Este documento presenta fórmulas y conceptos básicos de geometría y trigonometría. En la primera página se definen fórmulas para calcular el volumen y área de varias figuras geométricas tridimensionales. La segunda y tercera página describen identidades trigonométricas para funciones de ángulos simples, dobles, triples y múltiples. Las páginas restantes explican operaciones con funciones trigonométricas como suma, diferencia, producto y potencias, así como leyes para triángulos como la le

1. pág. 1
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA
E.A.P. DE: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
e-mail: mtarazona@uch.edu.pe - mitagi@hotmail.com
Agosto de 2016
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
Volumen  4
3
3
r
Área de la Superficie 4 2
r
r
Volumen  r h2
Área de la superficie lateral  2rh
r
h
Volumen  1
3
2
r h
Área de la superficie lateral    r r h rl2 2
h
r
l
Volumen    1
3
2 2
h a ab b
Área de la superficie lateral
   
 
   
 


a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l

2. pág. 2
Trigonometría
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES DE UN ANGULO
 
 
 
 










SenSenC osSenC osSenC osSenSenC osC osC osC os
SenSenSenSenC osC osC osSenC osC osC osSenSen
C otC ot
C otC ot
C ot
TanTan
TanTan
Tan
SenSenC osC osC os
SenC osC osSenSen
xC oxC ot
xSecxTan
xSenxC os
xC osxSen
xC osxSen
xSen
xC os
xC ot
xC os
xSen
xTan
xC otxTan
xSecxC os
xC oxSen


















)(
)(
1
1
s ec1
1
1
1
1
1
1
1s ec
22
22
2
2
22



:ángulos2dediferenciaoS uma
:sP itagóricasIdentidade
FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES
xC ot
xC ot
xC ot
x
x
x
xx
xx
xxx
xxx
2
1
2
tg1
tg2
2tg
s en212cos
1cos22cos
s encos2cos
coss en22s en
2
2
2
2
22








:dobleángulo
delricastrigonométsIdentidade

3. pág. 3
IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:
1tg3
tg3tg
3tg
tg31
tgtg3
3tg
cos3cos43cos
sen4sen33sen
2
3
2
3
3
3
















c
cc
c
Identidades de ángulo cuádruple:








tg4tg4
1tg6tg
4tg
tgtg61
tg4tg4
4tg
1cos8cos84cos
s encos4s encos84s en
3
24
42
3
24
3
cc
cc
c








Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:
(teorema de Moivre)
!!)(
!
....sencossencossencossen
...sencossencossencoscoscos
5553331
666444222
rrn
n
C
CCnn
CCCn
r
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n






:donde










cos1
s en
s en
cos1
cos1
cos1
2
cot
cos1
s en
s en
cos1
cos1
cos1
2
tg
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
s en


















x
xx
x
xx
xx
xx
:mitadángulodel
ricastrigonométsIdentidade

4. pág. 4
SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES
   
   
   
   
2 Cos
2Cos 2 Cos
Cos Cos 2Cos Cos
Cos Cos 2
2 Cos
2 2
2 Cos
2 2
sen ( )
tg tg
cos cos
cos ( )
tg tg
cos sen
tg t
Sen Sen Sen
Sen Sen
Sen Sen
Sen Sen Sen
Sen Sen Sen
c
c c
     
     
     
     
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 

   
   
   
    
 
 
 
 

 

 

sen ( )
g
sen sen
Cos Cos 2 Cos Cos
2 2
Cos Cos 2
2 2
cos ( )
tg tg
sen cos
Sen Sen
c
 

 
   
 
   
 
 
 
 

 
 
 
 
  

 
EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE OTRA (del mismo ángulo):
1cos
1s ec
1
tg
1
cos1
cos
s en
s en1
tg
1cos
1
1s ec
tg
1
cos
cos1
s en1
s en
tg
cos
1cos
s ec
1
tg1
tg
tg1
1
s en1cos
cos
1
s ec
1s ec
tg1
1
tg1
tg
cos1s en
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2


















































ecc
ecc
ec
ec
c
c
ecc

5. pág. 5
PRODUCTO DE FUNCIONES
 
 
 
