1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Recinto UNI Norte - Sede Regional Estelí
FACULTAD DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN
Agosto 2009
Ing. Sergio Navarro Hudiel

2. CONDICIONES DE EQUILIBRIO BASADO EN LA PRIMERA LEY
DE NEWTON
“Un cuerpo se encuentra en equilibrio
traslacional si y solo si la suma vectorial de
las fuerzas que actúan sobre el es igual a
cero”.
ΣFx= 0 y ΣFy= 0
“Todos los cuerpos tienden a permanecer en el estado
de movimiento que tienen a menos que una causa
externa (fuerza) altere dicha condición”

3. Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en tres
dimensiones, las componentes rectangulares de su resultante R
se obtienen al sumar las componentes correspondientes de las
fuerzas dadas.
Rx = Fx
Ry = Fy
Rz = Fz
La partícula está en equilibrio cuando la resultante de todas
las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

4. Para resolver un problema que comprende una partícula en
equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre en el que se
muestren todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Las
condiciones que se deben satisfacer para que la partícula esté
en equilibrio son:
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
En dos dimensiones, sólo se necesitan dos de estas ecuaciones:
Fx = 0 Fy = 0

5. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
a) Hacer un dibujo que represente claramente el
problema que se desea resolver
b) Construye un diagrama de cuerpo libre
sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel
efecto que recibe el cuerpo, provocado por su
contacto con otros cuerpos o por la fuerza
gravitacional y que originan que se encuentren en
equilibrio. Indique la magnitud, dirección y
sentido de las fuerzas conocidas. Use símbolos
para señalar las cantidades que se desconocen.

6. c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes
rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio
en el origen del sistema de coordenadas.
d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que
necesite para encontrar las respuestas a las
incógnitas buscadas.

7.  En estos problemas, se hace uso de igual forma de las
funciones trigonométricas.
 Mediante una serie de despejes y sustitución de
valores en las ecuaciones que se obtengan, se hallan
los valores de las fuerzas o vectores. Los signos de las
X y las Y en los cuadrantes, de igual forma se deben
de tener en cuenta, para obtener los resultados
correctos.

8. Problema
Dos cables están atados entre sí en C y cargados como se
muestra. Determine la tensión
a) en el cable AC, b) en el cable BC.
A B
8.5 ft 9 ft
C
5 ft
396 lb
12 ft 7.5 ft

9. A B
8.5 ft 9 ft
C
5 ft
396 lb
12 ft 7.5 ft
1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la partícula. En este
diagrama se muestra la partícula y todas las fuerzas que
actúan sobre ella.
2. Iguale a cero la resultante, o suma, de las fuerzas ejercidas
sobre la partícula. Obtendrá una ecuación vectorial que consta
de términos con los vectores unitarios i, j y k. Hay tres ecua-
ciones escalares, que pueden resolverse para las incógnitas.

10. DCL
y
Dibuje un diagrama de cuerpo
TBC libre de la partícula.
TAC
3.5 4 Iguale a cero la resultante, o
x
12 7.5 suma, de las fuerzas ejercidas
sobre la partícula.
396 lb
12 T 7.5
Fx = 0 : + 8.5 TBC = 0
12.5 AC
TBC = 1.088 TAC
3.5 4
T
Fy = 0 : 12.5 AC + 8.5 TBC 396 lb = 0

11. y
TBC
TAC
3.5 4
12 7.5
x
396 lb
a) Sustituya TBC por su expresión:
3.5 4
12.5
TAC +
8.5 (1.088 TAC ) _ 396 lb = 0
(0.280 + 0.512) TAC _ 396 lb = 0 TAC = 500 lb
b) TBC = 1.088 (500 lb) TBC = 544 lb

12. El motor está suspendido por un sistema de cables. La masa
del motor es de 200 kg. ¿Qué valores tienen las tensiones en
los cables AB y AC?

14. Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es
tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida
de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30°
con la pared vertical. Encuéntrese las tensiones en
los cordeles A y B de acuerdo a la siguiente figura.

15. Resolviendo:
F θ comp. X comp. Y
A 60 - A cos 60 A sen 60
B 0 B 0
W 0 0 -100 N
ΣFx =- A cos60 + B = 0
ΣFy = A sen 60 -100 N = 0
Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad con
diferente signo:
ΣFx = B = A cos60 ΣFx = B = A (0.5).
Como desconocemos A y B, esta última expresión
queda como la ecuación 1.

16. Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, con
diferente signo:
ΣFy = A sen 60 = 100 N.
ΣFy = A (0.8660) = 100 N.
De esta última expresión podemos despejar A, pasando el
valor de 0.8660, dividiendo al peso de 100 N:
A = 100 N = 115.47 Newton.
0.8660
Ahora regresamos a la ecuación 1:
B = A (0.5).
Y sustituimos el valor de A para hallar B tenemos:
B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newton.
Entonces los valores serán:
A = 115.47 Newton. Y B = 57.73 Newton.

17. Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el
gancho. La magnitud de FA es de 100 lb, la tensión en el cable B se
ha ajustado para que la fuerza FA + FB sea perpendicular a la pared a
la que está unido el gancho.
¿Cuál es la magnitud de FB?
¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables
sobre el gancho?
FA + FB = R
Rx = FAx + FBx
Ry = FAy + FBy

18. Como la fuerza resultante debe ser perpendicular a la pared, entonces
debe asumirse que Ry = 0
FAx = 100 lb * Cos50°
FAx = 64,278 lb
FAy = 100 lb * Sen50°
FAy = 76,604 lb
Ry = 0
Ry = FAy + FBy
76,604 lb + FB * Sen70° = 0
FB = 81,52 lb
FBx = 81,52 lb * Cos70°
FBx = 27,881 lb
Por lo tanto:
R = Rx
R = FAx + FBx
R = 64,278 lb + 27,881 lb
R = 92,159 lb

19. Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo peso
es de 500 N, como se ve en la figura siguiente,
elaborar el diagrama de cuerpo libre y hallar las
tensiones de las cuerdas T1 y T2.

20. Cuadro de fuerzas
 F θ Comp. X Comp.Y
 T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40
 T2 0 -T2 0
 W 0 -500 N
 ΣFx =T1 cos 40 - T2 =0 ΣFy= T1 sen 40 -500 N = 0.
 Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFx = T1 cos40 = T2. ΣFx = T1
(0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como
la ecuación 1. De la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad, con signo positivo: ΣFy= T1
sen 40 = 500 N. Ahora sacamos el seno de 40 : ΣFy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valor
de T1, tenemos: T1 = 500 N = 778 N
 0.6427
 Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1, T1 (0.7660) = T2.
 y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos:
 T2 = 778 N x 0.7660 = 596 N
 Las tensiones son entonces: T1 = 778 NY T2 = 596 N

21.  Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una
armadura como se ve en la figura. Determinar el valor de la
tensión de la cuerda y el empuje de la barra.

22. F θ comp. X comp. Y
T 35 -T cos 35 T sen 35
E 0 E 0
W 0 0 -500 N
ΣFx = -T cos 35 + E = 0
ΣFy =T sen 35 - 500 N = 0
De la ΣFx, pasamos -T cos 35 , del otro lado de la igualdad
con signo positivo:
ΣFx = E = T cos 35 .
Ahora sacamos el coseno de 35 . E = T (0.8191).
Como desconocemos E y T, esta última expresión queda
provisionalmente como la ecuación 1.
Ahora de la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la
igualdad con signo positivo:

23. ΣFy = T sen 35 = 500 N.
Ahora sacamos el seno de 35 .
T (0.5735) = 500 N.
Despejando T, tenemos:
T = 500 N = 871. 68 Newton
0.5735
Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el
valor del Empuje E, y sustituyendo el valor de T,
tenemos:
E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newton .
Entonces los resultados son:
T = 871. 68 Newtons. Y E = 714.08 Newtons.

24. Como el cuerpo está en equilibrio:
ΣFx = 0 = E + (-Tx)
ΣFy = 0 = Ty + (-P)
Sustitución
ΣFx = E –T cos 35°= 0
E = T cos 35°.
ΣFy = T sen 35°- P = 0
T sen 35° = P
T = P___ = 500 N = 871.68 N
sen 35° 0.5736
Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje
tenemos:
E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.

25. Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la figura
siguiente que soportan un peso de 300 N.

26. F θ comp. X comp.Y
T1 56 T1cos 56 T1 sen56
T2 34 -T2 cos 34 T2 sen34
W 0 0 -300 N
ΣFx = T1cos 56 -T2 cos 34 = 0.
ΣFy =T1sen 56 + T2 sen 34 -300 N = 0.
De la ΣFx, pasamos T2 cos 34 , del otro lado de la igualdad con signo
positivo:
ΣFx = T1cos 56 = T2 cos 34 . Ahora sacamos los cosenos de los
ángulos:
ΣFx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para
expresarlo en relación a T2 en una sola cantidad:
T1 = 0.8290 T2
0.5591

27. T1 = 1.4827 T2.
Ecuación 1. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión
queda provisionalmente como la ecuación 1.
Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso
del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy =T1 sen 56 +
T2 sen 34 = 300 N.
Ahora sacamos los senos de los ángulos:
ΣFy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.
Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la ecuación 1:
ΣFy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.
Se realizan las multiplicaciones:
ΣFy = T2 (1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.

28. Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2,
entonces se pueden sumar:
ΣFy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N
= 167.76 newtons.
1.7882
Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1
= 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons.
Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.

29.  Un tanque de acero debe colocarse en la fosa mostrada
en la figura de abajo. Sabiendo que α = 20 ,
determínese la magnitud de la fuerza P requerida si la
resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe de
ser vertical.

30. Diagrama de cuerpo libre.
Y
425 lb
P=?
30° α= 20°
X
R

31. F θ comp X comp.Y
P 20 P cos 20 P sen 20
425 lb 30 - 425 cos 30 425 sen 30
ΣFx = P cos 20 - 425 cos 30 = 0.
ΣFy = P sen 20 + 425 sen 30 = 0.
ΣFx = P cos 20 = 425 cos 30 .
ΣFx = P (0.9396) = 425 (0.8660).
ΣFx = P (0.9396) = 368 lb.
Despejando P tenemos: P = 368 lb = 391.7 lb.
0.9396

32. Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se
muestra en la figura. Determínese la tensión en el cable
AC.

33. F θ comp. X comp. Y
TAC 50 TAC cos 50 TAC sen 50
TBC 30° - TBC cos 30 TBC sen 30
W 0 0 - 500 N
ΣFx = TAC cos 50 - TBC cos 30 = 0.
ΣFx = TAC cos 50 = TBC cos 30 .
ΣFx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660).
Despejando TAC tenemos:
TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC 1.3474 ec. 1.
0.6427

34. ΣFy = TAC sen 50 + TBC sen 30 - 500 N = 0.
Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:
ΣFy = TAC sen 50 + TBC sen 30 = 500 N.
Sacando los senos de los ángulos:
ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N
Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1, tenemos:
ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N
ΣFy = TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N.

35. Efectuando la multiplicación:
ΣFy = TBC (1.0321) + TBC (0.5) = 500 N.
Como TBC es un factor común a ambas cantidades, estas se
pueden sumar:
ΣFy = TBC ( 1.5321) = 500 N.
Despejando el valor de TBC tenemos:
TBC = 500 N = 326.34 Newtons.
1.5321
Para encontrar el valor de TAC regresamos a la cuación 1:
TAC = TBC 1.3474
TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons

36. Se desea colgar del techo un cuerpo de 2
kg de masa mediante dos cuerdas igual
de largas y que forman entre sí un ángulo
de 60 º. Calcula la tensión que soporta T1 T2
cada cuerda.
P
Si el cuerpo está en equilibrio:
F = T1 + T2 + P = 0
Descomponiendo en componentes cartesianas: T1y T2y
60º 60º
P = – m ·g · j (Va hacia abajo)
T1 = T1x · i + T1y · j T1x T2x
T2 = T2x · i + T2y · j
P
Si F = 0 Fx = 0 ; Fy = 0

37. Las componentes cartesianas se
obtienen a partir de T y del ángulo :
T1x = T1 · cos 120º = –T1/2 T1 T2
–
T1y = T1 · sen 120º = 3/2 T1
T2x = T2 · cos 60º = T2/2 P
–
T2y = T2 · sen 60º = 3/2 T2
Fx = T1x + T2x = –T1/2 + T2/2 = 0 T1 = T2
– T1y T2y
Fy = T1y + T2y + P = 3 T1 – 19,6 N = 0 60º 60º
T 1 = T 2 = 11,3 N
T1x T2x
P

38. Los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo. Las
magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son |FAB| = 100
kN y |FAC| = 60 kN. Determine la magnitud de la fuerza resultante.
R = Rx + Ry
Rx = FABx + FAC
Ry = FABy
FABx = 100lb * Cos30° FABy = 100lb * Sen30°
FABx = 86,602 lb FABy = 50 lb
Rx = 86,602 lb + 60lb Ry = 50 lb
Rx = 146, 602 lb
R2 = Rx2 + Ry2
R2 = (146, 602 lb)2 + (50lb)2
R = 154,893 lb