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1. Lic. Demetrio Ccesa Rayme.

2. Contenido.
1. Definición de función.
2. Definición de Dominio de una función.
3. Lista de funciones básicas
4. Operaciones con funciones
5. Funciones polinomial y racional
6. Composición de funciones.

3. Funciones.
1. Definición de función:
Una función f es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto
de números reales A, un único número real y en un conjunto B.
2. Notación:
La expresión indica que f es una función, que toma valores del conjunto
A y los transforma en valores de un conjunto B.
Veamos el siguiente gráfico.
BAf :

4. Funciones.
Este gráfico muestra como actúa una función f desde un conjunto A hacia
un conjunto B. Toma un valor x y le hace corresponder un valor en B
denominado f(x).

5. Funciones.
3. Definición de Dominio de una función.
Es el conjunto de valores numéricos que la función puede procesar. En
general, estos valores corresponden a la variable x.
Ejemplo:
La función definida por medio de
Tiene como dominio al conjunto de números reales mayores o iguales a
2, es decir, el intervalo
2)(  xxf
 ,2

6. Funciones.
4. Lista de funciones básicas.
Funciones Dominios
( )f x k ( )Dom f R
( )f x x ( )Dom f R
( )f x kx ( )Dom f R

7. Funciones.
Funciones Dominios
( ) n
f x x
( ) n
f x x
( ) 1/f x x
( )Dom f R
 ( ) 0Dom f R 
 
si es impar
( )
0, si es par
R n
Dom f
n

 


8. Funciones.
5. Operaciones con funciones.
Las operaciones básicas entre las funciones anteriormente definen
nuevas funciones que conoceremos como función suma, función
multiplicación y función división o cociente.
5.1 Función suma:
5.2 Función multiplicación:
5.3 Función División:
)()())(( xgxfxgf 
)().())(.( xgxfxgf 
)(/)())(/( xgxfxgf 

9. Funciones.
El dominio de las funciones suma y multiplicación es
Pero el dominio de la función división es
)()()( gDomfDomgfDom 
)()().( gDomfDomgfDom 
 0)(:)()()/(  xgxgDomfDomgfDom

10. Funciones.
6. Función Polinomio.
Esta función es una función suma de multiplicaciones de funciones
constantes por funciones potenciales o identidad. La forma general es
Su dominio es la intersección de todos los dominio de las funciones que se
suman, pero como esos dominio son todos el mismo conjunto R entonces
el dominio resultante es el mismo R.
01
1
1 ......)( axaxaxaxf n
n
n
n  


11. Funciones.
7. Funciones Racionales generalizadas.
Una función se denomina racional generalizada si es la división de dos
polinomios. Tiene la forma siguiente.
El dominio de una función de este tipo es
01
1
1
01
1
1
......
......
)(
)(
)(
bxbxbxb
axaxaxa
xq
xp
xf m
m
m
m
n
n
n
n


 



   qRxqxRfDom deraíces 0)(:)(

12. Funciones.
8. Composición de funciones:
La composición de funciones es una operación que se realiza sustituyendo
el valor de una función en el argumento de otra. Como se ve en el gráfico, el
valor de x es procesado por la función f, la cual emite el valor f(x).
Este a su vez es procesado por la función g, la cual emite el valor g(f(x)).

13. Funciones.
Entonces, definamos la función compuesta de g con f :
El símbolo ◦ se lee “compuesta con”.
Un ejemplo nos ayudará a entender la definición.
Ejemplo: Sean f y g funciones definidas por medio de
))(())(( xfgxfg 
xxgxxf 23)(1)( 3
 y

14. Funciones.
Veamos el siguiente esquema:
• Valor de
inicial
x
• Función f
• Función g
3
( ) 1f x x 
3
(( )) 3 2( 1)g x x  

15. Funciones.
De esta manera, la función compuesta de g con f es la función
En general, la composición de g con f, no es la misma que la composición
de f con g.
3
21))(( xxfg 

16. MODELO DE CRECIMIENTO POBLACIONAL
0 k > 0, k=cte. tk
P Pe
En donde
0
( )
de t
crecimiento




P t Número de población
en función
P Población inicial
k Tasa de
t Tiempo
CRECIMIENTO POBLACIONAL
El Modelo Matemático para describir el crecimiento de una población esta representado
por la función exponencial.
La función exponencial es muy utilizada para resolver situaciones de la vida real.
 Crecimiento de bacterias de cierto cultivo
 Proyección de crecimiento de poblaciones.

17. MODELO DE DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA
0 ( ) k > 0, k = cte.
 kt
R R e
En donde
0
final de radioactividad
de t
radioactivo
.
en años




R Cantidad
en función
R cantidad inicial de
k Cte
t Tiempo
DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA
Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden disminuir hasta agotarse completamente
conforme transcurre el tiempo.
Se utilizan funciones logarítmicas cuando deseamos conocer la antigüedad de restos
arqueológicos analizando la cantidad de carbono 14 que contienen

18. SOLUCIÓN
1. Identificación del conocimiento. Modelo
exponencial y logarítmica /crecimiento
poblacional
2.Modelo Crecimiento poblacional
 0( t) 
tk
P P e
3.Datos , según enunciado del problema
0
1600, 000
1200, 000
2009-1990 =19




P
P
k k
t
4.Resolver según modelo
 
 
 
 
0
19
1916
12
19
( t)
1600,000 = 1200,000
1.33..



tk
k
k
k
P P e
e
e
e
1. Aplicando propiedad de logaritmo
natural
 
 
19
ln1.33..
19
ln1.33.. ln
ln1.33.. 19kln
ln1.33.. 19k.1
k k= 0,0151




k
e
e
Rpta 1,tasa de creciento k =0,015
2. Calculado la población al 2020
 0
0
( t)
P = P, 1200, 000
=2020-1990 =30, 0.0151



tk
P P e
P
t k
Resolviendo
 
 
 
tk
0
30(0,0151)
0,453
P( t) = P e
P = 1200, 000 e
P = 1200, 000 e
P = 1, 888
Rpta. La población de la ciudad será aprxim, 1880000 habitantes en 2020
Problema de Aplicación
La Población de la Ciudad que vivía Manuel en 1990 era de 1.2 Millones de
Habitantes y en el Año 2009 la Población creció en 1.6 Millones de Habitantes
¿ cual será la Población proyectada para el Año 2020?

19. https://youtu.be/9TJzLuND-ZI