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2. D. R. c 2013 Tzihué Cisneros Pérez
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Primera edición, Abril de 2013
5. Función
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Funciones continuas
Algebra de funciones
Composición de funciones.
Traslación de funciones
Funciones pares e impares
Intervalos
Problemas
1 — Introducción
El comportamiento de la naturaleza implica siempre eventos que se pueden cuantificar, es
decir, medir en forma matemática ya sea mediante la física, la química o la biología. Cuando
sentimos que la temperatura ambiente incrementa o decrementa podemos medirla con un termó-
metro en función de la dilatación del mercurio, la velocidad de un automóvil la medimos con
el velocímetro en función del tiempo transcurrido, la combustión de oxígeno en una reacción
química podemos medirla en función del calor transferido, etc.
El significado de la palabra función es muy profundo en las matemáticas y en corresponden-
cia en las ciencias. Si hablamos de funciones estamos proponiendo una relación cuantitativa o
cualitativa entre dos conjuntos de objetos, dichos objetos pueden ser cualquier cosa desde pájaros
y los colores básicos, los acordes y las cuerdas de una guitarra hasta los estados cuánticos de un
electrón y un potencial dado.
1.1 Función
Hemos dado un significado práctico de lo que es una función entre dos conjuntos, ahora
daremos una definición exacta.
Definición 1.1 Llamamos relación entre un conjunto A y un conjunto B a la correspon-
dencia que establecemos entre los elementos de cada uno de ellos, de tal manera que a cada
elemento de A le corresponda uno o más elementos de B.
Definición 1.2 Si imponemos la condición de que a cada elemento de A le corresponda
uno y solo un elemento de B entonces dicha relación se llama función. El conjunto A será el
dominio de la función y el conjunto B será la imagen o rango.
Matemáticamente representamos una función de las siguientes formas
f : A → B, f(A) = B, f(x) = {y ∈ B|y = f(x)∀x ∈ A} (1.1)
la última expresión en las ecuaciones (1.1) se lee: f de x es igual al conjunto de todas las y,
elementos de B, tal que y es igual a f de x para todo x en A.
6. 6 Introducción
R De la definición de función podemos deducir que todas las funciones son relaciones pero
no todas las relaciones son funciones.
Ejemplo 1.1 La ecuación de una circunferencia con centro en el origen del plano cartesiano
es
x2
+y2
= r2
(1.2)
despejando y para obtener una relación más ordinaria, tenemos
y = ± r2 −x2 (1.3)
que nos proporciona la parte superior e inferior de una circunferencia de acuerdo al signo positivo
o negativo respectivamente. Si el dominio de esta ecuación es el diámetro de la circunferencia
que coincide con el eje X entonces a cada valor de este dominio le corresponden dos valores: uno
en la parte superior y otro en la parte inferior de la circunferencia, por lo que no es una función
sino solamente una relación.
Ejemplo 1.2 Si en la ecuación (1.3) para una circunferencia elegimos el signo positivo o el
signo negativo entonces obtendremos una función que representará la mitad de una circunferencia.
Ejemplo 1.3 Si formamos el conjunto de todos los canarios que viven en una ciudad y
lo relacionamos con el conjunto {verde,amarillo,azúl} entonces tendremos una función bien
definida porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un color.
Ejemplo 1.4 Supongamos que la velocidad de un automóvil en un camino curveado va desde
25km/h hasta 85km/h durante 8 horas de recorrido, si relacionamos el conjunto de las distintas
velocidades con el conjunto de las horas transcurridas obtendremos una función.
Ejercicio 1.1 El producto cartesiano A×B de dos conjuntos se lleva a cabo relacionando
en parejas los elementos de uno con los del otro: A = {a,b,c} y B = {1,2,3} entonces A×
B={(a,1),(b,2),(c,3)}, haga el producto cartesiano de los conjuntos: A = {perro,gato, pollo}
y B = {hueso,ratón,gusano}.
Ejercicio 1.2 ¿El producto cartesiano es una función o una relación?
1.2 Funciones inyectivas y sobreyectivas
Cuando lanzamos cualquier objeto observamos que su trayectoria es una parábola, figura
[1.1], durante el tiempo que permanezca en el aire. Este movimiento inicia con el objeto
elevándose y alcanzando un punto máximo y de ahí nuevamente cae hasta otro punto cuya
distancia es el doble de la que el objeto recorre desde el inicio hasta el punto máximo. De esta
forma, si tomamos como dominio el intervalo en el eje X desde que comienza el movimiento
parabólico hasta que termina podemos observar que a cada valor del dominio le corresponden
dos valores de la imagen con excepción del punto máximo.
Si solamente tomáramos la primera mitad del movimiento parabólico hasta el punto máximo,
entonces a cada valor del dominio solo le correspondería un valor de la imagen y en este caso
tendríamos una función inyectiva.
7. 1.2 Funciones inyectivas y sobreyectivas 7
2 1 1 2
1
2
3
4
Figura 1.1: Lanzamiento de un objeto y su trayectoria parabólica.
Definición 1.3 Una función f : A → B será inyectiva si dados x1,x2 ∈ A, tal que x1 = x2,
entonces f(x1) = f(x2).
Ejemplo 1.5 Supongamos que tenemos la función f(x) = x2 con dominio [−2,2], facilmente
deducimos que no es inyectiva ya que: f(−2) = (−2)2 = 4 y f(2) = (2)2 = 4.
Ejemplo 1.6 Sea la función f(x) = x3, esta si es inyectiva ya que para cualquier dominio
dado siempre se cumplirá la condición.
Ejemplo 1.7 Sea f(x) = −
√
r2 −x2, esta función no es inyectiva pues a cada elemento del
dominio le corresponden dos elementos de la imagen: f(−r) = − r2 −(−r)2 = 0 y f(r) =
− r2 −(r)2 = 0.
R Una función que no sea inyectiva en un dominio dado podemos hacerla inyectiva si
restringimos el dominio. Vimos que la función f(x) = x2 no era inyectiva en [−2,2] pero
si lo será en el intervalo [0,2].
Definición 1.4 Sea f : A → B, si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento
de A entonces la función es sobreyectiva.
Esta definición nos dice que todos los elementos de la imagen deben corresponder a al menos
un elemento del dominio.
Ejemplo 1.8 Cuando definimos el conjunto de todos los canarios de una ciudad y el conjunto
de los colores verde, amarillo y azúl establecimos una función bien definida, sin embargo esta
función no es ni inyectiva ni sobreyectiva ya que para x1 = x2 tenemos f(x1) = f(x2) y no todos
los elementos de la imagen corresponden a por lo menos un elemento del dominio.
Ejemplo 1.9 Sea f(x) = x3, esta función es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 1.10 Sea f(x) = x, esta función también es inyectiva y sobreyectiva ya que f(x1) =
x1 y f(x2) = x2, además todo elemento de la imagen corresponde a al menos un elemento del
dominio.
Ejemplo 1.11 La función f(x) =
√
x−2 no es sobreyectiva en el conjunto de los números
reales ya que cualquier número que tome la x menor o igual a 2 hasta infinito, es decir, en el
8. 8 Introducción
0.5 1.0 1.5 2.0
1
2
3
4
Figura 1.2: Gráfica de f(x) = x2 en [0,2].
intervalo (2,∞) generará una raíz negativa y un número complejo.
Ejemplo 1.12 La función f(x) = 1
x no es sobreyectiva ya que x = 0 no está definido.
Ejemplo 1.13 La función f(x) =
√
x2 −1 no es sobreyectiva porque en el intervalo (1,−1)
genera números complejos.
Definición 1.5 Si f : A → B es una función inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva.
Definición 1.6 Si f : A → B es biyectiva entonces tiene una función inversa: f−1 : B → A.
