Cap 1 cinemática de partículas

Movimiento mecánicoMecánica de los cuerpos macroscópicos

Cinemática: Rama de laMecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinámica:Rama de laMecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico. Justificar el movimiento.

Movimiento Mecánico:Cambio de posición de un cuerpoen función del tiempo, con respecto a otros, tomados como referencia.Definir Sistema de Referencia (SR)El tiempo es el parámetro de control

Pasos para el estudio del movimiento mecánicoDefinición del objeto de estudio

Definición del Sistema de Referencia (SR)

Identificación de las magnitudes físicas apropiadas y sus relaciones.

Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.

Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición. Empleo de las leyes que controlan el movimiento.SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.yy(t) Observador

Sistema de Coordenadasx(t)x Relojz(t)zPasos para el estudio del movimiento mecánicoSe le asocia

Pasos para el estudio del movimiento mecánicoSRI:Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.Los SRI tienen entre ellos velocidad constanteSRNI:Es aquel para el cual el sistema bajo estudio sin la acción de otros cuerpos, experimenta aceleraciones.

Dinámicas CinemáticasPosición, Velocidad, Aceleración Fuerza, Torque Pasos para el estudio del movimiento mecánicoMagnitudes Físicas

Pasos para el estudio del movimiento mecánicoModelosde Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.

Pasos para el estudio del movimiento mecánicoTraslación puraEs aplicable el modelo de partícula

Pasos para el estudio del movimiento mecánicoRotación pura de cuerpo sólidoEs aplicable el modelo de partículaEs aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícula

de CoordenadasMayor número de ecuacionesNaturalCoordenadas curvilíneasPosición (t)Problemas de la cinemáticaP. InversoCond. InicialesVelocidad(t)P. DirectoAceleración(t)MétodosVectorial (conciso, elegante)12Ejercicio Unapartícula se mueve a lo largo del eje X, de maneraquesuposición en cualquierinstantet ha sido en la tablaadjunta.Calcularsu velocidad media en el intervalo de tiempo entre: 2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s. 2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instantet=2 s.

13Derivada de funcionesDerivada de una función en un puntoDada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe, Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h->0 se cumplirá que x->a.La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera:

Derivada de funcionesSea la función y=f(x) = x2 -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2. La ordenada correspondiente es f(2) = -1Veamos el procedimiento a seguir:

Derivada de funcionesSigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior y=x2 -2x -1 la derivada en x = -1La ordenada para x = -1 es f(-1)= 2Esto lo podemos hacer en cualquier punto del dominio de la función. Por ejemplo en el punto cualquiera “a”

Derivada de funcionesComo “a” es cualquier punto del dominio, entonces es variable que la representaremos con x también y diremos: Comprueba estos resultados:

Derivada de funcionesPropiedad lineal de la derivadaPara funciones dentro del dominio de las derivadas donde c es una constanteDerivada de un producto Derivada de un cocienteRegla de la cadena

Derivada de funcionesOtras PropiedadesSi f’(x) en x=a es positiva entonces f(x) en x=a es crecienteSi f’(x) en x=a es negativa entonces f(x) en x=a es decrecienteSi f’(x) en x=a es cero entonces f(x) en x=a tiene un punto critico extremoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es negativa entonces f(x) en x=a tiene un maximoSi f’(x) en x=a es cero y f’’(x) es positiva entonces f(x) en x=a tiene un minimoCurvaturaSi f´´(x) en cierto intervalo es positiva entonces f(x) es concava hacia arribaSi f´´(x) en cierto intervalo es negativa entonces f(x) es concava hacia abajoSi f(x) en cierto punto esta cambiando la concavidad entonces en dicho punto f´´(x) es cero.

