Métodos de conteo en teoría combinatoria

TEORÍA COMBINATORIA
Unidad 2: MÉTODOS DE CONTEO
Lic:Cristian Martinez
Universidad Gerardo Barrios
Facultad de Ciencias y Humanidades
Unidad de Formación Docente
Mayo 2019

CONTENIDOS
1 Permutaciones
Permutaciones ordinarias o sin repitición.
Permutaciones circulares.
Permutaciones con objetos idénticos.
Permutaciones con repetic´ıon de objetos distintos.
2 Variaciones (Arreglos)
Variaciones ordinarias o sin repetic´ıon.
Variaciones con repetión.
3 Combinaciones.
Combinaciones ordinarias o sin repetición
4 Combinaciones con repetición (Método de separadores)

Permutaciones
En la presente sección se introduce las nociones de permutación, que cons-
tituyen instrumentos eficaces de recuento de casos de amplias clases de
problemas. Estas nociones se introducen por medio de la resolución de
situaciones particulares y su posterior generalización y formalización.
Genéricamente, permutar es: variar la disposición u orden en que estaban
dos o mas objetos. Es necesario precisar si estas cosas son o no indistigui-
bles, para asegurar que la nueva configuración sea en esencia distinta a la
antigua. Considere la siguiente situación: Sea A = {1, 2, 3} la lista 3, 2, 1
es una permutación de A; al igual que la lista 3, 1, 2.

Permutaciones
Sea A un conjunto finito. Ordenar elementos de A es darle a cada elemento
del conjunto una posición determinada, es decir definir qué elemento ocupa
la primera posición, el que ocupa la segunda posición y as´ı sucesivamente.
Dos ordenamientos de elementos A se dirá que son idénticos si
todos los elementos en ambos ordenamientos se encuentran en la
misma posición; en consecuencia dos ordenamientos serán diferen-
tes si difieren en la posición en la que se encuentra alguno de los
elementos.
Hay cuatro candidatos, Samuel, Ignacio, Hector y Vilma, postulados para
el mismo puesto. Para que la posición de los nombres en las boletas de
votación no influya en los votantes; es necesario imprimir boletas con los
nombres en todos los ordenes. ¿Cuántas boletas diferentes habrán?

Permutaciones
Estudiaremos en este momento la cantidad de formas de ordenar en fila
los elementos de un conjuntos de n objetos.
Sea A un conjunto finito. Se dirá que ordenar elementos de A es darle
a cada elemento del conjunto una posición determinada, es decir definir
que elemento ocupa la primera posición, el que ocupa la segunda posición
y as´ı sucesivamente hasta la ultima posición. Dos ordenamientos de los
elementos de A se dirá que son idénticos si todos los elementos en am-
bos ordenamientos se encuentran en la misma posición; en consecuencia
dos ordenamientos serán diferentes si difieren en la posición en la que se
encuentra alguno de los elementos.

Permutaciones
Permutaciones ordinarias o sin repetición
Se llaman permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos,
denotada Pn, a los distintos grupos que se pueden formar, de tal manera
que en cada grupo entren los n elementos y que un grupo se diferencie de
los demás en el orden de colocación de los elementos.
Sea A = {1; 2; 3; 4}. El listado de todas las permutaciones de A es
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
Por lo tanto P4 = 24.

Permutaciones
Factorial.
El factorial de un número entero no negativo n, se denota por n!, es igual
a:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1
La definición dada es recursiva: a partir de 0! = 1, se obtienen los
factoriales de los números enteros positivos multiplicando el número
n-ésimo por el factorial de (n − 1).
1 Si n = 0, entonces n! = 1
2 n! = n(n − 1)!

Permutaciones
Ejemplo:
Existen seis permutaciones de tres elementos. Si se denota por A, B, C,
las seis permutaciones son.
Figura: Las seis permutaciones de los elemntos A, B, C.
Teorema: Existen n! permutaciones de n elementos.
Nota: En consecuencia de la deﬁnici´on y el teorema se puede establecer
que: Pn = n!