Que una función sea biyectiva es muy importante porque tiene inversa y ahora podemos
mandar valores de la imagen hacia el dominio mediante f−1. Si no existieran las funciones
inversas no podríamos hacer una gran variedad de cálculos en la práctica, por ejemplo, conocer
el tiempo transcurrido por un automóvil dada su velocidad o la temperatura de un gas en un
contenedor dada su presión.
Ejemplo 1.14 Determinar si la función f(x) = x2 es biyectiva en el intervalo [0,2] y si lo es
encontrar su inversa.
Podemos sustituir los valores del intervalo en la función y verificar cuales se repiten, es decir,
si existen f(x1) = f(x2) para x1 = x2 pero también podemos graficar la función, figura [1.2], y
trazar una línea paralela al eje X imaginaria que podemos subir y bajar mientras intersecta la
gráfica y el eje Y. Si dicha línea intersecta más de una vez a la gráfica de la función entonces no
es inyectiva.
En forma natural podemos ver que todos los valores de la imagen tienen un elemento
correspondiente en el dominio por lo que la función es inyectiva y sobreyectiva y por lo tanto es
biyectiva. Para obtener la función inversa simplemente despejamos x
x = f(x) (1.4)
Ejemplo 1.15 Sea v(t) = 3t +1 la función de la velocidad v en términos del tiempo t de un
objeto, determinar si es biyectiva y encontrar su inversa.
9. 1.3 Funciones continuas 9
Si graficamos la función en un intervalo cualquiera obtendremos una recta y trazando una
línea paralela al eje X veremos que solo intersecta la recta una vez. También observamos que
todos los elementos de la imagen corresponden al menos a un elemento del dominio, por lo que
es sobreyectiva. Tenemos entonces una función biyectiva cuya inversa está dada por
t =
v(t)−1
3
(1.5)
Ejemplo 1.16 Sea el conjunto M = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}. Este conjunto podemos
plantearlo como el resultado de una función f : A → B donde A = {1,3,5,7} y B = {2,4,6,8}
serían el dominio y la imagen respectivamente. Esta función está bien definida, es inyectiva y
sobreyectiva, pero, ¿cuál será la forma de f?. Los elementos de A son números impares y los de
B son pares por lo que es posible escribir
f(x) = x+1 (1.6)
de esta forma tenemos una función que no es continua ya que solo consta de cuatro puntos
separados entre si cuya inversa es x = f(x)−1.
Ejemplo 1.17 La función f(x) =
√
x2 −3 no es sobreyectiva en el intervalo (3,−3) pero
si restringimos su dominio al conjunto D = {R − {(3,−3)}}, es decir, al conjunto de todos
los números reales excepto el intervalo (3,−3) entonces tendremos una función sobreyectiva e
inyectiva. Su inversa es
x = f2 +3 (1.7)
Ejercicio 1.3 ¿La elipse (x−1)2
52 + (y−1)2
32 = 1 es inyectiva?
Ejercicio 1.4 La parábola (x+2)2 = 8(y−3) es inyectiva?
Ejercicio 1.5 ¿Es inyectivo el movimiento de un péndulo?
1.3 Funciones continuas
El concepto de continuidad es muy interesante y necesario en la teoría de funciones, al
decir que una función dada es continua establecemos una propiedad muy útil. En las ciencias
requerimos de funciones continuas porque estas nos describen el comportamiento completo
de algún evento sin pérdida de información. Si la ecuación que nos describe la posición de un
objeto en movimiento en función del tiempo transcurrido tuviera discontinuidades entonces
no podríamos determinar su posición en ciertas partes del camino. Por otra parte, a escalas
de medidas muy pequeñas del orden del radio de un átomo, las discontinuidades adquieren
relevancia ya que los procesos están cuantizados, es decir, solo existen para ciertos valores pero
no para todos los valores posibles.
Definición 1.7 Decimos que una función f : A → B es continua en un punto x0 ∈ A si
existe f(x0) ∈ B.
10. 10 Introducción
Ejemplo 1.18 Probar si la función f(x) = 3x+1 es continua en el punto x0 = −1.
Tenemos f(x0) = f(−1) = 3(−1)+1 = −3+1 = −2, por lo que es continua en ese punto.
Ejemplo 1.19 La función f(x) = 1/x no es continua en x0 = 0 ya que f(0) = 1/0 no está
definido.
Ejemplo 1.20 Probar si la función f(x) = x+2
x−1 es continua en x0 = 1.
Si sustiuimos el valor x0 = 1 en la función dada, tenemos
f(1) =
1+2
1−1
=
3
0
(1.8)
lo cual no está definido y por lo tanto no es continua en ese punto.
R Una manera sencilla de visualizar la continuidad de una función es verificar que su gráfica
no contenga vacíos o saltos.
2 1 1 2
1.0
0.5
0.5
1.0
Figura 1.3: Gráfica de una función discontinua en x0 = 0.
Ejemplo 1.21 Sea la función,
f(x) =
−1 [−2,0]
1 [0,2]
figura [1.3]. Esta función nos dice que tiene un valor constante de −1 en el intervalo [−2,0]
y de 1 en [0,2]. Por lo que, f(0) no está definida y tenemos una discontinuidad.
Proposición 1.1 — Continuidad puntual. Si para cada valor δ > 0 existe otro valor ε > 0
tal que |x−x0| < δ implica que |f(x)− f(x0)| < ε, entonces la función es continua en x0.
La continuidad puntual nos dice que por más pequeño que sea δ pero siempre mayor a 0
habrá otro ε siempre mayor a cero tal que la continuidad de la función alrededor de x0 está
garantizada.
Ejemplo 1.22 Sea f(x) = 4x, queremos saber si es continua en x0 = 5. Para esto sustituimos:
f(x0) = f(5) = 4(5) = 20, por lo que si existe f(x0). También podemos probar la continuidad
11. 1.4 Algebra de funciones 11
puntual dado f(5) = 20
|x−5| < δ ⇒ |4x−20| < ε (1.9)
|x−5| < δ ⇒ |4||x−5| < ε
por lo que podemos tomar δ = ε/4
4|x−5| < 4ε = ε
Ejercicio 1.6 ¿Para qué valor de V no es continua la función P = NkT
V ?
Ejercicio 1.7 ¿La función PV = NkT es continua para todo valor de T?
1.4 Algebra de funciones
Con las funciones podemos realizar todo tipo de operaciones algebraicas como suma, resta,
multiplicación y división.
Ejemplo 1.23 Hacer las cuatro operaciones básicas con las funciones: f(x) = 2x − 3 y
g(x) = x+3.
suma f +g = 2x−3+x+3 = 3x
resta f −g = 2x−3−(x+3) = 2x−3−x−3 = x−6
producto f ∗g = (2x−3)(x+3) = 2x2 +6x−3x−9 = 2x2 +3x−9
división f
g = 2x−3
x+3
R Después de realizar alguna operación con las funciones podemos simplificar los resultados
hasta donde sea posible. También podemos elevar una función a una potencia dada.
Ejemplo 1.24 Eleve la función f(x) = (2x+1)2 a las potencias: 2, 1/3 y π. Simplificar hasta
donde sea posible.
(f(x))2 = ((2x+1)2)2 = (2x+1)4
(f(x))1/3 = ((2x+1)2)1/3 = (2x+1)2/3
(f(x))π = ((2x+1)2)π = (2x+1)2π
Proposición 1.2 Si f y g son funciones continuas en un punto x0 entonces también serán
continuas en x0 las funciones: f +g, f −g, f ·g, f/g, fn y n
√
f. Si g = 0 en f/g y f > 0 en n
√
f
Ejemplo 1.25 Sean f(x) = x2 y g(x) = x +2. Ambas funciones son continuas en el punto
x0 = 3. Según la proposición (1.2) también serán continuas en x0 = 3 las funciones:
f +g = x2
+x+2 (1.10)
f −g = x2
−x−2
f ·g = (x2
)(x+2) = x3
+2x2
f/g =
x2
x+2
además de las funciones fn
, n
f
12. 12 Introducción
R Las funciones f/g serán continuas en un x0 dado siempre que g(x0) = 0. n
√
f será continua
en x0 siempre que f(x0) > 0.
