RACIONALES, TRIGONOMÉTRICAS, VALOR ABSOLUTO, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
SEDE PUERTO LA CRUZ
MATEMÁTICA I
“FUNCIONES”
Racionales, Trigonométricas, Valor Absoluto, Exponenciales y Logarítmicas
Alumno: Edgardo Quiñones.
C.I. 17.535.494
Docente: Ranielina Rondón.
PUERTO LA CRUZ, 28 de JUNIO de 2017

2. El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Sus gráficas son hipérbolas.
También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
El dominio lo forman todos los números reales excepto
los valores de x que anulan el denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

3. Representa la siguiente función racional con todas sus
características y halla la constante k de proporcionalidad inversa:
y =5/x k = 5
1) Tipo de función: es una función racional de proporcionalidad inversa,
cuya gráfica corresponde a una hipérbola equilátera.
2) Dominio: como es una función racional, Dom(f) = R - {0} .
3) Recorrido o imagen: Im(f) = (- ∞, 0) (0, + ∞) .∪
4) Continuidad: es discontinua en x = 0 .
5) Simetría:
f(- x) = 5/(- x) = - (5/x) = - f(x)
La función f es simétrica impar.
6) Corte con los ejes:
Las funciones racionales de proporcionalidad inversa no corta a los ejes.
7) Signo:
Como k > 0 es negativa en (- ∞, 0) y positiva en (0, + ∞) .
8) Monotonía:
Como k > 0 la función es decreciente en: (- ∞, 0) (0, + ∞)∪
9) Máximos y mínimos relativos:
La función no tiene ni máximos ni mínimos.
10) Curvatura y puntos de inflexión:
Como k > 0 , la función es convexa en (- ∞ 0) y cóncava en (0, + ∞)
11) Asíntotas:
La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 .
La función tiene una asíntota vertical en x = 0
(valor que anula al denominador)
12) Acotación:
La función no está acotada ni superiormente ni inferiormente.

4. Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente
entre dos lados de un triangulo rectángulo asociado a sus ángulos.
f(x) = sen x f(x) = cos x
El dominio lo forman todos los números reales

5. f(x) = tg x
Dominio:
f(x) = cotg x
Dominio:

6. f(x) = sec x
Dominio:
Dominio:
f(x) = cosec x

7. Dada la siguiente función, estudia todas sus características.
Representa su gráfica.
y = sen (5x)
1) Dominio: Dom(f) = R
2) Recorrido: Im(f) = [-1 , 1]
3) Periodicidad:
Como la función seno es periódica de período 2π, la función
f(x) = sen (5x) es periódica de período:
2π = 5x x = 2π/5⇔
Es periódica de período 2π/5 .
También podemos hallar el período de la función así:
f(x) = sen(5x) = sen(5x + 2π) = sen[ 5 (x + 2π/5) ] = f(x + 2π/5)
También podemos calcular el periodo de forma más fácil
aplicando directamente la siguiente fórmula:
Periodo = 2π/5
4) Puntos de corte:
Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período
de nuestra función.
Puntos de corte con el eje Y:
Si x = 0 y = sen 0 y = 0 (0 , 0)⇒ ⇒ ⇒
Puntos de corte con el eje X:
Si y = 0 0 = sen (5x) 5x = 0 ó 5x = π x = 0⇒ ⇒ ⇒
ó x = π/5 (0 , 0) , (π/5 , 0)⇒
5) Máximos y mínimos:
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer
período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
1 = sen (5x) 5x = π/2 x = π/10 (π/10 , 1)⇒ ⇒ ⇒
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
-1 = sen (5x) 5x = 3π/2 x = 3π/10 (3π/10 , -1)⇒ ⇒ ⇒

8. En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un
Número real es su valor numérico sin tener en cuenta
su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así,
por ejemplo, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
Dominio:
El dominio lo forman todos los números reales
Las funciones en valor absoluto se transforman en
funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos
donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.

9. Representa la siguiente función con todas sus características:
y = |x| - 2
Dom(f) = R
Im(f) = [-2, +∞)
Puntos de corte:
• Para x = 0 tenemos que f(0) = - 2 ⇒
El punto de corte con el eje Y es (0, - 2)
• Para que f(x) = 0 0 = |x| - 2 |x| = 2 x = ±2 ⇒ ⇒ ⇒
⇒ Corta al eje X en los puntos (- 2, 0) y (2, 0)
Monotonía:
• La función es decreciente en el intervalo (-∞, 0)
puesto que y = - x - 2 tiene pendiente negativa (m = - 1) .
• La función es creciente en el intervalo (0, +∞)
puesto que y = x - 2 tiene pendiente positiva (m = 1) .
Máximos y mínimos:
La función posee un mínimo absoluto en el punto (0, - 2)
ya que f(x) ≥ - 2 para cualquier valor de x .
La gráfica es el resultado de trasladar verticalmente hacia
abajo dos unidades a la función f(x) = |x|
Es decir, y = f(x) - 2 = |x| - 2

10. Sea a un número real positivo. La función que a cada
número real x le hace corresponder la potencia ax
se llama función exponencial de base a y exponente x.
La función exponencial es del tipo:
Dominio:
El dominio lo forman todos los números reales

11. Dada la siguiente función, estudia todas sus características
e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
f(x) = ex
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .
Im(f) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = e0
= 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
La función f(x) no corta al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que e > 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es cóncava.
6) Asíntotas:
Las función f(x) tiene una asíntota en el eje X.
7) Tabla de valores:

12. La función logarítmica en base a es la función inversa
de la exponencial en base a.
Dominio: El dominio lo forman todos los números reales positivos
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a
la bisectriz del 1er
y 3er
cuadrante) de la gráfica de la función
exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

13. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas.
Representa su gráfica.
y = 2 + log2 (x - 3)
1) Dominio:
Esta función es una traslación de la función logarítmica g(x) = log2x.
Por un lado, está traslada verticalmente en 2 unidades, y por otro, está trasladada
horizontalmente hacia la derecha en 3 unidades. Es decir, nuestra función es:
f(x) = 2 + log2 (x - 3) = 2 + g(x - 3)
El dominio de g es (0 , ∞) , por tanto, el dominio de nuestra función es: (3 , ∞)
2) Recorrido:
Su recorrido viene dado por todos los números reales: R
3) Puntos de corte:
No corta al eje Y, ya que x = 0 no está en el dominio de la función: 0 (3 , ∞).∉
Punto de corte con el eje X:
0 = 2 + log2 (0 - 3) = 2 + log2 3 ( 2 + log⇒ 2 3 , 0)
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función es creciente ya que a = 2 > 1 ( y = loga x) .
5) Concavidad y convexidad:
La función es convexa ya que a = 2 > 1 ( y = loga x) .
6) Asíntotas:
La función g(x) = log2 x tiene una asíntota en el eje Y.
Como nuestra función está trasladada horizontalmente hacia la derecha en 3 unidades
con respecto a la función g , su asíntota también queda trasladada de la misma forma.
Por tanto, nuestra función tiene una asíntota vertical en x = 3 .
7) Tabla de valores: