El documento presenta información sobre integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Explica las definiciones de estas coordenadas y cómo transformar entre sistemas de coordenadas. Luego, resuelve ejemplos numéricos de cálculo de volúmenes usando integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

1. 1
1
TRABAJO DE EQUIPO EN AULA
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y
ESFÉRICAS
CURSO: MATEMÁTICA III
PROFESOR: ANDRÉS CASTILLO VARGAS
ESPECIALIDAD: INGENIERÍA CIVIL
INTEGRANTES: CHAMOCHUMBI EYZAGUIRRE, GASTOR ALEXÁNDER
CHAVEZ VIDARTE, WILLIAM HAROLD
RUIZ GALLO, JULIO AUGUSTO
TIMOTEO CUMBICUS, CHARLES DARWIN
CACHO ROEL, JOSE LUIS
YANGUA MULATILLO, PEDRO EDUARDO
UPAO 2016
PIURA - PERU

2. 2
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y
ESFÉRICAS
DefiniciónIntegraltriple:
Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de
tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran
los límites para saber cuál diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero, cual después y cual al
final.
Dada la integral ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑦
0
𝑥
0
1
0
, dibujar la región de la integración y escribir la
integral de todas las formas posibles.
Solución
Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si 𝐷1 , 𝐷2 y 𝐷3 son las proyecciones sobre los tres
planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:
∫ ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ∫ 𝑓 𝑑𝑧
𝑦
0𝐷1
= ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓𝑑𝑧
𝑦
0
𝑥
0
1
0
= ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓𝑑𝑧
𝑦
0
1
𝑦
1
0
,
∫ ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑧 ∫ 𝑓 𝑑𝑦
𝑥
𝑧𝐷2
= ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓𝑑𝑦
𝑥
𝑧
1
𝑧
1
0
= ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑓𝑑𝑦
𝑥
𝑧
𝑥
0
1
0
,
∫ ∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑧 ∫ 𝑓 𝑑𝑥
1
𝑦𝐷3
= ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑓𝑑𝑥
1
𝑦
𝑦
0
1
0
= ∫ 𝑑𝑧 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓𝑑𝑥
1
𝑦
1
𝑧
1
0
.

3. 3
Coordenadas Cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es la extensión del sistema de coordenadas polares en
R2 a R3, Imagínese un sistema de coordenadas polares en el plano, como el de la figura. Ahora
imagínese que se coloca un eje z (la tercera dimensión para llevar a R3) justo en el polo y
perpendicular a la pantalla. Desde esta perspectiva no se puede ver el eje z, pero si se gira el
plano de la pantalla como en la siguiente figura:
En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está
representado por el triple ordenado (𝑟, 𝜃, 𝑧) , donde r y 𝜃 son coordenadas polares de la
proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano xy a P.
Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con
el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a él.
El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas
es: 𝑑𝑉 = 𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
Las integrales triples en coordenadas
cilíndricas son entonces evaluadas como
integrales iteradas.
θ
A(r, θ)
r
P
A(r, θ, z)
z
P
-z
z
Fórmulas de transformación de
coordenadas cilíndricas a
coordenadas Cartesianas
Se quiere obtener (x, y, z)
𝑥 = r . cos 𝜃
𝑦 = r . sen 𝜃
𝑧 = z

4. 4
Es importante recordar las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a
coordenadas cartesianas y las expresiones que ya se vieron de los elementos diferenciales de
volumen: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 ; 𝑧 = 𝑧; 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧.
Entonces si f es una función continua en una región R del espacio, tenemos:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
= ∭ 𝑓(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sen 𝜃, 𝑧)𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
Coordenadas cilíndricas o polares en el espacio (ρ, θ, z)
Las coordenadas cilíndricas consisten en tomar coordenadas polares (ρ, θ) en cada plano
horizontal, es decir para cada valor constante de la coordenada z.
{
𝑥 = ρ cos 𝜃
𝑦 = ρ sen 𝜃
𝑧 = 𝑧
; (ρ > 0, 0 ≤ 𝜃 < 2π)
Y entonces ∥ J ∥= ρ y dx dy dz = ρ . dz dρ d 𝜃
La inversa de este cambio es: {
ρ = √𝑥2 + 𝑦2
tg 𝜃 = y /x
𝑧 = 𝑧
Ecuaciones de algunas superficies en cartesianas y cilíndricas:
 Cilindro de generatrices paralelas al eje z: 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑘2
(k constante) ⇔ ρ = 𝑘
 Esfera de centro(0,0,0) y radio r: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑟2
⇔ ρ2
+ z2
= r2
 Cono: 𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑘2
𝑧2
= 0 (𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) ⇔ ρ2
− 𝑘2
𝑧2
= 0
 Paraboloide: 𝑧 = 𝑘(𝑥2
+ 𝑦2 ) (𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) ⇔ 𝑧 = 𝑘. ρ2

