El documento presenta la solución a un examen de trigonometría con 5 preguntas. La primera pregunta encuentra el conjunto de soluciones para una ecuación trigonométrica. La segunda determina las razones trigonométricas de un ángulo. La tercera calcula las razones trigonométricas para un ángulo coterminal. La cuarta y quinta verifican identidades trigonométricas.

1. 1
√𝟑 − − −
𝟏
𝒚+
𝒚−
𝒙−
𝒙+
MM-111 Geometría y Trigonometría
Departamento de Matemática
SOLUCIÓN AL III EXAMEN #1 DE TRIGONOMETRÍA
II PERÍODO ACADÉMICO 2015
PROPUESTO POR: KENNY ORELLANA
RESUELTO POR: CARLOS AVILÉS GALEAS
TIPO RESPUESTA BREVE
1. Si cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0, escriba el conjunto de solucion en terminos generales.
SOLUCIÓN:
cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
cos 𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
(1)
𝑥 =
𝜋
4
𝑪. 𝑺 = {
𝝅
𝟒
+ 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ 𝚭}
2. Determine las razones trigonométricas exactas del ángulo en posición normal determinado
por la recta 𝑦 = √3𝑥 cuando 𝑥 ≥ 0.
3. Determine el ángulo de referencia y valor exacto de las razones trigonométricas para
𝜃 = −870°
El ángulo coterminal es 𝟐𝟏𝟎° cuyo angulo de referencia es 𝟑𝟎°
Por lo tanto:
∗ 𝑠𝑒𝑛 210° = −
1
2
∗ cos 𝟐𝟏𝟎° = −
√3
2
∗ 𝑡𝑎𝑛 210° =
√3
3
∗ 𝑐𝑠𝑐 210° = − 2 ∗ sec 210° = −
2√3
3
∗ 𝑐𝑜𝑡 210° = √3
Si 𝒙 = 𝟏 entonces 𝒚 = √𝟑, * aplicando el teorema de Pitágoras
obtendremos la medida de la hipotenusa de longitud 2.
Por tanto:
∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
√3
2
∗ cos 𝜃 =
1
2
∗ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = √3
∗ 𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
2√3
3
∗ sec 𝜃 = 2 ∗ 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
√3
3

2. 2
4. Verifique la identidad 𝑐𝑜𝑠4( 𝛼) − 𝑠𝑒𝑛4( 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (2𝛼)
Solución
(cos2
(𝛼))2
− (sen2
(𝛼))2
= (
1 + cos(2𝛼)
2
)
2
− (
1 − cos(2𝛼)
2
)
2
=
1 + 2 cos(2𝛼) + cos2
(2𝛼)
4
−
1 − 2 cos(2𝛼) + cos2
(2𝛼)
4
2 cos(2𝛼) + 2 cos(2𝛼)
4
=
4 cos(2𝛼)
4
cos(2α)
5. Verifique la identidad
𝑐𝑜𝑠 𝛼
1−𝑠𝑒𝑛 𝛼
+
1−𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
= 2 𝑠𝑒𝑐 𝛼
Solución
(cos 𝛼)(cos 𝛼) + (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
cos2
𝛼 + 1 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
2 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
2(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)
(1 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼)(cos 𝛼)
=
2
cos 𝛼
2 sec 𝛼