Derivada de funcionesEJERCICIOS1.- Un cuerpo es movido levemente desde una posición de equilibrio inestable. Su velocidad aumenta según el fórmula v(x)=A√x , donde x es la distancia desde el punto de partida y A es una constante. ¿Cuánto vale la aceleración del cuerpo y que tipo de movimiento realiza?2.- La trayectoria de un móvil viene descrita por las ecuaciones x=3+t2 , y=6t . Determinar el módulo del vector velocidad y aceleración en el instante t=4 (t se expresa en segundos , x e y en metros).3.- Hallar las dimensiones del rectángulo de areamaxima inscrito en : a) En un triángulo equilátero de lado a. b) En un triángulo isósceles , que tiene por base 10 y por altura 16 cm, respectivamente. 4.- Dados tres segmentos de longitud a, hallar un cuarto segmento de longitud b que forma con los anteriores un trapecio isósceles de área máxima. Nota: Area=1/2(a+b)h

Cond. InicialesProblema inversoEJERCICIO1.- Una partícula se mueve sobre un plano XY con una velocidad dada por v = (2t-2) i + 3 j , expresada en m/s. Cuando t = 2s su vector de posición es r = 2 i + 3 j, medido en m. Determinar la ecuación de la trayectoria de la partícula.Posición (t)P. InversoVelocidad(t)Aceleración(t)

EjercicioSi el vector posición de una partícula esta dada por: Hallar:1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s3) su velocidad media en el intervalo [0,2]ssu velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s7) Su aceleración tangencial en t=2s8) Su aceleración normal en t=2s9) Su radio de curvatura en t=2s

25Ejercicio Un automóvil describe unacurvaplanatalquesuscoordenadasrectangulares, en función del tiempoestándadasporlasexpresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1, z=5t-2 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquierinstante.Las componentes de la aceleración en cualquierinstante.

26EjercicioUn cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la leyv=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instantet0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquierinstante.La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instantet0=3 s, la velocidad del móvil valev0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante.

27EjercicioSe lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impactoLa alturamáximaLos instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.Identificar sistema físico: La pelota2. Selección del SRI (Ubicación del Observador): La azotea (ver gráfico). Tiempo t=0 al inicio del movimiento

28EjercicioSe lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impactoLa alturamáximaLos instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.3. Selección del método o métodos:de coordenadas4. Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos:

29EjercicioSe lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impactoLa alturamáximaLos instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.Problema indirecto

30EjercicioSe lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impactoLa alturamáximaLos instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.Distancia horizontalAltura máxima

31EjercicioSe lanzaunapelotaverticalmentehaciaarriba con una velocidad de 15 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelotaademásesempujadapor el viento, produciendo un movimiento horizontal con unaaceleración de 2 m/s2. (g=10 m/s2 ) Calcular:La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impactoLa alturamáximaLos instantes y los valores de lascomponentes de la velocidad cuando la pelota se encuentra a 60 m de alturasobre el suelo.Instantes para y=10mEl móvil se encuentra en dos instantes a 60 m de alturasobreel suelo (10 sobre el origen), yaquesutrayectoriacorta en dos puntos a la recta horizontal y=10 m.

EjercicioUna partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine:a) El tiempo que permanece en el aire.b) Su posición en el instante t = 5 s.c) La altura máxima alcanzada.d) Su desplazamiento entre 5 y 15 se) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s

33Movimiento circularPosición angular,qEl ánguloq, es el cociente entre la longitud del arcos y el radio de la circunferenciar, q=s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y portanto, no tienedimensiones. Velocidad angular, wAceleración angular,a

34Movimiento circularMovimiento circular uniformeMovimiento circular uniformementeacelerado

35Movimiento circularMagnitudes lineales y angulares Aceleración normalAceleracióntangencial

Movimiento circularEjemploUnarueda de r=0.1 m de radio estágirando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene de manerauniformeen 4s. Calcular: La aceleración angular ω=ω0+αt En el instantet=4 s la velocidad angular ω=0 α=-π rad/s2El ángulogiradohastaesteinstanteesLa posición y la velocidad angular del móvil en el instantet=1 s θ=0+4π ·1-π/2=7π/2 rad ω=4π+(-π)·1=3π rad/s La velocidad lineal v=ω·r v=0.1·3π=0.3π m/sLa componentetangencial de la aceleraciónes at=α·r at=-0.1π m/s2La componente normal de la aceleraciónes

