CALCULO SISTEMA DE PUESTA A TIERRA PARA BAJA TENSION Y MEDIA TENSION
ย
APUNTES CIV - 302.pdf
1. 1
APUNTES DE MECANICA
DE MATERIALES 1
CARRERA: ING. CIVIL
MATERIA: CIV-302
DOCENTE: ING. BELMONTE CLEMENTELLI
REGISTRO: 218029578
2. 2
TEMA 1: TENSIONES NORMALES Y CORTANTES SIMPLES EN SISTEMAS ISOSTATICOS
1. ยฟCUรLES SON LOS OBJETIVOS DE ESTE TEMA?
El primero es el de definir y conocer que estudia la resistencia de materiales
El segundo es el conocer y comprender las hipรณtesis bรกsicas de resistencia.
El tercero el de aprender a determinar las ecuaciones que gobiernan las tensiones normales y cortantes
simples.
El ultimo es aprender a resolver ejercicios aplicando las ecuaciones de tensiones normales y cortantes simples.
ESTATICA
ESTATICA
ยฟSABIAS QUE?
Nosotros cuando estudiรกbamos Isostatica o en Estatica tenรญamos un cuerpo cualquiera(un
solido), pero este solido tenia que ser RIGIDO-INDEFORMABLE( este podรญa transferir carga
como desee, porque yo se que no se rompe, que es tan duro que puede transferir carga por
donde desee.
Aquรญ en mecรกnica de materiales ya no. Aquรญ ya ese solido se deforma. Eso es lo que vamos a
estudiar como se comporta ese solido RIGIDO-DEFORMABLE.
3. 3
2. INTRODUCCION
Vamos a definir unos conceptitos que son de suma importancia,
ยฟQUร ES LA ESTATICA?
La estรกtica es la parte de la fรญsica que parte de un sรณlido rรญgido e indeformable y
que su funciรณn es la de estudiar:
โข Geometrรญa de las masas
โข Equilibrio Externo
โข Equilibrio interno.
ยฟQUร ESTUDIAMOS EN LA MECANICA DE MATERIALES?
Estudiamos el mismo cuerpo el mismo solido que estudiรกbamos en la estatica
pero ahora es RIGIDO-DEFORMABLE.
Ya no cualquier cuerpo o material puede transferir carga.
Aquรญ estudiamos dos cosas de mucha importancia.
โข Esfuerzos Internos(Tensiones)
โข Deformaciones.
ยฟPARA QUE ESTUDIAMOS ESAS DOS COSAS?
Simplemente para determinar las dimensiones del solido el cual es capaz de
transmitir carga.
SOLIDO RIGIDO โ
INDEFORMABLE.
4. 4
ยฟCOMO SE DEFINE LA MECANICA DE
MATERIALES?
Es una ciencia parte de la fรญsica encargada del
estudio de solidos rigidos deformables.
ยฟPERO QUE HACEMOS NOSOTROS PARA
DETERMINAR EL TIPO DE MATERIAL Y LAS
DIMENSIONES DEL SOLIDO PARA QUE ME
TRANSFIERA CARGAS?
Para conseguir eso nosotros los Ing. Civiles
tenemos que estudiar tanto sus esfuerzos
internos es decir cuanto me aguanta el material y
tambiรฉn tenemos que estudiar como se deforma el
material.
Lo รบnico que nos interesa es poder encontrar la
dimensiรณn del solido.
A este solido rigido e indeformable lo
denominamos ELEMENTO ESTRUCTURAL
CUERPO RIGIDO-DEFORMABLE. FUENTE:
ING. ELIAS BELMONTE.
5. 5
ยฟSABIAS QUE?
Lo que hacemos es crear un solido de cierta forma que sea capaz de
transportar carga de un lugar a otro.
como vemos en la figura. Esta un sistema estructural en el cual se ve
afectada por una carga de viento.
Esta carga va ser transferida a la viga. Por entre medio de la viga
nosotros vamos a transferir a las columnas.
Lo que nosotros queremos es transferir y transferimos a una secciรณn lisa
llamada losa y aca de nuevo a la viga, despuรฉs tenemos la columna y
de la columna a la fundaciรณn y de la fundaciรณn a el suelo.
El ultimo elemento de rigidez o solido que recibe la carga es el suelo.
Todos estos elementos conforman un sistema estructural porque lo
conecto entre ellos, para poder transmitir carga para depositarla en
alguna parte.
SISTEMA ESTRUCTURAL
SOMETIDO A CARGAS
6. 6
PERO ยฟCUรLES SON LAS CONDICIONES PARA QUE SEA CONSIDERADO
ELEMENTO ESTRUCTURAL?
Para poder dimensionar un elemento estructural o un solido es necesario que
cumpla 3 condiciones.
โขTiene que ser RESISTENTE, mi elemento tiene que ser capaz de recibir o
soportar carga(fuerzas) sin romperse. Una vez que se rompe no me sirve.
CONDICION DE
RESISTENCIA
7. 7
CASA MEDIA AGUA
LA SEGUNDA CONDICION ES QUE TIENE QUE
.Tiene que ser RIGIDO es decir mi elemento tiene que ser capaz de contrarrestar
deformaciones. Tiene que deformarse poco.
Ejemplo.
Tengo una media agua y le ponen una viga y encima de la viga le ponen la teja.
Entonces
ยฟCuรกl es la funciรณn de este techo?
Que si haciese sol cubra y cuando llueva , el agua recorra hacia otro lado.
Pero cuando el que se encarga de colocar la dimensiรณn de esta viga no es un
Ing. Civil sino un albaรฑil o un constructor.
La madera que se le coloca resiste no se rompe pero la ceramica es bien vidriosa
de nada se rompe. Por el movimiento o colocaciรณn se rompe. Mientras no llueve,
a el Sol esta madera lo aguanta.
Pero cuando llueve esta agua de lluvia va a bajar y va buscar por donde entrarse
y se rompe la teja. Dejando goteras. Y la gente cree que es la teja , y que
cambiรกndola solucionaran el problema. Pero no es asi el problema esque la
secciรณn de madera estuvo mal dimensionada.
Resiste no se rompe pero se deforma. Yo tengo que controlar esa deformaciรณn.
No puede deformarse indefinidamente.
POR RESISTENCIA NO VA FALLAR , VA FALLAR CLARO QUE SI PERO VA SER
POR DEFORMACION.
ROTURA DE TEJAS
8. 8
MI ULTIMA CONDICION ES QUE TIENE QUE SER
Mi elemento tiene que ser ESTABLE, mi elemento tiene que tener la capacidad de
mantener su equilibrio estatico. En la figura se muestra lo que no debe pasar.
CARACTERISTICAS
DE INESTABILIDAD
SI CUMPLE ESTAS 3 CONDICIONES ES UN ELEMENTO ESTRUCTURAL
9. 9
ยฟPERO COMO QUIERO QUE FUNCIONE MI ESTRUCTURA?
Cuanto mas me acerque a las hipotesis que vamos a mencionar mi
estructura va funcionar mejor.
El problema es ese , hacer que la estructura se acerque lo mas posible a la
hipotesis.
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de continuidad del material?
Aquรญ comenzamos a describir que material quiero, cual es mi modelo ideal
del material, porque hay miles de tipos de materiales (acero, hormigon,
madera, bronce, zinc, oro.etc) son distintos.
Pero yo quiero crear una teorรญa que con la misma teorรญa pueda dimensionar
todos los materiales.
La teorรญa me dice โEl material que contiene el volumen del solido es
totalmente continuo. A mi no me interesa como esta formado
internamente. Lo unico que me interesa es ยฟcomo resiste? ยฟComo
deforma?. Para aplicar la mecanica de materiales supongo que es
continuo. Ya que a mi lo que me interesa analizar es su resistencia y
su deformacion. La teoria me dice si tienes un material discontinuo
o continuo, no importa vos trabajalo como si fuera continuo. De caso
contrario tendrias que realizar una teoria para cada material.โ
MATERIAL
CONTINUO
MATERIAL
DISCONTINUO
10. 10
TESTIGOS DE UN MATERIAL,
FUENTE: ING. ELIAS BELMONTE
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de homogeneidad?
