El documento explica la fórmula de Green y el teorema de Green, los cuales relacionan una integral doble sobre una región con una integral de línea a lo largo de su frontera. Se proveen ejemplos de aplicación del teorema para calcular diferentes integrales de línea.

1. FORMULA DE GREEN
Para la fórmula de Green se considera curvas cerradas simples seccionalmente regular,
parametrizada en sentido antihorario, que constituirán la frontera (o borde) de una región
acotada R del plano, como en la siguiente figura:
La fórmula de Green es un resultado que expresa una integral doble sobre una región R
como una integral de línea a lo largo de la curva cerrada C que constituye la frontera de
R.
TEOREMA DE GREEN
Sea R una región simplemente conexa, con frontera C suave a trozos, orientada en sentido
contrario al de las agujas de un reloj (esto es, C recorre una vez de manera tal que la
región R quede siempre a la izquierda) si M, N ,
𝜕𝑀
𝜕𝑦
y
𝜕𝑁
𝜕𝑥
son continuas en una región
abierta que contiene a R, entonces:
∫ 𝑀( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑁( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 =
.
𝐶
∬(
.
𝑅
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑑𝐴

2. EJEMPLO 1: Usar el teorema de Green para calcular la integral de línea
∫ 𝑦3
𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
) 𝑑𝑦, donde C es el camino de (0, 0) a (1, 1) sobre la gráfica de
𝑦 = 𝑥3
y de (1, 1) a (0, 0) sobre la gráfica y = x.
Graficando:
Aplicando el teorema de Green:
∫ 𝑦3
𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
) 𝑑𝑦 = ∬ (
.
𝑅
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦
Donde se tiene: M = 𝑦3
y N = 𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 3𝑦2
,
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 3 𝑥2
+ 3𝑦2
∫ 𝑦3
𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
) 𝑑𝑦 = ∬ [(3𝑥2
+ 3𝑦2) − 3𝑦2 ]
.
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 3𝑥2.
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦
∫ 𝑦3
𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
) 𝑑𝑦 = ∬ 3𝑥2.
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 3𝑥2
𝑑𝑦)𝑑𝑥
𝑥
𝑥3
1
0
= ∫ (
1
0
3𝑥3
− 3𝑥5
) 𝑑𝑥 = (
3𝑥4
4
−
𝑥6
2
)/0
1
=
3
4
−
1
2
=
1
4
∴ ∫ 𝑦3
𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥3
+ 3𝑥𝑦2
) 𝑑𝑦 =
1
4
OBSERVACIÓN: El teorema de Green puede extenderse para cubrir regiones que no son
simplemente conexas
EJEMPLO 2: (El teorema de Green extendido a una región con agujero).
Sea R la región interior de la elipse
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 1 y exterior a la circunferencia 𝑥2
+𝑦2
=1,
calcular la integral de línea ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥2
+ 2𝑥) 𝑑𝑦 donde C = C1 + C2 es el contorno
de R.
Solución: Construyendo la figura y luego introduciendo los segmentos rectos C3 y C4.

3. ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + (
.
𝐶
𝑥2
+ 2𝑥) 𝑑𝑦 = ∬ (
.
𝑅
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦
∬ (
.
𝑅
2𝑥 + 2 − 2𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
.
𝑅
= 2(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅) = 2((3)(2) 𝜋 − (1)2
𝜋)
= 2(6 𝜋 − 𝜋) = 10𝜋
EJEMPLO 3: Mediante la fórmula de Green calcular la integral ∮ (2𝑥3
− 𝑦3
)𝑑𝑥
.
𝐶
+
(𝑥3
+ 𝑦3
) 𝑑𝑦 donde C es el círculo 𝑥2
+ 𝑦2
= 1
Solución:
∮ (2𝑥3
− 𝑦3
)𝑑𝑥
.
𝐶
+ (𝑥3
+ 𝑦3
) 𝑑𝑦 = ∬ (.
𝑅
𝜕𝑁
𝜕𝑥
− 𝜕𝑀
𝜕𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦
{
𝑀 = 2𝑥3
− 𝑦3
𝑁 = 𝑥3
+ 𝑦3 {
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −3𝑦2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 3𝑥2
∮ (2𝑥3
− 𝑦3) 𝑑𝑥
.
𝐶
+ (𝑥3
+ 𝑦3
) 𝑑𝑦 = ∬ (
.
𝐷
𝜕𝑁
𝜕𝑥
+
𝜕𝑀
𝜕𝑦
)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 3(𝑥2
+
.
𝐷
𝑦2
)𝑑𝑥𝑑𝑦.Donde D: 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1
Pasando a coordenadas polares 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
∮ (2𝑥3
− 𝑦3) 𝑑𝑥
.
𝐶
+ (𝑥3
+ 𝑦3
) 𝑑𝑦 = ∬ 3(𝑥2
+ 𝑦2.
𝐷
)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ (∫ 3𝑟2
𝑟𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
=
3
4
∫ 𝑑𝜃 =
3
2
𝜋
2𝜋
0

4. EJERCISIOS PROPUESTOS:
1) Mediante el Teorema de Green, calcular la integral ∮ ( 𝑥2
𝑦) 𝑑𝑥
.
𝐶
+ (𝑥 𝑦2
) 𝑑𝑦 , donde C
es la frontera de la región S en el primer cuadrante limitado por las gráficas y = x y 𝑦3
=
𝑥2
.
2) Mediante el Teorema de Green, calcular al integral:
∮ (sin4
𝑥 + 𝑒2𝑥) 𝑑𝑥 +
.
𝐶
(cos3
𝑦 − 𝑒 𝑦
) 𝑑𝑦 , donde C es la curva 𝑥4
+ 𝑦4
= 16.
3) Utilice el Teorema de Green para calcular la integral ∮ (2𝑥3
− 𝑦) 𝑑𝑥
.
𝐶
+ (𝑥3
+ 𝑦3
) 𝑑𝑦
, donde C es la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
4) Aplicando el Teorema de Green, Evaluar la integral ∮ (2𝑥 − 𝑦3) 𝑑𝑥
.
𝐶
- (𝑥 𝑦) 𝑑𝑦, siendo
C el contorno de la región limitada por la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
= 1 𝑦 𝑥2
+ 𝑦2
= 9