Este documento describe las condiciones de Kuhn-Tucker y Lagrange para la optimización de funciones sujetas a restricciones. Explica que el método de Lagrange reduce un problema restringido a uno sin restricciones mediante la introducción de multiplicadores de Lagrange. También cubre el método de Kuhn-Tucker y áreas de aplicación como la teoría del control y la economía.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENCIÓN COL-CABIMAS
CONDICIONES DE
KUHN TUCKER Y LAGRANGE
Autor: Julio Basabe
C.I. 20.743.652
CABIMAS, DICIEMBRE 2013

2. Albert Tucker nació en Ontario, Canadá, y se graduó en la Universidad de Toronto
en 1928. En 1932, completó su doctorado en la Universidad de Princeton bajo la
supervisión de Solomon Lefschetz, con una tesis de nombre "Aproximación
abstracta a las variedades" (en inglés "An Abstract Approach to Manifolds").
En 1932-33 fue becario nacional de investigación en Cambridge, Harvard, y en la
Universidad de Chicago. En 1933 vuelve a Princeton para incorporarse a la
Universidad donde permaneció hasta 1970. durante 20 años mantuvo la cátedra
del departamento de matemáticas, algo excepcional en dicha universidad. Tucker
conocía a todo el mundo y tenía una gran memoria lo que le convertía en una
fuente magnífica de historias de la comunidad matemática. También realizó
importanes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no
lineal.

4. Campo de Aplicación
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la
solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan
dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a
un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Notar que si se
han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el problema es
infectable. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen
economías o de economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se
cumplen

5. Condiciones de KUHN-TUCKER
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6. Cabe señalar que:

7. Ejercicio

8. Continuación del ejercicio

9. Continuación del ejercicio

10. Conclusión del ejercicio

11. Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe
Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe
Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en
Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un
matemático, físico y astrónomo italiano que
después vivió en Rusia y Francia. Lagrange trabajó
para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte
años. Lagrange demostró el teorema del valor
medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo
una importante contribución en astronomía.

12. En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados así en
honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias
variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones.
Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de
n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una
nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción
y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su
demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus
parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita,
encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables
independientes de una función sea igual a cero.

13. Método de Lagrange
SEA F (X) UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO
ABIERTO
N-DIMENSIONAL
{X
∈
RN}.
SE
DEFINEN S RESTRICCIONES GK (X) = 0, K=1,..., S, Y SE OBSERVA (SI
LAS RESTRICCIONES SON SATISFECHAS) QUE:
SE PROCEDE A BUSCAR UN EXTREMO PARA H
LO QUE ES EQUIVALENTE A
Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente
se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha
sido optimizada
El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

14. Video Ejercicio

15. Áreas mas importantes donde
se aplica este método.
Teoría de control
En la teoría de control óptimo , los
multiplicadores de Lagrange se interpretan
como constates
variables, y los
multiplicadores de Lagrange se formulan de
nuevo como la minimización del
hamiltoniano , en el principio mínimo de
Pontryagin.
Economía
La optimización reprimida desempeña un papel central en la
economía. Por ejemplo, el problema selecto para un
consumidor se representa como uno de maximizar una función
de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto . El
multiplicador Lagrange tiene una interpretación económica
como el precio de la oposición asociado con la coacción, en
este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos
incluyen la maximización de la ganancia para una firma, junto
con varias aplicaciones macro-económicas.

16. Método Lagrange
Método Kuhn Tucker
Es mas cuantitativo que cualitativo
Busca analizar el comportamiento del
consumidor
Se centra mas en el control
Se centra mas en la organización