Ejemplo 1.26 Sean f(x) = x4 y g(x) = x−1 continuas en el punto x0 = 1, probar que f/g
no es continua ahí.
f
g
=
x4
x−1
(1.11)
⇒
f
g
(1) =
(1)4
1−1
=
1
0
y ya sabemos que 1/0 no está definida por lo que f/g no es continua ahí.
Ejemplo 1.27 Sea f(x) = x continua en −2, probar que
√
f no lo es. Se tiene
f(x) =
√
x (1.12)
⇒ f(x)(−2) =
√
−2
claramente
√
−2 nos lleva al conjunto de los números complejos y por lo tanto no es continua en
los reales.
Ejercicio 1.8 ¿Es continua en x0 = 4 la función f(x) =
√
3−x?
Ejercicio 1.9 Si un avión tuviera una velocidad dada por
v(t) =
700km/h [0,5]
800km/h [5,10]
¿qué pasaría en la hora 5 de vuelo?
1.4.1 Composición de funciones.
Una operación especial con funciones es la composición, esta se realiza al tomar la imagen de
una primera función f como el dominio de una segunda función g. Sean f : A → B y g : B → C,
entonces la composición f ◦g : A → C está dada por
f ◦g = f(g(x)) (1.13)
Ejemplo 1.28 La composición f ◦g de las funciones f(x) = 3x+1 y g(x) = 2x2 está dada
por
f ◦g = f(g(x)) = 3(2x2
)+1 = 6x2
+1 (1.14)
Ejemplo 1.29 Encontrar las composiciones f ◦ g y g ◦ f de las funciones f(x) = 5x − 2 y
g(x) = 2x2 +3.
f(g(x)) = 5(2x2
+3)−2 = 10x2
+15−2 = 10x2
+13
g(f(x)) = 2(5x−2)2
+3 = 2(25x2
−20x+4)+3
= 50x2
−40x+8+3 = 50x2
−40x+11
(1.15)
13. 1.4 Algebra de funciones 13
No solamente podemos componer dos funciones sino n cantidad de funciones:
f ◦g◦h◦i = f(g(h(i(x)))) (1.16)
Ejemplo 1.30 La composición de las funciones f(x) = 2x, g(x) = 3x+1 y h(x) = x−2 está
dada por
f(g(h(x))) = 2(3(x−2)+1) = 2(3x−6+1) = 2(3x−5) = 6x−10 (1.17)
Proposición 1.3 — Continuidad de funciones compuestas. Si dos funciones f y g son
continuas cada una en un punto dado x0, entonces su composición f(g(x)) y g(f(x)) también
será continua en ese mismo punto siempre que para una función racional el denominador sea
distinto de cero y para el caso n
√
f se tenga f > 0.
Ejemplo 1.31 f(x) = x2 y g(x) = 2x + 1 son continuas en el punto x0 = 2 por lo que su
composición f(g(x)) = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 también es continua en x0 = 2 al igual que
g(f(x)).
Ejemplo 1.32 f(x) = 1
x−2 y g(x) = 2x son continuas en x0 = 1 pero su composición f(g(x)) =
1
2x−2 no es continua en x0 = 1 ya que f(g(1)) = 1
0 lo cual no está definido. Por otro lado, la
composición g(f(x)) = 2
x−2 si es continua en x0 = 1.
Ejercicio 1.10 ¿Es continua en x0 = 0 la composición de las funciones y(x) = 3x + 1 y
y(x) = 4x−1?
1.4.2 Traslación de funciones
Cuando tenemos una función cuya forma elemental se encuentra en un determinado punto
del plano cartesiano podemos trasladar esa gráfica a cualquier punto hacia arriba o abajo, hacia
la izquierda o derecha del punto original.
Definición 1.8 Para trasladar la función hacia arriba o hacia abajo debemos sumar o restar
una constante, α, respectivamente,
f → f(x)+α (1.18)
Ejemplo 1.33 La gráfica de la función f(x) = x3 se muestra en la figura [1.4]. Si deseáramos
trasladar esta función 3 unidades hacia arriba graficaríamos la función f(x) = x3 +3
como se muestra en la figura [1.5].
De la misma manera, para trasladar una función hacia abajo, 3 unidades solamente, restamos
a la función.
Definición 1.9 Para trasladar una función a la derecha o izquierda de su punto original
debemos restar o sumar una constante en el argumento de la función
f → f(x+α) (1.19)
14. 14 Introducción
2 1 1 2
5
5
Figura 1.4: Gráfica de la función f(x) = x3 en [−2,2].
2 1 1 2
5
5
10
Figura 1.5: Gráfica de la función f(x) = x3 +3 en [−2,2].
5 4 3 2 1
5
5
10
15
20
25
Figura 1.6: Gráfica de la función f(x) = (x+3)3 en [−5,0].
15. 1.4 Algebra de funciones 15
f x x3
f x x2
2 1 1 2
4
2
2
4
6
8
Figura 1.7: Gráfica de f(x) = x3 y f(x) = x2 en [−2,2].
Ejemplo 1.34 Si ahora trasladamos la funcion f(x) = x3, figura [1.4], tres unidades a la
izquierda, debemos graficar la función f(x) = (x+3)3 como se muestra en la figura [1.6].
La traslación de funciones puede resultar muy útil a la hora de graficar funciones que parezcan
complicadas a primera vista, sin embargo, reconociendo la función elemental y sumando o
restando a la función o al argumento las constantes necesarias podemos deducir la posición de la
función en el plano cartesiano.
Otra operación sobre una función es el alargamiento o contracción. Si multiplicamos la
función por un número decimal, esta se contraerá, y si la multiplicamos por un entero se alargará.
Ejercicio 1.11 Utilizando únicamente la traslación de funciones haga la gráfica de (x +
1)2 = 4(y+2).
1.4.3 Funciones pares e impares
Se dice que una función es par si cumple la condición f(−x) = f(x), y es impar si cumple
la condición f(−x) = −f(x). Y estas son relaciones de reflexión que cumple la función dada
alrededor del origen del plano cartesiano.
Ejemplo 1.35 La función f(x) = x2 es una función par ya que f(−x) = (−x)2 = x2 y la
función f(x) = x3 es una función impar.
Proposición 1.4 Una función par es simétrica respecto al ejeY y una función impar es simétrica
respecto al origen.
Ejemplo 1.36 La figura [1.7] muestra las gráficas de las funciones f(x) = x3 y f(x) = x2,
impar y par respectivamente.
Podemos deducir la paridad de cualquier función aún más complicada simplemente tomando
en cuenta las potencias pares e impares.
Proposición 1.5 Una potencia par deja el signo de la base positivo y una potencia impar lo
deja negativo siempre.
Ejemplo 1.37 Sea f(x) = 4x2 + 5x3 + 6x5. Para probar la paridad de la funcón anterior
16. 16 Introducción
sustituimos por signos negativos y utilizamos la proposición (1.5)
f(−x) = 4(−x)2
+5(−x)3
+6(−x)5
(1.20)
⇒ f(−x) = 4x2
−5x3
−6x5
como vimos, los términos con potencias pares quedaron positivos y los términos con potencias
impares quedaron negativos. Del resultado anterior vemos que la función no es par ni impar ya
que la función no quedó igual que la original ni totalmente negativa.
Ejemplo 1.38 Sea f(x) = −4x2 +5x3 +6x5. Si sustituimos el signo negativo tenemos
f(−x) = −4(−x)2
+5(−x)3
+6(−x)5
(1.21)
⇒ f(−x) = −4x2
−5x3
−6x5
y la función quedó totalmente negativa, por lo que es una función impar ya que cumple con
f(−x) = −f(x).