Me dice que en cual secciรณn de un mismo material todas sus propiedades son iguales. Sus propiedades fรญsicas(color, olor, peso) y
propiedades mecรกnicas (tensiones y deformaciones) tienen que ser iguales
3. HIPรTESIS BรSICAS DE
RESISTENCIA DE MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de isotropia?
Me dice que vos supones que en todas las
partes del material este tiene que tener sus
propiedades fรญsicas y mecรกnicas iguales en
todas las direcciones
TESTIGOS DE UN MATERIAL,
FUENTE: ING. ELIAS BELMONTE
11. 11
VIGA DEFORMADA
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de rigidez?
Me dice que se supone que las deformaciones tienen que ser
pequeรฑas en relaciรณn a las dimensiones del cuerpo deformado.
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de elasticidad perfecta?
Me dice que cuando le aplicas una carga a mi solido este se va
deformar poco , una vez quitada la carga el solido tiene la
capacidad para recuperar totalmente su estado inicial.
๐ฟ <<< ๐ฟ (LA DEFORMACION ES MUCHO MAS PEQUEรA QUE LA
LONGITUD
VIGA SE RECUPERA. (FUENTE:
ELIAS BELMONTE)
12. 12
DEPENDENCIA
LINEAL(FUENTE:ELIAS BELMONTE)
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de dependencia lineal?
Se supone que existe una dependencia lineal entre la carga
aplicada y la deformaciรณn producida.
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice el principio de superposiciรณn de efectos?
Se considera que el efecto producido por un conjunto de cargas
externas a una estructura es igual a la suma de los efectos
producidos por cada una de ellas que componen el conjunto de
cargas externas.
๐ ๐ด
0
= ๐ ๐ด
1
+ ๐ ๐ด
2
+ ๐ ๐ด
3
๐๐ด
0
= ๐๐ด
1
+ ๐๐ด
2
+ ๐๐ด
3
Reacciones en el apoyo A
Momento en la secciรณn a-a
13. 13
HIPOTESIS DE BERNOULLI
(FUENTE: ELIAS BELMONTE)
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de Bernoulli?
Me dice que las secciones planas perpendiculares a el eje
baricentrico de la barra que esta alejada en el punto de
aplicaciรณn de la carga, cuando se esta deformando se supone
planas y perpendicular a el eje de la barra.
3. HIPรTESIS BรSICAS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
ยฟQuรฉ me dice la hipotesis de Saint Venant?
Me dice que cuando aplicas una carga en una secciรณn plana y
perpendicular al eje en otra secciรณn un poco mas lejos del
punto de aplicaciรณn la carga es uniforme en la secciรณn.
HIPOTESIS DE SAINT VENANT
(FUENTE: ELIAS BELMONTE)
14. 14
4. ESFUERZOS INTERNOS
TENSIONES NORMALES
Se tiene un elemento sometido a fuerzas normales como muestra la fig.
Lo que queremos saber es la respuesta interna que se presenta en cualquier secciรณn
normal a la fuerza N como la secciรณn a-a.
Aplicando la Hipรณtesis de Saint Venant :
Esfuerzo interno normal (TENSIรN NORMAL) =๐
โซืฌโฌ0
๐
โ ๐ = โซืฌโฌ0
๐
๐ โ โ ๐ดโฅ โ ๐ =
๐
๐ด
๐ฒ๐
๐ช๐ด๐
La tensiรณn normal es la fuerza aplicada en una secciรณn normal a ella.
TENSION
NORMAL(FUENTE
ELIAS BELMONTE)
15. 15
TENSION
CORTANTE(FUENTE:
ELIAS BELMONTE)
4. ESFUERZOS INTERNOS
TENSIONES CORTANTES
Sean dos chapas unidas mediante un roblรณn o perno como muestra
la figura:
Lo que queremos saber es la respuesta interna que se presenta en
la secciรณn paralela a la fuerza del roblรณn, aplicando la hipรณtesis de
Saint Venan:
๐ = Esfuerzo interno de corte (TENSIรN CORTANTE)
P = ๐ * A//
โซืฌโฌ0
๐
โ ๐ = โซืฌโฌ0
๐
๐ โ โ ๐ด// โ ๐ =
๐ท
๐ด
๐ฒ๐
๐ช๐ด๐
17. 17
EJERCICIO 2. Sea la junta mostrada en la figura calcular el diรกmetro
del perno requerido. Si la tensiรณn de corte es de 400 k/cm2
18. 18
PASO 1. ANALIZAMOS CUANTAS AREAS DE CORTE EXISTEN Y DETERMINAMOS
LA DIMENSION DEL DIAMETRO
PODEMOS OBSERVAR QUE PARA
CADA PERNO EXISTEN DOS AREAS DE
CORTE PERO COMO SON 7 PERNOS .
EL AREA SERIA DE 14 AREAS
INVOLUCRADAS,
ฯ =
๐
๐ด
ฯ =
๐
14๐ด
=400
๐พ
๐๐2=
14000๐
๐
4
๐2โ14
Despejando
d =
14000
๐
4
โ400โ14
d=1,7841 cm
30. SEA LA ESTRUCTURA MOSTRADA EN LA FIGURA. CALCULAR:
a) EL ESPESOR โtโ DE LA SECCIรN A-A
DE LA BARRA DB
b) CALCULAR LOS DIAMETROS DE LOS
PERNOS REQUERIDOS EN A Y B.
30
31. PASO 1. SEPARAMOS LOS DATOS E INCOGNITAS
INCOGNITAS
t
๐ท๐ต
๐ท๐ด
DATOS
ฦฎ=480 k/๐๐2
ฯ= 1000 k/๐๐2
31
34. PASO 4. DESCOMPONEMOS LAS FUERZAS EN COMPONENTES
RECTANGULARES
34
๐๐ต๐ท๐= TBD SEN 50ยบ
๐๐ต๐ท๐= TBD COS 50ยบ
35. PASO 5. CALCULAMOS EL VALOR DE J
35
Tg50ยบ=
๐ฝ
1,6
Tg50ยบ(1,6)=J
J=1,9068 m
36. PASO 6. CALCULO DE REACCIONES Y TENSION NORMAL
ฯ ๐๐ด = 0 (+)
โ๐๐ต๐ท๐ 1,9068 + 6000๐พ 1,6๐ + 2,4๐ โ ๐๐ต๐ท๐(1,6)=0
-(TBDSEN50) 1,9068 + 6000๐พ 1,6๐ + 2,4๐ โ (๐๐ต๐ท๐ถ๐๐50)(1,6)=0
- (SEN50)(1,9068)+(1,6)(๐ถ๐๐50) TBD=-24000 (-1)
TBD =
24000
(Sen50)(1,9068)+(1,6)(๐ถ๐๐50)
= 9641,8 k =TBD (TENSION NORMAL)
ฯ ๐น๐ = 0 (+)
๐ด๐ โ ๐๐ต๐ท๐ = 0
๐ด๐= ๐๐ต๐ท๐= TBDSEN50=(9641,8)SEN50
๐ด๐=7386 K (REACCION HORIZONTAL EN A)
ฯ ๐น๐ = 0 (+)
๐ด๐ + ๐๐ต๐ท๐ โ 6000 = 0
๐ด๐=6000- (9641,8)COS50=-197,2 K (REACCION VERTICAL EN A)
EL SIGNO HACE REFERENCIA A EL CONVENIO 36
37. PASO 6. CALCULO MAGNITUD DE REACCION EN A
CALCULO DE RA
RA= ๐ด๐
2
+ ๐ด๐
2
RA= (7386,7)2+(197,639)2
RA=7388,77 K
Angu. Con Horiz=Arctg(197,639/7386,7)
Angu. Con Horiz= 1,53ยบ
37
38. PASO 7. RESPONDEMOS A LAS PREGUNTAS
a) Hallar el espesor t de la barra
38
DATOS
A= 5*t (๐๐2)
ฯ= 1000 k/๐๐2
TBD= 9641,8 k
ฯ=
๐๐ต๐ท
๐ด
1000K/๐๐2
=
9641,8๐
5๐ก
t=
9641,8๐
5๐๐โ(1000๐/๐๐2
t= 1,9284 cm
Como nos pide en
mm
t= 19 mm
el espesor t es de
19,2 mm.