5. 5
Coordenadas Esféricas
Otro sistema de coordenadas en R3 donde los puntos se trazan sobre la superficie de una
esfera de radio ρ. En la figura se observan las coordenadas esféricas y su posición relativa
respecto a un sistema de coordenadas rectangulares.
Las componentes de un punto en coordenadas esféricas son A(ρ, 𝜃, φ), donde ρ es la distancia
del origen de coordenadas al punto A, 𝜃 es el ángulo medido desde el lado positivo del eje X
hasta el radio vector de la proyección del punto A sobre el plano XY, y φ es el ángulo medido
desde el lado positivo del eje z hasta el radio vector que va del origen al punto A.
Se conocen las coordenadas esféricas A(ρ, 𝜃, φ) y se quiere conocer las coordenadas
rectangulares A(x,y,z) correspondientes.
Las relaciones de transformación son las siguientes:
𝑥 = ρ . sen 𝜃. cos φ .
𝑦 = ρ . sen 𝜃. sen φ
𝑧 = ρ . cos φ
Coordenadas esféricas en el espacio(ρ, 𝜽, φ)
Las coordenadas esféricas(ρ, 𝜃, φ) de un punto del espacio son su modulo ρ y su latitud 𝜃 y su
altitud φ medidos sobre la esfera de radio ρ.
{
𝑥 = ρ cos φ . cos 𝜃
𝑦 = ρ cos φ . sen 𝜃
𝑧 = ρ sen φ
; (ρ > 0, 0 ≤ 𝜃 < 2π, −π/2 ≤ φ < π/2)
Y entonces: ∥ J ∥= ρ2
cos φ y dx dy dz = ρ2
cos φ . dρ dφ d𝜃

6. 6
La inversa de este cambio es: {
ρ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
tg(𝜃) = y /x
sen φ = 𝑧/√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Es importante recordar las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a
coordenadas esféricas y las expresiones que ya se vieron de los elementos diferenciales de
volumen: 𝑥 = ρ sen φ cos θ ; 𝑦 = ρ sen φ sen θ ; 𝑧 = ρ cos φ 𝑑𝑉 = 𝑟2
sen φ dθ dφ 𝑑𝑟
Entonces si f es una función continua en una región R del espacio, tenemos:
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐷
= ∭ 𝑓(ρ sen φ cos 𝜃, ρ sen φ sen 𝜃, ρ cos φ )ρ2
sen φ dρ dφ d𝜃
Ecuaciones de algunas superficies en cartesianas y esféricas:
 Esfera de centro(0,0,0) y radio r: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑟2
⇔ ρ = 𝑟
 Esfera de centro(0,0,r) y radio r: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 2𝑟𝑧 = 0 ⇔ ρ = 2𝑟. sen φ
 Cono: 𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑘2
𝑧2
= 0 (𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) ⇔ tg(φ) = 1/𝑘
Ejercicios de integrales triples en coordenadas cilíndricas y
esféricas.
Ejemplo 01: Coordenadas cilíndricas
Calcular: ∭ (𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑇
Donde el dominio T esta limitado por las superficies : 𝑧 =
1
2
(𝑥2
+ 𝑦2) ; 𝑧 = 2.
Solución
Pasando a coordenadas cilindricas 𝑥 = r cos 𝜃 , 𝑦 = r sen 𝜃 , 𝑧 = z
T = {(r, 𝜃, z)/0 ≤ r ≤ 2 ᴧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2π ᴧ
𝑟2
2
≤ 𝑧 ≤ 2}
∭(𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑇
= ∫(∫ ( ∫ 𝑟2
. 𝑟 𝑑𝑧) 𝑑𝜃)𝑑𝑟
2
r2/2
2𝜋
0
2
0

