Optimizacion_Robusta_II

Programación Lineal Robusta
Luis I. Reyes Castro, M. Sc.
Escuela Superior Politécnica del Litoral (ESPOL)
Guayaquil - Ecuador
Viernes 18 de julio de 2014
L. I. Reyes Castro (ESPOL) Programación Lineal Robusta 0 / 34

Estructura de la Charla
1 Recapitulación de la Primera Parte
2 Solución de Programas Lineales Robustos
Método Práctico: Planos de Corte
Método Práctico: Transcripción a un Programa Convexo
3 Ejemplo Ilustrativo: Diseño de Portafolios

Recapitulación de la Primera Parte
Programa lineal en nv variables de decisión y nr restricciones inciertas, cada una
asociada con el conjunto de incertidumbre Ui ⊆ Rnv
:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
ai x ≤ bi , ∀ ai ∈ Ui , ∀ i ∈ nr
Número infinito de restricciones.
Programa anterior es equivalente al siguiente:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
max
ai ∈ Ui
ai x ≤ bi , ∀ i ∈ nr
Número finito de restricciones adversariales.

Recapitulación de la Primera Parte
Construcción de conjuntos de incertidumbre con garant´ıas probabil´ısticas:
Utilizando el Teorema del L´ımite Central.
Utilizando Elipsoides Alineados con la Correlación.
Utilizando un Modelo Linear en sus Factores.
Utilizando Estimación de Densidad de Kernel.
Solución de Programas Lineales Robustos:
Algoritmo del Elipsoide.
Nos permitió demostrar que estos programas pueden ser eficientemente
resueltos, i.e., en tiempo polinómico.

Solución de Programas Lineales Robustos
En contraste, un método eficiente en la práctica pero sin garant´ıas de
terminación en tiempo polinómico es el Método de Planos de Corte:
1 Escogemos un vector ai,0 ∈ Ui para cada i ∈ nr .
2 Definimos el conjunto de hiper-planos separadores S = ∅.
3 Encontramos la solución del siguiente programa, denotada ˆx ∈ Rn
.
min c x
s.a. x ∈ Rnv
ai,0 x ≤ bi , ∀ i ∈ nr
asepx ≤ bsep, ∀ (asep, bsep) ∈ S
4 Si encontramos que maxaj ∈ Uj
aj ˆx > bj para algun j ∈ nr :
Extraemos el vector maximizador a∗
j ∈ Rn
.
Añadimos el par (a∗
j , bj ) al conjunto S y regresamos al Paso 3.

Otra alternativa práctica es el Método de la Dualidad:
Consideremos una restricción espec´ıfica i ∈ nr , y supongamos que
Ui = { a ∈ Rnv
| Mi a ≤ di } , donde Mi ∈ Rni ×nv
y di ∈ Rni
.
Forma primal del programa lineal
correspondiente a la iava
restricción:
max x ai
s.a. ai ∈ Rnv
Mi ai ≤ di
Forma dual del programa lineal
restricción:
min di pi
s.a. pi ∈ Rni
≥0
Mi pi = x
Teorema: Dualidad Fuerte de La Programación Lineal
F´ıjese x ∈ Rn
. Si existe una solución primal óptima, entonces existe una
solución dual óptima y los valores objetivos del primal y del dual coinciden.

Dualidad de la programación lineal en dos diapositivas:
Suponemos que el programa primal admite una solución óptima a∗
i ∈ Rn
con un valor objetivo v∗
i = x a∗
i .
Definimos la función Li : Rnv
× Rni
≥0 → R de tal manera que:
L(ai , pi ) = x ai − pi (Mi ai − di ) = (x − pi Mi ) ai + pi di
Notamos que la siguiente inecualidad aplica para cualquier pi ∈ Rni
≥0.
v∗
i ≤ L(a∗
i , pi ) ≤ max
ai ∈Rn
L(ai , pi )
A su vez esta inecualidad implica el siguiente tope superior:
v∗
i ≤ min
pi ∈R
ni
≥0
max
ai ∈Rn
L(ai , pi )

Utilizando la forma de la función L en color café reconocemos lo siguiente:
max
ai ∈Rn
L(ai , pi ) =
pi di , si (x − pi Mi ) = 0
+∞, de cualquier otra manera
Por lo tanto el siguiente programa lineal provee el mejor tope superior
posible, i.e., el tope superior mas cercano al valor de v∗
i .
min di pi
s.a. pi ∈ Rni
≥0
Mi pi = x
Se ha demostrado que si la solución óptima es p∗
i ∈ Rni
≥0 entonces
di p∗
i = v∗
i y pi (Mi ai − di ) = 0 .