Ejemplo 1.39 Sea f(x) = 2x3+x
x2+5
. Probar que es impar.
f(−x) =
2(−x)3 +(−x)
(−x)2 +5
(1.22)
⇒ f(−x) =
−2x3 −x
x2 +5
= −
2x3 +x
x2 +5
por lo que cumple con la condición f(−x) = −f(x).
Ejercicio 1.12 La función f(x) = 4x3 +x, ¿qué simetría tiene?
Ejercicio 1.13 Si la función y(t) = 1
2 gt2 representa el movimiento de un cuerpo, ¿qué nos
dice su simetría respecto a ese movimiento?
Ejercicio 1.14 Si la velocidad de un automóvil está dada por v(t) = 3t +2, ¿qué nos dice
la simetría acerca del movimiento?
1.4.4 Intervalos
Hasta este punto hemos utilizado la notación [,] para denotar el intervalo en el cual está el
dominio de una función. Los intervalos son un concepto muy importante para las funciones ya
que nos dicen explícitamente el dominio y la imagen de una función.
Definición 1.10 — Intervalo cerrado. Los intervalos cerrados se denotan por medio de
los corchetes [α,β] y nos dicen que podemos tomar todos los valores entre α y β incluidos
los dos extremos lo cual también podemos expresar mediante α ≤ x ≤ β, que se lee: alfa
menor o igual a x menor o igual a beta.
Definición 1.11 — Intervalo abierto. Los intervalos abiertos se denotan por medio de los
paréntesis (α,β) y nos dicen que solamente podemos tomar los valores entre α y β, nadamás,
lo cual también podemos expresar mediante α < x < β, que se lee: alfa menor a x menor a
beta.
17. 1.5 Problemas 17
Definición 1.12 — Intervalos semicerrados y semiabiertos. Los intervalos semicerra-
dos [α,β), α ≤ x < β, y, semiabiertos (α,β], α < x ≤ β son combinaciones de los cerrados
y abiertos y nos dicen que podemos tomar el primer extremo pero no el segundo y viceversa.
Ejemplo 1.40 El intervalo cerrado [1,2] nos dice que podemos tomar todos los valores desde
el 1 hasta el 2. El intervalo abierto (2,3) nos dice que podemos tomar todos los valores entre 2 y
3 excepto ellos mismos.
Ejemplo 1.41 Si nos dicen que la función f(x) = 3x+1 tiene dominio [2,5] esto significa
que está definida únicamente en el intervalo 2 ≤ x ≤ 5.
Ejemplo 1.42 Si nos dicen que la función f(x) = x2 tiene dominio [0,3) esto significa que
está definida a partir del 0 y hasta el 3, sin tomar este último.
1.5 Problemas
Problema 1.1 Verifica si la función f(x) = 3x2 +1 es inyectiva y sobre.
Problema 1.2 Verifica si la función f(x) = x
x+3 es inyectiva y sobre.
Problema 1.3 Verifica si la función f(x) =
√
2x2 −5 es inyectiva y sobre.
Problema 1.4 Prueba que la función f(x) = 2x2 +x−1 no es inyectiva.
Problema 1.5 Prueba que la función f(n) = n+π no es sobre en los naturales.
Problema 1.6 Prueba que la función f(n) = 1
n es sobre en los racionales.
Problema 1.7 Haz la composición de las funciones f(x) = x4 +1 y g(x) = x−1.
Problema 1.8 Haz la composición de las funciones f(x) = 2x2 −x y g(x) = x+2.
Problema 1.9 — Función identidad. Sea la función V(T) = NkT
p , haz la composición con la
función identidad P(T) = p.
Problema 1.10 — Función constante. Supongamos que F(0) = 1 y F(t) = m
t2−1
, haz la com-
posición con la función constante a(t) = 0. ¿Cuál es el valor de m?, ¿es continua la composición
en 0?
Problema 1.11 ¿Es continua la función f(x) = x2+2x+1
x+1 en x0 = −1?
Problema 1.12 Las funciones f(x) = 1
x y g(x) = x2−1
x no son continuas en el punto x0 = 0.
¿La función f +g tampoco es continua en x0 = 0?
Problema 1.13 Restringe el dominio de la función f(x) =
√
3x2 −6 de tal forma que sea
inyectiva y sobre, y obtén su inversa.
Problema 1.14 Restringe el dominio de la función f(x) = x2+3
x−2 de tal forma que sea inyectiva
y sobre, y obtén su inversa.
Problema 1.15 Haz la composición de las funciones f(x) = 4x2 y g(x) =
√
x3 −4 y obtén su
inversa. ¿Cuáles son las discontinuidades de g?
Problema 1.16 ¿Cuál es la paridad de la función f(x) = 3x2+1
2x ?
Problema 1.17 ¿Cuál es la paridad de la función f(x) = 2x3+3x
4x2+5
?
18. 18 Introducción
Problema 1.18 La fuerza aplicada, en Newtons, sobre un cuerpo en reposo está dada por
F(x) = 3x4+5
x2+4
, ¿qué significado tiene la simetría de la función para la fuerza aplicada?, ¿existe
alguna discontinuidad?
Problema 1.19 Si la fuerza sobre un cuerpo está dada por la función F(x) = 2x2 +x−3, ¿cuál
es su paridad?, ¿cuál es el significado de la simetría en este caso?
Problema 1.20 Verifica si f(x) = 3x3 + x − 1 es inyectiva y sobre, también encuentra su
paridad y haz la composición con la función g(x) = 1
x2 , ¿hay alguna discontinuidad en la función
compuesta?
19. Funciones polinomiales
Continuidad y polinomios
Números complejos
Soluciones de polinomios
Método de Cardano
Asíntotas de funciones
Problemas
2 — Polinomios
Los polinomios son arreglos de términos algebraicos en potencias crecientes o decrecientes
de una variable dada. El tema de los polinomios es infinito y sus aplicaciones a la ciencia también
son enormes. En este apartado abordaremos la parte referente a las funciones polinomiales sus
propiedades y soluciones.
2.1 Funciones polinomiales
Definición 2.1 La forma general de un polinomio está dada por
a0x0
+a1x1
+a2x2
+...+anxn
(2.1)
donde ai son coeficientes numéricos.
Ejemplo 2.1 En el polinomio de segundo grado 2x2 +3x−2 los coeficientes son: a0 = −2,
a1 = 3 y a2 = 2.
Podemos escribir un polinomio como una función si definimos un dominio y una imagen
para él.
Ejemplo 2.2 El polinomio x3 +2x2 +3x+4 puede reescribirse como una función f : A → B
si lo restringimos a un dominio A: f(x) = x3 +2x2 +3x+4.
Evidentemente podemos escribir cualquier polinomio como una función aún sin definir un
dominio previamente. Estas funciones polinomiales pueden tomar todos los valores disponibles
en sus dominios y cuando los evaluamos en ellos obtenemos la imagen y por lo tanto la gráfica
correspondiente.
Ejemplo 2.3 Graficar la función polinomial f(x) = x3 +5x2 −x+3 en [−2,2].
La gráfica se muestra en la figura [2.1].
Los polinomios tienen propiedades muy útiles como el siguiente teorema.
Teorema 2.1 — Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio de grado n tiene n
raíces o soluciones reales o complejas.
20. 20 Polinomios
2 1 1 2
5
10
15
20
25
Figura 2.1: Gráfica de f(x) = x3 +5x2 −x+3 en [−2,2].
Esto significa que dado n valores xi para la variable x entonces toda función polinomial
f(xi) = a0x0
i +...+anxn
i = 0 (2.2)
será igual a cero.