 
 
 
 )(cos)(cos)(cos)(coscoscoscos
)(cos)(cos)(cos)(coscoss ens en
)(s en)(s en)(s en)(s encoscoss en
)(s en)(s en)(s en)(s ens ens ens en
)(s en)(s encoss en
)(cos)(coscoscos
)(cos)(coss ens en
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1














POTENCIAS DE FUNCIONES
)32cos44(coscos
)32cos44(coss en
)cos33(coscos
)3s ens en3(s en
)2cos1(cos
)2cos1(s en
8
14
8
14
4
13
4
13
2
12
2
12












 sen sen A A
 cos cos A A
  AA tantan 
Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A,
B, C.
Ley de los senos
a
A
b
B
c
Csen sen sen
 
Ley de los cosenos
c a b ab C2 2 2
2   cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
 
 
a b
a b
tan A B
tan A B





1
2
1
2
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
    r i r p i p
p p
cos sen cos sen     

6. pág. 6
Sea n cualquier entero positivo y p n 1 , entonces
    r i r in n k
n
k
ncos sen cos sen     
   1 1 2 2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo 1,,2,1,0  nk 
Geometría Analítica del Espacio
Considerando  P x y z1 1 1 1 , , y  P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 :
       PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1    , , , ,
Distancia entre dos puntos:
     d x x y y z z l m n        2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica:
x x l t 1 y y mt 1 z z nt 1
-Forma Simétrica:
t
x x
l

 1
t
y y
m

 1
t
z z
n

 1
Cosenos Directores:
cos


x x
d
l
d
2 1
cos


y y
d
m
d
2 1
cos 


z z
d
n
d
2 1
donde   , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva
de los ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

 1 2 3, , :
     a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0     
-Forma General:
Ax By Cz D   0
cos cos cos2 2 2
1     o l m n2 2 2
1  
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
d
Ax By Cz D
A B C


  
 
0 0 0
2 2 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

7. pág. 7
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z








cos
sen

 o  
r x y
tan
z z
y
x
 









2 2
1


r
z
y
x
y
z
P
(x, y, z)
(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r








sen cos
sen sen
cos
 
 

o  
r x y z
tan
y
x
z
x y z
  















 
2 2 2
1
1
2 2 2

 cos
z
y
x
y
P (r,{


(x, y, z)
O

z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan 


m m
mm
2 1
1 21
Reglas Generales de Derivación
d
dx
c( ) 0
 
d
dx
cx c
 
d
dx
cx ncxn n
 1
 
d
dx
u v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
      
 
d
dx
cu c
du
dx

 
d
dx
uv u
dv
dx
v
du
dx
 
 
d
dx
uvw uv
dw
dx
uw
dv
dx
vw
du
dx
  
   d
dx
u
v
v du
dx u dv
dx
v







2
 
d
dx
u nu
du
dx
n n
 1

8. pág. 8
dF
dx
dF
du
du
dx
 (Regla de la cadena)
du
dx dx
du

1
dF
dx
dF
du
dx
du

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dx
u
e
u
du
dx
a aa
a
log
log
,  0 1
d
dx
u
d
dx
u
u
du
dx
eln log 
1
d
dx
a a a
du
dx
u u
 ln
d
dx
e e
du
dx
u u

d
dx
u
d
dx
e e
d
dx
v u vu
du
dx
u u
dv
dx
v v u v u v v
   ln ln
ln ln1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dx
u u
du
dx
sen cos
d
dx
u u
du
dx
cot csc  2
d
dx
u u
du
dx
cos sen 
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tan
d
dx
u u
du
dx
tan sec 2 d
dx
u u u
du
dx
csc csc cot 
d
dx
u
u
du
dx
usen sen 