Permutaciones
Problemas:
1 ¿Cúantas permutaciones de las letras ABCDEF contienen la
subcadena DEF?
2 ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contienen a las
letras DEF juntas en cualquier orden?
3 ¿Cuántas permutaciones del conjunto A, B, C, D, E, F satisfacen las
siguientes condiciones? (Sin repetición)
1 La letra A en la primera posición o D en la cuarta.
2 La letra A no esta en la primera posición o la D en la cuarta.
3 Aparece la A antes que la D.
4 No contiene las subcadenas AB, CD.
5 Aparece A antes que C y la C antes que E.
4 ¿De cuántas maneras distintas podemos sentar a 6 niños en fila, de
modo que 2 de ellos, (M y N) ya determinados previamente no estén
juntos?
5 6 chicos y 3 chicas se ordenaran en fila, de tal forma que los
extremos de la fila estén ocupados por chicos y ninguna chica este a
la par de otra chica. Determine la cantidad de formas en que la fila
se puede construir.

Permutaciones
¿De cuantas formas se pueden sentarse cuatro personas alrededor de una
mesa circular?
Estudiaremos ahora las permutaciones circulares, que como su nombre lo
indica son permutaciones de objetos diferentes en un circulo, generalmente
en este tipo de problemas interesa la posición relativa de los objetos, sin
embargo existen situaciones en lo que nos interesa la posición fija de los
objetos. En algunas ocasiones nos interesa la simetr´ıa de la permutación.
Definiremos ahora algunos términos para comprender mejor a que nos
referimos con los tipos de posición en las permutaciones

Permutaciones
Posición Fija: Interesa qué objeto esta a la izquierda y qué objeto está a
la derecha de un objeto dado (con respecto a un observador determinado),
y además, qué lugar como posición fija en un arreglo ocupa el objeto. Es
decir, existe una primera posición.
Observe el siguiente arreglo lineal
A B C D
muestra un claro ejemplo de posición fija para cada elemento, por ejem-
plo al estudiar el objeto B observamos que su posición fija es: lugar fijo:
segunda posición; elemento a la izquierda: A; elemento a la derecha C.

Permutaciones
Posición Relativa: No hay una orientación preasignada en el arreglo, es
decir, no existe una primera posición, solo interesa qué objeto está a la
izquierda y qué objeto está a la derecha de un objeto dado con respecto a
un observador dado.
Observe el siguiente arreglo circular
muestra un claro ejemplo de posición relativa para cada elemento, por
ejemplo al estudiar el objeto B observamos que su posición fija es: elemento
a la izquierda: A; elemento a la derecha C. Pero no se puede decir en ningún
momento si posee un lugar antes o después de A o de C.

Permutaciones
Posición Relativa Con Simetr´ıa: Solo interesa qué vecinos tiene el objeto
sin interesar cuál está a la derecha y cuál está a la izquierda
Un ejemplo de situaciones de este tipo surge cuando se estudian pulseras
formadas por objetos distintos, ya que al rotarlas la pulsera es la misma
pero los objetos a la izquierda y derecha, desde un mismo punto de vista,
cambian, tal como lo muestra la figura
al estudiar el objeto B observamos que su posición relativa es en el primer
gráfico es: elemento a la izquierda: A; elemento a la derecha C. Mientras
que su posición relativa es en el segundo gráfico es: elemento a la izquierda:
C; elemento a la derecha A. Sin embargo el collar sigue siendo el mismo,
por lo cual vemos que es una situación de posición relativa con simetr´ıa.

