El documento describe las condiciones de Kuhn-Tucker y Lagrange, métodos matemáticos para encontrar soluciones óptimas a problemas de optimización con restricciones. Las condiciones de Kuhn-Tucker fueron desarrolladas por Albert Tucker y Harold Kuhn para problemas de programación matemática con restricciones de desigualdad. El método de Lagrange generaliza este enfoque para restricciones de igualdad usando multiplicadores de Lagrange. Ambos métodos son ampliamente utilizados en economía, teoría de control, toma de decisiones y otros campos que invol

1. Condiciones Kuhn
Tucker y Lagrange
Alberto Vásquez
C.I:18723967
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño

2. Las Condiciones Kuhn Tucker
Fue desarrollada por Albert William Tucker (28 de
noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995),
matemático nacido en Canadá, pero de nacionalidad
norteamericana, que hizo grandes contribuciones en
diversas disciplinas relacionadas directamente con la
matemática y la física. Fue complementada por
Harold Kuhn, quien permitió mejoras en el proceso,
pero se le adjudico un papel secundario.

3. Las Condiciones Kuhn Tucker
También conocidas como las condiciones
KKT o Kuhn-Tucker, son condiciones
necesarias y suficientes para que la
solución de un problema de programación
matemática sea óptima. Es una
generalización del método de los
Multiplicadores de LaGrange

4. Las Condiciones Kuhn Tucker
Los trabajos realizados por Albert William
Tucker y Harold Kuhn trajeron múltiples
beneficios en muchas áreas del conocimiento, la
mayoría de ellos elaborados en universidades
como la de Princeton, Cambridge y Harvard. Por
nombrar algunas de las ciencias y temas a los
que causo un efecto positivo son:
•Topología.
•Teoría de juegos.
•Programación lineal.
•Programación no lineal.
•Optimización.

5. Objetivos de las Condiciones Kuhn
Tucker
Cubrir todos los aspectos necesarios
para satisfacer los problemas relacionados
con la optimización de programaciones
lineales y no lineales, independientemente
de la causa o de la intensidad de estas,
otorgando como resultado final que no
existan restricciones de desigualdad que
generen incertidumbre.

6. Aplicación de la Condiciones
de Kuhn-tucker
La toma de decisiones organizacionales, se fundamenta
matemáticamente el teorema de suficiencia de kuhn-tucker
los
problemas
de
restricción
de
desigualdad
pueden
ajustarse mejor a situaciones reales, puede pensarse que
una restricción de igualdad significa agotar completamente
cierto recurso.

7. Dentro de la solución de los
problemas de las condiciones
Kuhn Tucker están:
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Diagnostico del problema
Investigación u obtención de información
Desarrollo de alternativas
Experimentación
Análisis de restricciones
Evaluación de alternativas
Formulación del plan
Ejecución y control
Fijación de objetivos
Objetivos que se contradicen
Jerarquía de objetivos horizonte de planeación

8. Método LaGrange
En los problemas de optimización, los multiplicadores de LaGrange,
nombrados así en honor a Joseph Louis LaGrange, son un método para trabajar
con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y
está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido
en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar
desconocida, el multiplicador de LaGrange, para cada restricción y forma una
combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su
demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales
totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna
función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a
las variables independientes de una función sea igual a cero.

9. Utilidad del Método LaGrange
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar
máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a
menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se
está extremized. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea
maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores
fijos o restricciones. El método de los multiplicadores de LaGrange es
una herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la
necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan
para eliminar las variables adicionales.

10. Objetivos del Método LaGrange
Al permitir encontrar los puntos máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables sujetas a restricciones,
permite que esta teoría se adapte a problemas de la vida
cotidiana o inclusive mucho más complejos, por permitir
ver los resultados óptimos y peores posibles, manejando
con ello una amplia gama de oportunidades para visualizar
el panorama con el que se encuentra el o los individuos al
ejecutar una actividad o proyecto.

11. Las dos áreas mas importantes
donde se aplica este método.

Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía. Por
ejemplo, el problema selecto para un consumidor
maximizar una función de utilidad
se representa como uno de
sujeta a una coacción de presupuesto . El
multiplicador LaGrange tiene una interpretación económica como el precio de la
oposición asociado con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal
de ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una
firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.

12. Las dos áreas mas importantes
donde se aplica este método.
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de
LaGrange se interpretan como constates
variables, y
los multiplicadores de LaGrange se formulan de nuevo
como la minimización del hamiltoniano , en el principio
mínimo de Pontryagin.

13. Condiciones Kuhn Tucker y
LaGrange
La utilización de estos métodos se han convertido en una de las mayores
herramientas utilizadas en las organizaciones para la toma de decisiones
debido a su complejidad y la manera en que representan los problemas
tomando en cuenta todas las variables que intervienen dentro del mismo,
facilitando de esta manera a los directivos seleccionar la solución más óptima
para cada problema. Los mismos son representados de forma sencilla y
específica para su fácil comprensión.
El objetivo de la optimización matemática es, por tanto, encontrar los
máximos y mínimos de funciones de varias variables sujeta a una serie de
restricciones.

14. Campos de aplicación de las
condiciones de Khun- Tucker y
LaGrange.
Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de LaGrange
en el caso de restricciones de igualdad, son calculados simultáneamente a los puntos
óptimos. Además de servir para utilizar las condiciones de optimización de segundo
orden y para indicar las restricciones que se encuentran saturadas, tienen una clara
interpretación económica y financiera.
Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría
plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y
expresando en forma de igualdad las saturadas.
También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de sistemas,
matemática, toma de decisiones entre otras.

15. Diferencias entre las condiciones
de Khun- Tucker y Lagrange.
La principal diferencia entre las condiciones de Kuhn
Tucker y LaGrange, y a pesar que comparten más
similitudes que diferencias, es que la primera fue creada
con el fin de dar solución a problemas relacionados con la
programación lineal, la segunda se adapta a una mayor
cantidad de casos (inclusive cotidianos), por lo que se
podría decir que a pesar de tener un mayor tiempo desde
su creación, tiende a ser más importante la de LaGrange.