39. PASO 7. RESPONDEMOS A LAS PREGUNTAS
b) Hallar el diametro de el perno A
39
DATOS
A=0,25ฯ*๐ท๐ด
2
(๐๐2
)
ฦฎ=480 k/๐๐2
RA= 7788,3
ฦฎ =
RA
2๐ด
480K/๐๐2
=
7788,3๐
2(0,25ฯ๐ท๐ด
2)
๐ท๐ด
2
=
7788,3๐
0,5๐๐โ
480๐
๐๐2 โฯ
๐ท๐ด=
7788,3
240โฯ
= 3,13cm
El diรกmetro requerido en el
perno A es de 3 cm.
40. PASO 7. RESPONDEMOS A LAS PREGUNTAS
b) Hallar el diametro de el perno B
40
DATOS
A=0,25ฯ*๐ท๐ต
2
(๐๐2
)
ฦฎ=480 k/๐๐2
TBA= 9641,8 K
ฦฎ =
TBA
2๐ด
480K/๐๐2
=
9641,8๐
(0,25ฯ๐ท๐ต
2)
๐ท๐ต
2
=
9641,8๐
0,25๐๐โ
480๐
๐๐2 โฯ
๐ท๐ต=
9641,8
120โฯ = 5,07cm
El diรกmetro requerido en el
perno B es de 5 cm,
57. 57
PASO 2. DISCRETIZACION DEL ELEMENTO ESTRUCTURAL PARA CALCULO DE
NORMALES
Barra E-F
Nc
E
P2= 12 000 Kg
F
NF ฮฃ๐น๐ฃ = 0
๐๐น = 12 000 + ๐๐ถ
๐๐น = 15 866.025 Kg
+
Barra F-G
G G
30ยบ 30ยบ
F
NF
NG
NG
Diagrama de Cuerpo Libre
ฮฃ๐น๐ฃ = 0
2๐๐บ๐ถ๐๐ 30 โ ๐๐น = 0
๐๐บ =
๐๐น
2 โ๐ถ๐๐ (30)
=
15 866.025 ๐พ๐
2 โ๐ถ๐๐ (30)
๐๐บ = 9 160.254 ๐พ๐(๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐)
74. 74
IMAGEN ILUSTRATIVA(FUENTE: ELIAS
BELMONTE)
TEMA 2: PROPIEDADES MECANICAS DE LOS MATERIALES
1. ยฟCUรLES SON LOS OBJETIVOS DE ESTE TEMA?
El primero conocer las propiedades mecรกnicas de los materiales del solido
rรญgido deformable sometido a cargas externas.
El segundo conocer la Ley Hooke y Relaciรณn de Poisson que van a gobernar el
estudio mecรกnico del solido rรญgido deformable.
El tercer objetivo es aprender a determinar las Deformaciones Normales y
Transversales simples en las secciones de los sรณlidos rรญgidos deformable
debido a la presencia de tensiones normales y cortantes simples en las mismas,
garantizando que estas cumplan con las Hipรณtesis bรกsicas, Propiedades
mecรกnicas de los materiales, Ley de Hooke y Relaciรณn de Poisson.
Y el ultimo pero no menos importante saber determinar cuรกles van a ser las
Tensiones admisibles o de trabajo que debemos adoptar para determinar las
dimensiones del sรณlido para garantizar que no falle.
2.Introduccion
En esta unidad nos ocuparemos de estudiar los cambios de forma de los
materiales en otras palabras sus deformaciones y sus relaciones que existen
con las fuerzas y los esfuerzos (tensiones).
Se conocera las propiedades mecรกnicas de los materiales, leyes y relaciones,
que juntamente con las hipรณtesis Bรกsicas planteadas nos darรกn la base para
estudio del comportamiento mecรกnico del Solido rรญgido deformable.
3.Deformacion Unitaria
Deformacion Unitaria Normales
Sea un elemento sometido a una fuerza normal como muestra la figura, el cual
se deforma de acuerdo con la Hipรณtesis de Bernoulli:
La deformaciรณn unitaria queda defina como la relaciรณn entre la deformaciรณn y la
longitud inicial.
ฮLN = Deformaciรณn Normal
L = Longitud Inicial del elemento
ฮต = Deformaciรณn Unitaria Normal
๐ =
ฮ๐ฟ๐
๐ฟ
*
๐๐
๐๐
75. 75
ILUSTRACION FUENTE(ELIAS BELMONTE)
3.Deformacion Unitaria
Deformaciones Unitarias Transversales o Distorsiรณn angular
Sea un elemento sometido su secciรณn a una fuerza transversal
como muestra el esquema de la figura:
Aplicando la Hipรณtesis de Bernoulli para deformar el elemento
๐พ =
ฮ๐ฟฯ
๐ฟ
ฮ๐ฟฯ=Deformacion normal
L= Longitud inicial del elemento
๐พ=Deformacion Unitaria Normal
4.LEY DE HOOKE
La Ley Hooke que dice que la
tensiรณn es proporcional a la deformaciรณn unitaria, para que
sea igual debe existir una
constante de proporcionalidad, mรกs conocida como mรณdulo
de elasticidad. Este mรณdulo representa la medida de rigidez
del material.
Para el esfuerzo normal ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐ฌ๐
Para el esfuerzo cortante ๐ ๐ผ ๐พ โ ๐ = ๐ฎ ๐พ
donde : E : Mรณdulo de elasticidad longitudinal G: Mรณdulo de
elasticidad transversal.
ILUSTRACION FUENTE(ELIAS BELMONTE)
76. 76
ILUSTRACION (FUENTE: BELMONTE ELIAS
4.LEY COMPLEMENTARIA DE HOOKE
Otra forma de ver expresada esta ecuaciรณn es de tal forma de relacionar la
deformaciรณn (ฮL) en funciรณn de la fuerza aplicada (N). Sabemos de las
anteriores secciones que, para esfuerzos normales, tenemos:
๐ =
๐1
๐ดโฅ
,,,,,,,,,,,,,,,,(1)
๐ =
ฮ๐ฟ๐
๐ฟ
,,,,,,,,,,,,,,,(2)
๐ = E โ ๐, , , , , , , , , , (3)
Reemplazando 1 y 2 en 3 tenemos:
ฮ๐ฟ๐ =
๐โ๐ฟ
๐ธโ๐ดโฅ
,,,,,,,,,,(Ley complementaria de Hooke para esfuerzos normales)
De Igual manera se puede deducir para el esfuerzo cortante quedando la
expresiรณn de la siguiente manera:
ฮ๐ฟ๐ =
๐โ๐ฟ
๐บโ๐ด//
,,,,,,,,,,(Ley complementaria de Hooke para esfuerzos cortantes).
ยฟQuรฉ es la deformaciรณn?
La deformaciรณn es producto de un esfuerzo en el elemento que produce
cambio de forma en el.
ยฟQuรฉ es el desplazamiento?