Permutaciones
La mayor´ıa de las situaciones sobre permutaciones circulares, consideran
a las permutaciones como un ordenamiento en circulo de objetos distin-
tos, donde lo que interesa es la posición relativa, por lo tanto salvo que
el enunciado o la situación del problema indiquen lo contrario, será esta
posición la que tomaremos para abordar los problemas.
Definición: Permutaciones circulares sin repetición
Se llaman permutaciones circulares (sin repetición) de n elementos,
denotaremos PCn, a los distintos grupos que se pueden formar, de tal
manera que en cada grupo entren los n elementos y que un grupo se
diferencie de los demás en la posición relativa de los elementos unos
respecto a los otros.
Suponga que se debe colocar a n personas alrededor de una mesa
circular en la que se dispone de n posiciones numeradas para su
ubicación. Determ inar el total de alternativas de ordenamiento.

Permutaciones
Si dos ordenamientos dados considerados diferentes cuando las personas
ocupan posiciones numeradas diferentes, entonces el número de posibles
ordenamientos será igual a un ordenamiento en una fila, es decir Pn; a
estas les llamaremos permutaciones lineales.
Sin embargo puede ser que solo nos interese la posición relativa que guar-
dan entre s´ı las personas y no nos interesa el número de la posición que
ocupa a estas permutaciones les llamaremos permutaciones circulares.
Si este es el caso hay n permutaciones lineales que dejar´ıan a las personas
con la misma permutación circular, en efecto, la rotación de las personas
pasando por las n posiciones numeradas dejan a las personas en la misma
posición relativa. En consecuencia hay n permutaciones lineales por cada
permutación circular; como el total de permutaciones lineales es Pn, el
total de permutaciones circulares, el cual denotamos por PCn, será:

Permutaciones
Permutaciones Circulares
El total de permutaciones circulares de n elementos, denotado por PCn:
PCn = Pn
n = (n − 1)!
Ejemplo:
1 Se quiere confeccionar un collar con n cuentas de colores, todas de
distinto color. De cuántas formas se puede formar el collar si se
utilizan todas ellas?
2 De cuántas maneras se pueden sentar seis personas alrededor de una
mesa circular. Si cada ordenamiento se obtiene de otro haciendo que
todos se muevan n asientos en el sentido de las manecillas del reloj,
las combinaciones se consideran idénticos.
3 Determine la cantidad de formas en las que cuatro chicos y dos
chicas se pueden sentar en una mesa circular en los dos casos
siguientes.
1 Sin restricciones.
2 Si las dos chicas no se quieren sentar una al lado de la otra.

Permutaciones
Problemas:
1 ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor
de una mesa circular, si: No debe haber dos mujeres juntas ni dos
hombres juntos?
2 ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 5 parejas de esposos alrededor
de una fogata, si:
a) Se sientan sin restricción alguna.
b) Un matrimonio se sienta junto.
c) Dos matrimonios se sientan juntos.
d) Los 5 matrimonios se sientan juntos.
3 ¿De cuántas maneras puede sentarse 5 marcianos y 5 venusinos en
una mesa circular?

Permutaciones
Teorema:
El total de permutaciones circulares de r objetos tomados de entre un
total de n objetos, denotado por PCr
n, esta dado por:
PCr
n =
P r
n
r
Ejemplo:
Diez personas tienen la costumbre de jugar una partida amistosa de poker
todos los fines de semana en un club de la ciudad, la mesa de poker
en la que juega tiene la particularidad, además de ser redonda, de tener
únicamente 5 asientos, por lo cual cada fin de semana solo cinco de las diez
personas juegan al poker. Además dos de estas personas no se llevan bien
entre si, por lo cual no se les permite jugar juntos. Determine la cantidad
de formas en que estas personas pueden sentarse a la mesa a jugar al
poker..

