Este documento describe la historia y desarrollo del concepto matemático de límite. Explica que los griegos antiguos como Demócrito y Arquímedes utilizaron métodos primitivos relacionados con límites. Isaac Newton introdujo formalmente el término "límite" en el siglo XVII aunque sin dar una definición formal. Finalmente, en el siglo XIX, matemáticos como Cauchy y Weierstrass desarrollaron una teoría rigurosa de límites que sirve como base del cálculo moderno.

1. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
José Espina Alvarado
na de las ideas centrales del aparato actual del Análisis Matemático es la de límite. En ella se
apoyan las demostraciones infinitesimales, caracterizadas por juicios hipotético-deductivos y el
uso de desigualdades específicas (construcción ε-δ).
El concepto de Límite y el camino hasta él datan de épocas remotas en la historia de la matemática.
La primera forma teórica de razonar con límites procede de los antiguos griegos, en particular Demócrito
calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de
secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño); Eudoxo de Cnido y Arquímedes de Siracusa
utilizaron el "Método de Exhaución" para encontrar el área de una circunferencia con el uso de polígonos
inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de
Elea impidieron formular una teoría sistemática del Análisis Matemático.
Sir Isaac Newton
Hasta los trabajos de I. Newton publicados en 1704, lo que entonces era una
sucesión de pasos aislados se convirtió en el principio de una investigación seria. Fue
Newton quien introdujo el término limes (límite) sin dar una definición formal,
presuntamente por su “evidencia”.
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso
impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía
confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés
G. Berkeley (1685-1753).
Los partidarios de los métodos con límites, especialmente el francés J. D’Alembert (1717-1783),
defendieron con vehemencia su legitimación. Este investigador afirmó que Newton vio en el Cálculo
Diferencial sólo el método de definición de límites de relaciones. Sin embargo, el mismo D’Alembert no
pudo encajar en algún método racional a la eliminación de infinitesimales de Leibniz.
A principios del siglo XIX las obras de muchos matemáticos reflejaban la necesidad objetiva de
diseñar una teoría de límites como base del Análisis Matemático y una reestructuración radical de este
último. El más destacado de estos creadores fue Agustín Luís Cauchy (1789-1857).
A. Cauchy cursó estudios en la escuela Politécnica de París, culminando su formación en el Instituto
de Vías de Comunicación de la misma ciudad, donde además trabajó como INGENIERO, llegando a publicar
U

2. Límite y Continuidad de Funciones
JEA/05/06/98
2
cerca de 800 trabajos de investigación. En la escuela Politécnica dictó conferencias sobre Análisis
Matemático, publicadas posteriormente en tres títulos: “Curso de Análisis” (1821), “Resumen de
conferencias sobre el cálculo infinitesimal” (1823), y “Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la
geometría” (2 tomos, 1826 y 1828). En estas obras se construye por primera vez el Análisis Matemático
sobre la base de una teoría de límites, preludio inmediato a su estado actual.
En su “Curso de Análisis”, Cauchy describe en mucho los fundamentos contemporáneos de esta rama
de la matemática. En él se introduce el concepto de magnitud “infinitesimal” como una variable cuyo límite
es cero. La continuidad de una función se explica como la correspondencia de un incremento infinitesimal de
la función a un incremento infinitesimal del argumento. Con gran detalle se expone lo referente a la
convergencia de series infinitas, cuya existencia se condiciona con la existencia del límite de las sumas de
un número finito de términos analizando rigurosamente al resto.
No menos importante fue el aporte del eminente matemático checo Bernardo Bolzano (1781-1848),
cuyos trabajos lamentablemente, fueron reconocidos treinta años después de su muerte. Bolzano formuló y
demostró en 1817 que si un conjunto de números reales está acotado superiormente (o inferiormente)
entonces tiene un extremo superior (o inferior), adelantándose al profesor berlinés Karl Weierstrass
(1815-1897), quien formuló este teorema en 1860. También antes que Cauchy, Bolzano había deducido el
criterio de convergencia de sucesiones y dado una definición rigurosa de continuidad de una función; a él se
debe el concepto de continuidad lateral y también la demostración de que una función continua entre dos
de sus valores, toma todos los intermedios.
A todo aquello se sumaron las ideas de Weierstrass sobre la naturaleza del número real. La
utilización sistemática de los conceptos de extremos superior e inferior de conjuntos numéricos,
construcción de una función que no es derivable en su dominio y otros, fueron resultados importantes
introducidos por Weierstrass al Análisis Matemático. En ese armonioso y riguroso sistema, ya para 1880 se
había elaborado la forma actual de las definiciones y el aparato de demostraciones, con base en
razonamientos condicional-deductivos (“Para cualquier ε positivo, existe δ también positivo, tal que…”), y el
simbolismo correspondiente. Por fortuna, la historia del Análisis tiende a ser infinita.
I. Límite de una función real
Considere la función ℜ→ℜ⊂ 2
:Uf con regla ),( yxfz = . Se dice que f tiene límite L cuando
),( yx tiende a ),( 00 yx , si la distancia entre estos dos puntos es tan pequeña que a consecuencia de ello
L),( −yxf es también arbitrariamente pequeña. Esto es,

3. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
3
Definición I-1. ( ) ( )Lyxfyxyxyxf
yxyx
εδδε B),(),(B),(00L),(Lim 00
*
),(),( 00
∈⇒∈>∃>∀⇔=
→
.
En esta definición, los símbolos ε y δ representan números reales positivos arbitrariamente pequeños y se
supone que ( ) ( ) ( ) ∅≠⇒⊆ UyxyxUyx II ),(B),(B),(B 00
*
00
*
00
*
δδδ ; en este caso ),( 00 yx se llama punto de
acumulación del conjunto U. Esto significa que toda bola reducida de ese punto contiene puntos de U
diferentes del centro, dicho de otro modo, en dicha bola hay infinitos puntos del dominio distintos del
centro. El hecho de que ),( 00 yx no este en U es irrelevante: la función puede tener límite en un punto
donde no esta definida, por ejemplo en la frontera de un dominio no cerrado.
Geométricamente puede ilustrarse la definición como sigue.
x
y
L+ε
L-ε
(x0,y0)
δ
z
L
Obsérvese que si la distancia del punto variable al de acumulación del dominio es menor que δ, es
condición suficiente para que la imagen de f esté tan próxima a L que la diferencia entre ellos resulta

4. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
4
menor que ε. Dicho de otro modo, ),( yxf está entre (L-ε) y (L+ε) siempre que1
),( yx este en el disco
reducido de centro ),( 00 yx y radio δ. Debe destacarse que para probar un límite se tiene entonces la
necesidad de encontrar un δ para cada valor de ε libremente escogido; por esta razón se recapitula la
definición anterior para hacerla operacional.
Definición I-1.(Forma Operacional)
δεδε <−+−<<−>∃>∀⇔=
→
2
0
2
0
),(),(
)()(0s.q.L),(00L),(Lim
00
yyxxyxfyxf
yxyx
.
Más aun, como δ<−+−≤−=− 2
0
2
0
2
00 )()()( yyxxxxxx se puede escribir
δδεδε <−<<−<<−>∃>∀⇔=
→
00
),(),(
0,0s.q.L),(00L),(Lim
00
yyxxyxfyxf
yxyx
.
Al igual que en los límites de funciones de una variable real, el reto es definir la cota superior de
L),( −yxf sabiendo que 0yy − y 0xx − están acotados superiormente por algún δ, teniendo presente
que por definición la cota así determinada debe ser igual o menor ε.
Ej. 1) Demuestre que 20)254(Lim
)2,3(),(
−=+−
−→
yx
yx
.
Sol.-
Por definición
δεδε <−++<<++−>∃>∀⇔=+−
−→
22
)2,3(),(
)2()3(0s.q.2025400-20)254(Lim yxyxyx
yx
Sabiendo que δδ <−<<+< 20y30 yx se define una cota para 20254 ++− yx . Esto se logra
manipulando algebraicamente esta ultima expresión de manera que en cada sumando del argumento de la
función valor absoluto aparezca al menos uno de los factores )2(o)3( −+ yx . De este modo,
[ ] [ ] 222)2(53)3(4225420254 ++−−−+=+−=++− yxyxyx
)2(5)3(4 −−+= yx …factorización;
2534 −++≤ yx
…desigualdad triangular y propiedad del valor
absoluto de un producto;
εδδδ ≤=+< 954
…propiedades del producto y la adición de
desigualdades; uso de la definición.
Luego, para cualquier ε seleccionado, basta tomar 9
εδ ≤ que verifique el límite dado.
1
En adelante abreviaremos “siempre que” mediante s.q.

5. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
5
Ej. 2) Demuestre que 6)221(Lim 32
)1,1(),(
=−+−
−→
yxxy
yx
.
Sol.-
Por definición
δ
ε
δε
<++−<
<−−+−
>∃>∀⇔=−+−
−→ 22
32
32
)1,1(),(
)1()1(0s.q.
6221
006)221(Lim
yx
yxxy
yxxy
yx
Estrategia 1. Factorización Simultánea por Sumas y Diferencias de Potencias n-ésimas.
[ ] [ ] [ ]
[ ]
1132112
)1()1)(32()1)(1(2
11)1()1()1)(1(2)1)(1(2
51)1()1(2)1)(1(22)1)(1(2
51)1(1)1(21)1(2
5226221
2
2
2
2
23
2332
++−++++−≤
++−+−++−=
+−−−++−+−++−=
++−−++−−+−−++−=
+−+++−−−+=
++−=−−+−
yxxxyyy
yxxxyyy
xyxxxyyy
xyxxxyyy
yxxy
xyxyyxxy
Nótese que en cada sumando uno de los factores esta acotado por definición. Para el otro factor es
necesario calcular una cota superior, con el objeto de encontrar una cota para la suma y garantizar así que
ε<−−+− 6221 32
yxxy . Como la función de estudio es un polinomio es factible suponer 1≤δ (¿por
qué?), y entonces
2011111 <<⇒<−<−⇒<− xxx (1a) 0211111 <<−⇒<+<−⇒<+ yyy (1b)
2
)1(
<⇒ x
a
40: 22
)1( <<↑ yb (2b)
7323420:)2(
)3(
)1( <+<⇒<<⋅
+
xxa (2a) 31120:)1(
)1(
)1( <+−<⇒<−<⋅−
+
yyb (3b)
732
)2(
<+⇒ x
a
71711: 22
)3()2( <+−⇒<+−<+ yyyybb
Así tenemos:
εδδδδ ≤=++<−−+− 2327)7(26221 32
yxxy
Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar )
23
,1mín( εδ ≤ que verifique el límite dado.

6. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
6
Estrategia 2. Factorización Simultánea usando Potencias de Binomios.
[ ] [ ] [ ]
[ ]
δδδδδδδδδ 1382252662
11512161612
)1()1(5)1(2)1(6)1(6)1(2
)1()1()1(4)1(2)1(6)1(6)1(2
51)1()1(2)1(4)1(22)1(6)1(6)1(2
51)1(1)1(21)1(2
5226221
23223
223
223
223
223
23
2332
++=+++++<
++−+−++++++≤
++−−−−+++−+=
−−++−−−−+++−+=
++−−++−−−−−−+++−+=
+−+++−−−+=
++−=−−+−
yxxxyyy
yxxxyyy
xyxxxyyy
xyxxxyyy
yxxy
xyxyyxxy
El hecho que hayamos utilizado 2<x indica que inicialmente hemos supuesto 1≤δ , y en consecuencia
δδδ ≤≤ 23
. Por tanto:
εδδδδδδδ ≤=++<++<−−+− 23138213826221 2332
yxxy
Lo cual nos lleva a las conclusiones ya obtenidas.
Ej. 3) Demuestre que 1
1
Lim
),(),( 2
1
2
1
=
+→ yxyx
.
Sol.-
Por definición
δεδε <−+−<<−
+
>∃>∀⇔=
+→
2
2
12
2
1
),(),(
)()(0s.q.1
1
001
1
Lim
2
1
2
1
yx
yxyxyx
yx
yx
yx +
−−
=−
+
1
1
1
yx
yx
+
−+−=
1
)()( 2
1
2
1
…(factorización)
( ) yx
yx
+
−+−≤
1
2
1
2
1
…(desigualdad triangular)
De este último resultado debe destacarse que el primer factor está acotado según la definición; no
obstante, la cota del segundo factor es desconocida. Como
yx +
1
no es acotado cuando 0)( →+ yx , la
suposición acerca de δ debe ser hecha con más rigor, cuidando que la bola reducida de ),( 00 yx NO
contenga algún punto del conjunto { }xyyx −=ℜ∈ 2
),( . Luego,

7. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
7
δδδδδ +<<−⇒<−<−⇒<− 2
1
2
1
2
1
2
1
xxx (1)
δδδδδ +<<−⇒<−<−⇒<− 2
1
2
1
2
1
2
1
yyy (2)
(1)+(2): δδ 2121 +<+<− yx (3)
δδδδ 21
11
21
11
21
1
1
)3(
021s.q. −
<
+
⇒
−
<
+
<
+⇒
−
↑
>− yxyx
Para llegar a este resultado se ha exigido 021 >− δ , o sea, 2
1
<δ . Ahora podemos suponer que si 4
1
≤δ ,
entonces:
εδδδ ≤=+<−
+
⇒
<
+
4)2)((1
1
2
1
yx
yx
Finalmente, para cualquier ε seleccionado, basta tomar )
4
,
4
1mín( εδ ≤ que verifique el límite dado.
Ej. 4) Demuestre que 0
3
Lim
22)0,0(),(
=
+→ yx
xy
yx
.
Sol.-
Por definición
δεδε <+<<
+
>∃>∀⇔=
+→
22
2222)0,0(),(
0s.q.
3
000
3
Lim yx
yx
xy
yx
xy
yx
Nótese que a diferencia de los ejemplos anteriores, el denominador de la función de estudio es NULO en el
punto de acumulación. En este caso la estrategia consiste en simplificar el denominador utilizando algún
hecho algebraico-aritmético obvio relacionado con la definición. De este modo,
εδ ≤<+=
+
++
≤
+
=
+
3333
3 22
22
2222
2222
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
xy
Luego, para cualquier ε seleccionado, basta tomar
3
εδ ≤ que verifique el límite dado.
Los teoremas de límites de funciones de una variable se extienden válidamente a más dimensiones,
de manera que:
1. Si el límite existe entonces su valor es único.

8. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
8
2. Si existen los límites de varias funciones en el mismo punto, entonces se verifica el álgebra de límites
(adición, producto, cociente y composición), considerando las restricciones pertinentes a
indeterminaciones o indefiniciones.
Así, se puede extender la definición dada para funciones reales de dos variables a más dimensiones.
Definición I-2. Sea ℜ→ℜ⊂ n
Uf : con regla )(xfy = , y sea el extremo (final) de n
ℜ∈a un punto
de acumulación de U. Entonces,
( ) ( )Lfxf εδδε B)(B00L)(Lim *
∈⇒∈>∃>∀⇔=
→
xax
ax
;
que en forma operacional puede escribirse como:
δεδε <−<<−>∃>∀⇔=
→
axxx
ax
0s.q.L)(00L)(Lim ff
Nótese que la condición suficiente indica que δ<−< ii ax0 , donde ieax ˆ)( ⋅−=− ii ax . Luego, en
las pruebas de límites puede procederse en forma análoga al caso de dependencia bidimensional. Aquí
podemos hacer la siguiente abstracción geométrica.
f
n
U ℜ⊂
a
δ
L+ε
L-ε
y
L
En el caso de funciones reales de varias variables, para demostrar la NO existencia de límite o para
tener una idea de cuál es su posible valor, son muy útiles los dos siguientes resultados sobre límites por
trayectorias o límites reiterados.
Proposición I-1. Sea ℜ→ℜ⊂ n
Uf : tal que L)(Lim =
→
x
ax
f . Entonces, para cada trayectoria
n
U ℜ→ℜ⊂:r que verifique ar =)( 0t , se tiene que:
L))((Lim
0
=
→
tf
tt
r .
El recíproco de esta proposición no es correcto, pero si lo es el contrario puesto que si el límite por
trayectorias no es un valor único entonces no existe límite.

9. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
9
Ej. 5) Usando trayectorias muestre que la función de regla
yx
y
yxf
+
= 2
),( no tiene límite en (0,0).
Sol.-
Considérese la familia de trayectorias parabólicas por el origen ℜ∈+= mtmtt con,ˆˆ)( 2
jir . Luego,
222
2
022
2
0 1
1
)1(
Lim
)(
Lim
mtm
t
tmt
t
tt +
=
+
=
+ →→
Como este resultado no es único puesto que depende de m, la función dada no tiene límite en (0,0).
Proposición I-2. Sea ℜ→ℜ⊂ n
Uf : tal que L)(Lim =
→
x
ax
f . Supongamos que existen los límites
)(Lim xf
ii ax →
, con iix ex ˆ⋅= y iia ea ˆ⋅= . Entonces existe y coincide con el límite por trayectorias el límite
L)(LimLimLimLimLim
112211
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→→→→→ −−
LLLL xf
nnnnii axaxaxaxax
,
así como los n!-1 límites determinados al cambiar el orden de prioridad en el cálculo.
El recíproco de esta proposición tampoco es correcto, pero si lo es el contrario: si los n! límites así
calculados no coinciden entre sí, o con el límite por trayectorias, entonces no existe límite para la función
dada en el punto indicado.
Ej. 6) Usando límites reiterados muestre que la función de regla
yx
y
yxf
+
= 2
),( no tiene límite en (0,0).
Sol.-
Se determinan 2! Límites.
1)1(LimLimLimLim
0)0(LimLimLim
00200
0200
==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
→→→→
→→→
yyxy
xyx
y
y
yx
y
yx
y
Lugar Geométrico
del Gráfico de la
función.
Como los resultados no coinciden, se sigue que la función dada no tiene límite en (0,0).
En el caso que los resultados de límites por trayectorias y de límites reiterados en un punto dado,
coincidan en valor numérico, no se puede afirmar que éste sea el límite de la función hasta probarlo usando
la definición.

10. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
10
II. Límite de una función vectorial
Ahora interesa hablar del caso de las funciones f cuyas imágenes son vectores en ℜm
,
específicamente del valor límite de tal función en el algún punto del conjunto de partida que en general,
supondremos es ℜn
. Esto proporcionará la visión más general sobre la piedra angular de este curso.
Definición II-1. Sea mn
U ℜ→ℜ⊂:f con regla )(xfy = , y sea el extremo (final) de n
ℜ∈a un
punto de acumulación de U. Entonces,
( ) ( )LxfaxLxf
ax
εδδε B)(B00)(Lim *
∈⇒∈>∃>∀⇔=
→
,
que en forma operacional puede escribirse como:
δεδε <−<<−>∃>∀⇔=
→
axLxfLxf
ax
0s.q.)(00)(Lim
Nótese que la condición suficiente indica que δ<−< ii ax0 , donde ieax ˆ)( ⋅−=− ii ax . Luego, en
las pruebas de límites puede procederse en forma análoga al caso de dependencia real n-dimensional. Ahora
podemos hacer la siguiente abstracción geométrica.
n
U ℜ⊂ m
ℜ
a
δ
L
ε
f
Considérese ∑=
==
m
j
jjf
1
ˆ)()( exxfy con ℜ→ℜ⊂ n
jj Uf : y I
m
j
jUU
1=
= . Luego,
jj
m
j
jj LfL =⇔==
→
=
→
∑ )(Limˆ)(Lim
1
xeLxf
axax
.
Esta afirmación nos lleva a la conclusión que el trabajo con límites de funciones vectoriales se reduce al
cálculo de límites de funciones reales. Es más, desde el punto de vista operacional se puede escribir:
{ } { } niiimj
jj axLf ≤≤≤≤→
<−<<−>∃>∀⇔= 11
0s.q.)(00)(Lim δεδε xLxf
ax
(¿por qué?).

11. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
11
Ej. 7) Demuestre que )24,6()32,( 222
)2,2,2(),,(
=++++
→
zyxzyxLim
zyx
.
Sol.-
Por definición,
δ
ε
δε
<−+−+−<
<−+++−++
>∃>∀⇔=++++
→ 222
22222
222
)2,2,2(),,(
)2()2()2(0q.s.
)2432()6(
00)24,6()32,(
zyx
zyxzyx
zyxzyxLim
zyx
Considerando simultáneamente cada función componente,
εδ ≤<
−+−+−≤
−+−+−=−++
3
222
)2()2()2(6
zyx
zyxzyx
[ ] [ ] [ ]
εδ
δδ
δ
≤<−++⇒
+<−++⇒
−+−+−+−+−+−≤
−+−+−+−+−+−=
−+−++−++−=
−++
≤
302432
2462432
212)2(328)2(224)2(
)2(12)2(3)2(8)2(2)2(4)2(
242)2(32)2(22)2(
2432
222
1
2222
222
222
222
222
zyx
zyx
zzyyxx
zzyyxx
zyx
zyx
Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar )
30
,1mín()
30
,1,
3
mín( εεεδ == que verifique el límite
dado.
Ej. 8) Muestre que la función
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−−
= 222
)(
)(
,
cos1
),(
yax
yax
y
xy
yxf no tiene límite en (a,0).
Sol.-
Estudiando los límites de cada función componente, se tiene que:
(i)
( )( )
( ) 2
sen
lim
2
1
cos1
cos1cos1
lim
cos1
lim
2
22
22
)0,(),(
2
)0,(),(
2
)0,(),(
a
yx
xyx
xyy
xyxy
y
xy
ayxayxayx
==
+
+−
=
−
→→→
(ii) Usando la familia de trayectorias rectas que pasan por (a,0), jir ˆˆ)()( mtatt ++= con ℜ∈m ,
222
2
0220 1)1(
lim
)()(
))((
lim
m
m
tm
mt
mtata
mtata
tt +
=
+
=
+−+
−+
→→
es obvio que este resultado no es único y en consecuencia esta función componente no tiene límite en
(a,0).
En conclusión la función f no tiene límite en el punto especificado.
Para finalizar este apartado se resumen las propiedades algebraicas de los límites en el siguiente teorema.

12. Límite de una función vectorial
JEA/05/06/98
12
Teorema 1. Sean las funciones vectoriales pmmnmn
WVU ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ :y:,: hgf , la
función real ℜ→ℜ⊂Ω n
p : , y el extremo de a un punto de acumulación común a todos los dominios
n-dimensionales. Si los límites de las funciones correspondientes en ese punto son
Rp ===
→→→
)(Limy)(Lim,)(Lim xMxgLxf
axaxax
,
entonces:
(i) ))((Lim MLxgf
ax
+=+
→
(ii) ))((Lim MLxgf
ax
⋅=⋅
→
(iii) Lxf
ax
Rp =
→
))((Lim
(iv) 0s.q.,))((Lim ≠=
→
R
Rp
L
xf
ax
(v) Lxf
ax
=
→
)(Lim
(vi) W∈=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
→→
LLhxfhxfh
axax
s.q.)()(Lim))((Lim o
III. Continuidad de una función de varias variables
La continuidad de una función formalmente significa que incrementos pequeños en las variables
independientes conducen a incrementos pequeños en el valor de la función, así, cuando aquel incremento es
infinitésimo (tiende a cero) también lo es el de la función. Dicho de otro modo, f es continua en el extremo
de cierto a , si )(xf tiende a )(af cuando ax → .
Definición III-1. Sea mn
U ℜ→ℜ⊂:f con regla )(xfy = . Se dice que la función f es continua en
n
ℜ∈a , y que denotamos { }af C∈ , sii ( )afxf
ax
=
→
)(Lim o equivalentemente,
( ) ( )( )afxfax εδδε B)(B00 *
∈⇒∈>∃>∀ .
Operacionalmente se escribe:
{ } δεδε <−<<−>∃>∀⇔∈ axafxff a 0s.q.)()(00C
Observaciones.
1. La función f es continua en a sii, son continuas allí todas sus funciones componentes.
2. Se dice que f es continua en un conjunto UD ⊂ , si lo es en todo punto de ese conjunto.
3. La función polinomial es continua en todo el conjunto de partida. También lo son intrínsecamente las
funciones circulares principales y la exponencial.