El desplazamiento es producto del desplazamiento o deformaciรณn de otro
elemento que no necesariamente implica cambio de forma, sino movimiento
del elemento respecto a su posiciรณn original. Ver ejemplo a continuaciรณn:
El elemento (1) se
deforma(ฮL)
El elemento (2) se
desplaza(ฮด)
77. 77
5.Relaciรณn de Poisson
Otro tipo de deformaciรณn elรกstica que se produce en un sรณlido deformable es la
variaciรณn de las dimensiones transversales producto del sometimiento del mismo a una
fuerza de tracciรณn o compresiรณn axial. En efecto se comprueba experimentalmente que
si una barra se alarga por una tracciรณn axial, sufre una reducciรณn de sus dimensiones
transversales. Poisson, fรญsico matemรกtico francรฉs comprobรณ en el aรฑo 1811 que debajo
del lรญmite de proporcionalidad la relaciรณn entre la deformaciรณn unitaria longitudinal con
respecto a la deformaciรณn transversal es constante y la definiรณ de la siguiente manera:
๐ = โ
๐๐ฒ
๐๐ฅ
๐๐ฒ=deformaciรณn unitaria longitudinal
๐๐ฑ=deformaciรณn unitaria transversal
๐=Relacion de Poisson
ILUSTRACION (FUENTE:
BELMONTE ELIAS
Sabemos que la ley de Hooke
๐๐ฅ = E โ ๐๐ฅ
๐๐ฅ=
๐๐ฅ
๐ธ
De la relaciรณn de Poisson tenemos
๐๐ฒ =-๐๐ฅ โ ๐
Entonces:
๐๐ฒ =-๐๐ฅ โ ๐= -
๐
๐ธ
* ๐๐ฅ
97. 5.SEA LA ESTRUCTURA MOSTRADA EN LA FIGURA. CALCULAR:
a) EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LA
CAJA
97
98. PASO 1. SEPARAMOS LOS DATOS E INCOGNITAS
DATOS
๐๐๐๐๐ = 2000๐
E= 2*106 ๐
๐๐2
A=1๐๐2
INCOGNITAS
ฮด๐ฝ(๐ช๐จ๐ฑ๐จ) =?
98
99. PASO 2. SE ANALIZARA CADA PARTE DEL CABLE
99
parte 1 del cable
parte 2 del cable
parte 3 del cable
100. PASO 3. DISCRETIZACION DE EL ELEMENTO ESTRUCTURAL PARA CALCULO DE
FUERZAS NORMALES INTERNAS
100
PARA LA PARTE 3
DEL CABLE
ฯ ๐น๐ = 0 (+)
2๐3sen75ยบ-2000=0
๐3=1035,3 k (tracciรณn)
101. Analisis para la parte 2 y parte 1 del cable
101
ฯ ๐น๐ = 0 (+)
โ2๐3sen75ยบ+ ๐2 =0
๐2=2000 k (tracciรณn)
๐2= Normal en la parte 2 del
cable
๐1= Normal en la parte 1 del
cable
๐๐ด๐ ๐๐ธ 2 ๐ท๐ธ๐ฟ ๐ถ๐ด๐ต๐ฟ๐ธ ๐๐ด๐ ๐๐ธ 1 ๐ท๐ธ๐ฟ ๐ถ๐ด๐ต๐ฟ๐ธ
๐1= ๐2
102. PASO 4. DEFORMACION EN EL CABLE
102
PARA LA 1ERA PARTE DEL CABLE
ฮ๐ฟ1=
2000๐พโ310๐๐
2โ106 ๐
๐๐2โ1๐๐2
ฮ๐ฟ1=0,31 cm (alarga)
Cos15ยบ=
3๐
๐ฟ1
๐ฟ1=3,1m=310 cm
ฮ๐ฟ1=
๐โ๐ฟ
๐ธโ๐ด
103. PARA LA PARTE 2 DEL CABLE
ฮ๐ฟ2=
2000๐พโ90๐๐
2โ106 ๐
๐๐2โ1๐๐2
ฮ๐ฟ2=0,09 cm
(alarga)
103
PARA LA PARTE 3 DEL CABLE
ฮ๐ฟ3=
1035,3๐พโ93๐๐
2โ106 ๐
๐๐2โ1๐๐2
ฮ๐ฟ3=0,048 cm
(alarga)
SEN75=
0,9 ๐
๐ฟ3
๐ฟ3=0,93 m=93 cm
104. PASO 5. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO
104
SISTEMA EN ESTADO SIN
DEFORMAR
SISTEMA EN ESTADO
DEFORMADO 1
105. PASO 6. ANALIZAMOS LA PARTE 3 DEL CABLE
105
SISTEMA EN ESTADO
DEFORMADO 2.
Sen75=
ฮ๐ฟ3
ฮด๐โ3
ฮด๐โ3 =
0,048
๐ ๐๐ 75
ฮด๐โ3=0,0496cm
106. PASO 7. OBTENEMOS LA ECUACION DE COMPATIBILIDAD DE
DEFORMACION. Y RESPONDEMOS
106
ฮด๐ฃ(๐๐๐๐) = ฮด๐โ1+ ฮด๐โ2)+ ฮด๐โ3 = 0,31๐๐ + 0,09๐๐ + 0,0496๐๐
ฮด๐ฃ(๐๐๐๐) = 0,4496๐๐ ๐ ๐๐๐ด: ๐ฟ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐๐ง๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ โ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ 0,45 ๐๐
SISTEMA EN ESTADO SIN
DEFORMAR.
130. 130
BARRA 3
N3
N3 = 2264,264 kg (TRACCIรN) 45ยฐ
1 m
L3
Sen(45ยบ)= 1/L3
L3= 1/Sen(245ยบ)
L3=1,41 m
ฮ๐ฟ3 =
2264,264 kg
2 ร 106
141 ๐๐
6
ฮ๐ฟ3 = 0,026 cm (ALARGA)
131. 131
BARRA 4
N4 = 5735.736 kg (Compresiรณn) Sen(45ยบ)= 2/L4
L4= 2/Sen(245ยบ)
L4=2,82 m
ฮ๐ฟ4 =
5735.736 kg
2 ร 106
282 ๐๐
6
ฮ๐ฟ4 = 0,134 cm
132. 132
PASO 4. SE CALCULA DESPLAZAMIENTOS
โL1 = 0.041 cm (ALARGA)
โL2 = 0.082 cm (ALARGA)
โL1-2 = 0.041 + 0.082
โL1-2 = 0.123 cm (ALARGA)
โL3 = 0,026 cm (ALARGA)
โL4 = 0.134 cm (ACORTA)
โL3-4 = 0.134 - 0.026
โL3-4 = 0.107 cm (ACORTA)
133. 133
PASO 5. PARTE FINAL
BARRA 1-2
โL1-2 = 0.123 cm (ALARGA)
โL1-2 = a + b
Sen (20ยบ)=
a
ฮดH
a = Sen(20ยบ)*(ฮดH)
Cos (20ยบ)=
b
ฮดv
b = Cos(20ยบ)*(ฮดv)
โL1-2 = a + b , Reemplazo el valor de a y b
โL1-2 = Sen(20ยบ)*(ฮดH) + Cos(20ยบ)*(ฮดv) (1)
134. 134
PASO 5. PARTE FINAL
BARRA 3-4 โL3-4 = 0.107 cm (ACORTA)
โL3-4 = a - b
a = Sen(45ยบ)*(ฮดH) b = Cos(45ยบ)*(ฮดv)
โL3-4 = Sen(45ยบ)*(ฮดH) - Cos(45ยบ)*(ฮดv)
0,107 = Sen(45ยบ)*(ฮดH) - Cos(45ยบ)*(ฮดv) (2)
135. 135
0.123 = Sen(20ยบ)*(ฮดH) + Cos(20ยบ)*(ฮดv) (1)
0.107 = Sen(45ยบ)*(ฮดH) - Cos(45ยบ)*(ฮดv) (2)
ฮดH = 0,206 cm
ฮดv= 0,055 cm
PASO 6. RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES
136. 136
TEMA 3: TENSIONES Y DEFORMACIONES NORMALES SIMPLES
EN SISTEMAS HIPERESTรTICOS
1. ยฟCUรLES SON LOS OBJETIVOS DE ESTE TEMA?
1.El primero es conocer a quรฉ clase de estructuras se denomina sistemas estructurales Hiperestรกticos y su
importancia de su estudio en el anรกlisis Estructural.
2. Conocer una metodologรญa para resolver sistemas hiperestรกticos para conocer las Tensiones y deformaciones
simples de los distintos elementos que componen el sistema.
3. Aprender a analizar sistemas hiperestรกticos sometidos a cargas externas, errores de montaje o variaciones
de temperatura; determinando sus fuerzas internas, tensiones, deformaciones normales simples en cada uno
de sus distintos elementos y el desplazamiento del sistema.
