Este documento presenta varios ejercicios matemáticos resueltos. El primero involucra calcular raíces cúbicas complejas. El segundo determina el valor real de una fracción compleja. El tercero demuestra una identidad trigonométrica. El cuarto expresa una función en forma polar.

1. ALUMNO: JULIAN ROJAS C.I 17940232
1). Efectuar las operaciones siguientes.
푎. ) 푍 = (푅푒(2푖45 − 5푖32) + √2푖41 + 3푖24)1/3
b.) Re {( 2+푖17
3푖14−푖
5
2
)} |
푖6 −
3
2
푖5|
solucion del ejercicio a.)
푎. ) 푍 = (푅푒(2푖45 − 5푖32) + √2푖41 + 3푖24)1/3
Haciendo 푖2 = −1:푍 = (푅푒(2(푖2)22푖 − 5(푖2)16) + √2(푖2)20푖 + 3(푖2)12)1/3
푍 = (푅푒(2(−1)22푖 − 5(−1)16) + √2(−1)20푖 + 3(−1)12)1/3
푍 = (푅푒(푖 − 5) + √2푖 + 3)1/3 = (−5 + √2푖 + 3)1/3 = (−2 + √2푖)1/3
푍 = (−2 + √2푖)1/3 convirtiendo a forma polar
2
= √4 + 2 = √6
(−2 + √2푖) => |푧| = 푧2 = 22 + √2
휃 = tan−1 (− √2
2
) = −35,26 por estar en el tercer cuadrante 휃 = 270 − 35,26
휃 = 234,74 para calcular las raices se utiliza la definiciòn
√푧 푛 = 푍1/푛 = |푧|1/푛 = (cos (
휃+2푘휋
3
휃+2푘휋
) + 푖 sin (
3
))
1/3
√푧 3 = 푍1/3 = |√6|
234,74+20휋
(cos (
3
234,74+20휋
) + 푖 sin (
3
)) k=0
1/3
푍1 = |√6|
(cos(78,24) + 푖 sin(78,24))
1/3
√푧 3 = 푍1/3 = |√6|
234,74+2∗1∗휋
(cos (
3
234,74+2∗1∗휋
) + 푖 sin (
3
)) k=1
1/3
푍2 = |√6|
(cos(198,24) + 푖 sin(198,24))
1/3
√푧 3 = 푍1/3 = |√6|
234,74+2∗2∗휋
(cos (
3
234,74+2∗2∗휋
) + 푖 sin (
3
)) k=2
1/3
푍3 = |√6|
(cos(318,24) + 푖 sin(318,24))

2. b.) Re {( 2+푖17
3푖14−푖
5
2
)} |
푖6 −
3
2
푖5|
Solución:
Haciendo 푖2 = −1 Re {(2+(푖2)8푖
3(푖2)7−푖
5
2
)} |
(푖2)3 −
3
2
(푖2)2푖|
Re {(2+(−1)8푖
3(−1)7−푖
5
2
)} |
(−1)3 −
3
2
(−1)2푖| Re {( 2+i
−3−푖
)} |−
5
2
−
3
2
푖| 푍 = 푥 + 푖푦 ; 푍 = 푥 − 푖푦
Re {( 2-i
−3+푖
)} |−
5
2
−
3
2
푖|; |−
5
2
−
3
2
푖| => |푧| = 푧2 = (−
5
2
2
+ (−
)
3
2
)
2
= √25
4
+
9
4
=
√34
4
Re {( 2-i
−3+푖
)} √34
4
por definición
푍1
푍2
=
푍1
푍2
푍2
푍2
Re {( 2-i
−3+푖
−3−푖
−3−푖
) (
−6−2푖+3푖−1
(3)2−(푖)2 )} = Re {(
)} = Re {(
−7+푖
9+1
−7+푖
10
)}= Re {(
)} =
−7
10
Re {( 2-i
−3+푖
)} √34
4
−7
10
=
√34
4
=
−7
20
√34
2.) Describir y bosquejar el lugar geométrico definido por:
3 (푍2+푍
2
) − 10푍푍 + 25 = 0 : por definición 푍 = 푥 + 푖푦; 푍 = 푥 − 푖푦
Solución:
3 ((푥 + 푖푦 )2+(푥 + 푖푦 )
2
) − 10(푥 + 푖푦 )(푥 + 푖푦 ) + 25 = 0
3((푥 + 푖푦 )2+(푥 − 푖푦 )2) − 10(푥 + 푖푦 )(푥 − 푖푦 ) + 25 = 0
3(푥2 + 2푥푖푦 + (푖푦)2 + 푥2 − 2푥푖푦 + (푖푦)2) − 10(푥2+푦2 ) + 25 = 0
3(푥2−푦2 + 푥2+푦2) − 10(푥2+푦2 ) + 25 = 0 ; 3(푥2 + 푥2) − 10(푥2+푦2 ) + 25 =0
6푥2 − 10푥2+10푦2 + 25 = 0 => 6푥2 − 10푥2+10푦2 + 25 =0
Multiplicando por -1 y dividiendo todo entre 25 tenemos
=> −4푥2 + 10푦2 + 25 =0 =>
4푥2
25
−
10푦2
25
= 1 =>
푥2
(
5
2
)
2 −
10푦2
(√5
2
)
2 = 1
El lugar geométrico tiene parecido a una hipérbola de la forma
(푥−ℎ )2
푎2 −
(푦−푘 )2
푏2 : 푎 =
5
2
, 푏 = √5
2
푎 = 2,5 푏 = 1,58 푐표푛 푐푒푛푡푟표 푒푛 푒푙 표푟푖푔푒푛

3. Grafica del lugar geométrico.
Luego la región 3 (푍2+푍
2
) − 10푍푍 + 25 = 0 representa la región del contorno con
centro (0,0) y a=2,5 , b=1,58 como se muestra en la figura
b=1.58
a=2,5
3.) Demostrar que:
cos(푍1 + 푍2) = cos 푍1 cos 푍2 − sin 푍1 sin 푍2:
Solución:
Por formula de Euler
℮푖푍= cos(푍) + 푖 sin(푍); ℮푖푍1= cos(푍1) + 푖 sin(푍1) ; ℮푖푍2= cos(푍2) + 푖 sin(푍2):
Multiplicando ambas ecuaciones.
℮푖푍1℮푖푍2=(cos(푍1) + 푖 sin(푍1))(cos(푍2) + 푖 sin(푍2)) =>
℮푖(푍1+푍2)=(cos(푍1) + 푖 sin(푍1))(cos(푍2) + 푖 sin(푍2)) =
℮푖(푍1+푍2)=(cos(푍1) cos(푍2) + 푖 cos(푍1) sin(푍2) + 푖 cos(푍2) sin(푍1))(cos(푍2) −
sin(푍1) sin(푍2)) = entonces
℮푖(푍1+푍2) = cos(푍1 + 푍2) + 푖 sin(푍1 + 푍2) Igualando la parte real con real y la parte
imaginaria con imaginaria se tiene que

4. cos(푍1 + 푍2) = cos(푍1) cos(푍2) − sin(푍1) sin(푍2) 푐. 푞. 푑
4.) Expresar la función 푓(푍) = √5 ⌈퐼푚(푧)⌉5℮4푖7(푅푒(푍))2
en la forma
푤 = 푓(푍) = 푈(푥. 푦) + 푖푉(푥. 푦)
Solución: Haciendo 푖2 = −1 y 푍 = 푥 + 푖푦
푓(푍) = √5 ⌈퐼푚(푥 + 푖푦)⌉5℮4(푖2)3푖(푅푒(푥+푖푦))2
= √5 ⌈(푖푦)⌉5℮4(−1)3푖(푥)2
=
푓(푍) = √5 ⌈(푖푦)⌉5℮4(−1)3푖(푥)2
= 푓(푍) = √5 푖푦5℮−4푖(푥)2
: por formula de Eurle
℮푖푍= cos(푍) + 푖 sin(푍): 푓(푍) = √5 푖푦5(cos(2푥)2 + 푖 sin(2푥)2)
푓(푍) = 푖√5 푦5 cos(2푥)2 − √5 푦5 sin(2푥)2)
푤 = 푓(푍) = 푈(푥. 푦) + 푖푉(푥. 푦) =−√5 푦5 sin(2푥)2+ 푖√5 푦5 cos(2푥)2
푈(푥. 푦) = −√5 푦5 sin((2푥)2); 푉(푥. 푦) = √5 푦5 cos((2푥)2)
a.) 푈푥 = −√5 푦54푥 cos((2푥)2); 푈푦 = 5√5 푦4 sin((2푥)2)
b.) 푉푥 = −√5 푦54푥 sin((2푥)2); 푉푦 = 5√5 푦4 cos((2푥)2)
푈푥 ≠ 푉푦 ; 푈푦 ≠ −푉푥 Resulta que la función no es analítica