13. Límite de una función real
JEA/05/06/98
13
4. Si la función f no es continua en un punto a de acumulación de U, se dice es discontinua en a . En
tal caso la discontinuidad es evitable o esencial según que exista o no el límite de f en a .
Se dice que se “evita la discontinuidad“ si se cambia lo que sucede en a por el valor límite de f allí;
con esta manipulación se consigue que f pase a ser continua en a . Concretamente, la corrección a
realizar es:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
→
axxf
axxf
xf
ax
si,)(Lim
si,)(
)(c .
Las propiedades de límites de funciones que se estudiaron en el apartado anterior, conducen a
propiedades análogas para las funciones continuas.
Teorema 2. Sean las funciones vectoriales pmmnmn
WVU ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ℜ→ℜ⊂ :y:,: hgf , la
función real ℜ→ℜ⊂Ω n
p : . Si py, gf están definidas sobre el mismo conjunto n
D ℜ⊂ , y son continuas
en D∈a ; si además WU ⊂)(f , entonces:
(i) { })( agf C∈+
(ii) { })( agf C∈⋅
(iii) { })( af C∈p
(iv) { } 0)(s.q.)( ≠∈ af a pp C
(v) { } { })(s.q.)( afa hfh CC ∈∈o
Ej. 9) Estudie la continuidad de la función cuya regla es )sgn(),( xyxf = .
Sol.-
Como el gráfico de esta función es bastante simple, es posible realizar el estudio con base en meras
observaciones geométricas. Luego,
{ }0100,1),()Gra( 2
>=∨==∨<−=ℜ∈= ,xzxzxzyxf
y
x
1
-1
z

14. Límite de una función real
JEA/05/06/98
14
Es obvio que la función sólo presenta una discontinuidad, del tipo esencial para el eje de ordenadas.
Ej. 10) Estudie la continuidad de la función cuya regla es 22
22
)1(
),(
yx
xyx
yxf
+
++
= .
Sol.-
Aquí la función dada es racional y por tanto es continua en { })0,0(2
−ℜ (¿por qué?). Estudiaremos entonces
el límite de f en (0,0).
1)1(LimLim
)1(
LimLim
0
2
2
0
22
22
00
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
→→→→ xxyx x
x
yx
xyx
1)1(LimLim
)1(
LimLim
0
2
2
0
22
22
00
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
→→→→ yyxy y
y
yx
xyx
Cualquier trayectoria conducirá también a este resultado. Por tanto, debemos usar la definición para
probar que el valor del límite en cuestión es 1. En efecto,
εδ
δεδε
≤<=
+
+
≤
+
=−
+
++
<+<<−
+
++
>∃>∀⇔=
+
++
→
x
yx
yxx
yx
yx
yx
xyx
yx
yx
xyx
yx
xyx
yx
22
22
22
2
22
22
22
22
22
22
22
)0,0(),(
)(
1
)1(
0s.q.1
)1(
001
)1(
Lim
Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar εδ ≤ que verifique el límite dado. Puesto que el límite
EXISTE y vale 1, la función presenta discontinuidad del tipo evitable en (0,0). La función corregida es:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
++
=
)0,0(),(si,1
)0,0(),(si,
)1(
),( 22
22
yx
yx
yx
xyx
yxfc