Ejemplo 2.4 La función polinomial f(x) = x2 +3x+2 es cero cuando tenemos los valores
x1 = −2 y x2 = −1. Para verlo, simplemente sustituimos estos valores en la función
f(−2) = (−2)2
+3(−2)+2 = 4−6+2 = 0
f(−1) = (−1)2
+3(−1)+2 = 1−3+2 = 0
(2.3)
Si graficamos la función polinomial, figura [2.2], notamos que la curva intersecta al eje X en
los puntos x = −2 y x = −1. En general, si tenemos soluciones reales para nuestros polinomios
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 2.2: Gráfica de f(x) = x2 +3x+2 en [−3,0].
entonces la curva correspondiente intersectará al eje X.
En las funciones polinomiales las más utilizadas son las lineales y las cuadráticas cuyas
gráficas son rectas y parábolas respectivamente. Las funciones lineales son de la forma f(x) =
ax+b y las cuadráticas de la forma f(x) = ax2 +bx+c. De las primeras podemos obtener su
21. 2.1 Funciones polinomiales 21
pendiente a partir del coeficiente a y su intersección con el eje Y a partir del término b. De las
segundas también podemos tener información sin graficar. Si recordamos la geometría analítica
veremos que (x − h)2 = 4p(y − h) y (y − k)2 = 4p(x − h) son las ecuaciones ordinarias de la
parábola con vértice V : (h,k), foco F : (h,k± p) o F : (h± p,k) respectivamente. La concavidad
(hacia dónde abre la parábola, positiva hacia arriba y negativa hacia abajo) será positiva si el
término 4p lo es y negativa si 4p es negativo.
Ejemplo 2.5 La función f(x) = x2 + 3x + 2, figura [2.2], podemos escribirla en la for-
ma y = x2 + 3x + 2 y completando cuadrados obtenemos (x + 3/2)2 = y + 1/4, de donde
V : (−3/2,−1/4), F : (−3/2,−1/4+1/4) = (−3/2,0) y concavidad positiva ya que 4p = 1 > 0.
2.1.1 Continuidad y polinomios
En el capítulo anterior estudiamos la continuidad de una función en un punto dado. Los
polinomios también son funciones y por lo tanto su continuidad en un punto tiene la misma im-
portancia. En general, la continuidad en una función polinomial es una proposición generalizada
más sencilla.
Proposición 2.1 — Continuidad de un polinomio. Todo polinomio es continuo en cualquier
punto x0 de su dominio. El cociente de polinomios también es continuo en cualquier punto x0 tal
que el denominador es distinto de cero.
Ejemplo 2.6 Probar la continuidad de f(x) = x2 +5x+6 en x0 = 2. f(2) = 20, usando δ y
ε, tenemos
|x−2| < δ ⇒ |x2
+5x+6−20| < ε (2.4)
⇒ |x2
+5x−14| = |x−2||x+7| < ε
ya que podemos hacer|x−2| < 1
⇒ |x+7| = |x−2+9| ≤ |x−2|+|9| < 1+9 = 10
por lo queδ = ε/10
⇒ |x−2||x+7| < 10·ε/10 = ε
esto significa que si tomamos un número δ cerca de 2 entonces la función nos devolverá un
número ε/10 cerca de 20, es decir, no importa cuanto nos acerquemos a x0 ya que f(x) siempre
nos devolverá un número cerca de f(x0) por continuidad.
Ejemplo 2.7 El polinomio x4 +3x3 +5x2 +x−3 es continuo en cualquier dominio que le
asignemos.
Ejemplo 2.8 La función f(x) = x2+3x−1
x+1 está compuesta por dos polinomios que por sí solos
son continuos en cualquier dominio, sin embargo, la función racional no es continua en el punto
x0 = −1.
Ejercicio 2.1 Probar con δ y ε que el polinomio f(x) = x2 +3x+2 es continuo en x0 = 1.
Ejercicio 2.2 Probar con δ y ε que el polinomio f(x) = x2 −2x+1 es continuo en x0 = 3.
R Recuerda que la composición de funciones continuas es continua con excepción de las
funciones racionales y las raíces pares.
22. 22 Polinomios
2.2 Números complejos
El conjunto de los números complejos contiene al conjunto de los números reales y a partir
de este punto los necesitaremos para expresar las soluciones complejas de los polinomios como
se menciona en el teorema fundamental del álgebra.
Definición 2.2 Todo número complejo z está compuesto por una parte real y una compleja
en la forma
z = a+ib (2.5)
donde a,b son números reales e i =
√
−1 es el número con el que identificamos la parte
compleja. Cuando tenemos i2 esto es igual a −1.
Las operaciones básicas son las mismas que para los números reales a excepción de que
ahora la parte real solo se puede sumar o restar con la parte real y lo mismo con la parte compleja.
Ejemplo 2.9 Hacer las cuatro operaciones básicas con los números complejos: 2+3i y 3−4i.
suma (2+3i)+(3−4i) = 5−i
resta (2+3i)−(3−4i) = −1+7i
producto (2+3i)(3−4i)
= 6−8i+9i−12i2 = 6+i−12(−1) = 18+i
división 2+3i
3−4i
Frecuentemente aparecen raíces cuadradas de números negativos en las soluciones de los
polinomios como
√
−8 o
√
−3, para trabajar con ellas simplemente escribiremos una i antes de
la raíz cuadrada y le quitaremos el signo negativo al número dentro de la raíz:
√
−8 = i
√
8 o√
−3 = i
√
3.
2.3 Soluciones de polinomios
Las raíces de los polinomios de primer grado o funciones lineales se encuentran de manera
sencilla simplemente igualando a cero y despejando la variable.
Ejemplo 2.10 La función lineal f(x) = 4x − 2 la podemos escribir como 0 = 4x − 2 y
despejando x tenemos que x = 2/4. Si sustituimos este valor en la función original obtendremos
la igualdad a cero.
Las raíces de los polinomios de segundo grado o funciones cuadráticas se pueden obtener de
varias formas pero es más útil mediante
x1,2 =
−b±
√
b2 −4ac
2a
(2.6)
donde a, b y c corresponden a los coeficientes del polinomio de segundo grado ax2 +bx+2 = 0.
Ejemplo 2.11 Encontrar las soluciones del polinomio 3x2 +4x−2 = 0. En este caso a = 3,
23. 2.3 Soluciones de polinomios 23
b = 4 y c = −2, sustituyendo en (2.6), tenemos
x1,2 =
−4± 42 −4(3)(−2)
2(3)
=
−4±
√
16+24
6
=
−4±
√
40
6
x1 = −1.72
x2 = 0.38
(2.7)
Ejemplo 2.12 Encontrar las soluciones de x2 +2x+5 = 0. Los coeficientes son: a = 1, b = 2
y c = 5, por lo que de la ecuación (2.6), tenemos
x1,2 =
−2± 4−4(1)(5)
2
(2.8)
=
−2±
√
4−20
2
=
−2±
√
−16
2
=
−2±i
√
16
2
=
−2±i4
2
x1 =
−2+4i
2
x2 =
−2−4i
2
2.3.1 Método de Cardano
Las soluciones para un polinomio de tercer grado se obtienen mediante el método de Cardano.
Este es más complicado y utiliza variables que llamaremos auxiliares y soluciones preliminares.
Se tiene el polinomio cúbico
ax3
+bx2
+cx+d = 0 (2.9)
donde a, b, c y d son coeficientes numéricos. Comenzamos por definir dos variables auxiliares p
y q
p = c−
b2
3
q =
1
27
[27d −9bc+2b3
] (2.10)
ahora definimos el discriminante D
D =
p
3
3
+
q
2
2
(2.11)
24. 24 Polinomios
y otras dos variables auxiliares
A = 3
−
q
2
+
√
D B = 3
−
q
2
−
√
D (2.12)
Si D = 0 o D > 0 y p,q = 0 entonces tendremos las soluciones preliminares y1, y2 y y3 dadas
por
y1 = A+B
y2 = −
1
2
(A+B)−i
√
3
2
(A−B)
y3 = −
1
2
(A+B)−i
√
3
2
(A−B)
(2.13)
y si D < 0 y p < 0 se tienen las soluciones preliminares y1, y2 y y3 dadas por
yk = ±2 −
p
3
cos
φ +2(k −1)π
3
k = 1,2,3 (2.14)
donde φ se obtiene de
φ = cos−1
−
27q2
4p3
(2.15)
En la ecuación (2.14), del signo ± se usará + cuando q ≤ 0 y − cuando q > 0. El resultado al
calcular φ en la ecuación (2.15) estará dado en radianes.