37Movimiento circularMovimientode unabicicleta

38ZZ’P(x,y,z) (x’,y’,z’)OO’YX’XY’Relatividad del movimientoSean dos observadores O y O’ que se desplazan uno respecto al otro con un movimiento rectilíneo.La relación entre la posición de la partícula descrita por O y O’ es

40ZZ’P(x,y,z) (x’,y’,z’)OO’YX’XY’Relatividad del movimientoDerivando respecto a t la expresión anteriorY derivando nuevamenteSi O’ se desplaza respecto de O con un movimiento rectilíneo uniforme se tiene queTransformaciones de Galileo

41Sean dos observadores O y O’ que giran uno con respecto a otro con velocidad angular uniforme sin traslación relativa. vector de posición de P respecto del origen comúnZZ’P velocidad de P medida por OO velocidad de P medida por O’O’Y’XYX’Relatividad del movimiento Si Pestá en reposo respecto a O’ entoncespero como O’ gira con velocidad angular respecto a O, entonces P describirá un movimiento circular respecto a O, cumpliéndose que

42Relatividad del movimientoPero si P se mueve respecto de O’ entonces y ambas velocidades se encuentran relacionadas a través deLa relación entre la aceleración de P medida por O y O’ viene dada por43Rotación de O’ respecto OPZ’ZY’O’SRMOYSRFX’XRelatividad del movimientoEn el caso más general en que O’ se traslada y gira respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores esTraslación de O’ respecto O

44Eje terrestreVerticalEje terrestreVerticalNPolo NorteAPlano horizontalNTrayectoriaOASA’Plano horizontalECSPlano ecuatorialRelatividad del movimientoAceleración de CoriolisLa aceleración de Coriolis es perpendicular a la velocidad de la partícula respecto del observador móvil, y su efecto consiste en desviar la partícula en una dirección perpendicular a la velocidad.Desviación hacia el este de un cuerpo en caida libre en el Hemisferio Norte, debida a la aceleración de Coriolis

45Eje terrestreVerticalEje terrestreVerticalNPolo NorteNOPlano horizontalSEPlano horizontalTrayectoriaSCPlano ecuatorialRelatividad del movimientoAceleración de CoriolisDesviación hacia la derecha de un cuerpo que se mueve horizontalmente en el hemisferio norte

46Baja PresiónBaja PresiónRelatividad del movimientoDesarrollo de centros de bajas presiones en la atmósfera.Hemisferio SurHemisferio Norte

47NB’’’B’’B’EOAA’A’’A’’’SRelatividad del movimientoPéndulo de Foucault.BHemisferio Norte

Rotación de O’ respecto OPZ’ZY’O’SRMOYSRFX’XSuma de velocidadesEn el caso más general en que O’ se mueve con respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores esTraslación de O’ respecto OTrasformaciones de Galileo

Rotación de O’ respecto OPZ’ZY’O’SRMOYSRFX’XSuma de velocidadesEn el caso más general en que O’ se mueve con respecto a O, la relación entre la velocidad y la aceleración medidas por ambos observadores esTraslación de O’ respecto OTrasformaciones de Lorentz

50Suma de velocidadesUn avión que viaja al Este, en una región sin viento a 40 m/s, se encuentra con un viento de 10 m/s en dirección 20 grados al Este del Norte. Considerando que la rapidez con respecto al aire se mantiene, como debe orientarse el avión para que su desplazamiento continúe al Este? Con qué rapidez se moverá ahora hacia el Este?

Cap 1 cinemática de partículas

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Cap 1 cinemática de partículas

Cap 1 cinemática de partículas