4. Conociendo sus materiales, propiedades, tensiones y deformaciones normales de los distintos elementos
que componen el sistema hiperestรกtico, tenemos que saber dimensionar las secciones necesarias de los
mismos.
5. Analizar las tensiones y deformaciones en cilindros de pared delgada, sometidos a presiรณn.
2. PERO ยฟQUร ES UN SISTEMA HIPERESTATICO?
Un sistema hiperestรกtico o estรกticamente indeterminado son aquellos sistemas estructurales que tienen mayor
cantidad de elementos y soportes de sustentaciรณn que los necesarios para mantener su equilibrio estรกtico del
sistema estructural, hay que aclarar que estos elementos adicionales llamados vรญnculos superfluos no
garantizan el equilibrio estรกtico de una estructura, si no vienen dados por exigencias de rigidez (deformaciรณn),
resistencia y dimensiones de los elementos. Se los conoce tambiรฉn como Sistemas estรกticamente
Indeterminados porque no es posible determinar las fuerzas internas de los elementos que componen el
sistema tan solo con las Ecuaciones de Equilibrio que nos brinda la estรกtica y es necesario conocer las
Ecuaciones de Compatibilidad de deformaciรณn.
137. 137
ILUSTRACION (FUENTE:ELIAS
BELMONTE)
GRADO DE HIPERESTATICIDAD
1. El grado de hiperestaticidad de un sistema estructural lo determina el nรบmero de
vรญnculos superfluos o elementos en exceso que tenga. Se consideran estรกticamente determinados un sistema
de barras si en cualquier nudo existen como mรกximo dos barras incรณgnitas, cada barra adicional representa un
grado de Hiperestaticidad
138. 138
3. Metodologรญa de soluciรณn
En general, para dar soluciรณn a un sistema hiperestรกtico se debe seguir los siguientes
pasos que por su importancia los describimos como partes:
a) Parte geomรฉtrica
Se propone como se deforma el conjunto los elementos (barras) incรณgnitas que
componen el sistema estructural partiendo de la condiciรณn que las deformaciones de las
barras incรณgnitas tienen una relaciรณn geomรฉtrica lineal.
Se denomina Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciรณn.
El nรบmero de estas ecuaciones que se deben plantear esta en funciรณn del grado de
hiperestaticidad del sistema, si es de primer grado se planteara una, si es de segundo
grado se plantearan dos y asรญ sucesivamente.
1) Se dibuja un diagrama de cuerpo libre mostrando todos sus elementos incognitos en un estado no
deformado (Estado inicial).
2) Se propone un diagrama de cuerpo libre deformado (Estado final) asumiendo que las deformaciones de
las barras incรณgnitas (alargamiento o acortamiento), que estรกn regidos por medio de un comportamiento
geomรฉtrico lineal de deformaciรณn de las barras incรณgnitas, y haciendo cumplir las restricciones de
movimientos de los apoyos, articulaciones y barras rรญgidas planteamos la Propuesta Final de deformaciรณn
de la estructura.
3) Por medio de comparaciones geomรฉtricas entre las deformaciones incรณgnitas se propone relaciones
lineales entre ellas, denominadas Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciรณn.
4) En la propuesta de deformaciรณn se deben definir si se alarga o se acorta las barras que intervienen en la
Ecuaciรณn de compatibilidad de deformaciรณn, de esta definiciรณn determinara los sentidos de las fuerzas
internas de las barras incรณgnitas.
139. 139
3. Metodologรญa de soluciรณn
En general, para dar soluciรณn a un sistema hiperestรกtico se debe seguir los siguientes
pasos que por su importancia los describimos como partes:
b) Parte Estatica
Partiendo del conocimiento de la Propuesta de deformaciรณn (alargamientos, acortamientos de
las barras incรณgnitas), adoptamos el sentido de las fuerzas internas de las barras incรณgnitas y
mediante las ecuaciones que nos brinda la estรกtica construimos relaciones de equilibrio que
nos vinculan las fuerzas internas. Llamadas Ecuaciones de Equilibrio Estรกtico.
E=F(๐ต๐)
c) Parte Fisica
Son las ecuaciones que relaciona para cada elemento isostรกtico incognito que compone el
sistema estructural hiperestรกtico, las deformaciones propuestas (Parte Geomรฉtrica), con las
fuerzas que las ocasionan (Parte estรกtica), mediante la Ley de Hooke mรกs conocidas como
Ecuaciones Fรญsicas.
ฮ๐ฟ1=
๐ต๐โ๐ณ๐
๐ฌ๐โ๐จ๐
(Ecuaciรณn para cada elemento incognito)
d) Parte final
Una vez planteadas los tres grupos de ecuaciones (Ecuaciones. de Compatibilidad, Equilibrio
y Fรญsica), se procede a conformar un sistema de ecuaciones y resolverlas por cualquier
mรฉtodo, obteniendo las incรณgnitas deseadas.
140. 140
4.Problemas debido a error de montaje
Son aquellas tensiones que aparecen en los sistemas estructurales debido a la
aplicaciรณn de una fuerza momentรกnea para corregir algรบn error de dimensiรณn que
haya tenido alguno de los elementos, producto de una falla en la fabricaciรณn de
estos, es bueno aclarar que este error de dimensiรณn debe ser pequeรฑo en
relaciรณn a las dimensiones del elemento a corregir.
Existen dos posibilidades si deseamos corregir el error de dimensiรณn de la barra
central de la cercha metรกlica mostrada en la figura:
โข fabricar otra barra con la dimensiรณn correcta.
โข Aplicar una fuerza momentรกnea de tal forma de deformar la barra hasta ponerla
en su sitio. El caso que nos interesa es el segundo ya que nos ahorrarรญamos el
costo y el trabajo de fabricar otra barra, pero este caso produce esfuerzos en las
demรกs barras del sistema, siendo necesario verificar estas tensiones de tal
manera de asegurar que no fallen producto de la correcciรณn realizada. En este
inciso se aprenderรก a calcular dichas tensiones, para lograr este objetivo
procederemos a analizar los sistemas estructurales que tengan error de montaje
en alguno de sus elementos siguiendo la metodologรญa aprendida en el inciso
anterior.
ILUSTRACION(FUENTE:BELMONTE
ELIAS)
141. 141
5. Problemas debido a la variaciรณn de temperatura
La mayor parte de los materiales usados en la Ingenierรญa debido a las variaciones de temperatura sufren
cambio de sus dimensiones. Si la temperatura aumenta el material se dilata o se alarga, mientras que, si
la temperatura disminuye, el material se contrae o se acorta. Si el material es homogรฉneo y isรณtropo, se
ha encontrado que la deformaciรณn de un elemento debido a la variaciรณn de la temperatura viene dada por:
๐ฟ๐ก = ๐ผ ฮ๐ ๐ฟ
COEFICIENTE DE DILATACION
142. 142
PROBLEMAS DEBIDO A LA VARIACIรN DE TEMPERATURA
EN ISOSTATICOS
En los sistemas estรกticamente determinados se dejan deformar libremente los
elementos debido al cambio de temperatura (ฮt), este efecto no produce
tensiones o esfuerzos en los elementos.
EN HIPERESTATICOS
En cambio en sistemas estรกticamente indeterminados las deformaciones
debido a la variaciรณn de temperatura suelen estar restringidos parcial o
totalmente, como resultado de ello aparecen fuerzas internas que
contrarrestan parcial o totalmente, estas deformaciones. Las tensiones
originadas por estas fuerzas internas se las llama tensiones o esfuerzos
tรฉrmicos. La determinaciรณn de las tensiones tรฉrmicas puede efectuarse
usando la metodologรญa delineados anteriormente,
la รบnica salvedad es que en la parte geomรฉtrica se debe incluir un estado de
deformaciรณn producido por la variaciรณn tรฉrmica dejando al elemento deformar
libremente por la variaciรณn de temperatura de tal forma que el efecto de
contrarrestar esta deformaciรณn sea la que ocasiona tensiรณn
EN ISOSTATICOS
EN HIPERESTATICOS (FUENTE:ELIAS BELMONTE)
143. 143
Pi = Presiรณn interna
ฯa = Tension anular
ฯL =TensionLongitudinal
6. Tensiones y deformaciones en cilindros de pared delgada
Condiciรณn para ser considerado cilindro de pared delgada
๐
10
โฅ ๐ก
delgada donde:
r = radio generador
t = espesor de la pared delgada. Si tenemos cualquier cilindro sometido a una presiรณn interna (Pi),
esta produce Tensiones Normales en la pared delgada como muestra la figura:
Debido a que partimos de la condiciรณn que el cilindro es de pared delgada, podemos realizar el
estudio tensional de forma unidimensional. Estudiaremos dos tipos de cilindros de pared delgada.
a) Cilindros generados por un radio de curvatura
b) b) Cilindros genreados por dos rรกdios de curvatura.