Programa lineal robusto original es equivalente al siguiente:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
... otras restricciones ...


min di pi
s.a. pi ∈ Rni
≥0
Mi pi = x

 ≤ bi

A su vez, el programa anterior es equivalente al siguiente:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
∃ pi ∈ Rni
≥0 : di pi ≤ bi
Mi pi = x
N´otese lo siguiente:
Para que un vector x ∈ Rn
sea admisible, debe existir un vector pi ∈ Rni
≥0
que satisfaga las restricciones en color caf´e.
Si tal vector existe, entonces el tomador de decisiones puede escojerlo!

En otras palabras, el programa anterior es equivalente al siguiente:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
, pi ∈ Rni
≥0
di pi ≤ bi
Mi pi = x
Nótese lo que ha cambiado con respecto al programa lineal robusto original:
Añadido ni variables de decisión no negativas.
Añadido nv + 1 restricciones lineales estándar.
Eliminado la iava
restricción adversarial!

Programa lineal robusto:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
max
ai ∈ Ui
ai x ≤ bi
Contraparte robusta:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
, pi ∈ Rni
≥0
di pi ≤ bi
Mi pi = x
Corolario:
Dado el programa lineal robusto original, si para cada ´ındice i ∈ nr
el conjunto de incertidumbre Ui es un poliedro, entonces la
contraparte robusta es un programa lineal est´andar.

Como procedemos si el conjunto Ui es un ellipsoide? I.e., si
Ui = ai ∈ Rn
M
1/2
i (ai − ai ) 2 ≤ di ,
donde Mi ∈ Rnv ×nv
es positiva definitiva, ai ∈ Rnv
, y di ∈ R≥0.
Matriz M
1/2
i ∈ Rnv ×nv
es tal que M
1/2
i M
1/2
i = Mi .
Forma primal del programa convexo
restricción:
max x ai
s.a. ai ∈ Rnv
M
1/2
i (ai − ai ) 2 ≤ di
Forma dual del programa convexo
restricción:
x ai + di M
−1/2
i x 2

Demostración:
Reescribirmos el programa primal como sigue:
max x ai
s.a. ai , u ∈ Rnv
ui = M
1/2
i (ai − ai )
u 2 ≤ di
Definimos la función Li : Rnv
× Rnv
× Rnv
× R≥0 → R de tal manera que:
L(ai , ui , λi , µi )
= x ai + λi (ui − M
1/2
i (ai − ai )) − µi ( ui 2 − di )
= ( x − λi M
1/2
i ) ai + (λi ui − µi ui 2) + λi M
1/2
i ai + µi di

Para cualquier α ≥ 0 podemos escoger ui = α λi . En este caso:
λi ui − µi ui 2 = α λi 2 ( λi 2 − µ)
Utilizando la forma de la función L en color café y la observación en la
viñeta anterior, reconocemos lo siguiente:
max
ai ,ui ∈Rn
L(ai , ui , λi , µi ) =



λi M
1/2
i ai + µi
√
di , si ( x − λi M
1/2
i ) = 0 y
λi 2 ≤ µi
+∞, de cualquier otra manera
Eliminando el vector λ, obtenemos el siguiente programa dual:
min x ai + µi di
s.a. µi ∈ R≥0
M
−1/2
i x 2 ≤ µi

Programa lineal robusto:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
max
ai ∈ Ui
ai x ≤ bi
Contraparte robusta:
min c x
s.a. x ∈ Rnv
ai x + di M
−1/2
i x 2 ≤ bi
Corolario:
Dado el programa lineal robusto original, si para cada ´ındice i ∈ nr
el conjunto de incertidumbre Ui es un elipsoide, entonces la
contraparte robusta es un programa c´onico de segundo orden.
Solucionadores: CPLEX R
, Gurobi R
, ECOS, SeDuMi, OpenOpt.

En general, siempre que los conjuntos de incertidumbre Ui sean convexos
podemos hacer uso del siguiente resultado.
Teorema: Dualidad Fuerte de La Programación Convexa
F´ıjese x ∈ Rn
. Si la condición de Slater es satisfecha y si existe una
solución primal óptima, entonces existe una solución dual óptima y
los valores objetivos del primal y del dual coinciden.
Receta para escribir la contraparte de una restricción robusta:
1 Escribimos la forma dual del programa max ai ∈Ui x ai .
2 Añadimos las variables de decisión del dual a la contraparte robusta.
3 Añadimos las restricciones del dual a la contraparte robusta.
4 Sustituimos el lado izquierdo de la restricción con el objetivo del dual.

