El documento presenta conceptos sobre el cálculo integral para hallar el área de regiones planas limitadas por curvas. Explica que el área bajo la curva y=f(x) entre los límites a y b es igual a la integral definida de f(x)dx. También presenta un teorema para hallar el área de una región limitada por dos curvas y=f(x) y y=g(x), que es igual a la integral de f(x)-g(x)dx. Finalmente, resuelve dos ejemplos aplicando estos conceptos.

1. z
Cálculo Integral
(BMA02)
Área de regiones planas
2022-1
LIMA- PERÚ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
PROFESOR : Arámbulo Ostos Carlos Eduardo
TEMA :
CURSO :
INTEGRANTES:  Huamani Vera, Katherine Lucero 20210196C
 Tello Fonseca, Yessenia Liz 20211352I

3. El concepto de integral definida fue motivado por el problema de hallar áreas
limitadas por curvas.
DEFINICIÓN 1:
Se llama ÁREA BAJO LA CURVA 𝑦 = 𝑓(𝑥), al área de la región R limitada por la
gráfica de la función continua y no negativa 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 las rectas 𝑥 = 𝑎,
𝑥 = 𝑏 y el eje 𝑥. Lo que se denota por A(R), siendo:
Donde 𝜀𝑖 ∈ 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 , ∀ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ; ∆𝑖𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1;
𝑃 : norma de la partición P del intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 ; y los 𝑥𝑖, 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 son
los puntos de la partición P.
𝐴 𝑅 = lim
𝑃 →0
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑖𝑥
………………………….(1)

4. También, hemos visto que si el límite en (1) existe, entonces este se puede
expresar como:
Luego, si 𝑓 𝑥 ≥ 0 ⟹
lim
𝑃 →0
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝜀𝑖)∆𝑖𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ……………………….(2)
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
𝑓(𝑥)
ⅆ𝑥
𝑷(𝒙, 𝒇 𝒙 )

5. NOTA 1: Si 𝑓 es una función continua sobre 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
entonces el área bajo la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) está dado por:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
−𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
………………………….(3)
x
y
𝑎 𝑏
𝑓(𝑥)
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
−𝑓(𝑥)
ⅆ𝑥
⟹
−𝑓(𝑥)

6. DEFINICIÓN 2:
En (2), la expresión 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 se conoce como ÁREA ELEMENTAL, siendo 𝑓(𝑥) la
altura del rectángulo elemental y ⅆ𝑥 su base.
TEOREMA 1: Sea R la región acotada por la gráfica de las funciones continuas
sobre 𝑎, 𝑏 , 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Si 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
entonces el área de la región R es:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ⅆ𝑥
…..………………….(4)
x
y
𝑎 𝑏
𝑓(𝑥)
ⅆ𝑥
𝑨(𝑹)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥

7. EJEMPLO 1: Expresar como una integral definida, el área entre las gráficas de las funciones continuas
𝑓 y 𝑔, para los siguientes casos:
a) 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
b) 𝑓 𝑥 < 0, 𝑔 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(𝑎)
𝑓(𝑥) > 0
𝑔 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
x
y
𝑎 𝑏
𝑨(𝑹)
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
(𝑏)
𝑓 𝑥 < 0
𝑔 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥

8. EJEMPLO 1: Expresar como una integral definida, el área entre las gráficas de las funciones continuas
𝑓 y 𝑔, para los siguientes casos:
a) 𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑔 𝑥 ≤ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
b) 𝑓 𝑥 < 0, 𝑔 𝑥 < 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
 Tanto e n e l c as o ( a) c omo e n ( b) s e tendr á q u e :
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ⅆ𝑥

9. En general, si R es la región limitada por la gráfica de las funciones continuas
𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, el área de R es:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ⅆ𝑥
Esto es, no hay necesidad de establecer la relación de orden de 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥
como señala el teorema 1; este orden se encuentra de manera implícita en el
valor absoluto.
Debemos notar, que el área de la región R limitada por las curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,
𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , siempre estará dada por la integral del área elemental
cuya altura es la diferencia de las ordenadas y la base ⅆ𝑥.
…..………………….(5)

10. COROLARIO 1: Si R es la región limitada por las ecuaciones F(x, y) = 0, G(x, y) = 0,
donde , 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , son funciones continuas sobre 𝑐, ⅆ obtenidas de F y G
tales que 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑐, ⅆ , las rectas 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = ⅆ, entonces:
𝐴 𝑅 =
𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 − 𝑔 𝑦 ⅆ𝑦 …..………………….(6)
x
y
ⅆ
𝑐
𝑓(𝑥)
𝑨(𝑹)
𝑔(𝑥)
*Siempre la función
que está más a la
derecha menos la otra.

12. Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones continuas en 𝑎, 𝑏 y 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , entonces
el área de la región limitada por las gráficas de 𝑓 y 𝑔 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y
𝑥 = 𝑏 es:
DEMOSTRACIÓN: Subdividimos el intervalo 𝑎, 𝑏 en n subintervalos cada uno de
ancho ∆𝑥 y dibujamos un rectángulo representativo de alto 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 donde 𝑥
está en el 𝑖-ésimo intervalo.
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

13. Área del rectángulo 𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥
Sumando las áreas y considerando que el número de rectángulos tiende a infinito
resulta que el área total es: lim
𝑛→∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥
Como f y g son continuas en el intervalo, la función diferencia 𝑓 − 𝑔 también lo es y
el límite existe.
Por lo tanto el área es: Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞ 𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 − 𝑔 𝑥𝑖 ∆𝑥 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) ⅆ𝑥

14. Es importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área depende sólo de
que f y g sean continuas y de que 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 . Las gráficas de f y g pueden estar
situadas de cualquier manera respecto del eje x.

15. Integración respecto al eje y
Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se
pueden trabajar mejor considerando x como función de y los rectángulos
representativos para la aproximación se consideran horizontales en lugar de
verticales. De esta manera, si una región está limitada por las curvas de ecuaciones
𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 = 𝑐 y la recta horizontal 𝑦 = ⅆ, donde f y g son continuas y
𝑓 𝑦 ≥ 𝑔 𝑦 para 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ ⅆ, entonces su área resulta:
𝐴 =
𝑐
𝑑
𝑓 𝑦 − 𝑔(𝑦) ⅆ𝑦

17. EJEMPLO 1:
Determine el área de la región limitada por la gráfica
de 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.

18. Determine el área de la región limitada por la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
x
y
𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟑
 G r a f i q u e m o s :

19. Determine el área de la región limitada por la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
x
y
(4; 0)
𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟑
 C o n a y u d a d e
l a g r á f i c a ,
h a l l a m o s l a
r e g i ó n l i m i t a d a .

20.  La medida del área deseada está dada por el límite de esta suma cuando ∆𝑥 se
aproxima a 0; así, si A unidades cuadradas es el área de la región, tendremos:
Determine el área de la región limitada por la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.
 De este modo, el área de la región es
22
3
de unidades cuadradas.
0 = 𝑥2 − 4𝑥 = 𝑥 𝑥 − 4 → 𝑥1 = 0 𝑥2 = 4
𝐴 = lim
∆𝑥→0
𝑖=1
𝑛
(4𝜀𝑖 − 𝜀𝑖
2
)∆𝑥
𝐴 =
1
3
4𝑥 − 𝑥2 = 2𝑥2 −
1
3
𝑥3
1
3
=
22
3

21. EJEMPLO 2:
Encontrar el área de Ia región acotada por la curva
𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.

22. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
 G r a f i q u e m o s :
x
y
(-2; 0)
(0; 6)
(1; 0) (3; 0)
𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐

23. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
 C o n a y u d a d e
l a g r á f i c a ,
h a l l a m o s l a
r e g i ó n l i m i t a d a .
𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔
(-2; 0)
(1; 0)
(0; 6)
(3; 0)

24. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
(-2; 0)
(1; 0)
(0; 6)
(3; 0)
 Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6.
Como 𝑓(𝑥) ≥ 0 cuando 𝑥 está
en el intervalo cerrado −1,1
y 𝑓(𝑥) ≤ 0 cuando 𝑥 está en
el intervalo 1,2 , separamos
la región en dos partes.

25. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
 Sea 𝐴1 el número de
unidades cuadradas en el
área de la región cuando 𝑥
está en −1,1 , y sea 𝐴2 el
número de unidades
cuadradas en el área de la
región cuando 𝑥 está en 1,2 .
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
(-2; 0)
(0; 6)
(3; 0)
(1; 0) (3; 0)
𝑨𝟏
𝑨𝟐

26. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
 Entonces:
𝐴1 = lim
∆𝑥→0
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝜀𝑖 ∆𝑥 =
−1
1
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
=
−1
1
(𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6) ⅆ𝑥
𝐴2 =
1
2
−(𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6) ⅆ𝑥
Si A unidades cuadradas es el área de
la región total, entonces: 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2.
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
(-2; 0)
(0; 6)
(3; 0)
(1; 0) (3; 0)
𝑨𝟏
𝑨𝟐

27. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
=
−1
1
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 ⅆ𝑥 −
1
2
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 ⅆ𝑥
=
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
−1
1
−
1
4
𝑥4 −
2
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
1
2
=
1
4
−
2
3
−
5
2
+ 6 −
1
4
−
2
3
−
5
2
− 6 − 4 −
16
3
− 10 + 12 −
1
4
−
2
3
−
5
2
+ 6
=
157
12

28. Encontrar el área de Ia región acotada por la curva 𝑦 = 𝑥3
− 2𝑥2
− 5𝑥 + 6, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1 y
𝑥 = 2.
 El área de la región es por lo tanto
157
12
unidades cuadradas.
𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
x
y
𝒙 = −𝟏
𝒙 = 𝟐
(0; 6)
𝑨𝟏
𝑨𝟐
(Ԑ1; f(Ԑ1))
Ԑ1
(Ԑ1; f(Ԑ1))
∆x
∆x

29. EJEMPLO 3:
Encontrar el área de Ia región acotada por las curvas
𝑦 = x2 y 𝑦 = ‒ x2 + 4x

30.  Para encontrar los puntos de intersección de las dos curvas, resolvemos las
ecuaciones simultáneamente y obtenemos los puntos (0;0) y (2;4).
Encontrar el área de Ia región acotada por las curvas y = x2 y y = ‒ x2 + 4x
 Sea: 𝑓(𝑥) = ‒x2 + 4x y 𝑔(𝑥) = x2
−𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥2
𝑥 −𝑥 + 4 = 𝑥. 𝑥
−𝑥 + 4 = 𝑥
2𝑥 = 4
 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 obtenemos los puntos
(0;0) , (2;‒4).
 Entonces:

31. y = 𝒈(𝒙)
y = 𝒇(𝒙)
(2;4)
(Ԑ1; 𝑓(Ԑ1))
 Si A unidades cuadradas
es el área de la región,
entonces
Encontrar el área de Ia región acotada por las curvas y = x2 y y = ‒ x2 + 4x
A = 𝟎
𝟐
[ f(x) ‒ g(x) ]dx
 G r a f i q u e m o s :
 De lo anterior,
sabemos que el
intervalo [0;2] Ia curva
y = f(x) está arriba de
la curva y = g(x).

32. A = 0
2
[ f(x) ‒ g(x) ]dx
A = 0
2
(‒2x2 + 4x) dx
A = [‒
2
3
x3 + 2x2 ]0
2
A = ‒
18
3
+ 8 ‒ 0
El área de la región es
8
3
de unidades
cuadradas.
A = 0
2
[( ‒x2
+ 4x ) ‒ (x2
)]dx
Encontrar el área de Ia región acotada por las curvas y = x2 y y = ‒ x2 + 4x
 A = 0
2
[ f(x) ‒ g(x) ]dx
A =
8
3

33. EJEMPLO 4:
Encontrar el área de Ia región acotada por la
parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5

34. Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 Para encontrar los puntos de intersección de la parábola y la recta,
resolvemos las dos ecuaciones simultáneamente y obtenemos los puntos
(3 ; - 2) y (9 ; 4).
 La ecuación 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 ‒ 𝟐 es equivalente a las dos ecuaciones y = 2x ‒ 2
y y = ‒ 2x ‒ 2

35. Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 La primera ecuación da la mitad superior de la parábola y la segunda
ecuación da la mitad inferior.
 Si hacemos f𝟏(x) = 2x ‒ 2 y f𝟐(x) = ‒ 2x ‒ 2
 La ecuación de la mitad superior de la parábola es y = f𝟏(x) y la ecuación de
mitad inferior de la parabola y = f𝟐(x).
 Si hacemos que g(x) = x ‒ 5 la ecuación de la recta es y = g(x).

