, o análisis factorial de correspondencias, método de reducción de la dimensión para una tabla de contingencia que cruza dos variables cualitativas. Se presentan generalizaciones y aplicaciones posibles. Se puede incluir entre los temas de aprendizaje no supervisado.
Se presenta el análisis de correspondencias múltiples, método de reducción de la dimensión en presencia de datos cualitativos. Se puede incluir entre los temas de aprendizaje no supervisado.
Se ilustra el método de k-medias para aprendizaje no supervisado, o clasificación automática (clustering en inglés), de manera geométrica sobre un plano, y se justifica el uso del criterio de inercia (a veces llamado de varianza).
Se presentan las principales técnicas de clasificación automática, también conocidas como de aprendizaje no supervisado (o clustering, en inglés). Se inicia con los temas de medidas de semejanza y se revisan las técnicas jerárquicas y de particiones, como k-medias.
Se presentan las principales técnicas de clasificación automática, también conocidas como de aprendizaje no supervisado (o clustering, en inglés). Se inicia con los temas de medidas de semejanza y se revisan las técnicas jerárquicas y de particiones, como k-medias.
Se presenta la regresión lineal múltiple, desde el punto de vista teórico y el geométrico. Se presentan variantes, como el método paso a paso, y una ilustración con un ejemplo.
Este documento describe la regresión logística binomial y multinomial. Explica que la regresión logística es un método de discriminación cuando la variable dependiente es cualitativa. En el caso binomial, se modela el logaritmo de la razón de probabilidades como una función lineal de las variables explicativas. En el caso multinomial, se definen múltiples ecuaciones logísticas para cada categoría de la variable dependiente.
Se presentan la primera técnica llamada de discriminación, o aprendizaje supervisado en Ciencia de Datos, la cual fue llamada discriminación lineal por R. Fisher. Algunas de sus variantes multivariadas y su interpretación geométrica también son presentadas.
Se presenta el algoritmo de W.D. Fisher para la clasificación óptima en una variable. Es muy útil para la discretización de variables cuantitativas pues encuentra una partición óptima de la variable en k clases. Es muy superior a discretizar por medio de histogramas, cuartiles o usando k-medias.
Se presenta la regresión PLS (partial least squares) desde el punto de vista teórico y geométrico, con un ejemplo de ilustración y la aplicación a datos reales de los parlamentos centroamericanos.
Este documento presenta un resumen de modelos de clasificación. Describe medidas de semejanza, clasificación jerárquica y por particiones, y métodos arbóreos no jerárquicos. También presenta ejemplos de aplicaciones de clasificación en la Universidad de Costa Rica y describe los pasos para realizar una clasificación jerárquica ascendente.
Este documento describe diferentes métodos de clasificación automática. Introduce conceptos como similitud y disimilitud que son fundamentales para medir cuán parecidos o diferentes son los individuos. Luego describe métodos jerárquicos que buscan particiones anidadas representadas por un árbol y métodos de particionamiento que buscan una sola partición del conjunto de individuos. Finalmente, valida los resultados obtenidos y compara los diferentes métodos.
Los enigmáticos priones en la naturales, características y ejemplosalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
La era precámbrica comenzó hace 4 millones de años y se cuenta hasta hace 570 millones de años. Durante este período se creó el complejo basal propio de la Guayana venezolana, al sur del país; también en Los Andes; en la cordillera norte de Perijá, estado de Zulia; y en el Baúl, estado de Cojedes.
1891 - Primera discusión semicientífica sobre Una Nave Espacial Propulsada po...Champs Elysee Roldan
La primera discusión semicientífica sobre una nave espacial propulsada por cohetes la realizó el alemán Hans Ganswindt, quien abordó los problemas de la propulsión no mediante la fuerza reactiva de los gases expulsados sino mediante la eyección de cartuchos de acero que contenían dinamita. Supuso que la explosión de una carga transferiría energía cinética a la pared de la nave espacial y la impulsaría en la dirección deseada. Supuso que múltiples explosiones proporcionarían suficiente velocidad para alcanzar la órbita y la velocidad de escape.
El 27 de mayo de 1891, pronunció un discurso público en la Filarmónica de Berlín, en el que introdujo su concepto de un vehículo galáctico(Weltenfahrzeug).
