El documento describe las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (CKKT) para la optimización no lineal con restricciones. Las CKKT generalizan las condiciones necesarias de óptimo para problemas con restricciones, requiriendo que el gradiente de la función objetivo y las restricciones sean iguales a cero o no negativas en la solución óptima. También introduce los multiplicadores de Lagrange para formular las condiciones CKKT como una extensión del método de Lagrange para problemas con restricciones de igualdad y desigual

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Cátedra: Optimización de Sistemas y Evaluación de Funciones.
Condiciones Kuhn Tucker y
Lagrange.
Autor: Argenis Vicent
Diciembre, 2013

2. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
(CKKT)
Las condiciones de Karush, Kuhn and Tucker constituyen el resultado más
importante de programación no lineal. Deben ser satisfechas por
cualquier óptimo restringido, sea éste local o global, y para cualquier
función objetivo, ya sea lineal o no lineal. Además, los criterios de parada
de los métodos iterativos se basan en estas condiciones. Mientras que en
los problemas diferenciables sin restricciones el gradiente se anula en los
mínimos locales, esto no ocurre para problemas con restricciones, tal
x a
como ilustra la figura 11 en el punto
. Esto se debe a las
restricciones del problema. Las condiciones de Karush-Khun-Tucker
generalizan las condiciones necesarias de óptimo para los problemas con
restricciones.
La figura representa problemas restringidos diferenciables el gradiente no es
necesariamente cero en la solución óptima

3. (Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker):
El vector x n satisface las condiciones de Karush-Khun-Tucker para el
m
l
PPNL (1)-(2) si existe un par de vectores
y
tales que
l
m
f (x)
k
hk ( x )
k 1
j
g j (x) 0
(3)
j 1
(4)
g j ( x ) 0, j 1,...,m
(5)
hk ( x ) 0, k 1,...,l
j g j (x)
j
(6)
0, j 1,...,m
(7)
0, j 1,...,m
Los vectores µ y ¸ son los multiplicadores de Khun-Tucker. La condición
(6) es la condición complementaria de holgura. La (7) son las condiciones
duales de factibilidad y requieren la no-negatividad de los
multiplicadores de las restricciones de desigualdad. Las condiciones (4)-(5)
se llaman condiciones primales de factibilidad.
Con el Lagrangiano L( x, , ) f ( x) T h( x) T g ( x) las condiciones KKT se
escriben como
x L( x ,
, )
0
L( x , , )
0
L( x , , ) 0
T
L(x , , )
0
0

4. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de una restricción de
igualdad y dos variables.
Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de dos restricciones de
desigualdad y dos variables.

5. Casos Especiales
Si falta una restricción en un PPNL, el multiplicador asociado a la
restricción “ausente" es nulo, y la restricción se elimina de la formulación
de las condiciones de KKT. En estos casos resulta:
Cuando se presentan problemas sin restricciones En estos casos solo se
tiene la condición:
f (X ) 0
En cambio cuando se presentan problemas con restricciones de
igualdad solamente Las condiciones de KKT son una extensión del
principio clásico del método de los multiplicadores de Lagrange. Este
método sólo surge con problemas que únicamente tienen restricciones
de igualdad:
l
f (X )
k
hk ( X )
k 1
hk ( X )
0, k 1,...,l
0

6. En los Problemas con restricciones de desigualdad solamente Las
condiciones de KKTC son:
m
f (X )
j
g j (X ) 0
j 1
g j ( X ) 0, j 1,...,m
j
g j ( X ) 0, j 1,...,m
j
0, j 1,...,m

7. Condiciones de Optimalidad KKT

9. Cualificación de las restricciones

10. Condicion KKT de suficiencia de primer
orden

11. Condiciones de segundo orden

12. Resolución mediante KKT

13. Lagrange
En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange,
nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para
trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el
problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1
variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.
Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el
multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación
lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su
demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales
totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando
alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada
con respecto a las variables independientes de una función sea igual a
cero.

14. Multiplicadores de Lagrange