144. 144
A) CILINDROS DE UN RADIO DE CURVATURA
Tensiones:
a) Tensiรณn Anular
๐๐ =
๐๐โ ๐
๐ก
(Ecuaciรณn que gobierna Las tensiones anulares
en paredes delgadas de cilindros de un radio de curvatura.)
b) Tensiรณn longitudinal
๐๐ณ =
๐๐โ ๐
๐ก
(Ecuaciรณn que gobierna las tensiones
longitudinales en paredes delgadas de cilindros de un radio
de curvatura)
TENSION ANULAR
TENSION LONGITUDINAL
145. 145
B)DEFORMACIONES
ฮ๐ฟ๐ =
๐๐ โ ๐2
โ 2 โ ฯ
๐ก โ ๐ธ
ฮ๐ฟ๐ฟ =
๐๐ โ ๐ โ ๐๐
2๐ก โ ๐ธ
c)CILINDRO CON DOS RADIOS DE CURVATURA
๐๐
๐ก
=
๐1
๐1
=
๐2
๐2
(Ecuaciรณn que gobierna las tensiones en cilindros de pared delgada con
dos radios de curvatura).
CILIINDROS CON DOS RADIOS DE
CURVATURA(FUENTE: ELIAS
BELMONTE)
157. 157
PASO 1. SE HACE UN PRIMER CORTE
a a'
3,60 m
1,20
m
A1 = 360cm * 120cm
A1 = 43200 ๐๐2
A2 = [2(360-2t)+2(120-2t)]*t
A2 = (720-4t+240-4t)*t
A2 = 960t - 8๐ก2 c๐2
120 cm
158. 158
เท ๐น๐ฃ = 0
๏ณ * A2 = Pi * A1
1200
๐พ๐
๐๐2*(960t-8๐ก2) = 15
๐พ๐
๐๐2* 43200
1152000t - 9600๐ก2 = 648000
9600๐ก2
-1152000t + 648000 = 0
t = 119,435cm = 1,19 m
t = 0,565cm = 0,0056 m
๐๐๐๐ =
๐น๐ฟ
๐ดโฅ
๐๐ =
๐น๐
๐ด๐
SE CALCULA EL ESPESOR 2 PASO. SE HACE 2ยบ CORTE
๐ด๐ ๐ธ๐ด๐
A1 = 120cm * 180cm
A1 = 21600 c๐2
A2 = [2(120-2t)+2(180-2t)]*t
A2 = (240-4t+360-4t)*t
A2 = 600t - 8๐ก2
c๐2
159. 159
เท ๐น๐ฃ = 0
๏ณ * A2 = Pi * A1
1200
๐พ๐
๐๐2*(600t-8๐ก2
) = 15
๐พ๐
๐๐2* 21600
720000t - 9600๐ก2 = 324000
9600๐ก2
-720000t + 324000 = 0
t = 74,5473cm = 0,74 m
t = 0,4527cm = 0,0045 m
๐๐๐๐ =
๐น๐ฟ
๐ดโฅ
๐๐ =
๐น๐
๐ด๐
SE CALCULA EL ESPESOR 3 PASO. SE HACE 3ยบ CORTE
1,80 m
A1 = 360cm * 180cm
A1 = 64800 ๐๐2
A2 = [2(360-2t)+2(180-2t)]*t
A2 = (720-4t+360-4t)*t
A2 = 1080t - 8๐ก2
c๐2
160. 160
SE CALCULA EL ESPESOR
เท ๐น๐ฃ = 0
๏ณ * A2 = Pi * A1
1200
๐พ๐
๐๐2*(1080t-8๐ก2) = 15
๐พ๐
๐๐2* 64800
1296000t - 9600๐ก2 = 972000
9600๐ก2-1296000t + 972000 = 0
t = 134,246cm = 1,34 m
t = 0,754cm = 0,0075 m
๐๐๐๐ =
๐น๐ฟ
๐ดโฅ
๐๐ =
๐น๐
๐ด๐
4. RESPUESTA
t = 0,754cm = 0,0075 m
t = 0,4527cm = 0,0045 m
t = 0,565cm = 0,0056 m
t = 0,0075 m
ELIJO EL MAYOR
169. 169
PASO 1. ANALIZAMOS
P
N = P
Punto A Barra #1
P
1
N1
NOTA:
Para el desplazamiento vertical en โAโ debo
tomar en cuenta la deformaciรณn de la barra #1
171. 171
PASO 3. PARTE ESTATICA
Analizando el nudo B
Nudo B
N2 N2
N3
P
- P + N3 + 2N2 sen 45ยฐ = 0
N3 + 2N2 sen 45ยฐ = P
N3 + ๐N2 = 8000 k
Ecuaciรณn de equilibrio estรกtico
โFv = 0
+
172. 172
PASO 4. PARTE FISICA
Nudo B
N2 N2
N3
P
P
1
N1
Barra #1
โ๐ณ๐ =
๐ต๐๐ณ๐
๐ฌ ๐จ๐
โ๐ณ๐ =
๐ท ๐
๐ฌ ๐จ๐
Alarga
P
N = P
A
Punto A
a
a
a
a
a
a
2
a
P
A
1
2 2
4 4
3
189. PASO 5. CONCLUSION.
189
๐๐ฟ =
๐๐ โ ๐
2๐ก ๐๐ =
๐๐ โ ๐
๐ก
๐๐=2 ๐๐ฟ
Como podemos ver la tensiรณn anular es el doble de la tensiรณn
longitudinal.
Por lo tanto el esfuerzo anular es el mayor y tiene que coincidir con el
valor de esfuerzo admisible.
Por lo tanto la t donde me cumple que el esfuerzo mayor es el
admisible es el de el esfuerzo anular. Por lo tanto la dimensiรณn de t es el
calculado de acuerdo a el esfuerzo anular.
t=0,338 cm
๐
๐ก
โฅ 10
10
0,338
โฅ 10
29,58 โฅ 10
Para que sea cilindro de pared
delgada debe cumplir esta relacion
cumple
191. 191
q
Datos
q = presiรณn interna
ri = Radio interno
t = Espesor de la pared delgada
L = longitud
ฮผ = Coeficiente de Poissรณn
E = Modulo de elasticidad longitudinal
ฮ๐ = ฮ๐๐ผ + ฮ๐๐ฟ
Incรณgnita
ฮr = ?
PASO 1. SEPARAMOS DATOS E INCOGNITAS
196. 196
2. INTRODUCCIรN
La torsiรณn estudia los esfuerzos internos (ฯ tensiรณn cortante) y deformaciones (ฯ giros)
provocados por momentos torsores en secciones de cualquier elemento estructural.
TEMA 4: TORSION
1. ยฟCUรLES SON LOS OBJETIVOS DE ESTE TEMA?
Al terminar el estudio de esta unidad usted deberรก ser capaz de resolver los siguientes objetivos
trazados para el Estudio de tensiones en estructuras sometidas a momentos torsores
1. Determinar y aprender a analizar estructuras o elementos se secciรณn circular, sometidos a
momentos torsores, determinando las tensiones cortantes y los giros o deformaciones.