  1
2 2
1
2
1
1
 
d
dx
u
u
du
dx
ucos cos 



 1
2
11
1
0 
d
dx
u
u
du
dx
utan tan 


  1
2 2
1
2
1
1
 
d
dx
u
u
du
dx
ucot cot 



 1
2
11
1
0 
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si u
sec
sec
sec








  
  








1
2 2
1
2
2
1
1
1
1
1
0 


d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si u
csc
csc
csc








  
   








1
2 2
1
2
2
1
1
1
1
1
0
0




9. pág. 9
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dx
u u
du
dx
senh cosh
d
dx
u u
du
dx
coth csc  h2
d
dx
u u
du
dx
cosh senh
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tanhh h 
d
dx
u u
du
dx
tanh sec h2 d
dx
u u u
du
dx
csc csc cothh h 
d
dx
u
u
du
dx
senh-1


1
12
d
dx
u
u
du
dx
si u u
si u u
cos
cosh ,
cosh ,
h-1



  
  










1
1
0 1
0 12
1
1
d
dx
u
u
du
dx
utanh


  1
2
1
1
1 1
d
dx
u
u
du
dx
u o ucoth


 




1
2
1
1
1 1
d
dx
u
u u
du
dx
si u u
si u u
sec
sec ,
sec ,
h
h
h
-1



   
   










1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u si ucsc ,h-1





   




1
1
1
1
0 02 2

Tablas de Integrales
udv uv vdu  csc cot cscu udu u C  
u du
n
u C nn n


 

1
1
11
  Cuduu seclntan
du
u
u C  ln cot ln senudu u C 
e du e Cu u
  Cuuduu  tanseclnsec
a du
a
a
Cu
u
  ln
csc ln csc cotudu u u C  
sen cosudu u C   du
a u
u
a
C2 2
1

 
 sen
  Cuduu sencos
 


C
a
u
aua
du 1
22
tan
1
  Cuduu tansec2 du
u u a a
u
a
C2 2
11

 
 sec
csc cot2
udu u C   du
a u a
u a
u a
C2 2
1
2



 ln
  Cuduuu sectansec du
u a a
u a
u a
C2 2
1
2



 ln

10. pág. 10
a u du
u
a u
a
u a u C2 2 2 2
2
2 2
2 2
       ln du
u a u a
a u a
u
C2 2
2 2
1

 
 
 ln
 u a u du
u
a u a u
a
u a u C2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
8
2
8
        ln du
u a u
a u
a u
C2 2 2
2 2
2

 


a u
u
du a u a
a a u
u
C
2 2
2 2
2 2

  
 
 ln  
du
a u
u
a a u
C2 2 3 2 2 2 2



 /
a u
u
du
a u
u
u a u C
2 2
2
2 2
2 2
 

    ln
a u du2 2
 
a u du
u
a u
a u
a
C2 2 2 2
2
1
2 2
    
 sen
du
a u
u a u C2 2
2 2

    ln  u a u du
u
u a a u
a u
a
C2 2 2 2 2 2 2
4
1
8
2
8
     
 sen
u du
a u
u
a u
a
u a u C
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
      ln a u
u
du a u a
a a u
u
C
2 2
2 2
2 2

  
 
 ln
a u
u
du
u
a u
u
a
C
2 2
2
2 2 11
    
 sen u a du
u
u a
a
u u a C2 2 2 2
2
2 2
2 2
       ln
u du
a u
u
a u
a u
a
C
2
2 2
2 2
2
1
2 2
    
 sen  u u a du
u
u a u a
a
u u a2 2 2 2 2 2 2
4
2 2
8
2
8
        ln C
du
u a u a
a a u
u
C2 2
2 2
1