Ejemplo Ilustrativo: Diseño de Portafolios
Problema: Inversión en un mercado financiero donde se comercializan n acciones,
con un horizonte de T d´ıas laborables.
Vector de precios de las acciones al momento de la inversión es:
S0 (S
[i]
0 )i∈ n ∈ Rn
Vector incierto de precios de las acciones al final del horizonte de inversión es:
˜ST (S
[i]
T )i∈ n ∈ Rn
Vector incierto de retornos de las acciones es:
˜rs ˜r[i]
s
S
[i]
T
S
[i]
0 i∈ n
∈ Rn

Para cada una de las acciones i ∈ n , se comercializan mi distintas
opciones europeas de compra (i.e., tipo call) y de venta (i.e., tipo put).
Opción de tipo call asociada con la iava
acción, con precio de ejercicio
(i.e., strike price) kij y con maduración al final del horizonte de inversión,
es un contrato con precio cij que nos da la oportunidad de comprar una
unidad de la iava
acción al precio de ejercicio al final del horizonte de inversión.
Si la java
opción de la iava
acción es de tipo call entonces la utilidad de
poseerla es la siguiente función deterministica del retorno incierto de la acción:
u[i,j]
(˜r[i]
s ) = max { 0, S
[i]
0 ˜r[i]
s − kij }
Definición de una opción tipo put es análoga, excepto que tiene precio pij y
nos da la oportunidad de vender una unidad de la iava
acción al precio de
ejercicio al final del horizonte de inversión.
Si la java
opción de la iava
acción es de tipo put entonces la utilidad de
poseerla es la siguiente función deterministica del retorno incierto de la acción:
u[i,j]
(˜r[i]
s ) = max { 0, kij − S
[i]
0 ˜r[i]
s }

Si la java
opción asociada con la iava
acción es de tipo call entonces su
retorno por dólar invertido es:
r[i,j]
o (˜r[i]
s ) = max 0, −
kij
cij
aij
+ +
S
[i]
0
cij
bij
˜r[i]
s
Si la java
opción asociada con la iava
acción es de tipo put entonces su
retorno por dólar invertido es:
r[i,j]
o (˜r[i]
s ) = max 0, +
kij
pij
aij
+ −
S
[i]
0
pij
bij
˜r[i]
s .

Nótese que la función r
[i,j]
o (˜r
[i]
s ) puede ser descrita como sigue:
r[i,j]
o (˜r[i]
s ) = min ρ
s.a. ρ ∈ R≥0
ρ ≥ aij + bij ˜r[i]
s
Vector de retornos de las opciones:
˜ro(˜rs ) r[i,j]
o (˜r[i]
s )
i∈ n , j∈ mi
∈ Rn
Por conveniencia, definimos el vector a ∈ Rm
y la matriz B ∈ Rm×n
,
donde m = i∈ n mi , de tal manera que:
˜ro(˜rs ) = componentwise min ρ
s.a. ρ ∈ Rm
≥0
ρ ≥ a + B ˜rs

Nuestra riqueza inicial es uno, sin falta de generalidad.
Escojemos un nivel de conﬁanza p ∈ (0, 1) y construimos el correspondiente
conjunto de incertidumbre de los retornos de las acciones.
De nuevo, los retornos de las opciones son funciones determin´ısticas de los
retornos de las acciones!
Tenemos que escojer las fracciones de nuestro portafolio a ser invertidas en
cada una de las acciones y en cada una de las opciones.
Planteamos un problema de dise˜no de portafolio robusto [ZRK11]:
max
xs , xo
min
rs ∈U(p)
rs xs + ro( rs ) xo
s.a. xs ∈ Rn
≥0 , xo ∈ Rm
≥0
1n xs + 1m xo = 1

M´as precisamente, planteamos el siguiente programa lineal robusto:
max
xs , xo, w
w (1)
s.a. xs ∈ Rn
≥0 , xo ∈ Rm
≥0 , w ∈ R
1n xs + 1m xo = 1
w ≤



minrs , ro
rs xs + ro xo
s.a. rs ∈ U(p) ⊆ Rn
≥0, ro ∈ Rm
≥0
ro≥ a + B ˜rs




Vector de expectación de los retornos de las acciones es E[˜rs].
Matriz de covariancia del vector de retornos de las acciones es V[˜rs].
Definimos la función δ: [0, 1) → R≥0 de tal manera que:
δ(p) =
p
1 − p
Definimos el siguiente elipsoide para cada p ∈ [0, 1) :
E(p) = r ∈ Rn
V[˜rs]−1/2
( r − E[˜rs] ) 2 ≤ δ(p)
[EGOO03]: La siguiente inecualidad aplica:
P min
r ∈ E(p)
r x ≤ ˜rs x ≥ p