2. Dimensionar elementos de secciรณn circular sometidos a torsiรณn.
3. Analizar uniones o bridas empernadas determinando (๐๐๐ท)
4. Determinar ฯ en secciones de pared delgada sometidas a momentos torsores. (Mt)
5. Aprender a utilizar, expresiones de ฯ y ฯ para solucionar problemas de secciones no circulares,
sometidos a torsiรณn.
197. 197
3. Formulaciรณn
Ley Complementaria
de Hooke o Ecuaciรณn
de deformaciรณn(Giros)
Ecuaciรณn que
gobiernan las
Tensiones cortantes
G = mรณdulo de elasticidad transversal
4. Tensiones mรกximas
a) Secciรณn circular llena:
4. Tensiones mรกximas
a) Secciรณn circular hueca:
198. 198
4.Sistemas Hiperestรกticos
a) Parte Geomรฉtrica
Se compara geomรฉtricamente los giros de los elementos proponiendo una
ecuaciรณn de compatibilidad de deformaciones. Ecuaciรณn en funciรณn de los
giros: ฯ
b) Parte Estรกtica
Se plantean ecuaciones de equilibrio estรกtico
เท ๐๐ก = 0
c) Parte Fรญsica
Son las ecuaciones que relacionan las deformaciones (giros) con los
momentos torsores para secciones circulares siguiendo lo expuesto en la
ley de Hooke complementaria para torsiรณn:
C1) Ecuaciรณn Fรญsica para el tramo
๐๐ด =
๐ด๐ป๐จ๐ฉ โ ๐ณ
๐ฎ โ ๐ฐ๐ท
C2) Ecuaciรณn Fรญsica para Apoyos Elรกsticos
๐๐ช =
๐ โ ๐ด๐ป๐จ๐ฉ โ ๐ณ
๐ฌ โ ๐จ โ ๐ ๐ Ilustracion (fuente:Belmonte Elias)
199. 199
ILUSTRACION(FUENTE:BELMONTE ELIAS)
5.BRIDAS
Para transmitir torsiรณn entre dos elementos se realizan acoplamientos entre sรญ a travรฉs
de uniones con pernos como se muestra en la figura.
donde:
n = Nรบmero de secciones de pernos
๐ = Tensiรณn cortante
ฯ= Diรกmetro de la secciรณn del perno
R = radio
Si se tiene mรกs de un radio:
m = Nรบmero de secciones de corte por perno
200. 200
6.TORSIรN PARED DELGADA
CONDICIONES EN TUBOS DE DE PARED DELGADA
a)
๐ก < ๐ ๐ก โค
๐
10
t= espesor
r=radio
b) Las tensiones ๐ se distribuyen uniformemente en el espesor t de la pared
FORMULACIรN DE LA ECUACIรN
๐ =
๐๐ก
2๐กAโ
(Ecuaciรณn que gobierna las Tensiones cortantes en cilindros de pared delgada
sometidos a Torsiรณn)
Donde:
A* = El รกrea inscrita en el perรญmetro medio de la pared delgada
EN LA IMAGEN SE
MUESTRA EL AREA
CIRCUNSCRITA
ILUSTRACION
(FUENTE:BELMONTE ELIAS)
225. PASO 2. SE CALCULA LOS LA TENSION CORTANTE MAXIMA
Reemplazando en la ecuaciรณn #1
๐ท โ ๐ = ๐ท๐๐น๐ + ๐ท๐๐น๐ + ๐ท๐๐น๐ + ๐ท๐๐น4
257. PASO 6. DIAGRAMA DE GIROS
๐ A = -3.902x10-3rad
๐ AB = -7.432x10-4 rad
๐ B = -3.902x10-3 -7.432x10-4 = -4.645x10-3rad
๐ BC = - 5.867x10-3 rad
๐ C = -4.645x10-3 - 5.867x10-3 = -0.0105rad
๐ CD = 1.681x10-3
๐ D = -0.0105 + 1.681x10- 3= -8.724x10-3 rad
ESC: (0,01 RAD) /CM
260. PASO 2. SE CALCULA DE RADIOS
R1= 102 + 42 = 2 29 ๐๐
R2= 102 + 42 = 2 29 ๐๐
R3= 6 ๐๐
R4= 14 ๐๐
Rcrit= R4= 14 cm Es el mas alejado por lo tanto
su momento es el mas
resistente
Ecc. โ
P*d= P1*R1+P2*R2+P3*R3+P4*R4
Ecc. โก
๐1
๐ 1
=
๐2
๐ 2
=
๐3
๐ 3
=
๐4
๐ 4
-Despejamos utilizando P4
(nuestro Pcrit)
P1=
๐4
๐ 4
(๐ 1)
P2=
๐4
๐ 4
(๐ 2)
P3=
๐4
๐ 4
(๐ 3)
P4=
๐4
๐ 4
(๐ 4)
โก
261. Ecc. โข
P4=
๊๐๐๐ (ฯโร2)
4
โข
๊max โค ๊adm
๊adm=
๐4
๐(๐ด)
4 PASO. PARTE FINAL
-Reemplazo โก en โ
P*d=
๐4
๐ 4
(ฯ๐ ๐2) โฃ
P=
๊๐๐๐ (ฯโร2)
๐โ4โ๐ 4
(ฯ๐ ๐2)
โข en โฃ
P=
600 ๐โ 1.6 2
36โ4โ14
(10.772 + 10.772+62 + 142)
Pmax= 1110.628 K
262. 262
TEMA 5: TENSIONES NORMALES EN VIGAS FLEXIรN
1. ยฟCUรLES SON LOS OBJETIVOS DE ESTE TEMA?
โข Calcular los esfuerzos normales inducidos por la presencia de momentos flectores en cualquier punto de
una viga.
โข Dibujar la distribuciรณn de tensiones normales en cualquier secciรณn transversal de una viga.
โข Dimensionar cualquier secciรณn de viga transversal capaz de soportar los esfuerzos normales inducidos
por la presencia de momentos flectores.
โข Determinar el Mรณdulo Resistente para cualquier secciรณn transversal de viga
โข Determinar la capacidad de carga que es capaz de resistir cualquier secciรณn debido a la flexiรณn.
2. INTRODUCCIรN
ยฟQUร SON LAS VIGAS?
Las vigas son elementos estructurales cuyo principal objeto es transportar cargas a travรฉs
de su secciรณn transversal. Cuando las cargas flexionan a la viga, estas en su interior producen momentos
flectores y fuerzas cortantes en la secciรณn trasversal que son los que mantienen el equilibrio el sistema.
El objetivo principal de esta unidad es establecer la relaciรณn que existe entre el momento
flector que actรบa en la secciรณn transversal y la distribuciรณn de tensiones normales que se
producen en ella, basรกndonos en las siguientes suposiciones:
โข El material de la viga es homogรฉneo, isรณtropo y obedece la ley de Hooke.
โข El mรณdulo de elasticidad โEโ es el mismo a tracciรณn que a compresiรณn.
โข Las secciones transversales de la viga permanecen planas despuรฉs de la flexiรณn.
โข La secciรณn transversal de la viga es simรฉtrica con respecto al plano de aplicaciรณn
de las cargas y constante en toda su longitud.
โข Las cargas no ocasionan torsiรณn ni pandeo en la viga.
En conclusiรณn. La Flexiรณn estudia los esfuerzos internos normales originados por la
presencia de momentos flectores en la secciรณn transversal de viga. A estos esfuerzos internos
normales se los denomina Tensiones normales o Tensiones de Flexiรณn en vigas.