 
 
 ln
u a
u
du u a a
a
u
C
2 2
2 2 1
   
 cos
du
u a u a u
a u C2 2 2 2
2 21

   u a
u
du
u a
u
u u a C
2 2
2
2 2
2 2
 

    ln
   a u du
u
u a a u
a u
a
C2 2
3
2 2 2 2 2
4
1
8
2 5
3
8
      
 sen
du
u a
u u a C2 2
2 2

    ln
 
du
a u
u
a a u
C
2 2
3
2 2 2 2



  

Cauu
a
au
u
au
duu 22
2
22
22
2
ln
22
du
u u a
u a
a u
C2 2 2
2 2
2




 
du
u a
u
a u a
C
2 2
3
2 2 2 2

 


 
udu
a bu b
a bu a a bu C

    
1
2 ln  
u du
a bu b
a b u abu a bu
2
3
2 2 22
15
8 3 4

   

11. pág. 11
    
u du
a bu b
a bu a a bu a a bu C
2
3
2 21
2
4 2

       ln
du
u a bu a
a bu a
a bu a
C a


 
 
 
1
0ln , si




 2
01
a
a bu
a
C atan , si
 
du
u a bu a
u
a bu
C




1
ln
a bu
u
du a bu a
du
u a bu

  

 2
 
du
u a bu au
b
a
a bu
u
C2 2
1

 

 ln
a bu
u
du
a bu
u
b du
u a bu

 



 2
2
   
udu
a bu
a
b a bu b
a bu C



   2 2
1
ln
 
  u a bu du
b n
u a bu na u a bu dun n n
 

  

2
2 3
3
2 1
   
du
u a bu a a bu a
a bu
u
C





 2 2
1 1
ln
   
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n





 
 

2
2 1
2
2 1
1
  









Cbuaa
bua
a
bua
bbua
duu
ln2
1 2
32
2
 
 
 
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n

 




   1
2 3
2 11 1
  u a budu
b
bu a a bu C    
2
15
3 22
3
2
 
udu
a bu b
bu a a bu

  
2
3
22
 





2
1
22
4
2
4
2
bac
bax
tg
baccbxax
dx
C
acbbax
acbbax
acbcbxax
dx













 42
42
ln
4
1
2
2
22
  

 cbxax
dx
a
b
cbxax
acbxax
xdx
2
2
2
2
)ln(
2
1
  


 cbxax
dx
a
acb
cbxax
a
b
a
x
cbxax
dxx
22
2
2
22
2
2
2
)ln(
2
   







cbxax
dxx
a
b
cbxax
dxx
a
c
am
x
cbxax
dxx mmmm
2
1
2
21
2
)1(
  








 cbxax
dx
c
b
cbxax
x
ccbxaxx
dx
22
2
2
2
ln
2
1
)(
 






 

 cbxax
dx
c
acb
cxx
cbxax
c
b
cbxaxx
dx
22
2
2
2
222
2
21
ln
2)(
   





 
)()()1(
1
)( 222112
cbxaxx
dx
c
a
cbxaxx
dx
c
b
cxncbxaxx
dx
nnnn
  




 cbxax
dx
bac
a
cbxaxbac
bax
cbxax
dx
222222
4
2
))(.4(
2
)(
  




 cbxax
dx
bac
b
cbxaxbac
cbx
cbxax
xdx
222222
4))(4(
2
)(

12. pág. 12
  




 cbxax
dx
bac
c
cbxaxbaca
bcxacb
cbxax
dxx
2222
2
22
2
4
2
))(4(
)2(
)(
   











n
m
n
m
n
m
n
m
cbxax
dxx
amn
bmn
cbxax
dxx
amn
cm
cbxaxamn
x
cbxax
dxx
)()12(
)(
)()12
)1(
)()12()( 2
1
2
2
12
1
2
    









n
n
n
n
n
n
n
n
cbxax
dxx
a
b
cbxax
dxx
a
c
cbxax
dxx
acbxax
dxx
)()()(
1
)( 2
22
2
32
12
32
2
12
   





