1. Informe de Física Nº 06 UNSCH
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TITULO: MOVIMIENTO DE PROYECTILES
I.-INTRODUCCION TEÓRICO
DEFINICIÓN.-Es aquel movimiento cuya trayectoria es una curva llamada parábola
donde la aceleración es constante. En general,se denomina a aquellos movimientos que
suceden de forma bidimensional sobre la superficie de la tierra.
Está compuesto por dos movimientos:
 Movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje X
 Movimiento rectilíneo uniformemente variado a lo del eje Y
El movimiento parabólico es de caída libre en un marco de referencia móvil. Sin tener
en cuenta la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad de un
proyectil permanece constante, mientras su componente vertical independientemente
está sujeta a una aceleración constante hacia abajo.
Movimiento en un plano compuesto en dos dimensiones
Se considera un proyectil todo cuerpo que tiene una velocidad inicial y está sometido a
la aceleración de la gravedad (-g), que está dirigido verticalmente en un plano X, Y.
Demostración de la siguiente ecuación:
2
2
0
2
2
sec
x
v
g
xtagy

 
a) Movimiento horizontal: visto por un observador, que está situado en el eje Y, el
movimiento es rectilíneo uniforme, con velocidad:
cos0vvv oxx 

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)1....(..........cos0 tvtvx x 
b) Movimiento vertical: Un observador que esta situado en el eje X, vera un
movimiento uniformemente acelerado.
Sabemos q en caída libre de los cuerpos la ecuación:
  )..(..........0 gtvtgvv yyy 
A partir de esta ecuación tendremos:
)2(..............................00 gtsenvgtvv yy  
También sabemos del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado que:
).......(....................
2
1 2
0 attvx 
A partir de esta ecuación tendremos:
)3.........(.....................
2
1
2
1 2
0
2
0 gttsenvgttvy y  
Despejando el tiempo (t) de la ecuación (1) y reemplazando en (3), obtendremos:
)1....(..........cos0 tvtvx x 


cos
cos
0
0
v
x
ttvx 
)3.........(.....................
2
1
2
1 2
0
2
0 gttsenvgttvy y  





22
0
2
22
0
2
0
0
2
0
cos2
cos2cos
)3()1(Re
)3.........(.....................
2
1
v
gx
xtagy
ndosimplifica
v
gx
v
xsenv
y
enemplazando
gttsenvy



.........
2
sec 2
2
0
2
dqqlx
v
g
xtagy

  La ecuación queda demostrada.

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c) Altura máxima: Es cuando la velocidad en Y =0
Reemplazando en (2) tenemos:
g
senv
tgtsenv

 0
00  Reemplazando (t) en (3)






















g
senv
H
g
senv
g
g
senv
senvHy
2
2
1
22
0
2
00
0



d) Alcance máximo: Se consigue cuando Y = 0
De la ecuación (3) tenemos:
)4........(2
2
1
0 02
0 






g
senv
tgttsenv t


tt: tiempo de vuelo del proyectil.
El tiempo obtenido del vuelo del proyectil es el doble del anterior, por lo tanto el
tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
Luego reemplazamos (4) en (1) para hallar en alcance máxima.
g
senv
R
g
senv
vRtvRX t



2
2
coscos
2
0
0
00








El alcance es máximo cuando ángulo de lanzamiento es  45
Para un tiempo (t) el vector velocidad resultante es:
22
yx vvv  , su dirección es
x
y
v
v
tg 

