Este documento presenta ejercicios sobre variables complejas para un estudiante. Incluye cuatro problemas resueltos: 1) realizar operaciones con números complejos, 2) describir el lugar geométrico definido por una ecuación, 3) demostrar una identidad trigonométrica, y 4) expresar una función en forma de parte real e imaginaria.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Ejercicios de Variable compleja
(Unidad I)
Participante:
De Santiago Edgar
C.I: 21.246.339
Prof.: Alba Espinoza

2. 1. Efectuar las operaciones indica las:
A) Z= (Re (2i45 – 5i32 ) + √2 i41 + 3i 24 )1/3
Solución:
i45=i1=i.
i32=i0=1.
i41=i1=i.
i24=i0=1
Luego:
Z= (Re (2i45 – 5i32 ) + √2 i41 + 3i 24 )1/3
Z=(Re (2i – 5*1 ) + √2* i + 3*1 )1/3
Z=(Re (2i – 5) + √2i + 3)1/3
Z= (-5 + √2 i + 3)1/3
Z= (-2 + √2i)1/3
Z= √ −2 + 3 √2 i * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2퐾휋
3
)
PARA K=0,1,2.
3
Z= √(−2) + (√2)
* Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2퐾휋
3
)
PARA K=0,1,2.
Z= √6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2퐾휋
3
)
PARA K=0,1,2.
Donde, Arg (-2+√2푖 )= tan -1 (-
√2
32
)
≈-0.6154.
Luego,
Z=
41
1
=
4
10
24
0
=
4
6
32
0
=
4
8
2
2
√6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)
3
); k=0
√6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+2휋
3
); k=1
√6 6 * Cis (
퐴푟푔 (−2+√2푖)+4휋
3
); k = 2
4
11
45
1
=

3. 2+푖
3푖 −푖
b) Re { (
)}*
5
2
푖 −
3
2
푖
Solución:
i17=i1=i
i14=i2=-1
i6=i2=-1
i5=i1=i
Luego:
Re { (
2+푖
3(−2)−푖
) }*
5
2
(−1) −
3
2
∗ 푖
= Re {
(2−푖 )
−6+ 푖
}* −
5
2
−
3
2
푖
= Re {
(2−푖)∗(−6−푖)
(−6) −푖
}* √(−
5
2
) + (−
3
2
)
= Re {
−12−2푖+6푖−1
36 −(−1)
}* √
25
4
+
9
4
=Re {
−13+4 푖
37
}* √
34
4
=
−13
37
*
√34
2
=
−13
37
*
√34
2
=
−13 √34
74
17
5
6
14
14
2
=
4
3
17
1
=
4
4
5
1
=
4
1
6
2
=
4
1
2
2
2
2

4. 2) describir y bosquejar el lugar geografico definido
por.
3(Z2+Z2) – 10*Z*Z+25=0.
SOLUCION.
SEA, Z= X+Yi Z=X-Yi
ASI Z2=(X+Yi)2=X2+2XYi-Y2
Z2=(X-Yi)2=X2-2XYi-Y2
Z*Z=(X+Yi)*(X-Yi)=X2- (Yi)2=X2+Y2
ASI, 3(Z2+Z2)-10*Z*Z+25=0
3(X2+2XYi-Y2+X2-2XYi-Y2)-10(X2+Y2)+25=0
3(2X2-2Y2)-10X2-10Y2+25=0
6X2-6Y2-10X2-10Y2+25=0
-4X2-16Y2+25=0
4X2+16Y2=25
푋2
(
5
2
)
+
푌2
(
5
4
)
= 1; Representa un elipse centrada en
(0,0).
Re (Z)
Im (Z)
2
O
5
⁄4
⁄2 5
−5
⁄2
Conclusión: La Ecuación Representa La Frontera De
Una Elipse Y La Satisfacen Todos Los Números
Complejos Z=(X, Y).
TALES QUE:
푋2
(
5
2
)
+
푌2
(
5
4
)
= 1
−5
⁄4

5. 3) Demostrar que:
Cos (Z1+Z2)=Cos ZI* Cos Z2 –SenZ1 * SenZ2.
Solución.
Sabemos Que Cos Z=
푒푖푍+ 푒−푖푍
2
; Sen Z =
푒푖푍− 푒−푖푍
2푖
Sea Cos Z1*Cos Z2-Sen Z1*Sen Z2
=
푒푖푍1+ 푒−푖푍1
2
*
푒푖푍2 + 푒 −푖푍2
2
-
푒푖푍1 − 푒 −푖푍1
2푖
∗
푒푖푍2 − 푒 −푖푍2
2푖
=
(푒푖푍1+ 푒−푖푍1)∗(푒푖푍2+ 푒−푖푍2)
4
-
(푒푖푍1− 푒−푖푍1)∗(푒푖푍2 − 푒−푖푍2)
4∗(−1)
=
푒푖(푍1+푍2)+ 푒푖(푍1−푍2)+ 푒푖(푍2−푍1)+ 푒−푖(푍1+푍2)+푒푖(푍1+푍2)−푒푖(푍1−푍2)− 푒푖(푍2−푍1)+푒−푖(푍1+푍2)
4
=
2푒푖(푍1+푍2)+ 2푒 −푖(푍1+푍2)
4
=
푒푖(푍1+푍2)+ 푒−푖(푍1+푍2)
2
= Cos (Z1+ Z2).
4). Expresar la función
F (Z) = √5 [Im (Z)]5* 푒 4푖 ∗(푅푒(푍))
En la forma F (Z) = U(X,Y) + i V(X,Y)
Solución:
Sea Z= X+iY Y así
F (Z)= √5 *[Y]5*푒 4∗(−푖) ∗(푋)
i7=i3=-i
7 2
2
7
3
=
4
1

6. 2
F (Z)= √5 *Y5*푒 푖(−4푥 )
F (Z) = √5 *Y5* (Cos(-4x2)+i Sen(-4x2))
F (Z) = √5 *Y5* (Cos(4x2) - i Sen(4x2))
F (Z) = √5 *Y5*Cos(4x2) - √5 * y5*Sen (4x2) i
F (Z) = U(X,Y) + V(X,Y)
Donde, U(X,Y)= √5 *Y5*Cos(4x2)
V(X,Y)= √5 * y5*Sen (4x2)