 )(
1
)(2)(2
1
)( 222222
cbxaxx
dx
ccbxax
dx
c
b
cbxaxccbxaxx
dx
   





 22222222
)(
2
)(
3
)(
1
)( cbxaxx
dx
c
b
cbxax
dx
c
a
cbxaxcxcbxaxx
dx
   







  nmnmnmnm
cbxaxx
dx
cm
bnm
cbxaxx
dx
cm
anm
cbxaxcxmcbxaxx
dx
)()1(
)2(
)()1(
)32(
)()1(
1
)( 21221212
sen sen2 1
2
1
4 2udu u u C   csc csc cot ln csc cot3 1
2
1
2udu u u u u C    
cos sen2 1
2
1
4 2udu u u C   sen sen cos senn
n
n n
udu u u
n
n
udu 
 
 1 1 21
  Cuuduu tantan2
cos cos sen cosn
n
n n
udu u u
n
n
udu 
 
 1 1 21
  Cuuduu cotcot2
 



 duuu
n
duu nnn 21
tantan
1
1
tan
 sen sen cos3 1
3
2
2udu u u C   cot cot cotn n n
udu
n
u udu


 

1
1
1 2
 cos cos sen3 1
3
2
2udu u u C   sec sec secn n n
udu
n
tanu u
n
n
udu




 

1
1
2
1
2 2
  Cuuduu coslntantan 2
2
13
csc cot csc cscn n n
udu
n
u u
n
n
udu




 

1
1
2
1
2 2
cot cot lnsen3 1
2
2
udu u u C     
 
 
 
sen sen
sen sen
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C





 2 2
sec sec lnsec3 1
2
1
2u du u tanu u tanu C     
 
 
 
cos cos
sen sen
au budu
a b u
a b
a b u
a b
C





 2 2
 
 
 
 
sen cos
cos cos
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C 





 2 2
u udu u u n u udun n n
cos sen sen  
 1
u udu u u u Csen sen cos  
sen cosn m
u udu
 




 


sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
n
n m
u udu
1 1
21
 




 


sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
m
n m
u udu
1 1
21
u u du u u u Ccos cos sen   u u du
u
u
u u
Ccos cos 




 1
2
1
2
2 1
4
1
4
u udu u u n u udun n n
sen cos cos  
 1
 

 
C
u
u
u
duuu
2
tan
2
1
tan 1
2
1

13. pág. 13
sen sen 
    1 1 2
1udu u u u C
u udu
n
u u
u du
u
nn n
n
sen sen ,  










   1 1 1
1
2
1
1 1
1
cos cos 
    1 1 2
1udu u u u C
u udu
n
u u
u du
u
nn n
n
cos cos ,  










   1 1 1
1
2
1
1 1
1
   
Cuuuduu 2
2
111
1lntantan
  











1,
1
tan
1
1
tan
2
1
111
n
u
duu
uu
n
duuu
n
nn
u u du
u
u
u u
Csen sen 




 1
2
1
2
2 1
4
1
4
 ue du
a
au e Cau au
  
1
12
ln lnudu u u u C  
u e du
a
u e
n
a
u e dun au n au n au
  

1 1
 
  u u du
u
n
n u Cn
n
ln ln

  


1
2
1
1 1
 e bu du
e
a b
a bu b bu Cau
au
sen sen cos

  2 2
1
u u
du u C
ln
lnln 
 e bu du
e
a b
a bu b bu Cau
au
cos cos sen

  2 2
senh coshudu u C    Cuduu 2
1
tanlnsech
cosh senhudu u C    Cuduu tanhsech2
  Cuduu coshlntanh   Cuduu cothcsch2
coth lnsenhudu u C    Cuduuu sechtanhsech
  
Cutanduu senhsech 1
  Cuduuu cschcothcsch
2
2
2
2
2 2
2
1
au u du
u a
au u
a a u
a
C 