Ganswindt también exploró el uso de una estación espacial giratoria para contrarrestar la ingravidez y crear gravedad artificial.
El documento publicado por el Dr. Gabriel Toro aborda los priones y las enfermedades relacionadas con estos agentes infecciosos. Los priones son proteínas mal plegadas que pueden inducir el plegamiento incorrecto de otras proteínas normales en el cerebro, llevando a enfermedades neurodegenerativas mortales. El Dr. Toro examina tanto la estructura y función de los priones como su capacidad para propagarse y causar enfermedades devastadoras como la enfermedad de Creutzfeldt-Jakob, la encefalopatía espongiforme bovina (conocida como "enfermedad de las vacas locas"), y el síndrome de Gerstmann-Sträussler-Scheinker. En el documento, se exploran los mecanismos moleculares detrás de la replicación de los priones, así como las implicaciones para la salud pública y la investigación en tratamientos potenciales. Además, el Dr. Toro analiza los desafíos y avances en el diagnóstico y manejo de estas enfermedades priónicas, destacando la necesidad de una mayor comprensión y desarrollo de terapias eficaces.
1. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Análisis en Componentes Principales
Caso General
Javier Trejos
Escuela de Matemática – CIMPA
Universidad de Costa Rica
II semestre 2020
2. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Esquema
Introducción al ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de Inclusón
Estrategia de Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
3. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Análisis en Componentes Principales General
Objetivo del ACP General
◮ Sean la nube de puntos N = (X, M, D), con X la
tabla de datos n × p con variables cuantitativas, M la
métrica cualquiera p × p sobre el espacio de individuos
Rp, y D = diag (pi) la métrica de pesos (matriz
diagonal n × n) sobre el espacio de variables Rn.
◮ Supondremos que las variables xj están centradas, pero
no estandarizadas.
◮ Se busca un espacio de dimensión q, menor que p, de
manera que las posiciones relativas de los
puntos–individuos sean lo más similares posibles a sus
posiciones en el espacio Rp; es decir, la inercia de la
nube de puntos proyectada debe ser lo más similar a la
inercia de los puntos en Rp
◮ Esto significa que hay una pérdida mı́nima de
información al proyectar los n individuos sobre un
espacio de dimensión menor
4. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Objetivo del ACP
Objetivo dual
◮ Se puede plantear de otra forma el objetivo del ACP,
esta vez desde el punto de vista de las variables.
◮ Dada la tabla de datos X, se busca un conjunto de q
variables sintéticas c1, c2, . . . , cq, donde q < p, que más
adelante se llamarán componentes principales, tal que:
1. Cada componente principal ck
debe ser combinación
lineal de las variables originales xj
; esto significa que la
información contenida en las xj
también está reflejada
en las ck
.
2. Las componentes principales deben ser no
correlacionadas dos a dos; esto significa que las ck
no
tienen información redundante.
3. Las componentes principales deben tener varianza
máxima; esto significa que contendrán el máximo de
información posible.
◮ Las tres condiciones anteriores se pueden deducir del
objetivo inicial, de reducción de la dimensión del espacio
de individuos.
5. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
ACP General
Esquema de Dualidad
✲
✛
❄
✻
❄
✻
X
Xt
W D
M V
Rp
(Rp)∗
Rn
(Rn)∗ Xn×p : tabla de datos
centrados
V = XtDX
W = XMXt
D: métrica de pesos
M: métrica general
6. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Inercia Proyectada
◮ Si H es un subespacio vectorial de Rp, entonces existe
un subespacio de Rp denotado H⊥ y llamado el
complemento ortogonal de H, tal que Rp = H ⊕ H⊥;
7. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Inercia Proyectada
◮ Si H es un subespacio vectorial de Rp, entonces existe
un subespacio de Rp denotado H⊥ y llamado el
complemento ortogonal de H, tal que Rp = H ⊕ H⊥;
◮ se cumple que para todo ∀h ∈ H y ∀h̄ ∈ H⊥:
M(h, h̄) = hh, h̄iM = 0.
◮ Por lo tanto, ∀xi ∈ Rp, ∃ai ∈ H, bi ∈ H⊥ tales que
xi = ai + bi, y esta descomposición es única.
8. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Inercia Proyectada
◮ Se define la inercia de la nube N respecto a H como:
IH(N) =
n
X
i=1
pikbik2
.
9. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Inercia Proyectada
◮ Se define la inercia de la nube N respecto a H como:
IH(N) =
n
X
i=1
pikbik2
.
◮ Ası́ mismo, la inercia de N respecto a H⊥ es:
IH⊥ (N) =
n
X
i=1
pikaik2
.
◮ Esto es, IH⊥ (N) es la inercia de la nube proyectada
sobre el espacio H.
10. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Inercia Proyectada
◮ Se define la inercia de la nube N respecto a H como:
IH(N) =
n
X
i=1
pikbik2
.
◮ Ası́ mismo, la inercia de N respecto a H⊥ es:
IH⊥ (N) =
n
X
i=1
pikaik2
.
◮ Esto es, IH⊥ (N) es la inercia de la nube proyectada
sobre el espacio H.
◮ Cuando H está generado por un vector unitario v, es
decir H = ∆v con kvk = 1, entonces se tiene
ai = hv, xiiMv = (vtMxi)v.
11. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Inercia Proyectada
◮ Por lo tanto
I∆⊥
v
(N) =
n
X
i=1
pikaik2
=
n
X
i=1
pi(vt
Mxi)2
kvk2
=
n
X
i=1
pivt
Mxixt
iMv
◮
I∆⊥
v
(N) = vt
M
n
X
i=1
pixixt
i
Mv = vt
MVMv.
◮ Debido a que E = H ⊕ H⊥ y al teorema de Pitágoras,
se tiene la importante relación:
I(N) = IH(N) + IH⊥ (N).
◮ Se busca el espacio Eq tal que la inercia IE⊥
q
(N) de la
nube proyectada sobre ese espacio sea máxima (lo que
es equivalente a pedir que la inercia IEq (N) sea
mı́nima).
12. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Teorema (De inclusión)
Si Ek−1 es un subespacio vectorial óptimo de Rp de
dimensión k − 1, entonces existe un subespacio vectorial
óptimo de Rp de dimensión k que contiene a Ek−1.
13. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Teorema (De inclusión)
Si Ek−1 es un subespacio vectorial óptimo de Rp de
dimensión k − 1, entonces existe un subespacio vectorial
óptimo de Rp de dimensión k que contiene a Ek−1.
Demostración:
Sea Fk un subespacio vectorial de Rp de dimensión k y se
denota
H = Fk + E⊥
k−1.
14. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Teorema (De inclusión)
Si Ek−1 es un subespacio vectorial óptimo de Rp de
dimensión k − 1, entonces existe un subespacio vectorial
óptimo de Rp de dimensión k que contiene a Ek−1.
Demostración:
Sea Fk un subespacio vectorial de Rp de dimensión k y se
denota
H = Fk + E⊥
k−1.
Si Fk ∩ E⊥
k−1 = {0} entonces se tendrı́a H = Fk ⊕ E⊥
k−1 y
dim(H) = k + (p − (k − 1)) = p + 1, lo cual es absurdo
pues H ⊆ Rp.
15. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Teorema (De inclusión)
Si Ek−1 es un subespacio vectorial óptimo de Rp de
dimensión k − 1, entonces existe un subespacio vectorial
óptimo de Rp de dimensión k que contiene a Ek−1.
Demostración:
Sea Fk un subespacio vectorial de Rp de dimensión k y se
denota
H = Fk + E⊥
k−1.
Si Fk ∩ E⊥
k−1 = {0} entonces se tendrı́a H = Fk ⊕ E⊥
k−1 y
dim(H) = k + (p − (k − 1)) = p + 1, lo cual es absurdo
pues H ⊆ Rp.
Por lo tanto existe un vector no nulo v ∈ Fk ∩ E⊥
k−1 y se
denota ∆v el eje (espacio vectorial de dimensión uno)
generado por v. (Sigue)
16. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Sea G el espacio suplementario M-ortogonal a ∆v en Fk: es
decir, tal que Fk = G ⊕ ∆v; y sea Ek la suma directa
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
17. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Sea G el espacio suplementario M-ortogonal a ∆v en Fk: es
decir, tal que Fk = G ⊕ ∆v; y sea Ek la suma directa
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Debido a la ortogonalidad entre G y ∆v se tiene
IFk
(N) = IG(N) + I∆v (N),
y a la ortogonalidad entre Ek−1 y ∆v se tiene
18. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Sea G el espacio suplementario M-ortogonal a ∆v en Fk: es
decir, tal que Fk = G ⊕ ∆v; y sea Ek la suma directa
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Debido a la ortogonalidad entre G y ∆v se tiene
IFk
(N) = IG(N) + I∆v (N),
y a la ortogonalidad entre Ek−1 y ∆v se tiene
IEk
(N) = IEk−1
(N) + I∆v (N).
19. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Sea G el espacio suplementario M-ortogonal a ∆v en Fk: es
decir, tal que Fk = G ⊕ ∆v; y sea Ek la suma directa
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Debido a la ortogonalidad entre G y ∆v se tiene
IFk
(N) = IG(N) + I∆v (N),
y a la ortogonalidad entre Ek−1 y ∆v se tiene
IEk
(N) = IEk−1
(N) + I∆v (N).
Sin embargo, por hipótesis Ek−1 es óptimo entre los
subespacios vectoriales de dimensión k − 1, esto es
IEk−1
(N) ≤ IG(N), por lo tanto
20. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Sea G el espacio suplementario M-ortogonal a ∆v en Fk: es
decir, tal que Fk = G ⊕ ∆v; y sea Ek la suma directa
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Debido a la ortogonalidad entre G y ∆v se tiene
IFk
(N) = IG(N) + I∆v (N),
y a la ortogonalidad entre Ek−1 y ∆v se tiene
IEk
(N) = IEk−1
(N) + I∆v (N).
Sin embargo, por hipótesis Ek−1 es óptimo entre los
subespacios vectoriales de dimensión k − 1, esto es
IEk−1
(N) ≤ IG(N), por lo tantoIEk
(N) ≤ IFk
(N) y
entonces Ek es óptimo entre los subespacios vectoriales de
Rp de dimensión k.
21. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Teorema de Inclusión
Sea G el espacio suplementario M-ortogonal a ∆v en Fk: es
decir, tal que Fk = G ⊕ ∆v; y sea Ek la suma directa
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Debido a la ortogonalidad entre G y ∆v se tiene
IFk
(N) = IG(N) + I∆v (N),
y a la ortogonalidad entre Ek−1 y ∆v se tiene
IEk
(N) = IEk−1
(N) + I∆v (N).
Sin embargo, por hipótesis Ek−1 es óptimo entre los
subespacios vectoriales de dimensión k − 1, esto es
IEk−1
(N) ≤ IG(N), por lo tantoIEk
(N) ≤ IFk
(N) y
entonces Ek es óptimo entre los subespacios vectoriales de
Rp de dimensión k.
Como Ek−1 es subespacio de Ek, por la forma de definir Ek,
entonces se tiene el resultado.
22. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedad Importante
Proposición
Sea Ek−1 un subespacio vectorial de Rp óptimo de
dimensión k − 1. Si el vector v genera un eje ∆v
M–ortogonal a Ek−1 tal que I∆v (N) es mı́nima, entonces el
espacio Ek = Ek−1 ⊕ ∆v minimiza la inercia proyectada de
N sobre todos los subespacios de Rp de dimensión k.
23. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedad Importante
Proposición
Sea Ek−1 un subespacio vectorial de Rp óptimo de
dimensión k − 1. Si el vector v genera un eje ∆v
M–ortogonal a Ek−1 tal que I∆v (N) es mı́nima, entonces el
espacio Ek = Ek−1 ⊕ ∆v minimiza la inercia proyectada de
N sobre todos los subespacios de Rp de dimensión k.
Demostración:
Sea v ∈ Rp tal que ∆v ⊥ Ek−1, entonces sea
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
24. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedad Importante
Proposición
Sea Ek−1 un subespacio vectorial de Rp óptimo de
dimensión k − 1. Si el vector v genera un eje ∆v
M–ortogonal a Ek−1 tal que I∆v (N) es mı́nima, entonces el
espacio Ek = Ek−1 ⊕ ∆v minimiza la inercia proyectada de
N sobre todos los subespacios de Rp de dimensión k.
Demostración:
Sea v ∈ Rp tal que ∆v ⊥ Ek−1, entonces sea
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Luego, por el teorema de Pitágoras,
IEk
(N) = IEk−1
(N) + I∆v (N).
25. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedad Importante
Proposición
Sea Ek−1 un subespacio vectorial de Rp óptimo de
dimensión k − 1. Si el vector v genera un eje ∆v
M–ortogonal a Ek−1 tal que I∆v (N) es mı́nima, entonces el
espacio Ek = Ek−1 ⊕ ∆v minimiza la inercia proyectada de
N sobre todos los subespacios de Rp de dimensión k.
Demostración:
Sea v ∈ Rp tal que ∆v ⊥ Ek−1, entonces sea
Ek = Ek−1 ⊕ ∆v.
Luego, por el teorema de Pitágoras,
IEk
(N) = IEk−1
(N) + I∆v (N).
Como IEk−1
(N) es constante, minimizar IEk
(N) se reduce a
minimizar I∆v (N).
26. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
Los dos resultados anteriores permiten seguir la siguiente
estrategia para obtener la solución del A.C.P.:
27. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
Los dos resultados anteriores permiten seguir la siguiente
estrategia para obtener la solución del A.C.P.:
1. Buscar el eje E1 = ∆v1 con inercia mı́nima, v1 es un
vector unitario que genera a ∆v1 .
28. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
Los dos resultados anteriores permiten seguir la siguiente
estrategia para obtener la solución del A.C.P.:
1. Buscar el eje E1 = ∆v1 con inercia mı́nima, v1 es un
vector unitario que genera a ∆v1 .
2. Buscar el eje ∆v2 , M–ortogonal a ∆v1 y con inercia
mı́nima; sea E2 = ∆v1 ⊕ ∆v2 , E2 es un subespacio
óptimo de dimensión 2.
29. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
Los dos resultados anteriores permiten seguir la siguiente
estrategia para obtener la solución del A.C.P.:
1. Buscar el eje E1 = ∆v1 con inercia mı́nima, v1 es un
vector unitario que genera a ∆v1 .
2. Buscar el eje ∆v2 , M–ortogonal a ∆v1 y con inercia
mı́nima; sea E2 = ∆v1 ⊕ ∆v2 , E2 es un subespacio
óptimo de dimensión 2.
k. Buscar un eje ∆vk
, M–ortogonal a Ek−1 y con inercia
mı́nima; sea Ek = Ek−1 ⊕ ∆vk
, Ek es un subespacio
óptimo de dimensión k.
30. Análisis en
Componentes
Principales
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
Los dos resultados anteriores permiten seguir la siguiente
estrategia para obtener la solución del A.C.P.:
1. Buscar el eje E1 = ∆v1 con inercia mı́nima, v1 es un
vector unitario que genera a ∆v1 .
2. Buscar el eje ∆v2 , M–ortogonal a ∆v1 y con inercia
mı́nima; sea E2 = ∆v1 ⊕ ∆v2 , E2 es un subespacio
óptimo de dimensión 2.
k. Buscar un eje ∆vk
, M–ortogonal a Ek−1 y con inercia
mı́nima; sea Ek = Ek−1 ⊕ ∆vk
, Ek es un subespacio
óptimo de dimensión k.
Se tiene entonces Ek = ∆v1 ⊕ ∆v2 ⊕ . . . ⊕ ∆vk
. Los ejes
∆v1 , ∆v2 , . . . son llamados los ejes factoriales.
31. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
◮ Recuérdese que M es una matriz simétrica definida
positiva y que V es una matriz simétrica positiva.
◮ Además, VM es M–simétrica, esto es1,
(VM)tM = M(VM).
◮ Por lo tanto se deduce que los valores propios de VM
son reales, positivos o nulos, y que existe una base
M–ortonormada de Rp formada por vectores propios de
VM.
◮ Denótense λ1, λ2, . . . , λp los valores propios de VM
ordenados de mayor a menor, y denótense
{u1, u2, . . . , up} una base de vectores propios asociados
respectivamente a los λj.
1
Una matriz A es M–simétrica si At
M = MA.
32. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Estrategia de Solución
◮ Para obtener la solución del A.C.P.
1. se comienza por buscar el eje ∆v1
que minimice la
inercia I∆v1
(N) con kv1kM = 1,
2. luego el eje ∆v2
que minimice la inercia I∆v2
(N) con
kv2kM = 1 y M–ortogonal a v1,
3. y ası́ sucesivamente:
33. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Se quiere encontrar v1 tal que maximice
I∆⊥
v1
(N) = vt
1MVMv1 con la restricción
kv1k2
M = vt
1Mv1 = 1.
34. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Se quiere encontrar v1 tal que maximice
I∆⊥
v1
(N) = vt
1MVMv1 con la restricción
kv1k2
M = vt
1Mv1 = 1.
◮ Sea {u1, . . . , up} una base de vectores propios
M–ortonormados de VM, el vector v1 tiene una
expresión en esta base de la forma: v1 =
Pp
j=1 αjuj.
35. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Se quiere encontrar v1 tal que maximice
I∆⊥
v1
(N) = vt
1MVMv1 con la restricción
kv1k2
M = vt
1Mv1 = 1.
◮ Sea {u1, . . . , up} una base de vectores propios
M–ortonormados de VM, el vector v1 tiene una
expresión en esta base de la forma: v1 =
Pp
j=1 αjuj.
◮ Luego, la restricción kv1k2
M = 1 se escribe:
1 = vt
1Mv1 =
p
X
j=1
αjuj
t
M
p
X
k=1
αkuk
=
p
X
j=1
p
X
k=1
αjαkut
jMuk =
p
X
j=1
p
X
k=1
αjαkδjk,
donde δjk = 1 si j = k y es cero si no, pues la base es
ortonormada.
36. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Luego, la restricción se traduce en:
kv1k2
=
p
X
j=1
α2
j = 1,
por lo tanto se tiene:
37. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Luego, la restricción se traduce en:
kv1k2
=
p
X
j=1
α2
j = 1,
por lo tanto se tiene:
vt
1MVMv1 = h
p
X
j=1
αjuj, VM
p
X
k=1
αkuk
iM
= h
p
X
j=1
αjuj,
p
X
k=1
λkαkukiM,
de donde vt
1MVMv1 =
Pp
j=1 λjα2
j .
38. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Luego, la restricción se traduce en:
kv1k2
=
p
X
j=1
α2
j = 1,
por lo tanto se tiene:
vt
1MVMv1 = h
p
X
j=1
αjuj, VM
p
X
k=1
αkuk
iM
= h
p
X
j=1
αjuj,
p
X
k=1
λkαkukiM,
de donde vt
1MVMv1 =
Pp
j=1 λjα2
j .
◮ Se debe por lo tanto maximizar
Pp
j=1 λjα2
j bajo la
restricción
Pp
j=1 α2
j = 1.
39. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Debido a que los λj están ordenados de manera
decreciente, se tiene
p
X
j=1
λjα2
j ≤ λ1
p
X
j=1
α2
j = λ1.
40. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Debido a que los λj están ordenados de manera
decreciente, se tiene
p
X
j=1
λjα2
j ≤ λ1
p
X
j=1
α2
j = λ1.
◮ Basta por lo tanto tomar α1 = 1 y αj = 0 para todo
j ≥ 2.
41. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Primer Eje
◮ Debido a que los λj están ordenados de manera
decreciente, se tiene
p
X
j=1
λjα2
j ≤ λ1
p
X
j=1
α2
j = λ1.
◮ Basta por lo tanto tomar α1 = 1 y αj = 0 para todo
j ≥ 2.
◮ Ası́, si v1 = u1, entonces se alcanza el valor λ1 que
mayoriza el criterio a maximizar, por lo que se toma el
vector propio unitario u1 de VM asociado al mayor
valor propio λ1.
42. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Segundo Eje
◮ Se quiere encontrar v2 tal que maximice
I∆⊥
v2
(N) = vt
2MVMv2 con las restricciones
kv2k2 = vt
2Mv2 = 1 y vt
2Mu1 = 0.
43. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Segundo Eje
◮ Se quiere encontrar v2 tal que maximice
I∆⊥
v2
(N) = vt
2MVMv2 con las restricciones
kv2k2 = vt
2Mv2 = 1 y vt
2Mu1 = 0.
◮ A partir de la escritura v2 =
Pp
j=1 αjuj de v2 en la
base de vectores propios de VM, con la restricción
Pp
j=1 α2
j = 1, se muestra que la primera restricción es
Pp
j=1 α2
j = 1, mientras que la segunda restricción lleva
a:
0 = vt
2Mv1 =
p
X
j=1
αjuj
t
Mu1
=
p
X
j=1
αjut
jMu1
= α1ut
1Mu1 = α1.
44. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Segundo Eje
◮ Es decir, v2 =
Pp
j=2 αjuj pues α1 = 0. La restricción
kv2k2 = 1 se traduce en
Pp
j=2 α2
j = 1.
45. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Segundo Eje
◮ Es decir, v2 =
Pp
j=2 αjuj pues α1 = 0. La restricción
kv2k2 = 1 se traduce en
Pp
j=2 α2
j = 1.
◮ Luego,
I∆⊥
v2
(N) = vt
2MVMv2 =
X
j=2
λjα2
j ≤ λ2
p
X
j=2
α2
j = λ2.
46. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Segundo Eje
◮ Es decir, v2 =
Pp
j=2 αjuj pues α1 = 0. La restricción
kv2k2 = 1 se traduce en
Pp
j=2 α2
j = 1.
◮ Luego,
I∆⊥
v2
(N) = vt
2MVMv2 =
X
j=2
λjα2
j ≤ λ2
p
X
j=2
α2
j = λ2.
◮ Ası́, el valor a maximizar se encuentra mayorado por λ2,
y este valor se alcanza cuando α2 = 1 y αj = 0 para
todo j ≥ 3; esto es, cuando v2 = u2, por lo que una
solución es tomar el vector propio unitario u2 de VM
asociado al segundo valor propio más grande de VM.
47. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Solución Final
◮ La búsqueda del k-ésimo eje factorial ∆vk
se hace
análogamente y se encuentra que vk = uk.
48. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
Javier Trejos
Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Solución Final
◮ La búsqueda del k-ésimo eje factorial ∆vk
se hace
análogamente y se encuentra que vk = uk.
◮ Obsérvese que los vectores uk que definen los ejes
principales ∆uk
pertenecen al espacio de individuos Rp,
mientras que las componentes principales ck = XMuk
pertenecen al espacio de variables Rn, y que son las
proyecciones por dualidad de los primeros, esto es, la
transformación mediante XM de Rp en Rn.
✲
✛
❄
✻
❄
✻
X
Xt
W D
M V
Rp
(Rp)∗
Rn
(Rn)∗ Xn×p : tabla de datos
centrados
uk ∈ Rp
ck = XMuk ∈ Rn
VMuk = λkuk
WDck = λkck
49. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
◮ La inercia de la nube proyectada sobre el primer eje
principal:
λ1 = I∆⊥
u1
(N)
50. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
◮ La inercia de la nube proyectada sobre el primer eje
principal:
λ1 = I∆⊥
u1
(N)
◮ Parte de inercia explicada por el primer eje principal:
λ1+λ2
tr(VM)
51. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
◮ La inercia de la nube proyectada sobre el primer eje
principal:
λ1 = I∆⊥
u1
(N)
◮ Parte de inercia explicada por el primer eje principal:
λ1+λ2
tr(VM)
◮ λ1+λ2+...+λk
tr(VM) es la parte de inercia explicada por el
subespacio principal Ek de dimensión k generado por
u1, u2, . . . , uk, es decir Ek = ∆u1 ⊕ ∆u2 ⊕ . . . ⊕ ∆uk
.
52. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
Las componentes principales del A.C.P. general de la nube
N = (X, M, D) tiene las siguientes propiedades:
53. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
Las componentes principales del A.C.P. general de la nube
N = (X, M, D) tiene las siguientes propiedades:
1. Son centradas:
ck = 0.
54. Análisis en
Componentes
Principales
Caso General
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Introducción al
ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
Las componentes principales del A.C.P. general de la nube
N = (X, M, D) tiene las siguientes propiedades:
1. Son centradas:
ck = 0.
2. ck tiene varianza λk:
var (ck
) = λk.
55. Análisis en
Componentes
Principales
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ACP general
Solución del ACP
Inercia Proyectada
Teorema de
Inclusón
Estrategia de
Solución
Primer Eje
Segundo Eje
Solución Final
Propiedades
Solución del ACP
Propiedades
Las componentes principales del A.C.P. general de la nube
N = (X, M, D) tiene las siguientes propiedades:
1. Son centradas:
ck = 0.
2. ck tiene varianza λk:
var (ck
) = λk.
3. Cada par de ellas tiene correlación cero:
∀k, l : r(ck
, cl
) = 0.