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II.- Resultados
1.- Grafique y (en el eje Y) versus x (en el eje X), analice su resultado
Movimiento parabólico:
1. Se dispone una rampa con canal guía a que permite lanzar una billa en
caída parabólica, con velocidad inicial horizontal.
2. El proyectil debe ser colocado en la parte superior del canal guía de modo
que se deslice por su propio peso, evitando en lo posible impulsarlo con la
mano.
3. La disposición de la rampa se muestra en la fig.2.
4. Coloque en el piso un papel blanco y sobre ella papel carbón.
5. Con una plomada(si es posible) establezca el pie de la vertical del punto
final del canal guía.
fig.2
6. Deje caer la billa y determine para diferentes alturas Y, (por lo menos 8),
la distancia horizontal X que se desplaza. Repita en cada caso 3veces (3
impactos) y anote el promedio en la tabla II.
(cm
y
) 1x 2x 3x 4x 5x )(cmx
49.50 27.60 27.70 27.50 27.55 27.60 27.59
45.70 26.50 26.60 26.55 26.60 26.60 26.57
44.50 26.00 25.90 26.10 26.05 25.95 26.00
41.50 25.50 25.60 25.40 25.50 25.45 25.49
32.50 21.50 21.60 21.55 21.60 21.55 21.56
24.60 19.50 18.95 18.90 19.00 19.50 19.17
18.60 16.00 15.90 16.10 15.95 16.05 16.00

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7. Grafica Y con X.
Cuadro: Alcance por Altura
8. Análisis del cuadro
 Observando el grafico se ve que la grafica tiende a ser una parábola, la cual
no nos describe la trayectoria del objeto utilizado en el laboratorio (bolita de
acero), si no más bien como cambian las distancias una en relación de la
otra.
 La distancia recorrida es directamente proporcional a la altura usada.
 Viendo la ecuación la parábola tendría que abrirse para abajo pero tal
ecuación dada es de valor vectorial y el menos en nuestro experimento
significa una altura dirigida hacia abajo, esto no influirá en la grafica por lo
tanto tomamos en valor absoluto y obtenemos que:
 Es por eso que nuestra parábola tiene otra dirección.
 Los puntos que no intersecan con la recta son por los errores cometidos en
las mediciones
y = 0.053x2 + 0.305x - 0.206
R² = 0.996
0
10
20
30
40
50
60
15 17 19 21 23 25 27 29

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9. Pero si consideramosy, desde un punto de referencia en el que el origen
de coordenadas, sea la posición en la que inicia la partícula, lo único que
se tiene que hacer es cambiar a signo negativo, la altura medida y se
tendría el siguiente gráfico.
Cuadro: Alcance por altura
10. Análisis:
Se puede repetir el análisis de la tabla anterior, pero hay que agregar que
este gráfico si representa la trayectoria de la partícula, de manera más
clara, considerando el origen de coordenadas el punto de partida de la
partícula.
2.- Grafique y (en el eje Y) versus x2
(en el eje X), analice su gráfico, haga un ajuste
por mínimos cuadrados, considerando g=9.8 m/s2
, determine la velocidad
inicial Vi con la cual la bola pasa por el origen de coordenadas y halle la
aceleración del móvil.
1. Grafique Y con X2.
En ella mediante el método de los mínimos cuadrados, determine la velocidad
inicial horizontal.
Tomando la ecuación anterior
y = -0.053x2 - 0.305x + 0.206
R² = 0.996
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
15 17 19 21 23 25 27 29

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2. Entonces cuando tomamos X2
la ecuación se convierte en la ecuación de una
recta de pendiente y que pasa por el origen de coordenadas.
Para los siguientes datos:
X2
(cm2
) y (cm)
761.21 49.5
705.96 45.7
676.00 44.5
649.74 41.5
464.83 32.5
367.49 24.6
256.00 18.6
Aplicamos el método de los mínimos cuadrados:
Sabemos que la forma de la ecuación es: bmxy 
Hallamos: m y b
Por lo tanto la ecuación lineal es 035.30609.0  xy
3. Tendremos la siguiente gráfica:
Cuadro: x2
por y

  


 22
2
)( xxn
xyxxy
b

 


 22
)( xxn
yxxyn
m
2
)38.621()24.8813(7
)671.6264(38.162)24.3881(9.256


b2
)38.621()24.8813(7
)9.562(38.621)671.2646(7


m
0609.0m 035.3b
y = 0.060x + 3.034
R² = 0.995
0
10
20
30
40
50
60
250 350 450 550 650 750 850