7. 7
=∫ (∫ 𝑟3
(2 −
2𝜋
0
2
0
𝑟
2
2
)𝑑𝜃) 𝑑𝑟 = ∫ 2𝜋 (2𝑟3
−
𝑟
2
5
) 𝑑𝑟
2
0
)
=2𝜋[
𝑟
2
4
−
𝑟
12
6
]ǀ0
2
=
16
3
𝜋
Ejemplo 02: Coordenadas cilíndricas
Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 y los planos z=0 ;
z=4
Coordenadas cilíndricas:
𝑥 = r cos 𝜃
𝑦 = r sen 𝜃
𝑧 = z
J(r, 𝜃,z) = r
Descripcion de D en cilindricas
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
0 ≤ 𝑧 ≤ 4
Vol(D)=∭ 𝒓 𝒅𝒛 𝒅𝒓 𝒅𝜃 = ∫ ∫ 𝒓 𝒅𝒓
𝟐
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
∫ 𝒅𝒛 = 𝟏𝟔𝛑
𝟒
𝟎
Ejemplo 03: Coordenadas cilíndricas
Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
=1 y los planos z = 2 – x, z=0.
Coordenadas cilíndricas
𝑥 = r cos 𝜃
𝑦 = r sen 𝜃
𝑧 = z
J(r, 𝜃,z) = r
Descripcion de D en cilindricas
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
0 ≤ 𝑧 ≤ 2 − 𝑟 cos 𝜃
Vol(D)= ∭ 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛𝑫
= ∫ ∫ 𝒓 𝒅𝒓
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
∫ 𝒓 𝒅𝒛 𝒅𝒓 𝒅𝜃
𝟐−𝒓 𝒄𝒐𝒔 Ɵ
𝟎
=
= ∫ ∫ 𝒓(𝟐 − 𝒓 𝒄𝒐𝒔 Ɵ)𝒅𝒓 𝒅𝜃
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
=∫ ∫ (𝟐𝒓 − 𝒓 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝜃)𝒅𝒓 𝒅𝜃
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
=
= ∫ (𝟏 −
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒔𝜃) 𝒅𝜃
𝟐𝝅
𝟎
=[ 𝜃 −
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏 𝜃)]ǀ0
2𝜋
= 2π

8. 8
Ejemplo 04: Coordenadas esféricas
Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
, usando
coordenadas esféricas.
Solución
Usando coordenadas esféricas se tiene:
0 ≤ 𝜌 ≤ a, 0 ≤ θ ≤
𝜋
2
, 0 ≤ 𝜑 ≤
𝜋
2
y J(ρ, θ, φ) = 𝜌2
𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑉 = ∭ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭|J(ρ, θ, φ)|𝑑ρ dφ dθ = ∭ ρ2
𝑆𝑆𝑆
sen φ dρ dφ dθ
= 8 ∫ (∫ (∫ ρ2
sen φ dρ) dφ) dθ
𝑎
0
𝜋/2
0
𝜋/2
0
= 8 ∫ (∫
ρ3
3
sen φ|0
𝑎
𝑑φ)dθ
𝜋/2
0
𝜋/2
0
)
=
8𝑎3
3
∫ (∫ sen φ dφ) dθ
𝜋/2
0
𝜋/2
0
=
8𝑎3
3
∫ − cos φ|0
𝜋/2
𝑑θ
𝜋/2
0
=
8𝑎3
3
∫ −(0 − 1)𝑑θ
𝜋/2
0
=
4𝑎3
3
𝜋 𝑢3
Ejercicios Propuestos
1) Evalúe :∭ (𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
,donde V es la region limitada por el cilindro
𝑥2
+ 𝑦2
= 4 , 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑧 = −1, 𝑧 = 2
2) Evalúe :∭ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
,donde V es el solido que se encuentra comprendido entre
los cilindros :
𝑥2
+ 𝑦2
= 1 𝑦 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦 𝑦 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 𝑥 + 2
3) Evalúe :∭ 𝑥2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
,en donde V es el solido que se encuentra dentro del
cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 1 ,arriba del plano z=0 , y debajo del cono 𝑧2
= 4𝑥2
+ 𝑦2
4) Evalúe :∭ (𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
,en donde V es una esfera unitaria
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
≤ 1
5) Evalúe: ∭ 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉
en donde V es la porción de la esfera solida unitaria
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
≤ 1 que se encuentra en el primer octante.