Permutaciones
Hasta el momento hemos estudiado permutaciones en las cuales todos los
objetos son distintos, surge entonces la pregunta ¿Que ocurre si no todos
los objetos son distintos? por ejemplo ordenar en fila pelotas del mismo
tamaño con colores repetidos.
Para generalizar suponga que se quieren permutar n objetos, pero no todos
son distintos. ¿cuántas ordenaciones en esencia distintas pueden obtenerse
con n elementos si hay k grupos cuyos objetos son indistinguibles entre si
y cada grupo contiene a1, . . . ak elementos, respectivamente?.
Problema:
Determinar el numero de formas en que podemos ordenar tres bolas
azules y una roja.
Problema:
Determinar el numero de formas en que podemos ordenar dos bolas
azules y dos roja.

Permutaciones

Permutaciones
El método puede generalizarse para calcular el número de ordenaciones
distintas que se pueden obtener con n elementos si hay k grupos cuyos ob-
jetos son indistinguibles entre s´ı y cada grupo contiene a1, ..., ak elementos,
respectivamente, de tal forma que a1 + · · · + ak = n:
1 Cálculo de las permutaciones de n elementos: Pn = n!.
2 Reagrupamiento de las permutaciones iguales (se han obtenido por
intercambio de posiciones de elementos indistinguibles de un grupo):
a1! · a2! · · · · · ak−1! · ak!.
3 Cálculo de las permutaciones (con repetición) distintas:
PR
a1·a2·····ak−1·ak
n =
n!
a1! · a2! · · · · · ak−1! · ak!

Permutaciones
Definición:
Se llaman permutaciones con repetición de n elementos, distribuidos en k
grupos de a1, ..., ak elementos indistinguibles, respectivamente, de tal
forma que a1 + · · · + ak = n, a las distintas configuraciones que se
pueden formar con los n elementos, de tal forma que cada una de ellas se
diferencie de las demás en el orden de colocación de sus elementos,
excluyendo las reordenaciones de elementos indistinguibles (esto es, que
pertenecen a un mismo grupo).
Teorema:
Dados a1 objetos idénticos de una clase 1, luego otros a2 objetos
idénticos de una clase 2, . . . , k objetos idénticos de una clase k, y
tomando a1 + · · · + ak = n, el total de permutaciones es
PR
a1·a2·····ak−1·ak
n =
n!
a1! · a2! · · · · · ak−1! · ak!

Permutaciones
Problema:
La MASSASAUGA es una serpiente venenosa marrón y blanca
originaria de América del Norte. Al ordenar todas las letras de
MASSASAUGA, vemos que existen
10!
4! · 3! · 1! · 1! · 1!
= 25, 200
disposiciones posibles. Entre ellas, hay
7!
·3! · 1! · 1! · 1! · ·1!
= 840
en las que están juntas las cuatro letras A. Para obtener este último
resultado, consideramos todas las disposiciones de los siete s´ımbolos
AAA (un s´ımbolo), S, S, S, M, U, G

Permutaciones
Problemas:
1 Determine el número de permutaciones lineales de la palabra TONA-
CATEPEQUE.
2 ¿De cuántas maneras pueden ordenarse en un estante 3 cuadernos
rojos, 4 azules y 2 verdes, si los verdes no deben quedar juntos?
3 En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas,
dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse
con la colocación de las nueve banderas?
4 Para trasladarnos desde un punto A(0, 0) hasta un punto B(5, 4)
podemos movernos únicamente de izquierda a derecha y de arriba a
abajo. ¿De cuántas maneras podemos ir desde A hasta B?
5 ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra ABRA-
CADABRA?
1 ¿En cuántas aparecen 4 letras A juntas (Exactamente 4)?
2 ¿En cuántas figura cada B seguida de al menos 2 letras A?
3 ¿En cuántas figuran los bloques ABR?

Permutaciones
Permutaciones con repetic´ıon de objetos distintos.
Cuando es posible repetir elementos se puede contar las permutaciones
fácilmete utilizando el principio de la mutiplicación.
Cuántas cadenas de longitud n se pueden formar con las 27 letras del
alfabeto español.
Teorema:
El número de permutaciones con repetición de un conjunto de n
elementos está dado por nn
.