 






 cos
du
au u
a u
a
C
2 2
1








 cos
u au u du
u au a
au u
a a u
a
C2
2 3
6
2
2
2
2
2
3
1
 
 
 






 cos
udu
au u
au u a
a u
a
C
2
22
2 1

   






 cos
2
2
2
2
2 1
au u
u
du au u a
a u
a
C

  






 cos
du
u au u
au u
au
C
2
2
2
2

 


2 2 22
2
2
1
au u
u
du
au u
u
a u
a
C

 








 cos
 
 




 





C
a
uaa
uau
au
uau
duu 1
2
2
2
2
cos
2
3
2
2
3
2
Vectores
A B   A B cos  0

14. pág. 14
donde  es el ángulo formado por A y B
A B   A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k  A A A1 2 3
   , B i j k  
  
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz: AxB
i j k

  
A A A
B B B
1 2 3
1 2 3
     kji ˆˆˆ 122131132332 BABABABABABA 
Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen
El operador nabla se define así:
zyx 




 
 kji
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen
derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U







 kjikji
z
U
y
U
x
U
U
zyx
U












Divergencia de A = div A 













kjikjiA 321 AAA
zyx 





  






A
x
A
y
A
z
1 2 3
Rotacional de A = rot A 













kjixkjixA 321 AAA
zyx 





321
kji
AAA
zyx 







 





  





  






  











A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y
3 2 1 3 2 1
i j k
Laplaciano de U =   2
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
U
UU







Integrales Múltiples
  
F x y dydxy f x
f x
x a
b
,
( )

 1
2

15. pág. 15
    
 F x y dy dxy f x
f x
x a
b
,
( )
1
2
donde  y f x 1
e  y f x 2
son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras
que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
  
F x y dxdyx g y
g y
y c
d
,
( )

 1
2
  







 F x y dx dyx g y
g y
y c
d
,
( )
1
2
donde x g y 1( ), x g y 2( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras
que c y d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden
ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres
dimensiones.
s s t r t dta
t
  ( ) ( )

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario


t t
r t
r t
( )
( )
( )



 
t s r s( ) ( )
Vector normal principal )()()( tttbtn

x


n s
r s
r s
( )
( )
( )

Vector binormal )(
)(
)(
trr
trr
tb


 

x
x   
b s
r s r s
r s
( )
( ) ( )
( )

x
Los vectores unitarios
  
t n b, , forman un triedo positivo  
        
b t n n b t t n b  x x x, ,
Recta tangente en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
       
r r t r t   0 0
x x
x
y y
y
z z
x








0
0
0
0
0
0
Plano osculador  
 
t n, en t0
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
          
r r t r t xr t    0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
  
  
  

0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
Curvatura y Torsión
 
   
 
 
      
   
 t
r t r t
r t
t
r t r t r t
r t r t

 


   
 
 

  
 
x x
x
3 2

16. pág. 16
    s r s

Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
      
r r t r t   0 0 0              x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante  
 
t b, en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
      
r r t n t  0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0  
           

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
aT a T
a
  
 
 



.
aN a N
x a
 
 
 

.


Propiedades de la Divergencia
i) div (

F +

G ) = div (

F ) +div (

G )
ii) div (

F ) =  div(

F ) + ( grad  ) 

F
iii) div (

F +

G ) = G   rot (

F )  -

F  r ot (

G ) 
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt 
 ttax sen  tay cos1
Trabajo W  
b
a
rdF

b
ba
aC ompb


 

Longitud de arco de  y f x en  a b y dxa
b
, ( )   1 2
 
R
dAyxm ,  
R
x dAyxyM ,  
R
y dAyxxM ,

17. pág. 17
Centro de gravedad de una región plana

 b
a
b
a
dxxf
dxxxf
x
)(
)(
,
 


 b
a
b
a
dxxf
dxxf
y
)(
)(
2
1 2
Longitud de arco en forma paramétrica  














dt
dt
dy
dt
dx
L
22
Momento de inercia de R respecto al origen     
R
o dAyxyxI ,22