263. 263
3. FORMULACION
a) Parte geomรฉtrica
๐บ =
๐
๐ท
(Ecuaciรณn de compatibilidad de deformaciรณn)
b) Parte Estatica
๐ด = โซืฌโฌ๐จ
๐ โ ๐ฒ โ โ ๐จ(Ecuaciรณn de equilibrio estรกtico)
c) Parte Fรญsica (Ley de Hooke)
๐ = ๐ธ๐
d) Parte Final
1
๐
=
๐
๐ฌ๐ฐ
๐ =
๐ โ ๐
๐ฐ
ฯ = Tensiones Normales o de Flexiรณn
M = Momento Flector actuante en la secciรณn
ILn = Inercia en la lรญnea neutra.
y = Distancia de la lรญnea neutra a la superficie anรกlisis
ILUSTRACION
264. 264
4. Construcciรณn del diagrama de tensiones
Secciones simรฉtricas
Son aquellas secciones simรฉtricas respecto a la lรญnea
neutra que coincide con el centro de gravedad de la
secciรณn, y cuyas tensiones varรญan linealmente con la
distancia a la lรญnea neutra, lo que ocasiona que las
tensiones mรกximas de compresiรณn y tracciรณn sean de
igual magnitud. Este tipo de secciones son รบtiles para
materiales que tengan la misma resistencia a tracciรณn
que a compresiรณn, ver Fig.
Secciones Asimรฉtricas
Son aquellas secciones asimรฉtricas respecto a la lรญnea
neutra la cual debe coincidir con el centro de gravedad
de la secciรณn, y cuyas tensiones varรญan linealmente con
la distancia a la lรญnea neutra, esta asimetrรญa ocasiona que
las tensiones mรกximas de compresiรณn y tracciรณn sean de
diferente magnitud. Este tipo de secciones son รบtiles
para materiales que no tengan la misma resistencia a
tracciรณn que a compresiรณn, ver Fig
265. 265
TEMA 6: TENSIONES CORTANTES EN VIGAS
1.ยฟCUALES SON LOS OBJETIVOS?
โข Calcular las Tensiones Cortantes inducidos por la presencia de fuerzas
verticales en cualquier punto de una viga.
โข Dibujar la distribuciรณn de tensiones cortantes en cualquier secciรณn transversal
de una viga.
โข Dimensionar cualquier secciรณn de viga transversal capaz de soportar las
tensiones cortantes inducidos por la presencia de fuerzas verticales.
โข Determinar la capacidad de carga que puede resistir cualquier secciรณn
transversal de viga
2.INTRODUCCION
En conclusiรณn. El corte en vigas estudia los esfuerzos internos de corte
originados por la presencia de fuerzas verticales en la secciรณn transversal de
viga. A estos esfuerzos internos de corte se los denomina Tensiones cortantes
en vigas.
3. FORMULACIรN
๐๐ป =
๐ฃmaxโ๐ด๐
๐โ๐
= ๐๐ (ECUACION DE TENSION CORTANTE)
266. 266
4. Construccion de Diagrama
Secciones simรฉtricas, b = constante
Son aquellas secciones simรฉtricas respecto a la lรญnea neutra que coincide con el
centro de gravedad de la secciรณn, y cuyas tensiones de corte varรญan siguiendo
una ecuaciรณn cuadrรกtica en funciรณn de la variaciรณn del momento estรกtico, ya que
las otras variables de la expresiรณn son constantes, como veremos a
continuaciรณn:
ILUSTRACION
267. 267
4. Construccion de Diagrama
Secciones simรฉtricas, b = variable
Son aquellas secciones simรฉtricas respecto a la lรญnea neutra que coincide con el centro de gravedad de la secciรณn, y
cuya variaciรณn de las tensiones de corte son simรฉtricas respecto a la โLnโ y ocasionadas por dos factores:
โข Momento estรกtico (Me).- Que es la variable que ocasiona la variaciรณn cuadrรกtica del diagrama.
โข Bases (b).- Que es la variable que ocasiona variaciones bruscas en el diagrama.
Los otros dos factores que intervienen como ser la inercia y la fuerza de corte son constantes, un ejemplo es el
siguiente.
Secciones simรฉtricas, b = variable
268. 268
. Construccion de Diagrama
Secciones asimรฉtricas, b = variable
Son aquellas secciones asimรฉtricas respecto a la lรญnea neutra que coincide con
el centro de gravedad de la secciรณn, y cuya variaciรณn de las tensiones de corte
son asimรฉtricas respecto a la โLnโ y ocasionadas por los mismos factores que el
inciso anterior. Veamos a continuaciรณn dos ejemplos:
271. PASO 1. SE IDEALIZA LA ESTRUCTURA Y SE CALCULA REACCIONES.
271
R2
R1
1,2 m
2,4 m
1 4
๐ 1 =
1200
๐
๐
โ 1,8๐
2
๐ 1 = 1080 k
๐ 2 =
3000
๐
๐
โ 1,8๐
2
๐ 2 = 2700 k
V4
2 3
V2
๐ด๐4 = 0
๐ฃ2 โ 2,4 โ 1080 โ 2,4 โ 2700 โ 1,2 = 0
๐ฃ2 =2430 k
1
q2=3000
๐
๐
q1=1200
๐
๐
1,2 m 0,6 m 1,8 m
2 3 4
272. PASO 1. CALCULAMOS LAS REACCIONES
272
R2
R1
1,2 m
2,4 m
V4
2 3
V2
1
4
๐ด๐4 = 0
๐ฃ2 โ ๐ 1 โ ๐ 2 + ๐ฃ4=0
๐ฃ4=R1+R2- ๐ฃ2
๐ฃ4=1080+2700-2430
๐ฃ4=1350 K
273. PASO 2. SE DIAGRAMA CORTANTE.
273
q2=3000
๐
๐
q1=1200
๐
๐
1,2 m 0,6 m 1,8 m
2 3
1 4
๐ธ๐๐ถ: 1000
๐พ
๐ถ๐
Q1= 0 K
Q2A= -480 K
Q2D= 1950 K
Q3= 1350 K
Q4= -1350 K
480
1950 1350
1350
QMAX= 1950 K
Q( K)
V4
V2
274. PASO 2. CALCULAMOS LA DISTANCIA DONDE EL CORTE ES 0
274
q2=3000
๐
๐
q1=1200
๐
๐
1,2 m 0,6 m 1,8 m
2 3
1 4
480
1950 1350
1350
Q( K)
q2=3000
๐
๐
q (x)
1,8 m
X
๐๐ฅ
๐ฅ
=
3000
1,8
๐๐ฅ = x โ
3000
1,8
A=
3000
1,8
๐๐ฅ = x โ A
๐
๐ X
q (x) Q= V4-
๐๐ฅ โ๐
2
0= 1350-
Aโx2
2
X= 1,27 m
V4
V2
V4
0
X
R
278. PASO 5. SE CALCULA LA DIMENSION POR TENSION CORTANTE
278
2a
4a
2a
6a
CINF
CSUP
a
4a
a
LN
๐๐๐ด๐
SE CALCULA MOMENTO ESTATICO
2a
6a
a 4a a 1,1a
1
2
3
CSUP= 8,1 a
5,1a
ME3= (2 a)*(6 a)*(8,1 a โ 7 a) +
2*a*6*a*(8,1*a-3*a)
ME3= 74,4 ๐3
LN
1
2
3
4
5
279. 279
PASO 5. SE CALCULA LA DIMENSION POR ESFUERZO CORTANTE
๐ =
QMA๐ โ ๐๐ธ3
๐ โ ๐ผ
300๐/๐๐2
=
1950 โ 74,4 ๐3
2 โ ๐ โ 698,22 ๐4
๐ = 0,45 ๐๐
PASO 6. SE ELIJE CUAL DE LOS DOS ES EL ADECUADO
๐ = 0,45 ๐๐ ๐ = 1,03 ๐ถ๐
๐ ๐ธ๐๐๐๐ธ๐๐๐ด: ๐ฟ๐ด ๐๐ด๐ ๐ผ๐ด๐ต๐ฟ๐ธ ๐ ๐ก๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐ ๐๐ โ ๐ 1,03 ๐๐
2,06 cm
4,12 cm
2,06 cm
6,18
1,03 (cm)
4,12
1,03
280. 280
19.- Calcular con las mรกximas solicitaciones (Vmax y Mmax)
qmax que es capaz de soportar la secciรณn.
q
1 m 4 m 1 m
30ยฐ
1 3 4 3 1 cm
4
cm
4
cm
4
cm
6
cm
6
cm
ฯadm=200 k/cm2
ฯadm=1000 k/cm2