El documento presenta varios problemas de cálculo integral y volúmenes de revolución. En el primer problema, se calculan áreas bajo curvas. En el segundo, se calculan volúmenes de sólidos de revolución generados por regiones delimitadas por funciones. Finalmente, en el tercer problema se calculan longitudes de curvas dadas.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA ANTONIO JOSE DE SUCRE
BARQUISIMETO ESTADO LARA
INTEGRANTE
CESAR DIAZ C.I. 21561604
CARRERA: INFORMATICA
SEPTIEMBRE 2014

2. 1) Hallar el área de la Región encerrada por los gráficos:
a) f(x) = x2 − 4, g(x) = x − 4
푥2 − 4 = 푥 − 4 푥2 − x = 0
La función superior es 푥2 −4
La función inferior es 푥 − 4
1
0
1
0
= ∫ (푥)(푥 − 1) = ∫ (푥) 푑푥 (푥 − 1) 푑푥
1
0 푥2 – x + 1) dx = ∫ (−
∫ (−
푥3
3
1
0 −
푥2
2
0
+ 2 x)]1
= −
1
3
−
1
2
+2 − ∫
8
3
– 2 – 4)
= −
1
3
−
1
2
8
3
+ 2 – (
− 6)
=
−2−3+12
6
8−18
3
− (
)
=
−5+12
6
+
10
3
=
7
6
+
10
3
=
7+20
6
=
27
6
=
9
2

3. 푏) 푦 = 푥 3, 푦 = 4푥
푥 3 = 4x 푥 3 – 4x x (푥 2 − 4)
푥 3 – 4 x = 0 aplicar Ruffini
푥 3 + 0푥 2 – 4x + 0
1 0 – 4 0
2 2 4
1 2 0
–2 – 2
Raíces (-2, 0,2)
1 0
0
2 푥 3 – 4푥) dx = ∫
∫ (
푥4
4
0
2 −
4푥2
2
= ∫ (24
4
−
4.22
2
) 0
2 =
16
4
−
16
2
= −4
∫ ((−2)4
) 0
−2 =
4
−
4 (−2)2
2
16
4
−
16
2
= 4
∫ (84
) 2
−2 – ((−2)4
4
−
4(2)2
2
4
−
4(−2)2
2
) = (16
4
−
16
2
−
16
4
+
16
2
)
= 4 – 8 + 8 + 8 = + 12
Rpta = 12 – 4 = 8

4. C) 푥 =
12
푦
, 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2
푒 2
1 푑푦
12
푦
∫ (
)
푒
0 푑푦 = 12 ln 푦
∫
12
푦
12 ln 푒2 = 2.12 = 24
Rpta = 24
D) 푓(푥) = tan
푥
2
, 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 =
1
2
휋
휋
2
0 푑푥 = [ln |sec
∫ (푇푎푛
푋
2
)
푥
2
|]
휋
2
0
U= Sec
푥
2
푑푥
= ln 2 – ln|푆푒푐 푥|
= ln 2 - 0
= ln 2
Resultado = ln 2

5. 2) Hallar el volumen del solido de revolución generado por la
región encerrada por las curvas dadas (utilice el método del
disco, arandelas y cortezas cilíndricas).
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
Δ(푥) = π (푓(푥)2
Δ V = π (푓(푥))2 Δ푥
V= π ∫ 푟 푏 2
푎 푑푥
V= π ∫(퐶표푠 2푥)2 푑푥
V= π ∫ 퐶표푠 24 푥2 푑푥 = [
π2
4
]
V= 4푥 d푥
U´ = 4 푑푥
푈´
4
= d푥
Resultado =
휋2
4