Las soluciones finales x1, x2 y x3 en ambos casos están dadas por
x1 = y1 −
b
3
x2 = y2 −
b
3
x3 = y3 −
b
3
(2.16)
Ejemplo 2.13 Resolvamos el polinomio 3x3 +6x2 +12x+3 = 0. Antes de aplicar el método
de Cardano siempre es preferible normalizar el coeficiente del término cúbico del polinomio
dado, por lo que dividiendo entre 3 tenemos x3 +2x2 +4x+1 = 0. Los coeficientes ahora tienen
los valores a = 1, b = 2, c = 4 y d = 1, calculemos p
p = 4−
22
3
= 4−
4
3
=
8
3
(2.17)
ahora q
q =
1
27
[27(1)−9(2)(4)+2(23
)] =
1
27
[27−72+16] = −
29
27
(2.18)
y D
D =
8/3
3
3
+
−29/27
2
2
=
107
108
(2.19)
25. 2.3 Soluciones de polinomios 25
por lo que D > 0 y p,q = 0 y las ecuaciones (2.13) son las que necesitamos. Calculemos A y B
A =
3
−
−29/27
2
+ 107/108 = 1.1528 (2.20)
y
B =
3
−
−29/27
2
− 107/108 = −0.771 (2.21)
ya podemos escribir las soluciones preliminares
y1 = 1.1528+(−0.771) = 0.3818
y2 = −
1
2
(0.3818)+i
√
3
2
(1.1528−(−0.771)) = −0.1909+1.666i
y3 = −
1
2
(0.3818)−i
√
3
2
(1.1528−(−0.771)) = −0.1909−1.666i
(2.22)
y las soluciones finales dadas por la ecuaciones (2.16)
x1 = 0.3818−
2
3
= −0.2847
x2 = −0.1909+1.666i−
2
3
= −0.8576+1.666i
x3 = −0.1909−1.666i−
2
3
= −0.8576−1.666i
(2.23)
Ejemplo 2.14 Resolvamos el polinomio x3 +5x2 +3x−4 = 0. Los coeficientes son a = 1,
b = 5, c = 2 y d = −4. Calculemos p
p = 2−
52
3
= −
16
3
(2.24)
ahora q
q =
1
27
[27(−4)−9(5)(2)+2(5)3
] =
7
27
(2.25)
y D
D = −
16/3
3
3
+
7/27
2
2
= −5.60185 (2.26)
tenemos que D < 0 por lo que nuestras soluciones preliminares son las ecuaciones (2.14). Primero
calculamos φ de la ecuación (2.15)
φ = cos−1
−
27(7/27)2
4(−16/3)3
= 1.5160 radianes (2.27)
26. 26 Polinomios
x1 4
x2 0.6180
x3 1.6180
4 3 2 1 1 2
5
5
10
15
Figura 2.3: Gráfica de la función f(x) = x3 +5x2 +3x−4 en [−4.5,2].
Como q > 0 entonces usaremos el signo − en (2.14). Ahora podemos obtener las soluciones
preliminares
y1 = −2 −
16/3
3
cos
1.5160+2(1−1)π
3
= −2.3333
y2 = −2 −
16/3
3
cos
1.5160+2(2−1)π
3
= 2.2847
y3 = −2 −
16/3
3
cos
1.5160+2(3−1)π
3
= 0.0486327
(2.28)
y las soluciones finales son
x1 = −6.2216−
5
3
= −4
x2 = 2.2847−
5
3
= 0.618033
x3 = 0.0486327−
5
3
= −1.61803
(2.29)
Podemos ver en la figura [2.3] cómo la gráfica de f(x) = x3 +5x2 +3x−4 intersecta al eje X en
los tres puntos solución.
2.4 Asíntotas de funciones
Las asíntotas son rectas horizontales, verticales u oblicuas a las cuales se acerca la gráfica de
una función cuando tiende a valores muy grandes de su dominio como se muestra en la figura
[2.4]. Las asíntotas son una herramienta útil cuando deseamos tener una idea aproximada de la
forma de la gráfica de una función racional.
Si analizamos el dominio de definición de la función f(x) = 3x+1
2x−1 encontraremos que es
válida en todo el conjunto de los números reales a excepción del punto donde el denomidor
se hace cero ya que no podemos dividir entre cero. Para encontrar el valor de x para el cual el
denominador es cero procedemos como sigue
2x−1 = 0 ⇒ x =
1
2
(2.30)
27. 2.4 Asíntotas de funciones 27
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
4 2 2 4
2
1
1
2
3
4
5
Figura 2.4: Gráfica de la función f(x) = 3x+1
2x−1 en [−4,4].
por lo que en x = 1/2 el denominador se hace cero y ese sería el único valor del dominio en donde
la función no está definida y el cual coincide con la asíntota vertical. Así que el procedimiento
para obtener los puntos no válidos del dominio también nos sirve para obtener la asíntota vertical.
Para obtener la asíntota horizontal necesitamos dividir cada término de la función entre la variable
con el exponente más alto, ya que en f(x) = 3x+1
2x−1 la variable con el exponente más alto es x,
tenemos
A. H. =
3x
x + 1
x
2x
x − 1
x
=
3+0
2−0
=
3
2
(2.31)
donde cada término con un número en el numerador y una variable en el denominador se
vuelve cero cuando x toma valores muy grandes, por lo que la asíntota horizontal es x = 3/2
como podemos verificarlos en la figura [2.4].
Sea la función f(x) = x2+4x−1
x+2 , para obtener sus asíntotas primero dividimos
f(x) =
x2 +4x−1
x+2
= x+2−
5
x+2
(2.32)
el término x + 2 es nuestra asíntota oblicua y − 5
x+2 es el residuo de la división. La asíntota
vertical la obtenemos igualando a cero el denomidor x+2 = 0 por lo que x = −2. Para graficar la
asíntota oblicua la tomamos como una función f(x) = x+2 como se muestra en la figura [2.5]
Cuando tenemos funciones racionales donde el numerador es un polinomio de cualquier grado
y el denominador es un polinomio cuadrático con raíces reales podemos tener una gran variedad
de gráficas aunque siempre tendremos dos asíntotas verticales por lo que no es conveniente hacer
un estudio de todas las variaciones posibles.
Ejercicio 2.3 Encuentra las asíntotas de f(x) = 6x−3
3x+4 .
Ejercicio 2.4 Encuentra las asíntotas de f(x) = x2+4x−5
x+1 .
Ejercicio 2.5 Si el movimiento de un cuerpo estuviera dado por f(x) = x2+3x−2
x+4 ,¿a qué
cuerpo en la naturaleza podría corresponder?
28. 28 Polinomios
Asíntota
vertical
Asíntota oblicua
5 4 3 2 1 1
5
5
Figura 2.5: Gráfica de la función f(x) = x2+4x−1
x+2 en [−5,1].
2.5 Problemas
Problema 2.1 Encuentra la solución de 5x+2 = 0
Problema 2.2 Encuentra la solución de 8x+ 1
4 = 0.
Problema 2.3 Encuentra las soluciones de x2 +8x−3 = 0.
Problema 2.4 Encuentra las soluciones de 3x2 +5x−4 = 0.
Problema 2.5 Encuentra las soluciones de 2x2 +6x+4 = 0.
Problema 2.6 Encuentra las soluciones de 4x2 −4x+8 = 0.
