Este documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. Explica que si f es una función continua sobre un intervalo [a,b], entonces la función g definida como la integral de f es continua y diferenciable, con derivada f(x). También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la integral definida de f entre los límites a y b es igual a la antiderivada de f evaluada en los límites. Finalmente, incluye una tabla de fórmulas para hallar antiderivadas comunes.

1. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
C´alculo Integral Integrales

2. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Integrales
Alfonso Cubillos
Departamento de Estad´ıstica, F´ısica y Matem´aticas
Universidad de La Sabana
C´alculo Integral Integrales

3. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Consideremos la funci´on
g(x) =
x
a
f(t) dt
donde f es una funci´on continua sobre el intervalo [a, b] y x est´a variando
de a a b.
Si f es una funci´on positiva tenemos que
C´alculo Integral Integrales

4. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Teorema Fundamental del c´alculo Parte I
Si f es una funci´on continua sobre [a, b], entonces la funci´on g definida por
g(x) =
x
a
f(t) dt, a ≤ x ≤ b
es continua sobre [a, b], diferenciable sobre en (a, b) y g (x) = f(x).
Usando la notaci´on de Leibniz tenemos que
d
dx
x
a
f(t) dt = f(x)
Ejemplo
Hallar la derivada de las siguientes funciones Consideremos la funci´on
g(x) =
x4
1
csc t dt, entonces
g (x) = 4x3
csc x4
.
C´alculo Integral Integrales

5. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Antiderivadas
Una funci´on F es llamada una antiderivada de f sobre el intervalo I si
F (x) = f(x) para todo x ∈ I.
Teorema
Si F es una antiderivada de f sobre el intervalo I, entonces la antiderivada
m´as general de f es
F(x) + C
dende C es una contante arbitraria.
C´alculo Integral Integrales

6. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Tabla de f´ormulas de antiderivadas
C´alculo Integral Integrales

7. Integrales
C´alculo
Integral
Teorema
Funda-
mental
del
c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Parte I
Parte II
Teorema Fundamental del c´alculo
Teorema Fundamental del c´alculo Parte II
Si f es una funci´on continua sobre [a, b], entonces
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
donde F es la antiderivada de f.
Ejemplo
Tenemos que
3
1
ex
dx = ex
|3
1
= e3
− e
C´alculo Integral Integrales