Las matrices se utilizan ampliamente en gráficos 3D, sistemas de ecuaciones y operaciones algebraicas. Las cadenas de Markov y las matrices de transición representan procesos estocásticos y se usan para modelar el comportamiento de los consumidores entre marcas. El wronskiano identifica si funciones son linealmente independientes para ecuaciones diferenciales.

6. EN CONCLUSION:
 Las matrices son ampliamente utilizadas. Las bibliotecas gráficas como
por ejemplo OpenGL (Open Graphics Library) se valen de
transformaciones espaciales y de las matrices para representar gráficos
3D a 2D que luego se traducen a imagen en los monitores.
Para resolver sistemas de ecuaciones se emplean matrices, y gracias a
ellas es como una máquina puede resolver grandes operaciones y
ecuaciones complejas en tiempos relativamente cortos (dejando de lado
los grandes sistemas de simulaciones como los que se emplean para
simular los efectos del calentamiento global... que manejan grandes
ecuaciones, incógnitas y factores).
También son muy útiles para agilizar algunas operaciones algebraicas
que de otro modo serían tediosas de resolver de otro modo... Por
ejemplo, calcular el valor n-ésimo (para un n muy grande) de la serie de
fibonacci es impráctico por algoritmos recursivos, e iterativos. Lo mejor
es optar por algoritmos basados en el principio divide y vencerás y en las
matrices.

7. CONCEPTO DE CADENA DE MARKOV:
Las cadenas de Markov son una herramientas para analizar el
comportamiento y el gobierno de determinados tipos de procesos
estocásticos, esto es, procesos que evolucionan de forma no deterministicas
a lo largo del tiempo en torno a un conjunto de estados.
 Una cadena de Markov, por lo tanto, representa un sistema de varia su
estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema.
Dichos cambios no están predeterminado, aunque si lo esta la probabilidad
del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que es
constante a lo largo del tiempo (sistema homogéneo en el tiempo).
Eventualmente, en una transición, el nuevo estado puede ser el mismo que
el anterior y es posible que exista la posibilidad de influir en las
probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre el sistema
(decisión).
Fuente:http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/OE03502M.pdf

8. MATRIZ DE TRANSICION:
 Una matriz de transición para una cadena de Markov de n estado es una
matriz de n X n con todos los registros no negativos y con la propiedad
adicional de que la suma de los registros de cada columna (o fila) es 1.
 Por ejemplo: las siguientes son matrices de transición.

9.  El comportamiento de cambo de marca de los consumidores h sido
modelado como una cadena de Markov, para ayudar a desarrollar las
estrategias de mercadotecnia. A manera de ejemplo, obsérvese el
siguiente comportamiento de cambio de marca descrito en la siguiente
tabla para una muestra de 250consumidores de un producto.
 Número de consumidores que cambian la marca i en la semana 6 j en la
semana 7.

10.  El primer renglón indica que, de 80 personas que compraron la marca 1
en la semana 6, 72 volvieron a adquirirla en la semana 7, 4 prefirieron la
marca 2 y 4 la marca 3. Sin embargo, nótese que 12 personas cambiaron
la marca 2 por la marca 1 y 2 personas cambiaron la marca 3 por la
marca 1. A si pues, para la marca 1, la perdida de 8 clientes se compensó
con creces por la conquista de 14 clientes. Entre la sexta y la séptima
semanas, la marca 1 aumentó su participación en el mercado de
32%(80/250) a 34,4% (86/250).
 La matriz de probabilidades de transición para la tabla de contingencia es
P:

11.  La matriz P es una estimación de la matriz verdadera, pues solamente
representa el comportamiento de una muestra de 250 consumidores,
durante a un periodo de dos semanas. Los elementos
P11, P22 y P33 de la matriz P son medidas del “poder de retención”
de las tres marcas; los restantes elementos Pij reflejan el “poder de
atracción” de la marca j, suponiendo que la compra anterior haya sido a
favor de la marca i. Los elementos de cada fila reflejan la probabilidad de
que una marca retenga a sus clientes o los pierda frente a otras marcas.
Los elementos de cada columna resumen la probabilidad de que una
marca retenga a sus clientes o conquiste a otros a costa de cada marca
de la competencia.