Problema 2.7 Encuentra las soluciones de x3 +4x2 −2x+1 = 0.
Problema 2.8 Encuentra las soluciones de x3 +2x2 −5x+3 = 0.
Problema 2.9 Encuentra las soluciones de x3 −3x2 +x+4 = 0.
Problema 2.10 El polinomio f(x) = x5 −2x+1 ¿es continuo en x0 = −1?
Problema 2.11 Prueba que f(x) = x2−4x+3
x−3 es continua en x0 = 3.
Problema 2.12 Prueba que f(x) = x2−4
x+2 es continua en x0 = −2.
Problema 2.13 Prueba que f(x) = x+2
x2+5x+6
es continua en x0 = −2.
Problema 2.14 Prueba, usando δ y ε, que f(x) = 3x2 +2x+1 es continua en x0 = 1.
Problema 2.15 Prueba, usando δ y ε, que f(x) = 3x−1 es continua en x0 = 2.
Problema 2.16 Traza las asíntotas de la función f(x) = 2x+1
3x−4.
Problema 2.17 Traza las asíntotas de la función f(x) = 3x2+5x−3
2x−3 .
Problema 2.18 Supongamos que f(x) = x−6
4x+2 nos da la fuerza aplicada f sobre un cuerpo en
una distancia x, ¿qué magnitud física será representada por el área bajo las curvas de la función?
29. Funciones exponencial y logarítmica
Problemas
3 — Funciones exponenciales
3.1 Funciones exponencial y logarítmica
La función exponencial f(x) = ex, base e1 = 2.71, es de gran utilidad en todas las ramas
de la ciencia donde se modelan crecimientos y decaimientos de procesos como poblaciones,
movimiento oscilatorio mecánico y electromagnético, densidades de probabilidad, radiación
atómica, etc. El dominio de esta función son los reales y su imagen crece desde −∞, con el eje X
como asíntota, hasta ∞ como se muestra en la figura [3.1].
4 2 2 4
10
20
30
40
50
60
Figura 3.1: Gráfica de la función f(x) = ex en [−5,5].
Podemos observar que la función exponencial es inyectiva y sobreyectiva por lo que es
biunívoca y por lo tanto tiene una inversa llamada logaritmo natural: f(x) = lnx. La gráfica del
logaritmo natural se muestra en la figura [3.2]. Como vemos de su función, el logaritmo natural
crece desde x = 0, su asíntota, hasta ∞. Las operaciones algebraicas con f(x) = ex siguen las
mismas reglas del álgebra.
30. 30 Funciones exponenciales
4 2 2 4
2
1
1
Figura 3.2: Gráfica de la función f(x) = lnx en [−5,5].
Ejemplo 3.1 Hacer las cuatro operaciones básicas con f(x) = ex
suma ex +ex = 2ex
resta ex −ex = 0
producto ex ∗ex = e2x
división ex
ex = 1
Además de las operaciones algebraicas ordinarias, la función logaritmo natural también tiene
propiedades especiales en cuanto a la suma, resta y potenciación de su argumento.
Definición 3.1 — Propiedades de los logaritmos.
ln(x·y) = ln(x)+ln(y)
ln
x
y
= ln(x)−ln(y)
ln(xn
) = nln(x)
ln n
√
x =
1
n
ln(x)
(3.1)
R La suma de dos o más logaritmos es el logaritmo del producto de sus argumentos y la resta
de dos o más logaritmos es el logaritmo de la división de los argumentos.
Ejemplo 3.2
ln5x2
+ln3x+ln2x3
−lnx2
−ln4x3
= ln(5x2
·3x·2x3
)−ln(x2
·4x3
)
= ln(30x6
)−ln(4x5
)
= ln
30x6
4x5
= ln
30x
4
(3.2)
31. 3.1 Funciones exponencial y logarítmica 31
Ejemplo 3.3
ln27x3
= ln(3x)3
= 3ln(3x)
(3.3)
Ejemplo 3.4
ln
3
√
4x2 = ln( 3
(2x)2)
= ln(2x)2/3
=
2
3
ln(2x)
(3.4)
Las mismas reglas que hemos visto se siguen para logaritmos con cualquier base distinta a
e1 = 2.71. El significado práctico de la función logaritmo es que es el número al cual elevamos
la base para obtener un resultado
ln6 = 1.7917 ⇒ e1.7917
= 6 (3.5)
De esta forma podemos resolver ecuaciones con logaritmos y exponenciales.
Ejemplo 3.5 Resolver la ecuación ex −5 = 1.
ex
−5 = 1 ⇒ ex
= 6
y aplicando su inversa en ambos lados
ln(ex
) = ln(6) ⇒ x = 1.7917
(3.6)
R Recordemos que la composición de una función con su inversa es el argumento de las
funciones
f(f−1
(x)) = f−1
(f(x)) = x (3.7)
Ejemplo 3.6 Resolver la ecuación ln(x2)−3 = 4.
ln(x2
)−3 = 4 ⇒ ln(x2
) = 7
aplicando su inversa
elnx2
= e7
⇒ x2
= e7
x =
√
e7 ⇒ x = 33.1154
(3.8)
R Recordemos que no existe el logaritmo de un número negativo en cualquier base y que
Log(1) = 0, también en cualquier base.
32. 32 Funciones exponenciales
Ejemplo 3.7 Utilicemos otra base para resolver la ecuación logarítmica Log10(3x) = 8.
Log10(3x) = 8 ⇒ 10Log10(3x)
= 108
3x = 108
⇒ x =
108
3
(3.9)
Como vimos en este ejemplo, f(x) = 10x es la inversa de f(x) = Log10x.
3.2 Problemas
Problema 3.1 ¿Es continua la función f(x) = ex en los reales?
Problema 3.2 Prueba que la función f(x) = 3ex es continua en x0 = 1.
Problema 3.3 ¿La función f(x) = ln(x) es continua en los reales?
Problema 3.4 Prueba que f(x) = 5ln(2x) es continua en x0 = 2.
Problema 3.5 Resuelve la ecuación 3ex −3 = 0.
Problema 3.6 Resuelve la ecuación 2
3 ex − 1
2 = 0
Problema 3.7 Resuelve la ecuación ln(3x)+5 = 0
Problema 3.8 Resuelve la ecuación ln(2x)+ln(x)+ln(6x2)−ln(4x3) = 8.
Problema 3.9 Resuelve la ecuación ln(x)+ln(4x3)+ln(5x) = 4.
Problema 3.10 Resuelve la ecuación ln(10x)+ln(12x) = 2.
Problema 3.11 Resuelve la ecuación ln(8x)−ln(2x) = 10.
Problema 3.12 Resuelve la ecuación Log4(2x)−5 = 0.
Problema 3.13 Resuelve la ecuación Log8(3x)−10 = 0.
Problema 3.14 Resuelve la ecuación Log3(x)+Log3(4x)−Log3(8x) = 5.
Problema 3.15 Resuelve la ecuación Log6(4x2)+Log6(5x)−Log6(2x) = 3.
33. Funciones seno y coseno
Otras funciones trigonométricas
Paridad trigonométrica
Ecuaciones trigonométricas
Problemas
4 — Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas, al igual que las funciones algebraicas, tienen una importancia
ilimitada en todas las áreas. Como funciones que tienen un comportamiento periódico su principal
utilidad es en los fenómenos cuyo comportamiento tiene tendencia cíclica como el movimiento
circular o ondulatorio. Las distintas variaciones del movimiento periódico se analizan con las
funciones trigonométricas asi como con todas sus operaciones algebraicas.