36. (9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
y = f𝟏(x)
y = g(x)
 G r a f i q u e m o s :
(3; ‒2)
Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5

37. (9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
 En la figura vemos dos
elementos rectangulares
verticales de áreas.
 Cada rectángulo tiene la
base superior sobre la
curva y = f1(x).
 Ya que la base del primer
rectángulo está sobre la
curva y = f2(x), la altura es
[f1(Ԑ1) ‒ f2(Ԑ1)] unidades.
Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
y = f𝟏(x)
y = g(x)
 G r a f i q u e m o s :
(Ԑ1;f1(Ԑ1))
(Ԑ1; g(Ԑ1))
(Ԑ1; f1(Ԑ1))
(Ԑ1; f2(Ԑ1))

38.  Ya que la base del
Segundo rectángulo
está sobre la curva
y = g(x), su altura es
[f1(Ԑ1) ‒ g(Ԑ1)] unidades.
Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
(9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
y = f𝟏(x)
y = g(x)
(Ԑ1;f1(Ԑ1))
(Ԑ1; g(Ԑ1))
(Ԑ1; f1(Ԑ1))
(Ԑ1; f2(Ԑ1))
 Si deseamos resolver
este problema usando
elementos rectangulares
verticales de area,
debemos dividir Ia region
en dos regiones
separadas, por ejemplo
R1 y R2.

39. Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
(9;4)
(3; ‒2)
y = f𝟐(x)
𝑥
𝑦
y = f𝟏(x)
y = g(x)
 Por ejemplo R1 y R2.
 Donde R1 es Ia
región acotada por
las curvas y = f𝟏(x)
y y = f𝟐(x) y Ia
recta 𝑥 = 3.
 Tambien R2 es Ia
region acotada por
las curvas y = f𝟏(x)
y y = g(x) y la
recta 𝑥 = 3.
R1
R2

40. Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 Si A1 es el área de la región R1 en
unidades cuadradas, tenemos:
 A1 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[ f1(Ԑ1) ‒ f2(Ԑ1) ]∆𝑥
A1 = 1
3
[ f1(𝑥) ‒ f2(𝑥) ]ⅆ𝑥
A1 = 1
3
[ 2x ‒ 2 + 2x ‒ 2 ]ⅆ𝑥
A1 = 2 1
3
2x ‒ 2 ⅆ𝑥
A1 =
2
3
2𝑥 − 2
3
2 ]1
3
A1 =
16
3
A1 = [
2
3
6 − 2
3
2] − [ 0 ]

41. Encontrar el área de Ia región acotada por la parábola 𝑦2
= 2𝑥 − 2 y la recta 𝑦 = 𝑥 − 5
 Si A𝟐 es el área de la región R2 en
unidades cuadradas, tenemos:
 A𝟐 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[ f1(Ԑ1) ‒ 𝑔(Ԑ1) ]∆𝑥
A𝟐 = 3
9
[ f1(𝑥) ‒ 𝑔(𝑥) ]ⅆ𝑥
A𝟐 = 3
9
[ 2x ‒ 2 − (𝑥 − 5) ]ⅆ𝑥
A𝟐 = [
1
3
2𝑥 − 2
3
2
−
1
2
x2 + 5𝑥]3
9
A𝟐 =
38
3
A𝟐 = [
16
3
2
3
−
81
2
+ 45 ] −
[
4
3
2
3
−
9
2
+ 15]
De aquí A𝟏 + A𝟐 =
16
3
+
38
3
= 18,
por lo tanto, el área de toda la región es 18
unidades cuadradas.