12.  Suponiendo que la participación en los mercados que tienen la tres
marcas del ejemplo son 30%, 38% y 32&, respectivamente, durante la
séptima semana. Si la matriz de transición P (maestral), se considera una
buena estimación de la verdadera matriz de transición (poblacional), es
posible predecir las participaciones de mercado esperada en la octava
semana por medio de la multiplicación de matrices. Así entonces:

13.  Las participaciones en el mercado predichas durante la octava semana
son 32,08%, 37,64% y 30,28%, respectivamente para la tres marcas.
 Generalizando, podemos decir que si un proceso de Markov donde el
sistema puede encontrarse en cualquiera de m estados posibles, las
probabilidades pueden escribirse por medio del vector
X=(x1 x2……..xm) donde xj representa probabilidad de que el sistema
se halle en el estado j. En los estados actuales de un proceso de Markov
Xk, los estados después del siguiente experimento (transición) pueden
calcularse mediante la multiplicación con de matrices.
 XK+1 = X K P. Con base en la ecuación anterior se puede afirmar que:

14.  Generalizando:
 Ya que en este caso X0 corresponde al vector X7.
 Fuente:
• http://www.ciencia-ahora.cl/Revista20/15MatricesTransicion.pdf
• Fraleigh, John. Algebra Lineal. Editorial AddisonWesley.1989.

15. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA
MATRIZ DE TRANSICIÓN:
 Es el arreglo numérico donde se condensa las probabilidades de un
estado a otro. A través de una grafica de matriz de transición se puede
observar el comportamiento estacionario representado por una cadena
de Markov tal que los estados representan la categoría en que se
encuentre clasificado. Como se aprecia a continuación:
La matriz de transición es para una política
estacionaria dada:

19.  SIENDO ESTE CASO:

20. EJEMPLOS:

24.  POR ULTIMO LA CONCLUSION DEL PROBLEMA:

25. .

26.  En el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior se hace
indispensable conocer si un conjunto de funciones son linealmente
independientes o dependientes.
El concepto del wronskiano aparece para solucionar ese problema. El
wronskiano es un determinante de orden n (número de funciones) que se
calcula para la matriz construida de la siguiente forma: Las funciones
originales en la primera fila o renglón, y a continuación se forman las
siguiente fila con la primera derivada de cada función, y así se continúa
para las demás filas hasta la derivada n-1, formando así una matriz
cuadrada. Si el valor de este determinante es diferente de cero entonces
las funciones son linealmente independientes en caso contrario
dependientes.
Este procedimiento es muy útil para verificar si un conjunto de funciones
que son soluciones a una ecuación diferencial son conjunto fundamental
de soluciones.

27. CONCLUSIONES.
 CON EL METODO DE CADENAS DE MARKOV, Y EL CALCULO
JACOBIANO, SIRVE PARA IDENTIFICAR EL ERROR EN PROBLEMAS
RESUELTOS, ASI COMO GRFICAR LAS TRANSFORMACIONES, Y
PARA SABER SI SON COMPATIBLES.
 TAMBIEN EN LAS EMPRESAS COMO UNA INDUSTRIA DE ROPA, SE
PUEDEN UTILIZAR LAS MATRICES PARA IDENTIFICAR CUANTA
PRODUCCION PUEDEN LOGRAR CON EL MATERIAL DISPONIBLE
ASI COMO EL TIEMPO UTILIZADO EN EL PROCESO.
 TAMBIEN NOS AYUDA A CALCULAR LOS ARTICULOS MAS
VENDIDOS EN UNA EMPRESA DE PRODUCTOS EN UN CIERTO DIA
DEL AÑO.

28. FUENTES CONSULTADAS.
• http://www.ciencia-ahora.cl/Revista20/15MatricesTransicion.pdf
• Fraleigh, John. Algebra Lineal. Editorial AddisonWesley.1989.
• http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/OE03502M.pdf
• http://www.ceautomatica.es/old/actividades/jornadas/XXV/documentos/10
5-osarmaruel.pdf
• http://www.ceautomatica.es/old/actividades/jornadas/XXV/documentos/10
5-osarmaruel.pdf
 http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicacion-De-La-Matriz-En-
La/1219186.html