6. b) 푥 = 4푦, 푥 = √푦 3 , 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 8
Radio mayor = |4푦 − 8| = 8−4y
Radio menor = | √푦 − 8 3 | = 8 - √푦 3
V = π ∫ (8 − 4푦 1 )2
0 −(8 − √푦 3 )
2
푑푦
V= π ∫ (64 − 64푦 + 16푦2 ) 1
0 - (64 – 16 푦
2
⁄3 + 푦
2
⁄3) 푑푦
1
⁄3 = 6푦) 1
0 푑푦
V= π ∫ (16푦2 − 64푦 + 6푦 − 푦
2
⁄3 + 16푦
V= π∫ (16푦2 − 64푦 − 3√푦2 + 16 √푦 3 ) 1
0 푑푦
V= 휋 ∫ (
16푦3
3
− 64푦2
2
5
⁄3
5
⁄3
− 푦
4
⁄3
4
⁄3
+ 16 푦
) 1
0
V= π (
16
3
− 32푦2 −
5
⁄3
5
3푦
+
4
⁄3
3
48푦
) 1
0
V= π (
16
3
− 32 −
3
5
+ 16)
80−480−9+240
π = (
15
) =
169
15
π

7. C) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar
alrededor del eje x la elipse
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1
- Se utiliza el método del disco
- se traza la f(푦) = 푎
⁄푏 √푏2 − 푦2
V= 2 π (
푎2
푏2 (푏2 − 푦2)) 푑푦 = 2 π
푎2
푏
∫ (푏2 − 푦2 ) 푏2 표
= 2 π
푎2
푏2 (푏2푦 −
푦3
3
) 푏
0 = 2 π
푎2
푏2 (푏3 −
푏3
3
) =
1)
4휋
3
푎2 푏, 푐푢푎푛푑표 푎 > 푏
2)
4휋
3
a 푏2, 푐푢푎푛푑표 푏 > 푎
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.

8. 푦 = 4 − 푥2 , 푒푗푒 푥, 푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 3
V= π ∫ (4 − 푋2) 3 2
0 푑푥
3
0 푑푥
V= π ∫ (16 − 8푥2 + 푥4)
3
0
V= π ∫ (16 − 8푥2 + 푥4) 푑푥
V= π (16푥 −
8푥3
3
+
푥5
5
)
= π (16,3 −
8.33
3
+
35
5
)
= π (48 −
8.27
3
+
243
5
)
π (48 −
216
3
+
243
5
)
π (48 − 72 +
243
5
) = (−24 +
243
5
−120+243
) = (
5
)
123
5
π (
)
Respuesta = (π
123
5
)

9. 3) Hallar la longitud de la curva dada
a) 푦 = 푥3
6
+ 1
2푥
, 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3
푑푥
푑푦
푥3
6
(
) 푑푥 =
3푥3−1
6
=
3푥2
6
=
푥2
3
푑푥
푑푦
=
1
2푦
=
1
2푦2
푑푥
푑푦
푥2
2
−
1
2푥2 =
2푦4−2
4푦2 =
푦4−1
2푦2
3 2
1 푑푦 = ∫
L = ∫ √1 + (푌4 −1
2푌2 )
(√1.푑푥 (2푦2 )−2푦2 +1)
(2푦2 )2
3
1
∫ (√
4푦4 + 푦8 − 2푦2 + 1
4푦4 )
3
1
푑푦 = ∫ (√
푦8 + 2푦4 + 1
4푦4 )
3
1
∫ (√
(푦4+1)2
4푦4 ) 3
3
1 푑푦 = ∫ (푦2
1 푑푦 = ∫
푦4+1
2푦2
3
1
+
) 2
2푦21
푥3
6
3
1 = (
∫ (
−
1
2푦2 )
33
6
−
1
18
) =
27
6
−
1
18
=
9
2
−
1
18
54−6
12
=
48
12
9
2
(
−
1
18
1
6
) − (
+
1
2
) =
81−1
18
1+3
6
− (
)
81
18
−
4
6
=
9
2
−
2
3
=
27−4
6
=
23
6
=
14
3

10. b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥, 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 = 휋
3
푑푥
푑푦
= ln secx =
sec 푥
푠푒푐
=
tan 푥.sec 푥
sec 푥
푡푔 푥 .sec 푥
sec 푥
= 푡푔 푥
∫ 푡푎푔 푥 = (푡푔0 − 푡푔
휋
3
) 0
휋 = 1 – tg x
휋
3
=[푡푔0 − 푡푔
휋
3
] = ln (2 + √3)