42. EJEMPLO 5:
Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior
tomando elementos rectangulares horizontales de
área.

43. Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior tomando elementos rectangulares horizontales de área.
 Se ilustra la región
con un elemento
rectangular horizontal
de áreas.
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦1
𝑦2
Ԑ1 ∆y

44.  Si en las ecuaciones de la
parábola y de la recta
resolvemos para x, temenos
x=
1
2
(y2 + 2) y x = y + 5
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦1
𝑦2
Ԑ1 ∆y
 Haciendo Φ(y) =
1
2
(y2 + 2) y
λ (y) = y + 5, la ecuación de la
parabola se puede escribir
como x = Φ(y) y la ecuación
de la recta como x = λ (y)
Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior tomando elementos rectangulares horizontales de área.

45.  Si consideramos el intervalo
cerrado sobre el eje y y tomamos
una partición regular de este
intervalo cada subintervalo
tendrá una longitud ∆y.
 En el i-ésimo intervalo [𝑦𝑖−1; 𝑦𝑖],
escogemos un punto Ԑ1.
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦𝑖
𝑦𝑖−1
Ԑ1 ∆y
Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior tomando elementos rectangulares horizontales de área.

46.  Si A unidades cuadradas es el
área de la región, entonces
A = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[λ(Ԑ1) ‒ Φ(Ԑ1)](∆y)
 Ya que λ y Φ son continuas en
[-2;4].
x = λ (y)
x = Φ(y)
(9;4)
y = f𝟐(x)
(3; ‒2)
(Φ(Ԑ1); Ԑ1)
(λ(Ԑ1); Ԑ1)
𝑦𝑖
𝑦𝑖−1
Ԑ1 ∆y
 Entonces la longitud del i-ésimo
elemento rectangular es
[λ(Ԑ1); Φ(Ԑ1)] unidades el ancho
es ∆y unidades.
Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior tomando elementos rectangulares horizontales de área.

47. Por lo tanto el área de la región es 18
unidades cuadras.
 A = 2
4
[ λ(𝑦) ‒ Φ(𝑦) ]ⅆ𝑦
A = 18
Encontrar el área de Ia región del ejemplo anterior tomando elementos rectangulares horizontales de área.
 También lo es (λ ‒ Φ ) y el límite de la suma
de Riemann es una integral definida:
A = 2
4
[ (𝑦 + 5) ‒
1
2
(𝑦2
+ 2) ]ⅆ𝑦
A =
1
2 2
4
2(
−𝑦2
2
+ 𝑦 + 4 )dy
A =
1
2
[ −
1
3
𝑦3 + 𝑦2 + ]
8𝑦 4
−2
)
A =
1
2 2
4
( −𝑦2 + 2𝑦 + 8 )dy
 A =
1
2
[( −
1
3
43 + 42 + 32 ) −
( −
1
3
−2 3 + 22 − 16)]
 Reemplazando:
A =
1
2
[( −
64
3
+ 48 ) − (
8
3
+ 12)]

48. EJEMPLO 6:
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos
curvas y = x3 ‒ 6x2 + 8x e y = x2 ‒ 4x.

49. Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.
 Para encontrar los puntos de intersección entre las dos curvas,
resolvemos las dos ecuaciones simultáneamente y obtenemos los puntos
(0;0) , (3;‒3) y (4;0).
 Sea: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 ‒ 4𝑥.
𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 = 𝑥2 ‒ 4𝑥
𝑥3 ‒ 7𝑥2 + 12𝑥 = 0
𝑥 𝑥2 ‒ 7𝑥 + 12 = 0
𝑥 𝑥 ‒ 3 𝑥 − 4 = 0
 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 obtenemos los puntos
(0;0) , (3;‒3) y (4;0).
 Entonces:

50. y = g(x)
x
y
y = f(x)
 G r a f i q u e m o s :
(3; ‒3)
(4; 0)
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.

51. y = g(x)
x
y
y = f(x)
(3; ‒3)
(4; 0)
 En el intervalo [0,3] la
curva y = f(x) está arriba
de la curva y = g(x).
 En el intervalo [3:4] la
curva y = g(x) está arriba
de la curva y = f(x)..
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.