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4. Análisis:
De la misma forma los puntos que no concuerdan con la recta se deben a los
errores de medición cometidos en la experimentación. En el grafico podemos
hallar el ángulo que forma la recta con el eje x2
Sabemos que la ecuación de la recta es:
En nuestra grafica b=0 (generalizando) y m=0.0609=tanθ
Por lo tanto θ=arctan (0.0609)=3.485
Esta recta tendrá que ser casi vertical, pero existe error, debido generalmente al
error sistemático y de proceso.
El grafico muestra la distancia en el eje X2
muy grande con respecto al eje Y es
por eso que la recta en la grafica tiene esa orientación, el motivo de la
deformación es para una mejor visión de los puntos de la recta.
En el grafico tomamos la pendiente de la recta dándonos como resultado
pendiente (m)=0.0609. Ahora reemplazando en la ecuación anterior y
despejando la velocidad inicial V0 se tiene:
Esta velocidad es considerable ya que el móvil recorre 1.01m en 1 segundo
entonces no la podemos despreciar, nos conducirá a un error en nuestro sistema
de datos ya que para ser un movimiento parabólico la velocidad debe ser
despreciable para no tener una resistencia del aire, a menos que el lugar del
experimento sea un sitio vacio (sin aire). Entonces si no es un movimiento
parabólico será un movimiento curvilíneo, casi parabólico por la grafica que
tuvimos
La aceleración en nuestro caso solo es la gravedad ya que la masa de nuestro
proyectil fue muy pequeña como para despreciarla en la ecuación.
3.-Encuentre la ecuación de la trayectoria de la bola.
Vimos en el grafico que el proyectil tiene una trayectoria parabólica entonces la
ecuación será de 2do grado como ya vimos.
Para nuestro experimento el ángulo de inclinación es 0º esto implica entonces
que la ecuación se convierte en:

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Pero como ya mencionamos anteriormente esta ecuación es una ecuación
vectorial y el menos nos indica la dirección, por lo tanto aplicaremos el valor
absoluto
Esa sería nuestra ecuación de la trayectoria descrita por el móvil, pero habiendo
realizado el experimento con diversas alturas a esta ecuación tendremos que
añadirle una constante, es decir:
La constantes K variara según a las alturas tomadas respectivamente en la
experimentación.
III.- Cuestionario
1.- ¿En qué punto la bola chocará contra el suelo y en qué tiempo?
Par poder hallar el tiempo que va emplear la bola hasta chocar contra el suelo,
emplearemos la siguiente ecuación.
2
0
2
1
attvh y 
Donde
00 yv
2
2
1
ath 
X(m) y (m)
0.276 0.495
0.266 0.457
0.260 0.445
0.255 0.415
0.216 0.325
0.192 0.246
0.160 0.186
Y
X
Papel carbón
Papel blanco
Plomada

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Hallando el punto donde choca la bola y el tiempo empleado:
2
2
1
ath 
g
h
t
2

a).- Para h = 0.495 m la bola choca en el punto x = 0.276 m
s
x
t 318.0
8.9
495.02

b).- Para h =0.457m la bola choca en el punto x = 0.266 m
s
x
t 305.0
8.9
457.02

c).- Para h =0.445 m la bola choca en el punto x = 0.260 m
s
x
t 301.0
8.9
445.02

d).- Para h =0.415 m la bola choca en el punto x = 0.255 m
s
x
t 291.0
8.9
415.02