15. Límite de una función real
JEA/05/06/98
15
Ej. 11) Estudie la continuidad de la función
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
+
= −
)ln(ln
,
2sen2cos2cos2sen
),(
44
yx
yx
aa
yyyx
yx yx
f .
Sol.-
Sean yx
aa
yyyx
yxf
−
+
= −
2sen2cos2cos2sen
),(1 y
)ln(ln
),(
44
2
yx
yx
yxf
−−
−
= , las funciones componentes de f .
Luego,
{ } { } { }),(),(),()Dom( 00
222
1 xxyxyxaayxf yx
−−ℜ=≠−ℜ∈=≠ℜ∈= −
, y
{ } { }
{ } { }),(0,0),(
0,0,),(0,0),ln(ln),()Dom(
00
2
22
2
xxyxyx
yxyxyxyxyxyxf
−−<>ℜ∈=
<>−≠ℜ∈=<>−≠ℜ∈=
{ } { }),(0,0),()Dom()Dom()Dom( 00
2
21 xxyxyxff −−<>ℜ∈==⇒ If
Si 0<x o 0>y , o si 00 22
≠+∧= yxxy , f2 no está definida y la discontinuidad es esencial.
Estudio del límite de cada función componente cuando ),(),( 00 xxyx −→ .
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
2
ln
2
1
sen
),(),(
0
2
),(),(
0
2
1
2
22
2
22
),(),(
0
1),(),(),(),(
2cosLim2cos2
1
sen
Lim2cos2
cossen2
Lim2cos
2cos)2sen2(sen
Lim
2sen2cos2cos2sen
Lim
0
00
0
00
0
00
0000
xaxa
a
yx
xa
x
a
yyx
aa
yyyx
x
a
yx
a
yx
yx
xxyx
x
yxxxyx
x
a
a
yxyx
xxyx
y
a
xxyx
yx
xxyx
yx
x
yx
x
−=−=
−
+
=
=
−
+
=
−
+
+
−
+
+
−→
+
−→
−
−+
−→
−→
−
−→
+
+
[ ]
4
0
1
),(),(
3
0
1
),(),(
3
0
),(),(
3
0
),(),(
3
01
),(),(
3
0
3223
),(),(
44
),(),(
4
)(Lim
1
4
)(1)(Lim
1
4
)(Limln
1
4
)ln(
1
Lim4
)ln(
1
Lim4
)ln(
))((
Lim
)ln(ln
Lim
00
00
1
00
1
0000
0000
xx
xx
xx
yxyyxxyx
yx
yx
y
xxyx
yxy
x
xxyxy
x
xxyx
y
xxxyx
y
x
yx
xxyx
y
xxxyxxxyx
yx
yx
=
−
=
−−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
−
=
−
−+−+
=
−−
−
−→
+
−→
−→
−→
+
−→
−→−→
+
+

16. Límite de una función real
JEA/05/06/98
16
Luego, f tiene discontinuidad evitable en ),( 00 xx − . La función corregida es:
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
−≠
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
+
= −
yxxxa
yx
yx
yx
aa
yyyx
yx
x
a
yx
si,4,2cos
si,
)ln(ln
,
2sen2cos2cos2sen
),(
42
ln
2
44
f .
REFERENCIAS
1. El Cálculo con Geometría Analítica, por Louis Leithold. HARLA.
2. Cálculo Infinitesimal de Varias Variables, por Juan de Burgos. McGraw-Hill.
3. Calculus, por Tom Apostol. Reverté.
4. Cálculo Diferencial, por José Mazón. McGraw-Hill.
5. Cálculo de Varias Variables con Algebra Lineal, por Philip Curtis. LIMUSA
6. Cálculo Vectorial, por Claudio Pita. Prentice Hall.
7. Cálculo Vectorial, por Marsden/Tromba. Addison-Wesley Iberoamericana.
8. Funciones de Varias Variables, por DeSalvo/Torres. EDILUZ.
9. Historia de las Matemáticas, por K. Ríbnikov. MIR
10. Enciclopedia ENCARTA97. Microsoft Corp.
"Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico". Leonard Euler.