Variaciones (Arreglos)
Regresamos a ordenar objetos distintos, pero considerando que la cantidad
de espacios es inferior o igual a la cantidad de objetos distintos que se
ordenan; es decir, ¿cuántas configuraciones de longitud k puede formarse
si se tienen n objetos distintos (k ≤ n)? A estas configuraciones les llama-
remos variaciones o arreglos, y al total de variaciones de longitud k dados
n objetos distintos se le denotará por Ak
n o V k
n .
En lenguaje usual, variar significa: hacer que una cosa sea diferente en
algo de lo que antes era. En matemáticas, la palabra variación tiene una
acepción mucho más precisa; brevemente, una variación de una familia de
elementos es una modificación de alguno de sus elementos o del orden en
que se presentan.
Una variación de un cierto número de elementos, es una disposición de
una parte de ellos en un orden determinado. (De los n elementos, k de
ellos se mueven).

Se desea formar un comité de aula para la organización de un evento
cultural en un colegio. Dicho comité está formado por tres alumnos que
harán las veces de delegado, vocal y secretario. La clase está formada por
40 alumnos. Nos planteamos resolver la siguiente cuestión: ¿de cuántas
formas puede constituirse el comité si una persona no puede ocupar más
que un cargo?
Se llaman variaciones ordinarias o sin repetición de n elementos,
tomados de k en k, se denota V k
n , a los distintos grupos que se pueden
formar con los n elementos, de tal forma que en cada grupo entren k
elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en
alguno de sus elementos, bien en su orden de colocación.

Si k = n en la definición 1.4.1.1, se obtiene un ordenamiento o variación
de todos los n elementos. Entonces, una variación n de n elementos es lo
que antes se llamó simplemente permutación. El Teorema 1.3.1.1 dice que
Pn = n!, por tanto V n
n = n!.
Teorema:
El total de variaciones o arreglos de longitud k dados n objetos distintos
está dado por:
V k
n = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − (k − 1)), para todo k ≤ n

De acuerdo con el teorema 1.4.1.1, el n´umero de variaciones 2 de
X = {a, b, c} es V 2
3 = 3 · 2 = 6. Estas seis permutaciones son:
ab, ac, ba, bc, ca, cb.
El total de variaciones o arreglos de longitud k dados n objetos distintos
se puede escribir en t´erminos de factoriales.
V k
n = n!
(n−k)!

Problemas:
1 ¿De cu´antas maneras se puede seleccionar el presidente,
vicepresidente, secretario y tesorero de un grupo de 10 personas?
2 ¿De cu´antas maneras pueden hacer cola siete marcianos y cinco
venusinos si dos venusinos no se paran juntos?

Se desea formar un comité de aula para la organización de un evento
cultural en un colegio. Dicho comité está formado por tres alumnos que
harán las veces de delegado, vocal y secretario. Supongamos ahora que
una misma persona puede ocupar más de un cargo, esto es, una persona
puede ser a la vez vocal y delegado.
Nos planteamos, entonces, resolver la siguiente cuestión: si en un aula
hay n estudiantes, ¿de cuántas formas puede constituirse un comité de k
estudiantes si una persona puede ocupar más que un cargo?

Se llaman variaciones con repetición de n elementos, tomados de k en
k, denotaremos, V Rk
n, a los distintos grupos que se pueden formar con
los n elementos, de tal manera que en cada grupo entren k elementos
iguales o distintos y que un grupo se diferencie de los demás, bien en
algún elemento, bien en su orden de colocación. Se tiene:
V Rk
n = nk
Problemas:
1 Se lanza un dado tres veces. ¿Cuántos resultados diferentes pueden
obtenerse?
2 e una bolsa que contiene tres fichas numeradas del 1 al 3 se extraen
sucesivamente 4 con reposición. ¿Cuántas extracciones diferentes
pueden resultar?