52. y = g(x)
x
y
y = f(x)
(3; ‒3)
(4; 0)
 Así la región debe ser en dos
regiones separadas R1 y R2
, donde R1 es la región
acotada por las dos curvas
en el intervalo [0:3] y R2 es
la región acotada por las dos
curvas en el intervalo [3:4].
 Haciendo que A1 unidades
cuadradas sea el área de R1
y A2 unidades cuadradas
sea el área de R2 tenemos.
R1
R2
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
Ԑ𝑖
(Ԑ𝑖; f(Ԑ𝑖))
(Ԑ𝑖;g(Ԑ𝑖))
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1 Ԑ𝑖
(Ԑ𝑖;g(Ԑ𝑖))
(Ԑ𝑖; f(Ԑ𝑖))

53.  Si 𝑨1 es el área de la región R1 en
unidades cuadradas, tenemos:
 R1 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[f(Ԑ𝑖) ‒ g(Ԑ𝑖)) ]∆𝑥
R1 = 0
3
[ f(𝑥) ‒ g(𝑥) ]ⅆ𝑥
R1 = 0
3
[𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 − 𝑥2 + 4𝑥]ⅆ𝑥
R1 = [
1
4
𝑥4 ‒
7
3
𝑥3 + 6𝑥2 ]0
3
R1 =
45
4
R1 = [
81
4
− 63 + 54] − [ 0 ]
R1 = 0
3
[ 𝑥3 ‒ 7𝑥2 + 12𝑥 ]ⅆ𝑥
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.

54.  Si A𝟐 es el área de la región R2 en
unidades cuadradas, tenemos:
 R𝟐 = Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
[g(Ԑ𝑖) ‒ f(Ԑ𝑖) ]∆𝑥
R𝟐 = 3
4
[ g(𝑥) ‒ f(𝑥) ]ⅆ𝑥
R𝟐 = 3
4
[𝑥2 − 4 − (𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥)]ⅆ𝑥
R𝟐 = [ −
1
4
𝑥4 +
7
3
𝑥3 − 8𝑥2 − 4𝑥 ]3
4
R𝟐 =
1489
12
R𝟐 = [64 +
448
3
− 144] − [−
81
4
+ 63 − 84]
R𝟐 = 3
4
[ −𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 − 4 ]ⅆ𝑥
Encontrar el área de Ia región acotada por las dos curvas 𝑦 = 𝑥3 ‒ 6𝑥2 + 8𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥2 ‒ 4𝑥.
R𝟐 = [64 +
448
3
− 128] − [
81
4
− 63 − 12]

55. EJEMPLO 7:
Encontrar el área de Ia región en el primer cuadrante
acotada por la curva cuya ecuación es 𝑦 = 𝑥 x2 + 5 ,
el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. Hacer la gráfica.

56. Lim
∆𝑥→0 𝑖=1
𝑛
Ԑ1 Ԑ1
2 + 5 (∆x)
A =
1
2 0
2
x2 + 5 (2xdx)
A =
0
2
x x2 + 5 (dx)
A =
 Sea A = el área Ia región pedida, en
unidades cuadradas.
Entonces:
 Sea A = el área Ia región pedida, en unidades
cuadradas.
1
2 0
2
x2 + 5 (2xdx)
A =
1
2
∙
2
3
(x2 + 5)3/2
2
0
A =
1
3
[ (9)3/2 ‒ (5)3/2 ]
A =
Entonces:
1
3
[ (27) ‒ (5 5) ]
A =
Por lo tanto el área Ia región pedida es
1
3
[(27) ‒ (5 5)] unidades cuadradas.
Encontrar el área de Ia región en el primer cuadrante acotada por la curva cuya ecuación es 𝑦 =
𝑥 x2 + 5 , el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. Hacer la gráfica.

57. ∆x
Encontrar el área de Ia región en el primer cuadrante acotada por la curva cuya ecuación es 𝑦 =
𝑥 x2 + 5 , el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. Hacer la gráfica.
2
6
1
y=x x2+5
x = 2
Ԑ𝑖
 G r a f i q u e m o s :

58. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS