Este documento presenta varios problemas de cálculo que involucran jacobianos, integrales múltiples, áreas y volúmenes. Incluye 8 problemas para calcular jacobianos de sistemas de funciones implícitas y aplicaciones de cambios de variables para calcular áreas y volúmenes limitados por diferentes curvas.

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 03
CICLO 02-2015
“JACOBIANOS E INTEGRALES MULTIPLES”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
Instructores de Células: Gustavo Avelar, Jorge Gálvez, Luis Grijalva, Carlos Alarcón.
 Para los sistemas de funciones implícitas dados a continuación, responder a la
pregunta planteada:
1) Si {
𝑥2
𝑦 − 𝑧𝑥𝑦 + 5𝑢2
− 5 = 0
𝑥𝑦𝑧 − 𝑢𝑒 𝑥2 𝑦𝑧
+ 𝑒 − 𝑦3
𝑢 = 0
ln(𝑥𝑦) − ln(𝑧𝑢2) + ln(𝑥) = 0
Hallar
𝜕𝑦
𝜕𝑧
∧
𝜕𝑥
𝜕𝑢
en el punto {
𝑥 = 1
𝑦 = 1
𝑧 = 1
𝑢 = 1
2) Si {
𝑣 − 𝑦𝑒 𝑣
+ 𝑢5
+ 𝑢 = −1
𝑢 + 𝑥𝑒 𝑢
+ 𝑣 = −1
Hallar
𝜕𝑥
𝜕𝑢
|
𝑣
∧
𝜕𝑦
𝜕𝑣
|
𝑢
en el punto {
𝑥 = −1
𝑦 = 1
𝑢 = 0
𝑣 = 0
3) Si {
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 1)2
+ (𝑧 − 2)2
= 1
𝑒 𝑥𝑦
+ 𝑥2
− 𝑧2
= 1
Hallar
𝜕𝑥
𝜕𝑦
∧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
en el punto {
x = 2
y = 0
z = 2
4) Si
{
tan (
2
√ 𝑧𝑥
) − 𝑒 𝑥𝑦
= 5
√
𝑧
𝑤
3
− √ 𝑦 𝑤 = √𝑥 𝑦
Hallar
𝜕𝑧
𝜕𝑥
|
𝑦
∧
𝜕𝑤
𝜕𝑥
5) Si {
3𝑥2
𝑦𝑧 − 5𝑦𝑢2
+ 2𝑥𝑦 ln(𝑢𝑧2) = −16
sin(𝑥 + 𝑧) − 4𝑒 𝑢𝑦
+ cos(𝑤2
𝑢𝑦) = −4𝑒2
+ cos(2)
ln(𝑥𝑦) − ln(𝑧2
𝑢2) + ln(𝑥) = ln 2
Hallar
𝜕𝑦
𝜕𝑧
en el punto
{
𝑥 = 1
𝑦 = 2
𝑧 = −1
𝑢 = 1
𝑤 = 2
6) 𝑆𝑖 {𝑥3
𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑣) + 𝑦2
cos(𝑧𝑢) − 𝑣2
− 3 = 0 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑣
∧
𝜕𝑦
𝜕𝑧
7) 𝑆𝑖 {
𝑥3
𝑦𝑧 + 𝑧𝑢𝑣2
= 𝑢3
𝑥𝑦 + 3
𝑥3
+ 𝑦3
𝑧 = 𝑧3
𝑢𝑣 + 𝑣2
+ 2
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑧
8) 𝑆𝑖 {
𝑥3
+ 𝑦3
− 2𝑧2
+ 𝑢𝑣 = 9
𝑥𝑦𝑧 + 𝑢2
𝑥𝑣 − ln(𝑦𝑢𝑣) = 2 − ln(4)
𝑠𝑒𝑛(𝑢𝑥𝑦2) − cos(𝑢2
𝑣𝑧) − 2𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(8) − cos(−4) + 2
Hallar
𝜕𝑧
𝜕𝑥
|
𝑣
en el punto
{
𝑥 = 1
𝑦 = 2
𝑧 = −1
𝑢 = 2
𝑣 = 1

