El documento analiza la continuidad de dos funciones. Determina que la primera función es discontinua en x=1 debido a que el límite cuando x tiende a 1 es diferente al valor de la función en ese punto. Sin embargo, determina que la segunda función es continua en x=5 ya que el límite cuando x tiende a 5 es igual al valor de la función en ese punto.

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
MATEMATICA II
21) Análisis de continuidad:
Vemosquela funciónestá definidaen x=1 y f (1)=0.
lo que satisface la primera condición siendo que x=1 pertenece al dominio de la función.
lim
x→1<
( x
2
−1)
(x−1)
>¿
¿ lim
x−1<
((x−1)(x+1))
(x−1)
>¿
¿ lim
x−1
(x+1) Ahora determinamos el límite cuando x--> 1
lim
x→1
(1+1) =2

2. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
Satisface la segunda condición ya que el límite existe.
F(1)=0
lim
x→1
(
(x
2
−1)
(x−1)
)≠F(1)
Concluimos que la función es discontínua en x=1. El tipo de discontinuidad es evitable porque el
límite de la función cuando x tiende a 1 sí existe.
Cálculo cuando x tiende a 2.
lim
x→2
(
(x
2
−1)
(x−1)
) lim
x−2
(
((x−1)(x+1))
(x−1)
) lim
x−2
(x+1)
lim
x→2
(2+1) =3

3. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
Demostración por definición de límite de la existencia de lim
x−1
(
(x
2
−1)
(x−1)
)=2
0<|(x−1)|<∂ ⇒|(
(x
2
−1)
( x−1)
−2)|<ƛ
|(x+1−2)|<ƛ
|(x−1)|<ƛ⇒∂⩽ƛ Entonces dado unƛbastatomar ∂⩽ƛ paraque existael límite.
22)
Para empezar a evaluar la continuidad vemos que la función si está definida en x=5 y su
correspondiente imagen es 0.
Luego vemos si existe el límite de la misma.
lim
x→5
(
(x
2
−25)
(x−5)
)
lim
x→5
((x−5)(x+5))
(x−5)
¿ lim
x→5
(x+5) =10
Así el límite existe y es igual a 10.
Ahora verifiquemos lim
x→5
(
(x
2
−25)
(x−5)
)=f (5)
lim
x→5
(
(5
2
−25)
(5−5)
)=0 y comprobamos 0=0 ya que f(5)=0;
Concluímos que la función si es contínua en x=5.

4. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II plan 2010
Límite de la función cuando x tiende a 2:
lim
x→2
(
(x
2
−25)
(x−5)
)
lim
x→2
((x−5)(x+5))
(x−5)
¿ lim
x→2
(x+5) =7
Demostración por definición de límite de la existencia de lim
x−1
(
(x
2
−25)
(x−5)
)=10
0<|(x−5)|<∂⇒|(
(x
2
−25)
(x−5)
−10)|<ƛ
|(x+5−10)|<ƛ
|(x−5)|<ƛ⇒∂⩽ƛ Entonces dado unƛbastatomar ∂⩽ƛ paraque existael límite.