Combinaciones.
Combinaciones.
En lenguaje común, combinar es: unir cosas diversas, de manera que formen
un compuesto. Al igual que las variaciones y las permutaciones, el concepto
de combinación tiene un significado muy concreto en matemáticas: bre-
vemente, número de conjuntos de un determinado número de elementos
que se pueden formar con un universo de objetos, sin importar el orden de
selección, sino qué elementos se toman.

Combinaciones.
En el problema de la formación de los comités de aula, el orden de elección
de los estudiantes es relevante, puesto que los cargos de delegado, vocal y
secretario no son equiparables. Sin embargo, si el comité está formado por
tres personas que desempeñarán cargos similares, entonces no es relevante
que un estudiante sea elegido en primer, segundo o tercer lugar, sino el
hecho mismo de haber sido elegido. Como se ha visto, si el orden de elección
es importante (y un alumno no puede tener sino un cargo), existen 40·39·38
formas de constituir los comités, pero si el orden no importa, hay que dividir
esta cantidad por 6, puesto que dados 3 estudiantes, podemos organizarlos
de 6 formas distintas (P3). As´ı, existen (40·39·38
6 ) formas de organizar los
comités si los tres integrantes van a desempeñar labores similares.

Combinaciones.
Considere la siguiente situación, si se tiene un conjunto formado por los
elementos a, b, c y d se supone que se quieren formar todas las combina-
ciones sin repetición de 3 en 3 se observa que:
Figura: Combinaciones vrs Variaciones
Se llaman combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos,
tomados de k en k, denotaremos Cn
k , a los diferentes conjuntos de k
elementos distintos, esto es, un conjunto se diferencie de los demás en, al
menos, un elemento (no importa el orden de colocación o selección).

Combinaciones.
Dado un conjunto X = {x1, ..., xn} que contiene n elementos (diferentes),
1 Una combinación k de X es una selección no ordenada de k
elementos de X (es decir, un subconjunto de X de k elementos).
2 El número de combinaciones k de un conjunto de n elementos
distintos se denota por Cn
k , C(n, k), n
k
Un grupo de cinco estudiantes, Mar´ıa, Braulio, Rosa, Amanda y Néstor,
ha decidido hablar con la directora del departamento de matemáticas
para que ofrezcan más cursos de matemáticas discretas. La directora del
departamento ha dicho que hablará con tres de los estudiantes. ¿De
cuántas maneras pueden estos cinco estudiantes elegir tres de ellos para
hablar con la directora del departamento?

Combinaciones.
Al resolver este problema no debe tomarse en cuenta el orden. (Por ejemplo,
no hay diferencia si la directora habla con Mar´ıa, Amanda y Néstor o con
Néstor, Mar´ıa y Amanda). Con sólo listar las posibilidades, se ve que existen
10 maneras de elegir tres estudiantes de un grupo de cinco para hablar con
la directora.
MBR, MBA, MRA, BRA, MBN, MRN, BRN, MAN, BAN, RAN.
El número de maneras en que los cinco estudiantes pueden elegir tres de
ellos es C(5, 3), el número de combinaciones de 3 de cinco elementos. Se
ha encontrado que C5
3 = 10.

Combinaciones.
Teorema:
El número de combinaciones k de un conjunto de n objetos distintos es:
Cn
k =
V k
n
Pk
= n!
(n−k)!·k!
Problema:
1 La baraja normal consta de 52 cartas con cuatro palos: tréboles (T),
diamantes (D), corazones (C) y espadas (E). Cada palo tiene 13
cartas: as (A), 2, 3, ..., 9, 10 Jach (S), reina (Re) y rey (R). ¿De
cuantas maneras diferentes se pueden seleccionar 3 cartas?
2 ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de tres a partir
de un grupo de 10 personas diferentes?
3 ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de dos mujeres
y tres hombres de un grupo de cinco mujeres y seis hombres?