2. Recordatorio sobre el cálculo de áreas y volúmenes.
 Calcular por integración doble, el área de la región descrita:
1) La región entre la curva 𝑟 = 3 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y la curva 𝑟 = 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃.
2) La región comun a los circulos 𝑟 = 2𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝑟 = 2𝑎 sin 𝜃.
3) La región externa a 𝑟 = 1 − cos 𝜃 e interna a 𝑟 = 1.
4) La región interna a 𝑟 = 3 cos 𝜃 y externa a 𝑟 =
1
2
.
5) La región que encierran las curvas: 𝑦 = 𝑥2
+ 1 ˄ y = 2x + 4.
6) La región que encierran las curvas: 𝑦 = √𝑥 − 1; (𝑦 − 1)2
= 6 − x ˄ 𝑥 + 𝑦 = 1
7) La región que encierran la curvas: 𝑦 = 𝑒 𝑥
, x = 2 ˄ y =
1
2
.
8) La región que encierran las curvas: 𝑦 = 𝑒 𝑥
, y = √𝑥 − 1, y = 1 ˄ y = 2.
9) La región que encierran las curvas: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0, 4𝑥 + 4𝑦 − 17 = 0.
10)La región que encierran las curvas:𝑦 = 𝑥2
˄ y = 8 − 𝑥2
.
 Calcular el volumen de la región indicada:
1) La región que es interior de manera simultanea a los sólidos 2𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
y
𝑥2
+ 𝑦2
+ (𝑧 − 11)2
= 25.
2) La región acotada por las superficies 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
y 𝑧 = 10 − 2𝑥2
− 𝑦2
.
3) La región limitada por las esferas 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
, 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑏2
y el
cono 𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑧2
= 0, donde 0 < 𝑎 < 𝑏 y 𝑧 > 0.
4) El área limitada por el solido 𝑧 = 4𝑥2
+ 4𝑦2
, donde 2 ≤ 𝑧 ≤ 4 .
5) La región entre los conos 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
∧ 3𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2
, y bajo la
semiesfera 𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 .
6) La región interior al cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑦, y al interior de la esfera
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 4.
7) La región de la parte interior común de los cilindros 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 y
𝑥2
+ 𝑧2
= 4.
8) Debajo de: 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2, sobre z=0, y dentro de:𝑥2
+ 𝑦2
= 4.
9) Debajo de: 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2, sobre el plano xy, y dentro de:𝑥2
+ 𝑦2
=
1
4
.
10)Debajo de: 𝑧 = 4 − 𝑥2
− 𝑦2
, sobre el plano xy, entre 𝑦 = 𝑥 ˄ 𝑦 = 4𝑥.

3. Aplicaciones.
 En el plano cartesiano se utilizan dos tipos de coordenadas: las rectangulares (𝑥, 𝑦) y
las polares (𝑟, 𝜃). Para representar sistemas en el espacio se hace uso de tres sistemas
coordenadas diferentes; dos de ellos son el sistema de coordenadas rectangulares
(𝑥, 𝑦, 𝑧) y el sistema de coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧). Demostrar que el jacobiano
de transformación para el cambio de coordenadas rectangulares a polares es
equivalente a calcular el jacobiano de transformación para el cambio de coordenadas
rectangulares a cilíndricas, donde:
{
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
; en el sistema de coordenadas polares
{
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑧 = 𝑧
; en el sistema de coordenadas cilindricas
 A partir de un Jacobiano de Transformación demuestre que el diferencial de volumen
cartesiano 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 se representa en coordenadas esféricas como 𝑑𝑉 =
𝜌2
𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃.
 Resolver la integral doble: 𝐴 = ∬ 𝑒
𝑥2−𝑦2
𝑥−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑅
, efectuando el siguiente cambio de
variable: u = y – x , v = x + y. Donde la región R es la que está limitada en el primer
cuadrante por la recta: x + y = 2.
 Calcular el área limitada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2
, 𝑦 = 2𝑥2
, 𝑦2
= 𝑥, 𝑦2
= 2𝑥, utilizando la
siguiente sustitución: 𝑥2
= 𝑢𝑦, 𝑦2
= 𝑣𝑥.
 Calcular el área limitada por las curvas: 𝑥𝑦 = 1, 𝑥𝑦 = 2, 𝑥𝑦3
= 1, 𝑥𝑦3
= 2, mediante el
siguiente cambio de variables:𝑥𝑦 = 𝑢, 𝑥𝑦3
= 𝑣.
 En un sistema de coordenadas cartesianas, el plano xy sabemos que su diferencial de
área se define como 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑥. Si transformamos los pares ordenados (x , y)
al sistema de coordenadas polares el 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃. Supóngase que definimos un nuevo
sistema de coordenadas al cual llamaremos “sistema coordenado New Math (NM)”, en
el cual 𝑥 = 𝑛2
, 𝑦 = 𝑚3
. Calcular el diferencial de área de este sistema coordenado.
 Calcular el volumen del solido limitado por el elipsoide:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
Con el resultado anterior demuestre que el volumen de una esfera es
4
3
𝜋𝑟3
. (Considere
que la esfera es un caso especial de elipsoide, donde su radio r es constante)
 Hallar el área de la región limitada por las curvas: 𝑦 = √ 𝑥, 𝑦 = √2𝑥, 𝑦 =
𝑥2
3
, 𝑦 =
𝑥2
4
;
utilizando el cambio de variables siguiente: 𝑥 = 𝑢
1
3 𝑣
2
3 ˄ 𝑦 = 𝑢
2
3 𝑣
1
3.