Topes inferiores y superiores del vector de retornos de las acciones son
rmin
s y rmax
s , respectivamente.
I.e., P rmin
s ≤˜rs ≤ rmax
s = 1.
Nuestro conjunto de incertidumbre al nivel de conﬁanza p es:
U(p) r ∈ Rn
rmin
s ≤ r ≤ rmax
s ∩ E(p) (2)
Como es de ser esperado, este conjunto exhibe la siguiente garant´ıa
probabil´ıstica:
P min
r ∈ U(p)
r x ≤ ˜rs x ≥ p

Teorema: Contraparte Robusta
El Programa (1), en el caso cuando el conjunto de incertidumbre U(p)
está dado por la Expresión (2), es equivalente al siguiente programa
cónico de segundo orden.
max
xs , xo, w, µLO , µHI , ν
w
s.t. xs ∈ Rn
≥0 , xo ∈ Rm
≥0 , w ∈ R ,
µLO ∈ Rn
≥0 , µHI ∈ Rn
≥0 , ν ∈ Rm
≥0
1n xs + 1m xo = 1
ν ≤ xo
δ(p) V[˜rs]
1/2
(xs − µLO + µHI + B ν) 2
≤ E[˜rs] (xs − µLO + µHI + B ν)
+ (rmin
s ) µLO − (rmax
s ) µHI − a ν − w

Demostraci´on: N´otese que los dos programas siguiente son duales.
min
rs , ro
xs rs + xo ro (3)
s.t. rs ∈ Rn
, ro ∈ Rm
≥0
rmin
s ≤ rs ≤ rmax
s
V[˜rs]
−1/2
( rs − E[˜rs] ) 2 ≤ δ(p)
ro ≥ a + B rs
max
µLO , µHI , ν
− δ(p) V[˜rs]
1/2
(xs − µLO + µHI + B ν) 2 (4)
+ E[˜rs] (xs − µLO + µHI + B ν)
+ (rmin
s ) µLO − (rmax
s ) µHI − a ν
s.t. µLO ∈ Rn
≥0 , µHI ∈ Rn
≥0 , ν ∈ Rm
≥0
ν ≤ xo

52%
54%
56%
58%
60%
62%
64%
66%
68%
70%
72%
74%
76%
78%
80%
82%
84%
86%
88%
Confidence Parameter: p
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
NumbersofSecuritiesinOptimalPortfolio
Ca lls
Puts
Stock

52%
54%
56%
58%
60%
62%
64%
66%
68%
70%
72%
74%
76%
78%
80%
82%
84%
86%
88%
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
FractionofOptimalPortfolioInvestedinSecurity
Ca lls
Puts
Stock

52%
54%
56%
58%
60%
62%
64%
66%
68%
70%
72%
74%
76%
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
FactorofChangeinPortfolioValue:PT/P0

78%
80%
82%
84%
86%
88%
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0

52%
54%
56%
58%
60%
62%
64%
66%
68%
70%
72%
74%
76%
78%
80%
82%
84%
86%
88%
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0

52%
54%
56%
58%
60%
62%
64%
66%
68%
70%
72%
74%
76%
78%
80%
82%
84%
86%
88%
0.960
0.965
0.970
0.975
0.980
0.985
0.990
0.995
1.000
1.005
1.010
1.015
1.020
1.025
1.030
1.035
5% Va R
5% Conditiona l Va R

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
Factor of Change in Portfolio Value: PT /P0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5ProbabilityDensityFunction

0.9 1.0 1.1 1.2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
ProbabilityDensityFunction

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
ProbabilityDensityFunction

Conclusión de la Conferencia
Lo que aprendimos en la Primera Parte:
Programación lineal robusta es una metodolog´ıa que ofrece una alternativa
a los enfoques clásicos para modelar y resolver programas matemáticos
cuyos datos son inciertos.
Utilizando las conclusiones de la teor´ıa de la probabilidad, podemos construir
conjuntos de incertidumbre de geometr´ıas razonables que además ofrecen
garant´ıas probabilisticas de admisibilidad.
Estos programas pueden ser eficientemente resultos, al menos en teor´ıa.
Lo que aprendimos en la Segunda Parte:
Dos algoritmos prácticos para solucionar estos programas:
Método de Planos de Corte.
Método de la Dualidad (i.e., transcripción a un programa convexo).
Un ejemplo concreto de la aplicación de esta metodolog´ıa.

Bibliograf´ıa
Laurent El Ghaoui, Maksim Oks, and Francois Oustry, Worst-case
Value-at-Risk and Robust Portfolio Optimization: A Conic Programming
Approach, Operations Research 51 (2003), no. 4, 543–556.
Steve Zymler, Berc¸ Rustem, and Daniel Kuhn, Robust Portfolio Optimization
with Derivative Insurance Guarantees, European Journal of Operational
Research 210 (2011), no. 2, 410–424.

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