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
  xdxfxFS
b
a
2
)(1)(2  
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

b
a
tdtFtV )(2 
Cálculo del volumen 
b
a
dxxAV )(   
b
a
dxxfV
2

Ecuación diferencial de primer orden   y P x y Q x( ) ( )
Solución ye Q x e dx k
P x dx P x dx( ) ( )
( )  
Ecuación del resorte helicoidal r t t t
t
( ) cos ,sen ,
2
Derivada direccional    D f x y z f x y zu


, , , ,   u (

u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC  Lq Rq
C
q E t  
1
Fuerza ejercida por un fluído dyyLyF
b
a
)(  
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A xg  2 20
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
)(tf L   )()( sFtf 
1
s
1
t 2
1
s

18. pág. 18
n
t 1
!
n
s
n
, n es entero positivo
2
1

t s

2
1
t 2
3
2s


t 1
)1(




s
, 1
ktsen 22
ks
k

ktcos 22
ks
s

ktsen2
)4(
2
22
2
kss
k

kt2
cos
)4(
2
22
22
kss
ks 
at
e
as 
1
ktsenh 22
ks
k

ktcosh 22
ks
s

ktsenh 2
)4(
2
22
2
kss
k

kt2
cosh
)4(
2
22
22
kss
ks


at
te 2
)(
1
as 
atn
et 1
)(
!

 n
as
n
, n es entero positivo
ktseneat
22
)( kas
k

kteat
cos 22
)( kas
as


ktsenheat
22
)( kas
k

kteat
cosh 22
)( kas
as


ktsent 222
)(
2
ks
ks


19. pág. 19
ktt cos 222
22
)( ks
ks


ktktktsen cos 222
2
)(
2
ks
ks

ktktktsen cos 222
3
)(
2
ks
k

ktsenht 222
)(
2
ks
ks

kttcosh 222
22
)( ks
ks


ba
ee btat


))((
1
bsas 
ba
beae btat


))(( bsas
s

ktcos1
)( 22
2
kss
k

ktsenkt
)( 222
3
kss
k

)( 22
baab
ats enbbts ena


))((
1
2222
bsas 
22
coscos
ba
atbt


))(( 2222
bsas
s

ktsenhktsen 44
2
4
2
ks
sk

ktktsen cosh 44
22
4
)2(
ks
ksk


ktsenhktcos 44
22
4
)2(
ks
ksk


ktktcoshcos 44
3
4ks
s

)(0 ktJ 22
1
ks 
t
ee atbt

bs
as


ln
t
kt )cos1(2 
2
22
ln
s
ks 
t
kt )cosh1(2 
2
22
ln
s
ks 

20. pág. 20
t
atsen






s
a
arctan
t
btatsen cos
s
ba
s
ba 


arctan
2
1
arctan
2
1
ta
e
t
421 
 s
e sa
ta
e
t
a 4
3
2
2


sa
e






t
a
er fc
2 s
e sa







t
a
erfcae
t ta
2
2 42
 ss
e sa







t
a
tber fcee tbab
2
2
)( bss
e sa















t
a
er fc
t
a
tber fcee tbab
22
2
)( bss
be sa


)(t 1
)( 0tt  0st
e
)(tfeat
)( asF 
)( atf  U )( at  )(sFe as
U )( at 
s
e as
)()(
tf n
)0(....)0()( )1(1 
 nnn
ffssFs
)(tftn
)()1( sF
ds
d
n
n
n

 
t
dtgf
0
)()(  )()( sGsF
TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
L      )(0  sffsf L          00023
ffsfsfsf  LLL
       002
ffsfsf  LL  
         0.....00 121 
 nnnnn
ffsfsfsf LL
TRANSFORMADA DE INTEGRAL
       






 sstf
s
df
t
,0
1
0
LL