Combinaciones.
Problemas:
1 ¿Cuántas cadenas de ocho bits contienen exactamente cuatro unos?
2 Considere una baraja común de 52 cartas:
1 ¿Cuántas manos de póquer (sin ordenar) de cinco cartas,
seleccionadas de una baraja común de 52 cartas, existen?
2 ¿Cuántas manos de póquer contienen cartas todas del mismo palo?
3 ¿Cuántas manos de póquer contienen tres cartas de una
denominación y dos de una segunda denominación?

Combinaciones con repetición (Método de separadores)
Método de separadores
Considere la siguiente situaciónes:
1 En una pasteler´ıa se vende tres tipos diferentes de pasteles. ¿De
cuantas formas se pueden comprar 4 pasteles?
2 ¿De cuantas maneras se pueden repartir 8 dulces del mismo sabor en
5 bolsas?
3 En una tienda de deporte se vende 3 tipos de balones: azules,
blancos, verdes. Para un instituto se necesita comprar un total de 10
balones. ¿De cuantas formas se puede realizar esta compra.?
Generalizando
1 Para separar n objetos en k grupos se necesitan k − 1 separadores.
2 Cada grupo esta formado por los objetos entre los separadores.
3 El orden de los grupos no importa, es decir cada grupo se distingue
de otro por sus elementos y no por el orden.

Combinaciones con repetición
Sea un conjunto formado por n elementos todos ellos distintos entre si. Re-
cibe el nombre de combinaciones con repetición de orden m de n elemen-
tos, cada grupo formado por m elementos, distintos o repetidos,tomados
de los n dados. El total de esos grupos ordenados se indica por CRn
m
Las caracter´ısticas que destacan los rasgos de este concepto son:
1 Los grupos no difieren en el orden de sus grupos.
2 Los elementos se pueden repetir en los grupos.
Nota:
Observe que el orden m puede ser mayor que el número de elementos n
del conjunto dado.

Teorema
El numero de maneras se colocar n objetos id´enticos en k cajas
numeradas es:
CRk
n = Ck−1
n+k−1 = Cn
n+k−1
Problemas:
1 ¿De cuantas maneras se pueden distribuir 8 dulces del mismo sabor
en 5 bolsas, de manera que ninguna bolsa quede vac´ıa.?
2 ¿De cuantas formas se pueden seleccionar 5 billetes de una caja
registradora que contiene billetes de 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500?
Se supone que el orden en que selecciona no se tiene en cuenta, que
los billetes de la misma cantidad no se pueden distinguir y que hay
al menos cinco billetes de cada tipo.
3 ¿De cuantas formas se pueden colocar diez bolas iguales en ocho
cajas distintas? Suponga ahora que cada caja debe tener al menos
una bola.

1 Supongamos que una tienda de galletas tiene cuatro tipos diferentes
de galletas. ¿De cuantas formas se pueden seleccionar seis galletas?
suponga que solo se toma en cuenta el tipo de galleta y que el orden
de selección no importa.
2 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
x1 + x2 + x3 = 11
si x1, x2, x3 son enteros no negativos.
3 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
x1 + x2 + x3 = 11
si x1 1, x2 2, x3 3 son enteros no negativos.

1 ¿De cuantas formas se puede seleccionar cuatro piezas de fruta de
una cesta que contiene manzanas, naranjas y peras si el orden en
que seleccionan las piezas no se tiene en cuenta, sino solo el tipo de
fruta, y hay al menos cuatro piezas de cada tipo en la cesta.?
Teorema
El total de soluciones enteras no negativas de la ecuaci´on
x1 + x2 + · · · + xk = n
esta dada por
Ck−1
n+k−1

Métodos de conteo en teoría combinatoria

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Métodos de conteo en teoría combinatoria

Similar a Métodos de conteo en teoría combinatoria (20)

Más de cristian martinez

Más de cristian martinez (13)

Último

Último (20)

Métodos de conteo en teoría combinatoria