e).- Para h =0.325mla bola choca en el punto x = 0.216 m
s
x
t 258.0
8.9
325.02

f).- Para h =0.246m la bola choca en el punto x = 0.192 m
s
x
t 224.0
8.9
246.02

g).- Para h =0.186m la bola choca en el punto x = 0.160 m
s
x
t 195.0
8.9
186.02


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Tenemos el cuadro de cada altura con su respectivo tiempo:
X(m) y (m) t (s)
0.276 0.495 0.318
0.266 0.457 0.305
0.260 0.445 0.301
0.255 0.415 0.291
0.216 0.325 0.258
0.192 0.246 0.224
0.160 0.186 0.195
2.- ¿Qué velocidad lleva la bola un instante antes de chocar contra el suelo?
Para poder hallar la velocidad que lleva la bola un instante antes de chocar
contra el suelo necesitamos hallar la velocidad yV
y la velocidad en xV
txvx / gtvy 
22
yx vvv 
g
h
t
2

X(m) y (m) t (s)
0.276 0.495 0.318
0.266 0.457 0.305
0.260 0.445 0.301
0.255 0.415 0.291
0.216 0.325 0.258
0.192 0.246 0.224
0.160 0.186 0.195
a).- Para y = 0.495 m la bola choca en el punto x = 0.276 m

12. Informe de Física Nº 06 UNSCH
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b).- Para y =0.457 m la bola choca en el punto x =0.266 m
c).- Para y= 0.445m la bola choca en el punto x =0.260 m
d).- Para y = 0.415 m la bola choca en el punto x = 0.255 m
e).- Para y = 0.325 m la bola choca en el punto x = 0.216 m

13. Informe de Física Nº 06 UNSCH
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f).- Para y =0.246 m la bola choca en el punto x = 0.192 m
g).- Para y =0.186m la bola choca en el punto x = 0.160 m
3.- ¿Cuáles son las fuentes de error y qué precauciones tomaría para minimizar
estos?
Las fuentes de error que encontramos en nuestro experimento son las
siguientes:
 La no contar con un nivel para medir bien la altura.
 El desgaste de las mesas no nos permite medir bien tanto la altura como
horizontal.
 No se pudo medir con exactitud las distancias en el eje X e Y, debido a que la
regla métrica y la mesa no presentan uniformidad ya están muy gastados.
 la no uniformidad de las mesas generan la variación del ángulo de inclinación
del plano.
 En cambiar la altura se movió ya no se mantenía la uniformidad.
X(m) y (m) t (s)
0.276 0.495 0.318 0.868 3.115 0.754 9.702 10.456 3.233
0.266 0.457 0.305 0.870 2.993 0.757 8.957 9.714 3.117
0.260 0.445 0.301 0.863 2.953 0.744 8.722 9.466 3.077
0.255 0.415 0.291 0.876 2.852 0.767 8.134 8.901 2.983
0.216 0.325 0.258 0.837 2.524 0.701 6.370 7.071 2.659
0.192 0.246 0.224 0.856 2.196 0.732 4.822 5.554 2.357
0.160 0.186 0.195 0.821 1.909 0.674 3.646 4.320 2.078

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 La confusión de la medida a los puntos de contacto que hace la bola.
Las precauciones que tomaríamos para minimizar estos errores son las siguientes:
 Debemos tener un nivel (material) para poder verificar la inclinación del
instrumento.
 Deberíamos uniformizar las mesas (superficie plana bien liza).
 Medir con mucho cuidado las distancias horizontales y verticales
 Tachar los puntos ya medidos para que no haya confusión con el otro punto de
contacto del otro lanzamiento.
 Considerar siempre el resultado obtenido y no cambiar convenientemente.
V.- CONCLUSIONES:
1. llegamos a la conclusión de que el movimiento de los cuerpos siempre estará
en relación de su posición con respecto al tiempo.
2. para que se produzca un MRU en el movimiento de un cuerpo este deberá de
estar en un estado de equilibrio como lo notamos en la burbuja de agua .pero si
no se da esto observamos que la velocidad varia y entonces se presentara la
aceleración como podemos observar en la experiencia 2.
3. para que un cuerpo realice MRU o MRUV este deberá darse siempre en línea
recta.
4. con la experiencia 2 concluimos que la aceleración en el MRUV siempre será
constante.