4.1 Funciones seno y coseno
Seno y coseno de un ángulo son funciones trigonométricas que se definen como la razón
entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el cateto adyacente y la hipotenusa, respectivamente,
de un triángulo rectángulo. Al trabajar con las funciones trigonométricas se acostumbra utilizar
como argumento la letra griega teta θ en lugar de la tradicional x
f(θ) = senθ f(θ) = cosθ (4.1)
en la figura [4.1] se muestran sus gráficas.
cos Θ sen Θ
6 4 2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
Figura 4.1: Gráfica de las funciones f(θ) = cosθ y f(θ) = senθ en [−2π,2π].
34. 34 Funciones Trigonométricas
f x cos 1
x
3 2 1 1 2 3
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 4.2: Gráfica de f(θ) = cos−1θ en [−π,π].
Estas funciones son periódicas, es decir que cada determinado intervalo se repite su forma.
De sus gráficas podemos ver que no son inyectivas aunque si son sobreyectivas. Si deseáramos
que fueran inyectivas tendríamos que restringir sus dominios, por ejemplo a f(θ) = cosθ la
podemos restringir a [0,π] tal que en ese intervalo es inyectiva y sobreyectiva por lo que podemos
encontrar su inversa que en este caso es
f(θ) = cos−1
θ (4.2)
su gráfica se muestra en la figura [4.2] De la misma manera, la función senθ también tiene su
inversa sen−1θ al igual que las demás funciones trigonométricas.
4.2 Otras funciones trigonométricas
Ademas de senθ y cosθ también tenemos
Tangente tanθ =
senθ
cosθ
(4.3)
Secante secθ =
1
cosθ
Cosecante cscθ =
1
senθ
Cotangente cotθ =
1
tanθ
=
cosθ
senθ
R Recuerda que para las funciones trigonométricas es preferible utilizar los radianes como
unidad angular.
4.2.1 Paridad trigonométrica
Ya habíamos abordado la paridad en las funciones algebraicas, ahora lo haremos en las
trigonométricas.
Definición 4.1 La función cosθ es par ya que cos(−θ) = cos(θ).
35. 4.2 Otras funciones trigonométricas 35
Definición 4.2 La función senθ es impar ya que sen(−θ) = −sen(θ).
Ejemplo 4.1 Encontrar la paridad de la función f(θ) = senθcosθ. Para conocer la paridad
simplemente sustituimos los signos negativos en los argumentos de las funciones y simplificamos
f(−θ) = sen(−θ)cos(−θ) = −senθcosθ (4.4)
por lo que se cumple la condición impar f(−x) = −f(x).
Ejemplo 4.2 Encontrar la paridad de la función f(θ) = tanθ.
f(−θ) = tan(−θ) (4.5)
=
sen(−θ)
cos(−θ)
=
−senθ
cosθ
= −
senθ
cosθ
= −tanθ
por lo que se cumple la condición impar f(−x) = −f(x).
También podemos comprobar la paridad de una función compuesta por partes algebraicas y
trigonométricas
Ejemplo 4.3 Encontrar la paridad de f(x) = xtanx
x2cosx
.
f(−x) =
(−x)tan(−x)
(−x)2cos(−x)
(4.6)
=
−x(−tanx)
x2cosx
=
xtanx
x2cosx
por lo que se cumple la condición par f(−x) = f(x).
Ejemplo 4.4 Encontrar la paridad de f(x) = x3cosxtanx
f(−x) = (−x)3
cos(−x)tan(−x) (4.7)
= −x3
cosx(−tanx)
= x3
cosxtanx
y tenemos una función par.
Ejemplo 4.5 Encontrar la paridad de f(x) = x2tanx+senx
xcos3xsen5x
f(−x) =
(−x)2tan(−x)+sen(−x)
(−x)cos(−3x)sen(−5x)
(4.8)
=
−x2tanx−senx
xcos3xsen5x
=
−(x2tanx+senx)
xcos3xsen5x
= −
x2tanx+senx
xcos3xsen5x
y tenemos una función impar.
36. 36 Funciones Trigonométricas
4.3 Ecuaciones trigonométricas
Con las funciones trigonométricas podemos formar ecuaciones que resolveremos con los
métodos tradicionales para polinomios más un paso final al aplicar una función inversa para
conocer el argumento o solución.
Ejemplo 4.6 Resolver la ecuación 3senx− 1
2 = 0.
3senx−
1
2
= 0 ⇒ 3senx =
1
2
(4.9)
⇒ senx =
1
3
1
2
=
1
6
⇒ sen−1
(senx) = sen−1 1
6
⇒ x = sen−1 1
6
tenemos la opción de calcular sen−1 1
6 o dejarlo así.
Ejemplo 4.7 Resolver tan(3x2)− 2
5 = 0.
tan(3x2
)−
2
5
= 0 ⇒ tan(3x2
) =
2
5
(4.10)
⇒ tan−1
(tan(3x2
)) = tan−1 2
5
⇒ 3x2
= tan−1 2
5
⇒ x2
=
1
3
tan−1 2
5
⇒ x =
1
3
tan−1
2
5
Para resolver una ecuación trigonométrica con términos cuadrados utilizamos la fórmula
(2.6)
Ejemplo 4.8 Resolver 2cos2θ +3cosθ −1 = 0. Tenemos que a = 2, b = 3 y c = −1 por lo
que
x1,2 =
−3± 32 −4(2)(−1)
2(2)
(4.11)
=
−3±
√
9+8
4
=
−3±
√
17
4
=
−3±4.12
4
x1 =
−3+4.12
4
=
1.12
4
x2 =
−3−4.12
4
=
−7.12
4
37. 4.4 Problemas 37
ahora igualamos x1 y x2 a cosθ
cosθ1 =
1.12
4
(4.12)
cosθ2 =
−7.12
4
aplicando la inversa
θ1 = cos−1 1.12
4
θ2 = cos−1 −7.12
4
de donde tenemos las dos soluciones.
Resolver una ecuación de tercer grado también es posible con el método de Cardano.
4.4 Problemas
Problema 4.1 Encuentra la paridad de la función f(x) = −cos2xtan3x.
Problema 4.2 Encuentra la paridad de la función f(x) = x4cos4x.
Problema 4.3 Encuentra la paridad de la función f(x) = 5cos2xtan4x
x2cos5x
.
Problema 4.4 Encuentra la paridad de la función f(x) = cosx+cos3x
x2tanx
.
Problema 4.5 Encuentra la paridad de la función f(x) = x3+x
senxcos2x .
Problema 4.6 Encuentra la paridad de la función f(x) = 5x2cos6xsenx
x3tan3x
.
Problema 4.7 Resuelve la ecuación 3sen5x− 2
7 = 0.
Problema 4.8 Resuelve la ecuación 2tan3x− 3
8 = 0.
Problema 4.9 Resuelve la ecuación 4sec2x−2 = 0.
Problema 4.10 Resuelve la ecuación 3cos2x+4cosx−2 = 0.
Problema 4.11 Resuelve la ecuación tan2x+4tanx−3 = 0.
Problema 4.12 Resuelve la ecuación 7tan2x+2tanx−1 = 0.
38.
39. Bibliografía
Libros
Teoría de Conjuntos, Lipschutz Seymour. Ed. McGraw Hill, México. 1966.
Artículos
Notas de Geometría Analítica, Cisneros Pérez Tzihué. Ed CiPé. Morelia, México. 2012.
40.
41. Índice alfabético
Biyectiva, 8
Continuidad, 9
Continuidad de funciones compuestas, 13
Continuidad puntual, 10
Continuidad y polinomios, 21
Ecuación de segundo grado, 22
Ecuaciones trigonométricas, 36
Función, 5
Función constante, 17
Función identidad, 17
Intervalo abierto, 16
Intervalo cerrado, 16
Inversa, 8
Inyectiva, 7
Método de Cardano, 23
Números complejos, 22
Paridad de funciones, 15
Paridad trigonométrica, 34
Polinomio, 19
Propiedades de los logaritmos, 30
Relación, 5
Sobreyectiva, 7
Teorema fundamental del álgebra, 19
Traslación de funciones, 13
